河北省張家口宣化一中2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期1月月考數(shù)學(xué)試卷

2020-2021學(xué)年上學(xué)期宣化一中高二年級月考數(shù)學(xué)試卷（1月份）一、選擇題（本大題共8小題，共40.0分）過點(diǎn)P(-2,m)和Q(m,4)的直線斜率等于1，那么m的值等于(????)A.1或3 B.4 C.1 D.1或4向量a=(2,1，x)，b=(2,y，-1)，若|a|=5，且aA.-1 B.1 C.-4 D.4在等差數(shù)列{an}中，若Sn為前n項(xiàng)和，2a7A.55 B.11 C.50 D.60位于德國東部薩克森州的萊科勃克橋(如圖所示)有“仙境之橋”之稱，它的橋形可近似地看成拋物線，該橋的高度為h，跨徑為a，則橋形對應(yīng)的拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(????)A.a28h B.a24h C.a在公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a1，a3，a7依次成等比數(shù)列，前7項(xiàng)和為35，則數(shù)列A.n B.n+1 C.2n-1 D.2n+1已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A在雙曲線的漸近線上，△OAF是邊長為2A.x24-y212=1 B.點(diǎn)P是直線x+y-3=0上的動點(diǎn)，由點(diǎn)P向圓O：x2+y2A.22 B.322 C.2已知F1、F2是兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P是以F1和F2為公共焦點(diǎn)的橢圓和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，并且PF1⊥PFA.e12+e22=2 B.二、不定項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，共20.0分）下列說法正確的是(????)A.過點(diǎn)(x1,y1)，(x2,y2)兩點(diǎn)的直線方程為y-y1y2-y1=x-x1x在遞增的等比數(shù)列{an}中，Sn是數(shù)列{an}的前nA.q=1 B.數(shù)列{Sn+2}是等比數(shù)列

C.S8=510 D.如圖，設(shè)E，F(xiàn)分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DCA.三棱錐D1-B1EF的體積為定值

B.異面直線D1B1與EF所成的角為60°

C.D1B1發(fā)現(xiàn)土星衛(wèi)星的天文學(xué)家喬凡尼卡西尼對把卵形線描繪成軌道有興趣．像笛卡爾卵形線一樣，笛卡爾卵形線的作法也是基于對橢圓的針線作法作修改，從而產(chǎn)生更多的卵形曲線．卡西尼卵形線是由下列條件所定義的：曲線上所有點(diǎn)到兩定點(diǎn)(焦點(diǎn))的距離之積為常數(shù)．已知：曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1(-1,0)和F2(1,0)的距離的積等于常數(shù)A.曲線C過坐標(biāo)原點(diǎn)

B.曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱

C.曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸對稱

D.若點(diǎn)在曲線C上，則△F1三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）在等差數(shù)列{an}中，a1+a4+a7=39，a已知拋物線y2=4x上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為d1，到直線l：4x-3y+16=0為d2，則d1數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為sn=n2已知半徑為5的動圓C的圓心在直線l：x-y+10=0上．若動圓C過點(diǎn)(-5,0)，求圓C的方程______，存在正實(shí)數(shù)r=______，使得動圓C中滿足與圓O：x2+y四、解答題（本大題共6小題，共72.0分）已知直線l1：ax+2y+1=0，直線l2：x-y+a=0．

(1)若直線l1⊥l2，求a的值及垂足P的坐標(biāo)；

(2)若直線l1//l2，求a的值及直線l1與已知拋物線C：y2=2px(p>0)上的點(diǎn)M(1,m)到其焦點(diǎn)F的距離為2．

(1)求C的方程；并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)過點(diǎn)(2,0)且斜率為1的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的長．

已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1=2，a3=2a2+16．

(1)求{an}的通項(xiàng)公式；

(2)從社會效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)．根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少15.本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬元，由于該項(xiàng)建設(shè)對旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加14．

(1)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元．寫出an，bn的表達(dá)式；

(2)至少經(jīng)過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB//CD，AB⊥AD，PA⊥底面ABCD，E為BP的中點(diǎn)，AB=2，PA=AD=CD=1．

(1)證明：EC//平面PAD；

(2)求二面角E-AC-P的正弦值．

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，|F1F2|=2，P為橢圓的上頂點(diǎn)，以P為圓心且過F1，F(xiàn)2的圓與直線x=-2相切．

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)；

(ⅰ)若直線l的斜率等于1，求2020-2021學(xué)年上學(xué)期宣化一中高二年級月考數(shù)學(xué)試卷（1月份）答案和解析1.【答案】C

【解析】解：∵過點(diǎn)P(-2,m)和Q(m,4)的直線斜率等于1，

∴k=4-mm+2=1，

解得m=1．

故選：C．

利用直線的斜率公式求解．

本題考查直線的斜率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線斜率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．

2.【解析】解：向量a=(2,1，x)，若|a|=5，

則22+12+x2=5，解得x=0；

又向量b=(2,y，-1)，且a⊥b，

則a?b=4+y+0=0，解得y=-4；

所以x+y=-4．

故選：C．

根據(jù)【解析】【分析】

本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

利用等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式即可得出．

【解答】

解：由等差數(shù)列{an}的性質(zhì)可得：a6=2a7-a8=5，

則【解析】【試題解析】解：根據(jù)題意，以橋頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，橋形的對稱軸為y軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

該拋物線方程可寫為x2=-2py(p>0)．

∵該拋物線經(jīng)過點(diǎn)(a2,-h)，代入拋物線方程可得

a24=2hp，

解得p=a28h．

∴橋形對應(yīng)的拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離即為p=a28h．

5.【答案】B

【解析】解：由題意得，等差數(shù)列{an}中，a1，a3，a7依次成等比數(shù)列，

故a32=a1a7，

則(a1+2d)2=a1(a1+6d)，

故a1=2d，①

又?jǐn)?shù)列7項(xiàng)和為35，

則7a【解析】【分析】

本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意，推出a，b關(guān)系，通過c=2，求解a，b，然后得到雙曲線的方程．

【解答】

解：∵雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A在雙曲線的漸近線上，

△OAF是邊長為2的等邊三角形(O為原點(diǎn))，

∴c=2，

∵雙曲線的漸近線為y=±bax，

，

即b2a2=3，c2-a2a2=3，

解得a=1【解析】解：∵圓C：x2+y2=4，

∴圓心C(0,0)，半徑r=2．

由題意可知，

點(diǎn)P到圓C：x2+y2=4的切線長最小時(shí)，

CP⊥直線x+y-3=0．

∵圓心到直線的距離d=32，

∴切線長的最小值為：92-4=22．【解析】解：由題意設(shè)焦距為2c，橢圓的長軸長2a，雙曲線的實(shí)軸長為2m，不妨令P在雙曲線的右支上

由雙曲線的定義|PF1|-|PF2|=2m

①

由橢圓的定義|PF1|+|PF2|=2a

②

又∠F1PF2=900，故|PF1|2+|PF2|2=4c2

③

①2+②2得|PF1|2+|PF2|【解析】解：對于A，當(dāng)x1≠x2時(shí)，過點(diǎn)(x1,y1)，(x2,y2)的直線斜率為k=y2-y1x2-x1，

方程為y-y1=y2-y1x2-x1(x-x1)，整理得(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0，

當(dāng)x1=x2時(shí)，過點(diǎn)(x1,y1)，(x2,y2)的直線方程是x=x1，即x-x1=0，

滿足(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0，

∴過(x1,y1)，(x2,y【解析】解：由題意，根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)，可得

a2a3=a1a4=32>0，a2+a3=12>0，

故a2>0，a3>0．

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可知

a2，a3是一元二次方程x2-12x+32=0的兩個(gè)根．

解得a2=4，a3=8，或a2=8，a3=4．

∵等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，∴q>1．

∴a2=4，a3=8滿足題意．

∴q=2，a1=a2q=2.故選項(xiàng)A不正確．

an=a1?qn-1=2n．

【解析】解：如圖所示，

三棱錐D1-B1EF的體積為V=13S△D1EF?B1C1=13×12×2×2×1=23為定值，A正確；

EF//D1C1，∠B1D1C1是異面直線D1B1與EF所成的角，為45°，B錯(cuò)誤；

D1B1與EF不垂直，由此知D1B1與平面B1EF不垂直，C錯(cuò)誤；

在三棱錐D1B1DC中，設(shè)D1到平面DCB1的距離為h，

VB1-D1DC=VD1-DCB1，即有13×2×【解析】解：由題意設(shè)動點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)，

則(x+1)2+y2?(x-1)2+y2=a2，

即[(x+1)2+y2]?[(x-1)2+y2]=a4，

若曲線C過坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)，將點(diǎn)(0,0)代入曲線C的方程中可得a2=1與已知a>1矛盾，

故曲線C不過坐標(biāo)原點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；

把方程中的x被-x代換，y被-y代換，方程不變，

故曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，故B正確；

因?yàn)榘逊匠讨械膞被-x代換，方程不變，故此曲線關(guān)于y軸對稱，

把方程中的y被-y代換，方程不變，故此曲線關(guān)于x軸對稱，

故曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，故C正確；

若點(diǎn)P在曲線C上，則|P【解析】解：∵在等差數(shù)列{an}中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，

∴a4=13，a6=9，

∴a4+a6=22，又a4+a6=【解析】解：拋物線上的點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于到焦點(diǎn)F的距離，

所以過焦點(diǎn)F作直線4x-3y+16=0的垂線，

則該點(diǎn)到直線的距離為d1+d2最小值，如圖所示；

由F(1,0)，直線4x-3y+16=0，

所以d1+d2=|4-0+16|42+(-3)2=4．

故答案為：【解析】解：a1=S1=1+1=2，

an=Sn-Sn-1

=(n2+1)-[(n-1)2+1]

=2n-1．

當(dāng)n=1時(shí)，2n-1=1≠a1，

∴an=2,n=12n-1,n≥2．

【解析】解：依題意，可設(shè)動圓C的方程為：(x-a)2+(y-b)2=25，

其中圓心(a,b)滿足a-b+10=0．

又∵動圓過點(diǎn)(-5,0)，∴(-5-a)2+(0-b)2=25，

解方程組a-b+10=0(-5-a)2+(0-b)2=25，可得a=-10b=0或a=-5b=5，

故所求圓C的方程為：(x+10)2+y2=25或(x+5)2+(y-5)2=25，

又由圓O的圓心(0,0)到直線l的距離d=|10|1+1=52，

則當(dāng)滿足r+5=d時(shí)，即r=52-5時(shí)，

動圓C中有且僅有1個(gè)圓與圓O：x2+y2=r2相外切．

由已知先設(shè)原的標(biāo)準(zhǔn)方程，再由已知條件建立方程組即可求出圓的圓心，進(jìn)而可以求解；然后再求出圓O的圓心到直線l的距離，利用直線與圓外切的圓只有一個(gè)可求出此時(shí)圓O的半徑，進(jìn)而可以求解．

本題考查了求圓的方程以及直線和圓相切的問題，考查了學(xué)生的運(yùn)算轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．

17.【答案】解：(1)∵直線l1：ax+2y+1=0，直線l2：x-y+a=0，

當(dāng)直線l1⊥l2時(shí)，a×1+2×(-1)=0，

解得a=2，

∴l(xiāng)1：【解析】(1)由垂直可得a×1+2×(-1)=0，解得a值可得直線的方程，聯(lián)立方程可解交點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)當(dāng)直線l1//l2時(shí)，a1=2-1≠1a，解得a值可得直線的方程，由平行線間的距離公式可得答案．

本題考查直線的一般式方程及平行垂直關(guān)系，涉及平行線間的距離公式，屬基礎(chǔ)題．

18.【答案】解：(1)由拋物線的方程可得其準(zhǔn)線方程為x=-p2，

由拋物線的性質(zhì)可得拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，

所以1-(-p2)=2，解得p=2，

所以拋物線的方程為：y2=4x，焦點(diǎn)F(1,0)．

(2)由題意可得直線l的方程為：y=x-2，設(shè)A(x1,y1)【解析】【試題解析】

(1)由拋物線的方程可得其準(zhǔn)線方程，再由拋物線的性質(zhì)可得拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，起床p的值，進(jìn)而求出拋物線的方程及焦點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)由題意可得直線l的方程，與拋物線聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，再由弦長公式可得弦AB的值．

本題考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的綜合及弦長公式的應(yīng)用，屬于中檔題．

19.【答案】解：(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q，

由a1=2，a3=2a2+16，得2q2=4q+16，

即q2-2q-8=0，

解得q=-2(舍)或q=4．

∴an=a1qn-1=2×4n-1=22n-1．

(2)【解析】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和，考查對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

(1)設(shè)等比數(shù)列的公比，由已知列式求得公比，則通項(xiàng)公式可求；

(2)把(1)中求得的{an}的通項(xiàng)公式代入bn=log2an，得到bn，說明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，再由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解．

20.【答案】解：(1)第1年投入為800萬元，第2年投入為800×(1-15)萬元，第n年投入為800×(1-15)n-1萬元．

所以，n年內(nèi)的總投入為

an=800+800×(1-15)+…+800×(1-15)n-1=k=1n800×(1-15)k-1

=4000×[1-(45)n]；

第1年旅游業(yè)收入為400萬元，第2年旅游業(yè)收入為400×(1+14)萬元，

第n年旅游業(yè)收入為400×(1+14)n-1萬元．

【解析】(1)依次寫出第1年投入量，第2年投入量，等等，第n年投入量，從而求出n年內(nèi)的總投入量an，再由第1年旅游業(yè)收入為400萬元，第2年旅游業(yè)收入為400×(1+14)萬元，歸納出第n年旅游業(yè)收入為400×(1+14)n-1萬元．從而得出n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入bn．

(2)先設(shè)至少經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，由bn-an>0，解得n的取值范圍即可．

本小題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識；考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力．

21.【答案】解：(1)證明：如圖，取AP的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，DF，

∵BE=PE，PF=AF，∴EF-//12AB，

∵直角梯形ABCD中，AB//CD，AB=2，PA=AD=CD=1，

∴CD-//12AB，∴CD-//EF，∴四邊形EFDC是平行四邊形，

∴EC//FD，

∵DF?平面PAD，EC?平面PAD，∴EC//平面PAD．

(2)解：如圖，∵PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴AP、AB、AD兩兩垂直，

以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

A(0,0，0)，P(