2023年邵陽市中考數(shù)學(xué)壓軸題總復(fù)習(xí)題及答案解析

2023年湖南省邵陽市中考數(shù)學(xué)壓軸題總復(fù)習(xí)

中考數(shù)學(xué)壓軸題是想獲得高分甚至滿分必須攻破的考題,得分率

低，需要引起重視。從近10年中考壓軸題分析可得中考壓軸題主要

考查知識點為二次函數(shù)，圓，多邊形，相似，銳角三角形等。預(yù)計

2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題依然主要考查這些知識點。

I.如圖，在平面直角坐標系中，OM過原點O,與X軸交于/(4,0),與y軸交于8(0,

3),點C為劣弧力。的中點，連接NC并延長到Q,使。C=4C4,連接80.

(1)求。M的半徑；

(2)證明：8。為?！钡那芯€；

(3)在直線MC上找一點P,使∣3P-∕P∣最大.

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2.如圖，以點。為圓心，OE為半徑作優(yōu)弧ER連接。E,0F,且OE=3,ZfOF=120°,

在弧EF上任意取點4B(點8在點Z的順時針方向)且使"8=2,以為邊向弧內(nèi)

作正三角形/8C.

圖1備用圖1備用圖2

(1)發(fā)現(xiàn)：不論點A在弧上什么位置，點C與點。的距離不變，點C與點。的距離

是:點C到直線EF的最大距離是.

(2)思考：當(dāng)點8在直線OE上時，求點C到OE的距離，在備用圖1中畫出示意圖,

并寫出計算過程.

(3)探究：當(dāng)BC與OE垂直或平行時，直接寫出點C到OE的距離.

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3.在平面直角坐標系XQy中，過點N(6,-1)的兩條直線/”I2,與X軸正半軸分別交于

兩點，與V軸分別交于點。、/兩點，已知。點坐標為(0,1),4在y軸負半軸，

以ZN為直徑畫0P,與V軸的另一個交點為尸.

(1)求A/點坐標；

(2)如圖1,若G)P經(jīng)過點

①判斷OP與X軸的位置關(guān)系，并說明理由；②求弦NF的長；

(3)如圖2,若。尸與直線/1的另一個交點E在線段上，求√TUNE+4廠的值.

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4.如圖①，在△48C中，N4BC=90°,/8=4,BC=3.點P從點/出發(fā)，沿折線/8

-BC以每秒5個單位長度的速度向點C運動，同時點D從點C出發(fā)，沿CA以每秒2

個單位長度的速度向點N運動，點尸到達點C時，點P、。同時停止運動.當(dāng)點尸不與

點4C重合時，作點P關(guān)于直線NC的對稱點。，連結(jié)P0交ZC于點E,連結(jié)。P、

DQ.設(shè)點P的運動時間為，秒.

(1)當(dāng)點尸與點8重合時，求，的值.

(2)用含f的代數(shù)式表示線段CE的長.

(3)當(dāng)4PD0為銳角三角形時，求r的取值范圍.

(4)如圖②，取尸。的中點A/,連結(jié)QM.當(dāng)直線QM與4∕8C的一條直角邊平行時，

直接寫出f的值.

4A

VzΛ?EXΛ

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5.［初步嘗試］

(1)如圖①，在三角形紙片N5C中，NACB=90°,將ANBC折疊，使點5與點C重

合，折痕為MN,則NM與的數(shù)量關(guān)系為；

［思考說理］

(2)如圖②，在三角形紙片/8C中，AC=BC=6,/8=10,將4/8C折疊，使點8與

AM

點C重合，折痕為Λ√N,求，77的值；

［拓展延伸］

(3)如圖③，在三角形紙片NBC中，AB=9,BC=6,NACB=2/A,將448C沿過頂

點C的直線折疊，使點8落在邊NC上的點夕處，折痕為CN.

①求線段/C的長；

②若點。是邊/C的中點，點P為線段。夕上的一個動點，將沿RW折疊得到

PF

?A'PM,點N的對應(yīng)點為點4',A'M與CP交于點、F,求二的取值范圍.

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6.閱讀材料：

若“，6都是非負實數(shù)，則α+∕>≥2√HF.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，"=”成立.

證明：（√α-√h）22o,.?a-2Vab+b^0.

'?a+b≥2s[ab.當(dāng)且僅當(dāng)時，"="成立.

舉例應(yīng)用：

?

已知x>0,求函數(shù)y=2x+（的最小值.

解：y-2x+^>2^2x?I=4.當(dāng)且僅當(dāng)2x=',即X=I時，"="成立.

當(dāng)X=I時，函數(shù)取得最小值，y最小=4.

問題解決：

汽車的經(jīng)濟時速是指汽車最省油的行駛速度.某種汽車在每小時70~110公里之間行駛

時（含70公里和110公里），每公里耗油（々+等）升.若該汽車以每小時X公里的

速度勻速行駛，1小時的耗油量為y升.

（1）求y關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量X的取值范圍）；

（2）求該汽車的經(jīng)濟時速及經(jīng)濟時速的百公里耗油量（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）.

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7.如圖，二次函數(shù)尸ξX2+ftx+c的圖象過點A(4,-4),8(-2,加)，交y軸于點C(0,

-4).直線8。與拋物線相交于另一點￡),連接/8,點E是線段48上的一動點,

過點E作EF//BD交AD于點F.

(1)求二次函數(shù)y=∕x2+?x+c的表達式；

(2)判斷4∕8O的形狀，并說明理由；

(3)在點E的運動過程中，直線8。上存在一點G,使得四邊形/尸GE為矩形，請判斷

此時/G與BD的數(shù)量關(guān)系，并求出點E的坐標；

(4)點〃是拋物線的頂點，在(3)的條件下，點P是平面內(nèi)使得NEpF=90°的點，

在拋物線的對稱軸上,是否存在點0,使得△〃尸0是以/P。"為直角的等腰直角三角形，

若存在，直接寫出符合條件的所有點。的坐標；若不存在，請說明理由.

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8.己知：菱形/8CO和菱形HB'C'D',ZBAD=ZB'A1D',起始位置點/在邊

A'B'上，點8在HB'所在直線上，點5在點”的右側(cè)，點夕在點，的右側(cè)，連

接/C和HC,將菱形/8CZ)以《為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)α角(0°<α<180o).

(1)如圖1,若點N與Z'重合，且/歷ID=/8'A'D'=90°,求證：88'=DD'.

(2)若點/與不重合，M是小C上一點，當(dāng)M4'=M力時，連接和∕'C,

和TC所在直線相交于點P.

①如圖2,當(dāng)/BAD=NB'A'D'=90°時，請猜想線段8M和線段HC的數(shù)量關(guān)系

及/5PC的度數(shù).

②如圖3,當(dāng)NBAD=NB，A'D1=60°時，請求出線段8M和線段不C的數(shù)量關(guān)系

及NBPC的度數(shù).

③在②的條件下，若點/與/'B'的中點重合，∕'B'=4,/8=2,在整個旋轉(zhuǎn)過程

中，當(dāng)點尸與點M重合時，請直接寫出線段8"的長.

D'C'D'C

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9.【了解概念】

有一組對角互余的凸四邊形稱為對余四邊形，連接這兩個角的頂點的線段稱為對余線.

(1)如圖①，對余四邊形48。中，AB=5,BC=6,CQ=4,連接/C.?AC=AB,

求sin/C/。的值：

(2)如圖②，凸四邊形/8C。中，AD=BD,ADLBD,當(dāng)282+C82=C∕2時，判斷四

邊形/88是否為對余四邊形.證明你的結(jié)論；

【拓展提升】

(3)在平面直角坐標系中，點4(-1,O),B(3,0),C(1,2),四邊形/8CZ)是對

余四邊形，點E在對余線8。上，且位于C內(nèi)部，乙IEC=90°+ZABC.設(shè)一=",

BE

點。的縱坐標為f,請直接寫出“關(guān)于f的函數(shù)解析式.

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10.小圓同學(xué)對圖形旋轉(zhuǎn)前后的線段之間、角之間的關(guān)系進行了拓展探究.

圖1圖2圖3

(-)猜測探究

在4/8C中，AB=AC,Λ/是平面內(nèi)任意一點，將線段繞點/按順時針方向旋轉(zhuǎn)與

NB/C相等的角度，得到線段ZN,連接N8.

(1)如圖1,若“是線段8C上的任意一點，請直接寫出NMI8與/M4C的數(shù)量關(guān)系

是，N8與MC的數(shù)量關(guān)系是；

(2)如圖2,點E是Z8延長線上點，若M是NC8E內(nèi)部射線8。上任意一點，連接

MC,(1)中結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明，若不成立，請說明理由.

(二)拓展應(yīng)用

如圖3,在△小BiCl中，48∣=8,N48ιCι=60°,NBMiCl=75°,P是BICl上的

任意點，連接ZiP,將小P繞點41按順時針方向旋轉(zhuǎn)75°,得到線段小。，連接8ιQ.求

線段81。長度的最小值.

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11.己知：在△力BC外分別以48,4C為邊作AAEB與A4FC.

(1)如圖1,AAEB與FC分別是以4B,NC為斜邊的等腰直角三角形，連接EF.以

EF為直角邊構(gòu)造RtAEfG,KEF=FG,連接8G,CG,EC.

求證：①叢AEFm∕?CGF.

②四邊形BGCE是平行四邊形.

(2)小明受到圖1的啟發(fā)做了進一步探究：

如圖2,在C外分別以48,NC為斜邊作RtZ?4E8與RtFC,并使/物C=∕E48

=30°,取BC的中點。，連接。E,跖后發(fā)現(xiàn)，兩者間存在一定的數(shù)量關(guān)系且夾角度

數(shù)一定，請你幫助小明求出整的值及NDEΛ■的度數(shù).

(3)小穎受到啟發(fā)也做了探究：

如圖3,在4Z8C外分別以NB,NC為底邊作等腰三角形ZEB和等腰三角形4FC,并使

ΛCAF+ΛEAB=90Q,取8C的中點。，連接。E,EF后發(fā)現(xiàn),當(dāng)給定NE∕8=α?xí)r，

兩者間也存在一定的數(shù)量關(guān)系且夾角度數(shù)一定，若AE=m,ABf,請你幫助小穎用含

m,〃的代數(shù)式直接寫出空的值，并用含α的代數(shù)式直接表示NOE/的度數(shù).

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12.如圖1,直線y=χ-4與X軸交于點2,與V軸交于點Z,拋物線y=經(jīng)過點

B和點C(0,4),4/80沿射線ZB方向以每秒遮個單位長度的速度平移，平移后的三

角形記為△￡>"(點/，B,。的對應(yīng)點分別為點。，E,F),平移時間為/(0<Z<4)

秒，射線。尸交X軸于點G,交拋物線于點"，連接ME.

(1)求拋物線的解析式；

4

(2)當(dāng)IanZEMF=4時，請直接寫出t的值；

(3)如圖2,點N在拋物線上，點N的橫坐標是點M的橫坐標的右連接OM,NF,

OM與M7相交于點尸，當(dāng)NP=FP時,求，的值.

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13.在平面直角坐標系中，二次函數(shù)產(chǎn)系+法+c的圖象與X軸交于/(-2,O),B(4,0)

兩點，交y軸于點C,點P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點.

(1)求二次函數(shù)的解析式；

1?

(2)如圖甲，連接/C,PA,PC,若必以￡=竽，求點P的坐標；

(3)如圖乙，過/,8,P三點作O",過點P作PELX軸，垂足為Q,交C)M于點￡.點

P在運動過程中線段DE的長是否變化，若有變化，求出DE的取值范圍；若不變，求

DE的長.

yfyf

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14.在平面直角坐標系中，拋物線y=交X軸于N(-3,O),B(4,0)兩點,

交y軸于點C.

(1)求拋物線的表達式；

(2)如圖，直線產(chǎn)孩+1與拋物線交于4。兩點，與直線8C交于點E.若M(m,

zr4

0)是線段/8上的動點，過點M作X軸的垂線，交拋物線于點E交直線ZZ)于點G,

交直線BC于點H.

①當(dāng)點F在直線AD上方的拋物線上，且SAEFG=沁OEG時，求加的值；

②在平面內(nèi)是否在點P,使四邊形為正方形？若存在，請直接寫出點P的坐標;

若不存在，請說明理由.

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15.已知a∕8C內(nèi)接于。。，AB=AC,NZBC的平分線與。。交于點。，與/C交于點E,

連接CD并延長與。O過點A的切線交于點F,記NA4C=α.

(1)如圖1,若a=60°,

①直接寫出篇的值為.

②當(dāng)OO的半徑為2時，直接寫出圖中陰影部分的面積為.

DF2,

(2)如圖2,若a<60°,且—=一,DE=4,求BE的長.

圖1圖2

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16.問題背景：如圖1,在四邊形/8C。中，NBAD=90°,N88=90°,BA=BC,Z

NBC=I20°,NMBN=60°,NMBN繞B點、旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交4）、。C于E、F.探

究圖中線段∕E,CF,EF之間的數(shù)量關(guān)系.

小李同學(xué)探究此問題的方法是：延長尸C到G,使CG=ZE,連接8G,先證明48CG四

△BAE,再證明48尸G絲Z?8FE,可得出結(jié)論，他的結(jié)論就是；

探究延伸1：如圖2,在四邊形48CZ）中，NBAD=9G°,NBCD=90°,BA=BC,Z

ABC=2NMBN,NMBN繞B點旋轉(zhuǎn).它的兩邊分別交OC于E、F,上述結(jié)論是否

仍然成立？請直接寫出結(jié)論（直接寫出“成立”或者“不成立”），不要說明理由；

探究延伸2：如圖3,在四邊形/8CD中，BA=BC,ΛBAD+ZBCD=?^,Qa,AABC=I

ZMBN,NMBN繞B點、旋轉(zhuǎn).它的兩邊分別交力。、DC于E、F.上述結(jié)論是否仍然成

立？并說明理由；

實際應(yīng)用：如圖4,在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的/處.艦

艇乙在指揮中心南偏東70°的8處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令

后，艦艇甲向正東方向以75海里/小時的速度前進，同時艦艇乙沿北偏東50°的方向以

100海里/小時的速度前進，1.2小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E、尸處.且

指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為70°.試求此時兩艦艇之間的距離.

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Q

17.如圖1和圖2,在AZBC中，AB=4C,BC=8,tanC=本點K在4C邊上，點M,N

分別在48,BC上,且/加:^^^.點2從點初出發(fā)沿折線處-^汽勻速移動，到達

點N時停止；而點。在NC邊上隨P移動，且始終保持∕4P0=N8.

(1)當(dāng)點P在BC上時，求點尸與點/的最短距離；

(2)若點P在Mb上，且尸。將AZBC的面積分成上下4：5兩部分時，求A小的長；

(3)設(shè)點P移動的路程為X,當(dāng)0Wx<3及3<xW9時，分別求點P到直線4C的距離

(用含X的式子表示)；

(4)在點P處設(shè)計并安裝一掃描器，按定角//P。掃描44P0區(qū)域(含邊界)，掃描器

隨點P從"到8再到N共用時36秒.若NK=1,請直接寫出點K被掃描到的總時長.

zr

圖1圖2

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18.根據(jù)相似多邊形的定義，我們把四個角分別相等，四條邊成比例的兩個凸四邊形叫做相

似四邊形.相似四邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比.

（1）某同學(xué)在探究相似四邊形的判定時，得到如下三個命題，請判斷它們是否正確（直

接在橫線上填寫“真”或"假"）.

①四條邊成比例的兩個凸四邊形相似；（命題）

②三個角分別相等的兩個凸四邊形相似；（命題）

③兩個大小不同的正方形相似.（命題）

（2）如圖1,在四邊形ZBCo和四邊形小81ClDl中，ZABC=AA?B?C?,ABCD=Z

ABBCCD

B?C?D?,----=-----=-----.求證：四邊形與四邊形小8∣ClDl相似.

A1B1B1C1CIDl

（3）如圖2,四邊形/88中，AB//CD,/C與8。相交于點O,過點。作E尸〃，8分

別交/O,BC于點E,尸.記四邊形/8FE的面積為Si,四邊形EFC。的面積為S2，若

四邊形N8FE與四邊形勿8相似，求當(dāng)?shù)闹?

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19.探究

(1)如圖①，在等腰直角三角形/8C中，NACB=90°,作Cw平分NNCB交力8于

點M,點。為射線CM上一點，以點C為旋轉(zhuǎn)中心將線段CZ)逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段

CE,連接。E交射線CB于點尸，連接8。、BE

填空：

①線段8。、8E的數(shù)量關(guān)系為.

②線段8C、Z)E的位置關(guān)系為.

推廣：

(2)如圖②，在等腰三角形/8C中，頂角NZCB=α,作CM平分N4C8交48于點初，

點D為LABC外部射線CM上一點，以點C為旋轉(zhuǎn)中心將線段CD逆時針旋轉(zhuǎn)α度得到

線段CE,連接QE、BD、BE請判斷(1)中的結(jié)論是否成立，并說明理由.

應(yīng)用：

(3)如圖③，在等邊三角形/8C中，/8=4.作平分N/8C交4C于點M,點。

為射線BM上一點，以點B為旋轉(zhuǎn)中心將線段BD逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BE,連接

OE交射線A4于點R連接AE.當(dāng)以/、D、M為頂點的三角形與△4環(huán)全等時,

請直接寫出DE的值.

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20.（D【操作發(fā)現(xiàn)】

如圖1,將4Z8C繞點4順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到AZOE,連接3。,則/度.

⑵【類比探究】

如圖2,在等邊三角形/8C內(nèi)任取一點P,連接Rl,PB,PC,求證：以孫，PB,PC

的長為三邊必能組成三角形.

（3）【解決問題】

如圖3,在邊長為近的等邊三角形/8C內(nèi)有一點尸，//PC=90°,NBPC=120°,求

△/PC的面積.

（4）【拓展應(yīng)用】

如圖4是N,B,C三個村子位置的平面圖，經(jīng)測量∕C=4,BC=5,ZACB=30°,P

為AZBC內(nèi)的一個動點，連接用，PB,PC.求BI+P8+PC的最小值.

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21.如圖1,在平面直角坐標系中，O是坐標原點，拋物線J=32+?r+c經(jīng)過點8(6,0)

和點C(0,-3).

(1)求拋物線的表達式；

(2)如圖2,線段OC繞原點。逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到線段OD過點8作射線8。，點

A/是射線8。上一點(不與點8重合)，點〃關(guān)于X軸的對稱點為點N,連接NN,NB.

①直接寫出AMBN的形狀為；

②設(shè)AMBN的面積為Si,Z?0D8的面積為是S2.當(dāng)Sl=IS2時，求點M的坐標；

(3)如圖3,在(2)的結(jié)論下，過點、B作BELBN,交M0的延長線于點E,線段BE

繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α(0°<a<120o)得到線段8凡過點尸作FK〃x軸，

交射線BE于點K,NKBF的角平分線和/KFB的角平分線相交于點G,當(dāng)8G=2√5時，

請直接寫出點G的坐標為.

圖1圖2圖3

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22.如圖，拋物線y="2+fev+12與X軸交于48兩點(5在/的右側(cè))，且經(jīng)過點C(-1,

7)和點。(5,7).

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)連接AD,經(jīng)過點B的直線/與線段AD交于點E,與拋物線交于另一點F.連接

CA,CE,CD,Z?CEO的面積與ACO的面積之比為1：7,點尸為直線/上方拋物線上

的一個動點，設(shè)點P的橫坐標為f.當(dāng),為何值時，△尸尸8的面積最大？并求出最大值；

(3)在拋物線y=αχ2+6χ+i2上，當(dāng)WXW〃時，y的取值范圍是12WyWI6,求機-〃

的取值范圍.(直接寫出結(jié)果即可)

備用圖

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23.如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線y=-∣χ2+?x+c與X軸交于a8兩點，N點坐標

為(-2,0),與夕軸交于點C(0,4),直線y=-3+,〃與拋物線交于8,。兩點.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式.

(2)求機的值和。點坐標.

(3)點P是直線8。上方拋物線上的動點，過點P作X軸的垂線，垂足為“，交直線

BD于點、F,過點。作X軸的平行線，交PH于點N,當(dāng)N是線段尸尸的三等分點時，求

產(chǎn)點坐標.

(4)如圖2,。是X軸上一點，其坐標為(一!0)?動點/從/出發(fā)，沿X軸正方向

以每秒5個單位的速度運動，設(shè)”的運動時間為f(f>0),連接過A/作MGLNO

于點G,以MG所在直線為對稱軸，線段/0經(jīng)軸對稱變換后的圖形為/。'，點M在

運動過程中，線段HQ1的位置也隨之變化，請直接寫出運動過程中線段HQ1與拋

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24.已知函數(shù)yι=x+2∕∏-1,yι=(2〃?+I)X+1均為一次函數(shù)，加為常數(shù).

(1)如圖1,將直線/0繞點N(-1,0)逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到直線/,直線/交y軸于

點8.若直線/恰好是yι=x+2"i-1,y2=(2m+l)x+1中某個函數(shù)的圖象，請直接寫出

點8坐標以及機可能的值；

(2)若存在實數(shù)6,使得IM-(6-1)√1—b=0成立，求函數(shù)yι=x+2n?-l,y2-(2WJ+1)

x+1圖象間的距離；

(3)當(dāng)團＞1時，函數(shù)y∣=x+2w-1圖象分別交X軸，N軸于C,E兩點，”=(2w+I)

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x+l圖象交X軸于。點，將函數(shù)y=w的圖象最低點尸向上平移三E?個單位后剛好

落在一次函數(shù)V=X+2〃Ll圖象上.設(shè)y=yι?/的圖象，線段。"線段OE圍成的圖形

面積為S,試利用初中知識，探究S的一個近似取值范圍.(要求：說出一種得到S的更

精確的近似值的探究辦法，寫出探究過程，得出探究結(jié)果，結(jié)果的取值范圍兩端的數(shù)值

差不超過0.01.)

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25.如圖1,拋物線y=α∕+fer+3(α≠0)與X軸交于力(-1,0),B(3,0),與y軸交于

點C.已知直線y=fcr+〃過8,C兩點.

(1)求拋物線和直線8C的表達式；

(2)點P是拋物線上的一個動點.

①如圖1,若點尸在第一象限內(nèi)，連接叫,交直線BC于點D設(shè)APDC的面積為S∣,

,Sl

△ADC的面積為S2，求T-的最大值；

②如圖2,拋物線的對稱軸/與X軸交于點E,過點E作垂足為F.點0是對

稱軸/上的一個動點，是否存在以點E,F,P,。為頂點的四邊形是平行四邊形？若存

在，求出點P,。的坐標；若不存在，請說明理由.

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26.如圖，拋物線y=∣X2+6X+C與X軸交于4、8兩點（點N在點B左邊），與y軸交于點C.直

線尸3-2經(jīng)過8、C兩點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是拋物線上的一動點，過點尸且垂直于X軸的直線與直線BC及X軸分別交于

點。、M.PNLBC,垂足為N.設(shè)〃（加，0）.

①點P在拋物線上運動，若尸、D、M三點中恰有一點是其它兩點所連線段的中點（三

點重合除外）.請直接寫出符合條件的m的值；

②當(dāng)點P在直線BC下方的拋物線上運動時,是否存在一點P,使APNC與C相似.若

存在，求出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

（第24題圖）（備用圖）

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27.如圖1,拋物線產(chǎn)一興+bx+c經(jīng)過點C（6,0）,頂點為5,對稱軸x=2與X軸相交

于點力,。為線段8C的中點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）尸為線段BC上任意一點，M為X軸上一動點，連接MP,以點M為中心，將4MPC

逆時針旋轉(zhuǎn)90°,記點P的對應(yīng)點為E,點C的對應(yīng)點為F.當(dāng)直線EF與拋物線y=

-/f+bx+c只有一個交點時，求點M的坐標.

（3）AMPC在（2）的旋轉(zhuǎn)變換下，若PC=也（如圖2）.

①求證：EA=ED.

②當(dāng)點E在（1）所求的拋物線上時，求線段CM的長.

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28.【性質(zhì)探究】

如圖，在矩形/8CD中，對角線ZC,8。相交于點O,4E平分NB4C,交5C于點E.作

DFLAE于點H,分別交N8,/C于點F,G.

(1)判斷aNFG的形狀并說明理由.

(2)求證：BF=20G.

【遷移應(yīng)用】

(3)記AOGO的面積為Si,ZXDSF的面積為S2，當(dāng)心=一時，求丁的值.

S23AB

【拓展延伸】

(4)若。尸交射線48于點尸，【性質(zhì)探究】中的其余條件不變，連結(jié)ER當(dāng)ABEF的

1

面積為矩形ABCD面積的一時，請直接寫出tanZBAE的值.

10

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29.問題提出

（1）如圖①，已知直線/及/外一點4試在直線/上確定3、C兩點，使N8∕C=90°,

并畫出這個RtZ?∕8C.

問題探究

（2）如圖②，。是邊長為28的正方形/8Cr）的對稱中心，M是8C邊上的中點，連接

OM.試在正方形ABCD的邊上確定點N,使線段ON和OM將正方形ABCD分割成面積

之比為1：6的兩部分.求點N到點Λ/的距離.

問題解決

（3）如圖③，有一個矩形花園488,48=30機，BC=40m.根據(jù)設(shè)計要求，點￡、F

在對角線8。上，且∕E4F=60°,并在四邊形區(qū)域/1EeF內(nèi)種植一種紅色花卉，在矩形

內(nèi)其他區(qū)域均種植一種黃色花卉.已知種植這種紅色花卉每平方米需210元，種植這種

黃色花卉每平方米需180元.試求按設(shè)計要求，完成這兩種花卉的種植至少需費用多少

元？（結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù)：√2≈1.4,√3≈1.7）

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30.如圖一，在射線。E的一側(cè)以/。為一條邊作矩形Z8CD,JD=5√3,CD=5,點M是

線段ZC上一動點（不與點N重合），連結(jié)8”,過點”作的垂線交射線Z）E于點N,

連接BN.

E____ANDENAD

B

（圖二）

（1）求NC4。的大小；

（2）問題探究：動點M在運動的過程中，

①是否能使4/MV為等腰三角形，如果能，求出線段MC的長度；如果不能，請說明理

由.

②NM8N的大小是否改變？若不改變，請求出/M8N的大?。蝗舾淖?，請說明理由.

（3）問題解決：

如圖二，當(dāng)動點M運動到ZC的中點時，AM與BN的交點、為F,AZN的中點為“，求線

段尸〃的長度.

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31.【發(fā)現(xiàn)】如圖①，已知等邊4∕8C,將直角三角板的60°角頂點。任意放在8C邊上（點

D不與點B、C重合），使兩邊分別交線段/8、ZC于點E、F.

（1）若AB=6,∕E=4,BD=I,則CF=；

（2）求證：∕?EBDSADCF.

【思考】若將圖①中的三角板的頂點。在BC邊上移動，保持三角板與邊/8、ZC的兩

個交點反尸都存在，連接ER如圖②所示，問：點。是否存在某一位置，使ED平分

BD

4BEF旦FD平分NCFE?若存在，求出力的值；若不存在，請說明理由.

【探索】如圖③，在等腰443C中，48=4C,點。為BC邊的中點，將三角形透明紙

板的一個頂點放在點。處（其中//ON=/8）,使兩條邊分別交邊/8、AC于點、E、F

（點￡;廠均不與4/8C的頂點重合），連接￡K設(shè)N8=α,則aZE廠與4/8C的周長

之比為（用含a的表達式表示）.

圖①圖②圖③

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32.在矩形48CD中，點P是CO邊上的任意一點(不含C,。兩端點)，過點P

飪PF"BC,交對角線5。于點K

求證：△￡>￡尸是等腰三角形;

(2)如圖2,將△2￡)尸繞點。逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到連接/C,FB.設(shè)旋轉(zhuǎn)角

為α(0o<a<180o).

①若0°<a<NBDC,即。尸在28。C的內(nèi)部時，求證：4DPgXDFB.

②如圖3,若點P是CD的中點，ADFB能否為直角三角形？如果能，試求出此時tan

/089的值，如果不能，請說明理由.

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33?如圖，8C是C)O的直徑，4)是。。的弦，AD交BC于點、E,連接/8,CD,過點E

作EF"L4B,垂足為F,ZAEF=ZD.

(1)求證：ADlBC;

(2)點G在8C的延長線上，連接ZG,ND4G=2ND.

①求證：/G與G)O相切；

?p2

②當(dāng)W7=1CE=4時，直接寫出CG的長.

BF5

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34.如圖所示：OO與"BC的邊8C相切于點C,與AC,AB分別交于點D、E,DE//OB.DC

是。。的直徑.連接OE,過C作CG〃。后交。。于G,連接。G、EC,DG與EC交于

點E

(1)求證：直線/8與Oo相切；

(2)求證：AE?ED=AC?EFi

1

(3)若跖=3,tan/ZCE=W時，過/作ZN〃CE交。。于M、N兩點(M在線段ZN

上)，求4N的長.

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35.（1）如圖1,點P為矩形/8CO對角線8。上一點，過點、P作EF〃BC,分別交/8、

CD于點E、F.若BE=2,PF=6,八缶尸的面積為S，ZXCFP的面積為$2，則S1+S2

（2）如圖2,點尸為回,8C。內(nèi)一點（點尸不在8。上），點E、F、G、”分別為各邊的

中點.設(shè)四邊形ZEPH的面積為Si,四邊形PFCG的面積為S2（其中S2>S1）,求APBD

的面積（用含Si、S2的代數(shù)式表示）；

（3）如圖3,點尸為回/88內(nèi)一點（點尸不在8。上），過點尸作EF〃/O,HG//AB,

與各邊分別相交于點E、F、G、H.設(shè)四邊形/EP”的面積為Si,四邊形PGb的面積

為S2（其中S2>Sι）,求APBO的面積（用含Si、S2的代數(shù)式表示）；

（4）如圖4,點/、B、C、。把。。四等分.請你在圓內(nèi)選一點尸（點P不在ZC、BD

上），設(shè)尸8、PC、波圍成的封閉圖形的面積為Si,PA,PD、前圍成的封閉圖形的面積

為S2,ZXPBD的面積為S3,ZVMC的面積為S4,根據(jù)你選的點P的位置，直接寫出一個

含有Si、S2、S3、S4的等式（寫出一種情況即可）.

圖1圖2

圖3圖4

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36.定義：對角線互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形.

(1)下面四邊形是垂等四邊形的是;(填序號)

①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形

(2)圖形判定：如圖1,在四邊形/88中，AD//BC,ACLBD,過點。作8。垂線交

BC的延長線于點E,且NC8C=45°,證明：四邊形/8CD是垂等四邊形.

(3)由菱形面積公式易知性質(zhì)：垂等四邊形的面積等于兩條對角線乘積的一半.應(yīng)用：

在圖2中，面積為24的垂等四邊形428內(nèi)接于中，NBCZ)=60°.求C)O的半徑.

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37.問題提出

(1)如圖1,在RtZXNBC中，NACB=90°,AC>BC,NACB的平分線交/8于點。.過

點D分別作DELAC,DFA.BC.垂足分別為E,F,則圖1中與線段CE相等的線段

是.

問題探究

(2)如圖2,18是半圓。的直徑，/8=8.尸是而上一點，且麗=2PA,連接/P,BP.Z

NPB的平分線交/3于點C,過點C分別作CEL∕P,CFLBP,垂足分別為E,F,求線

段C廠的長.

問題解決

(3)如圖3,是某公園內(nèi)“少兒活動中心”的設(shè)計示意圖.已知。。的直徑/8=70∕n,

點C在。。上，且OI=C8.P為/8上一點，連接CP并延長，交。。于點D連接N。，

BD.過點尸分別作PEL∕O,PFLBD,垂足分別為E,F.按設(shè)計要求，四邊形PEDF

內(nèi)部為室內(nèi)活動區(qū)，陰影部分是戶外活動區(qū)，圓內(nèi)其余部分為綠化區(qū).設(shè)/P的長為x(m),

陰影部分的面積為y(m2).

①求V與X之間的函數(shù)關(guān)系式；

②按照“少兒活動中心”的設(shè)計要求，發(fā)現(xiàn)當(dāng)/P的長度為30m時，整體布局比較合理.試

求當(dāng)∕P=3O/7時.室內(nèi)活動區(qū)(四邊形尸EDB)的面積.

圖1圖2圖3

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38.己知：在矩形/8C。中，E,尸分別是邊48,力。上的點，過點尸作E尸的垂線交。C

于點“，以EF為直徑作半圓O.

(1)填空：點N(填“在"或“不在")OO上；當(dāng)屈=酢時，tan//EF的值

是;

(2)如圖1,在△￡1"中，當(dāng)FE=/77時，求證：AD=AE+DHi

(3)如圖2,當(dāng)aEF//的頂點廠是邊的中點時，求證：EH=AE+DH；

(4)如圖3,點/在線段W的延長線上，若FM=FE,連接EM交Z)C于點N,連接

FN,當(dāng)/E=N。時，F(xiàn)N=4,HN=3,求tan//E/的值.

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39.問題提出

(1)如圖①,在448C中,48=4,NZ=135°,點8關(guān)于ZC所在直線的對稱點為3',

則88'的長度為.

問題探究

(2)如圖②，半圓。的直徑/8=10,C是油的中點，點。在元上，且詼=2助，P

是AB上的動點，試求PC+PD的最小值.

問題解決

(3)如圖③，扇形花壇408的半徑為20m，/408=45°.根據(jù)工程需要.現(xiàn)想在貓上

選點產(chǎn)，在邊04上選點E,在邊。8上選點凡用裝飾燈帶在花壇內(nèi)的地面上圍成一個

△PEF,使晚上點亮?xí)r，花壇中的花卉依然賞心悅目.為了既節(jié)省材料，又美觀大方，

需使得燈帶PE+EF+FP的長度最短，并且用長度最短的燈帶圍成的尸為等腰三角

形.試求PE+EF+尸尸的值最小時的等腰的面積.(安裝損耗忽略不計)

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40.已知：OO是正方形力8C。的外接圓，點E在腦上，連接BE、DE,點尸在而上連接

BF、DF,BF?DE,￡>/分別交于點G、點“，且D4平分/皮>F.

(1)如圖1,求證：NCBE=NDHG；

(2)如圖2,在線段4H上取一點N(點N不與點Z、點〃重合)，連接BN交。E于點

L,過點、H作HK〃BN交DE于點、K,過點E作EPJ垂足為點P,當(dāng)BP="/時,

求證：BE=HK-,

(3)如圖3,在(2)的條件下，當(dāng)3〃F=2。尸時，