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第2課時(shí)互斥事件的概率水平11.若A與B為互斥事件,則P(A∪B)=P(A)+P(B).()2.若A與B為互斥事件,則P(A)=1-P(B).()3.若A與B為對(duì)立事件,則P(A)=1-P(B).()4.若事件A,B,C互斥,則P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C).()5.若P(A)+P(B)≠P(A∪B),則事件A與事件B不互斥.()【解析】1.√.2.提示:×.因?yàn)镻(A∪B)不一定等于1.3.√.4.√.5.√.·題組一“有放回”與“無(wú)放回”抽取問(wèn)題1.從分別寫有A,B,C,D,E的5張卡片中任取2張,這2張卡片上的字母按字母順序恰好是相鄰的概率為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,10) D.eq\f(7,10)【解析】選B.試驗(yàn)的樣本空間Ω={AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE},共有10個(gè)樣本點(diǎn),其中事件“這2張卡片上的字母按字母順序恰好是相鄰的”包含4個(gè)樣本點(diǎn),故所求的概率為eq\f(4,10)=eq\f(2,5).2.一個(gè)盒子里裝有完全相同的10個(gè)小球,分別標(biāo)上1,2,3,…,10這十個(gè)數(shù)字,隨機(jī)抽取2個(gè)小球,如果小球是有放回地抽取,則2個(gè)小球上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率為_(kāi)_______.【解析】如果小球是有放回地抽取,按抽取順序記錄結(jié)果為(x,y),那么x有10種可能,y也有10種可能.故共有樣本點(diǎn)10×10=100個(gè),由于盒子里的10個(gè)小球完全相同,因此可認(rèn)為這100個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等,從而可以用古典概型的概率公式計(jì)算概率.設(shè)事件A表示“2個(gè)小球上的數(shù)字為相鄰整數(shù)”,則A={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),(7,8),(8,9),(9,10),(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5),(7,6),(8,7),(9,8),(10,9)}共有18個(gè)樣本點(diǎn),所以P(A)=eq\f(18,100)=eq\f(9,50).答案:eq\f(9,50)3.一個(gè)盒子里裝有完全相同的10個(gè)小球,分別標(biāo)上1,2,3,…,10這十個(gè)數(shù)字,隨機(jī)抽取2個(gè)小球,如果小球是無(wú)放回地抽取,則2個(gè)小球上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率為_(kāi)_______.【解析】如果小球是無(wú)放回地抽取,按抽取順序記錄結(jié)果為(x,y),那么x有10種可能,y有9種可能,故共有樣本點(diǎn)10×9=90個(gè),由于盒子里的10個(gè)小球完全相同,因此可認(rèn)為這90個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等,從而可以用古典概型的概率公式計(jì)算概率.設(shè)事件B表示“2個(gè)小球上的數(shù)字為相鄰整數(shù)”,則B={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),(7,8),(8,9),(9,10),(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5),(7,6),(8,7),(9,8),(10,9)}共有18個(gè)樣本點(diǎn),所以P(B)=eq\f(18,90)=eq\f(1,5).答案:eq\f(1,5)·題組二利用概率的基本性質(zhì)求概率1.某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級(jí),其中乙、丙兩級(jí)均屬次品,在正常生產(chǎn)情況下,出現(xiàn)乙級(jí)品和丙級(jí)品的概率分別是5%和3%,則抽檢一件是正品(甲級(jí)品)的概率為()A.0.95B.0.97C.0.92D.0.08【解析】選C.記抽檢的產(chǎn)品是甲級(jí)品為事件A,是乙級(jí)品為事件B,是丙級(jí)品為事件C,這三個(gè)事件彼此互斥,因而所求概率為P(A)=1-P(B)-P(C)=1-5%-3%=92%=0.92.2.口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球,從中摸出1個(gè)球,摸出紅球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是()A.0.42 B.0.28C.0.3 D.0.7【解析】選C.因?yàn)槊龊谇蚴敲黾t球或摸出白球的對(duì)立事件,所以摸出黑球的概率是1-0.42-0.28=0.3.3.甲、乙兩名乒乓球運(yùn)動(dòng)員在一場(chǎng)比賽中甲獲勝的概率是0.2,沒(méi)有平局,那么乙獲勝的概率為()A.0.2 B.0.8C.0.4 D.0.1【解析】選B.乙獲勝的概率為1-0.2=0.8.4.如圖所示,靶子由一個(gè)中心圓面Ⅰ和兩個(gè)同心圓環(huán)Ⅱ、Ⅲ構(gòu)成,射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分別為0.35、0.30、0.25,則不命中靶的概率是________.【解析】“射手命中圓面Ⅰ”為事件A,“命中圓環(huán)Ⅱ”為事件B,“命中圓環(huán)Ⅲ”為事件C,“不中靶”為事件D,則A、B、C彼此互斥,故射手中靶的概率為P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.35+0.30+0.25=0.90.因?yàn)橹邪泻筒恢邪惺菍?duì)立事件,故不命中靶的概率為P(D)=1-P(A∪B∪C)=1-0.90=0.10.答案:0.105.中國(guó)乒乓球隊(duì)中的甲、乙兩名隊(duì)員參加奧運(yùn)會(huì)乒乓球女子單打比賽,甲奪得冠軍的概率為eq\f(3,7),乙?jiàn)Z得冠軍的概率為eq\f(1,4),那么中國(guó)隊(duì)奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為_(kāi)_______.【解析】由于事件“中國(guó)隊(duì)奪得女子乒乓球單打冠軍”包括事件“甲奪得冠軍”和“乙?jiàn)Z得冠軍”,但這兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式進(jìn)行計(jì)算,即中國(guó)隊(duì)奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為eq\f(3,7)+eq\f(1,4)=eq\f(19,28).答案:eq\f(19,28)6.已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為eq\f(1,2)和eq\f(1,3).假定兩球是否落入盒子互不影響,則甲、乙兩球都落入盒子的概率為_(kāi)_______;甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為_(kāi)_______.【解析】甲、乙兩球落入盒子的概率分別為eq\f(1,2),eq\f(1,3),且兩球是否落入盒子互不影響,所以甲、乙都落入盒子的概率為eq\f(1,2)×eq\f(1,3)=eq\f(1,6),甲、乙兩球都不落入盒子的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,3)))=eq\f(1,3),所以甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為eq\f(2,3).答案:eq\f(1,6)eq\f(2,3)7.某工廠生產(chǎn)了一批節(jié)能燈泡,這批產(chǎn)品中按質(zhì)量分為一等品、二等品、三等品.從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品檢測(cè),已知抽到一等品或二等品的概率為0.86,抽到二等品或三等品的概率為0.35,則抽到二等品的概率為_(kāi)_______.【解析】設(shè)抽到一等品、二等品、三等品的事件分別為A,B,C.則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(P(A)+P(B)=0.86,,P(B)+P(C)=0.35,,P(A)+P(B)+P(C)=1,))解得P(B)=0.21.答案:0.21易錯(cuò)點(diǎn)一搞錯(cuò)題中所研究的對(duì)象有1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)三個(gè)信箱和A,B,C,D四封信,若4封信可以任意投入信箱,投完為止,其中A信恰好投入1號(hào)或2號(hào)信箱的概率是________.【解析】由于每封信可以任意投入信箱,對(duì)于A信,投入各個(gè)信箱的可能性是相等的,一共有3種不同的結(jié)果.投入1號(hào)信箱或2號(hào)信箱有2種結(jié)果,故A信恰好投入1號(hào)或2號(hào)信箱的概率為eq\f(2,3).答案:eq\f(2,3)【易錯(cuò)誤區(qū)】應(yīng)該考慮A信投入各個(gè)信箱的概率,而錯(cuò)解考慮成了4封信投入某一信箱的概率.易錯(cuò)點(diǎn)二忽略概率加法公式的應(yīng)用前提致錯(cuò)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,向上的一面出現(xiàn)1點(diǎn),2點(diǎn),3點(diǎn),4點(diǎn),5點(diǎn),6點(diǎn)的概率都是eq\f(1,6),記事件A為“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”,事件B為“向上的點(diǎn)數(shù)超過(guò)3”,則P(A∪B)=________.【解析】滿足條件為出現(xiàn)1,3,5與出現(xiàn)4,5,6的和事件.共5種可能,故為eq\f(5,6).答案:eq\f(5,6)【易錯(cuò)誤區(qū)】概率加法公式使用的前提是事件互斥,本題“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”和“向上的點(diǎn)數(shù)超過(guò)3”存在同時(shí)發(fā)生的子事件.水平1、2限時(shí)30分鐘分值50分戰(zhàn)報(bào)得分______一、選擇題(每小題5分,共25分)1.拋擲一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子的試驗(yàn),事件A表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”,事件B表示“小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”,則一次試驗(yàn)中,事件A+eq\x\to(B)發(fā)生的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(5,6)【解析】選C.擲一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子的試驗(yàn)有6種可能結(jié)果,依題意P(A)=eq\f(2,6)=eq\f(1,3),P(B)=eq\f(4,6)=eq\f(2,3),所以P(eq\x\to(B))=1-P(B)=1-eq\f(2,3)=eq\f(1,3),因?yàn)閑q\x\to(B)表示“出現(xiàn)5點(diǎn)或6點(diǎn)”的事件,所以事件A與eq\x\to(B)互斥,從而P(A+eq\x\to(B))=P(A)+P(eq\x\to(B))=eq\f(1,3)+eq\f(1,3)=eq\f(2,3).2.洛書,古稱龜書,是陰陽(yáng)五行術(shù)數(shù)之源,在古代傳說(shuō)中有神龜出于洛水,其甲殼上有此圖象,結(jié)構(gòu)是戴九履一,左三右七,二四為肩,六八為足,以五居中,五方白圈皆陽(yáng)數(shù),四隅黑點(diǎn)為陰數(shù),其各行各列及對(duì)角線點(diǎn)數(shù)之和皆為15.如圖,若從4個(gè)陰數(shù)中隨機(jī)抽取2個(gè)數(shù),則能使這兩數(shù)與居中陽(yáng)數(shù)之和等于15的概率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,3)【解析】選D.陰數(shù)中隨機(jī)抽取2個(gè)數(shù),共有6種取法,其中滿足題意的取法有兩種:4,6和2,8,所以能使這2個(gè)數(shù)與居中陽(yáng)數(shù)之和等于15的概率P=eq\f(2,6)=eq\f(1,3).3.現(xiàn)有5人參加抽獎(jiǎng)活動(dòng),每人依次從裝有5張獎(jiǎng)票(其中3張為中獎(jiǎng)票)的箱子中不放回地隨機(jī)抽取一張,直到3張中獎(jiǎng)票都被抽出時(shí)活動(dòng)結(jié)束,則活動(dòng)恰好在第4人抽完結(jié)束的概率為()A.eq\f(1,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,10)D.eq\f(2,5)【解析】選C.將5張獎(jiǎng)票不放回地依次取出共有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))=120(種)不同的取法,若活動(dòng)恰好在第四次抽獎(jiǎng)結(jié)束,則前三次共抽到2張中獎(jiǎng)票,第四次抽到最后一張中獎(jiǎng)票,共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))=36(種)取法,所以P=eq\f(36,120)=eq\f(3,10).4.(多選題)某展會(huì)安排了分別標(biāo)有序號(hào)為“1號(hào)”“2號(hào)”“3號(hào)”的三輛車,等可能地隨機(jī)順序前往酒店接嘉賓.某嘉賓突發(fā)奇想,設(shè)計(jì)了兩種乘車方案.方案一:不乘坐第一輛車,若第二輛車的車序號(hào)大于第一輛車的車序號(hào),就乘坐此車,否則乘坐第三輛車;方案二:直接乘坐第一輛車.記方案一與方案二坐到“3號(hào)”車的概率分別為P1,P2,則()A.P1·P2=eq\f(1,6)B.P1=P2=eq\f(1,2)C.P1+P2=eq\f(5,6)D.P1>P2【解析】選ACD.三輛車的出車順序可能為123,132,213,231,312,321,共6種.方案一坐到“3號(hào)”車可能為132,213,231,共3種,所以P1=eq\f(3,6)=eq\f(1,2);方案二坐到“3號(hào)”車可能為312,321,共2種,所以P2=eq\f(2,6)=eq\f(1,3).所以P1>P2,P1·P2=eq\f(1,6),P1+P2=eq\f(5,6),故選A,C,D.5.甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲,先由甲心中想一個(gè)數(shù)字,記為a,再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字,把乙猜的數(shù)字記為b,其中a,b∈{1,2,3,4,5,6},若a=b或a=b-1,就稱甲、乙“心有靈犀”,現(xiàn)在任意找兩人玩這個(gè)游戲,則他們“心有靈犀”的概率為()A.eq\f(7,36)B.eq\f(1,4)C.eq\f(11,36)D.eq\f(5,12)【解析】選C.由于甲、乙各記一個(gè)數(shù),則基本事件總數(shù)為6×6=36個(gè),而滿足a=b或a=b-1的共有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),共11個(gè).所以概率P=eq\f(11,36).二、填空題(每小題5分,共15分)6.從1-9這9個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)數(shù)字a,滿足log2a2≥4的概率為_(kāi)_______.【解析】由log2a2≥4得a2≥16,解得a≥4或a≤-4,則符合題意的a是4,5,6,7,8,9,共有6種情況,而所有情況有9種,故所求概率為eq\f(6,9)=eq\f(2,3).答案:eq\f(2,3)7.甲、乙兩間醫(yī)院各有3名醫(yī)生報(bào)名參加研討會(huì),其中甲醫(yī)院有2男1女,乙醫(yī)院有1男2女,若從甲醫(yī)院和乙醫(yī)院報(bào)名的醫(yī)生中各任選1名,則選出的2名醫(yī)生性別不相同的概率是________.【解析】記甲醫(yī)院2男1女為A,B,0;乙醫(yī)院1男2女為C,1,2,從甲醫(yī)院和乙醫(yī)院報(bào)名的醫(yī)生中各任選1名:(A,C),(A,1),(A,2),(B,C),(B,1),(B,2),(0,B),(0,1),(0.2)共有9種,所以選出的2名醫(yī)生性別不相同有(A,1),(A,2),(B,1),(B,2),(0,B),共5種,選出的2名醫(yī)生性別不相同的概率P=eq\f(5,9).答案:eq\f(5,9)8.2021年廣東新高考將實(shí)行3+1+2模式,即語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)必選,物理、歷史二選一,政治、地理、化學(xué)、生物四選二,共有12種選課模式.今年高一的小明與小芳都準(zhǔn)備選歷史,假若他們都對(duì)后面四科沒(méi)有偏好,則他們選課相同的概率為_(kāi)_______.【解析】由題意,從政治、地理、化學(xué)、生物中四選二,共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))=6(種)方法,所以他們選課相同的概率為
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