2022-2023學(xué)年廣東省揭陽(yáng)市河婆中學(xué)高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析

2022-2023學(xué)年廣東省揭陽(yáng)市河婆中學(xué)高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知平面的法向量為，，則直線與平面的位置關(guān)系為（

）A．

B．C．與相交但不垂直

D．參考答案：A2.不等式的解集是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A略3.設(shè)x，y，z都是正實(shí)數(shù)，，則a，b，c三個(gè)數(shù)

()A．至少有一個(gè)不大于2

B．都小于2

C．至少有一個(gè)不小于2

D．都大于2參考答案：C略4.觀察下列各式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般結(jié)論是（

）A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2參考答案：B5.一個(gè)袋中裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，現(xiàn)從袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，則取出的兩個(gè)球同色的概率是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A6.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在該橢圓上，且，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為()參考答案：B7.設(shè)袋中有60個(gè)紅球，10個(gè)白球，若從袋中任取10個(gè)球，則其中恰有6個(gè)紅球的概率為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D略8.若命題，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．與都是真命題

B.與都是真命題C.與都是假命題

D.與都是假命題參考答案：B略9.若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，線段F1F2被拋物線y2=2bx的焦點(diǎn)分成5:3兩段，則此橢圓的離心率（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B10.在極坐標(biāo)系中，圓的垂直于極軸的兩條切線方程分別為（

）.A．和

B．和C．和

D．和參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某班有50名學(xué)生，一次考試后數(shù)學(xué)成績(jī)?chǔ)?ξ∈N)～正態(tài)分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?10分以上的人數(shù)為_(kāi)________________．參考答案：10

略12.已知函數(shù)f（x）=（a為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的圖象在點(diǎn)A（e，1）處的切線與該函數(shù)的圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，利用分段函數(shù)與切線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，得到當(dāng)x＜1時(shí)，切線和二次函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，利用二次函數(shù)根的分布建立不等式關(guān)系，即可求得a的取值范圍．解答：解：當(dāng)x≥1，函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，f'（x）=，則f'（e）=，則在A（e，1）處的切線方程為y﹣1=（x﹣e），即y=．當(dāng)x≥1時(shí)，切線和函數(shù)f（x）=lnx有且只有一個(gè)交點(diǎn)，∴要使切線與該函數(shù)的圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，則當(dāng)x＜1時(shí)，函數(shù)f（x）==，有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即（x+2）（x﹣a）=x，在x＜1時(shí)，有兩個(gè)不同的根，設(shè)g（x）=（x+2）（x﹣a）﹣x=x2+（1﹣a）x﹣2a，則滿足，即，∴，解得或，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：不同主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，利用二次函數(shù)的根的分布是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力，綜合性較強(qiáng)．13.．用反證法證明：“”，應(yīng)假設(shè)為

▲

．

參考答案：略14.若橢圓的離心率為，則實(shí)數(shù)___________．參考答案：8或15.雙曲線的兩條漸近線互相垂直，那么該雙曲線的離心率為

．參考答案：16.有下列四個(gè)命題：①“若，則或”是假命題；②“”的否定是“”③當(dāng)均不等于0時(shí)，“不等式與解集相同”是“”的充要條件；④“全等三角形相似”的否命題是“全等三角形不相似”，其中正確命題的序號(hào)是

.(寫(xiě)出你認(rèn)為正確的所有命題序號(hào))參考答案：②略17.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則整數(shù)a的取值為_(kāi)____．參考答案：0【分析】將復(fù)數(shù)寫(xiě)成a+bi（a,b∈R）的形式，然后由復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，列出不等式，可得a的取值.【詳解】復(fù)數(shù)，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則，解得，又a為整數(shù)，則a=0,故答案為：0【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于簡(jiǎn)單題.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在△ABC中，∠B=45°，AC=，cosC=，（1）求BC的長(zhǎng)；（2）若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，求中線CD的長(zhǎng)度．參考答案：【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算．【分析】（1）先由cosC求得sinC，進(jìn)而根據(jù)sinA=sin求得sinA，再由正弦定理知求得BC．（2）先由正弦定理知求得AB，進(jìn)而可得BD，再在△ACD中由余弦定理求得CD．【解答】解：（1）由由正弦定理知（2）由余弦定理知=19.設(shè)若，求證：

(Ⅰ)且；(Ⅱ)方程在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.參考答案：解析：（I）因?yàn)?，所?由條件，消去，得；由條件，消去，得，.故.

……6分（II）函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，在的兩邊乘以，得.又因?yàn)槎忠驗(yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以方程在區(qū)間與內(nèi)分別各有一實(shí)根。故方程在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.

……12分略20.設(shè)展開(kāi)式中僅有第1010項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.（1）求n；（2）求；（3）求.參考答案：（1）2018；（2）0；（3）4036【分析】（1）由二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，可得展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)，且1＝1010，解得n．（2）令x＝1，可得a0+a1+a2+…+a2018．（3）給原式兩邊同時(shí)求導(dǎo)后，再令，即可得出．【詳解】（1）由二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，得展開(kāi)式共計(jì)2019項(xiàng)，，.（2）的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為，令，可得，再令，可得，所以.（3）給原式兩邊同時(shí)求導(dǎo)得到當(dāng)，令，得.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是分析所給代數(shù)式的特點(diǎn)，通過(guò)給二項(xiàng)式的x賦值進(jìn)行求解，考查了分析推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．21.如圖已知拋物線：過(guò)點(diǎn)，直線交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線分別與直線和軸相交于點(diǎn)，．(1)求的值；(2)是否存在定點(diǎn)，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，△與△的面積相等？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。參考答案：（1）因?yàn)樵趻佄锞€C上，所以1=2p·，得p=1．

（2）假設(shè)存在定點(diǎn)Q，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的方程為y=kx+b．聯(lián)立得，當(dāng)時(shí)，有．

所以()()= 由題意知，，因?yàn)椤鱌AM與△PBN的面積相等，所以，即，也即

根據(jù)(*)式，得()2=1，解得或．所求的定點(diǎn)Q即為點(diǎn)A，即l過(guò)Q(0,0)或Q(2,2)時(shí)，滿足條件．

略22.已知函數(shù)，曲線f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線與直線y=e2x+e垂直．（1）求a的值及f（x）的極值；（2）是否存在區(qū)間，使函數(shù)f（x）在此區(qū)間上存在極值和零點(diǎn)？若存在，求實(shí)數(shù)t的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若不等式x2f（x）＞k（x﹣1）對(duì)任意x∈（1，+∞）恒成立，求整數(shù)k的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（e），f′（e）的值，求出a的值，從而求出f（x）的解析式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的極值即可；（2）畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象，結(jié)合圖象求出t的范圍即可；（3）問(wèn)題可化為，令，（x＞1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的最大值即可．【解答】解：（1）由，得．因?yàn)閒（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線與直線y=e2x+e垂直，所以，解得a=1，所以，令，得x=1．因?yàn)楫?dāng)x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＞0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＜0所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，故f（x）在x=1處取得極大值1，無(wú)極小值；（2）因?yàn)閒（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，且f（x）＞0又由（1）知f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，且，f（1）=1＞0所以由零點(diǎn)存在原理得f（x）在區(qū)間（0，1）存在唯一零點(diǎn)，函數(shù)f（x）的圖象如圖所示：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間上存在極值和零點(diǎn)，所以由，解得．所以存在符合條件的區(qū)間，實(shí)數(shù)t的取值范圍為；（3）當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，不等式x2f（x）＞k（x﹣1）可變形為設(shè)，（x＞1），則設(shè)φ（x）=x﹣lnx﹣2，（x＞1），則因?yàn)閤＞1時(shí)，，所以φ（x）