九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)講義（人教版）：切線長(zhǎng)定理（教師版）

第23課切線長(zhǎng)定理課程標(biāo)準(zhǔn)（1）了解切線長(zhǎng)定義；理解切線的判定和性質(zhì)；理解三角形的內(nèi)切圓及內(nèi)心的定義；（2）掌握切線長(zhǎng)定理；利用切線長(zhǎng)定理解決相關(guān)的計(jì)算和證明.知識(shí)點(diǎn)01切線的判定定理和性質(zhì)定理1．切線的判定定理

經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.2．切線的判定方法(1)定義：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，這條直線就是圓的切線；(2)定理：和圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；(3)判定定理：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.切線的判定定理中強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：一是直線與圓有一個(gè)交點(diǎn)，二是直線與過(guò)交點(diǎn)的半徑垂直，缺一不可.

3．切線的性質(zhì)定理

圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.

4．切線的性質(zhì)(1)切線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；(2)切線和圓心的距離等于圓的半徑；(3)切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；(4)經(jīng)過(guò)圓心垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)；(5)經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必過(guò)圓心.知識(shí)點(diǎn)02切線長(zhǎng)定理1．切線長(zhǎng)：

經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng).

【注意】切線長(zhǎng)是指圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，不是“切線的長(zhǎng)”的簡(jiǎn)稱.切線是直線，而非線段.

2．切線長(zhǎng)定理：

從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.

【注意】切線長(zhǎng)定理包含兩個(gè)結(jié)論：線段相等和角相等.3．圓外切四邊形的性質(zhì)：圓外切四邊形的兩組對(duì)邊之和相等.知識(shí)點(diǎn)03三角形的內(nèi)切圓1．三角形的內(nèi)切圓：

與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.

2．三角形的內(nèi)心：

三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心.

【注意】(1)任何一個(gè)三角形都有且只有一個(gè)內(nèi)切圓，但任意一個(gè)圓都有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形；

(2)解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長(zhǎng)與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長(zhǎng)，r為內(nèi)切圓的半徑).

(3)三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：名稱確定方法圖形性質(zhì)外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊中垂線的交點(diǎn)(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內(nèi)部?jī)?nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)三角形三條角平分線的交點(diǎn)(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.考法01切線長(zhǎng)定理【典例1】如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC邊上，過(guò)△ABD的內(nèi)心I作IE⊥BD于點(diǎn)E．若BD＝10，CD＝4，則BE的長(zhǎng)為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，∵是的內(nèi)心，∴，設(shè)，∵BD＝10，∴，∴,，∵，∴，解得，∴，故選B．【即學(xué)即練】如圖，的內(nèi)切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，已知的周長(zhǎng)為36．，，則AF的長(zhǎng)為（

）A．4 B．5 C．9 D．13【答案】A【詳解】解：的周長(zhǎng)為36．，，∴,由切線長(zhǎng)定理可得，，設(shè)，，解得：∴；故選：A．【典例2】如圖，P為⊙外的一點(diǎn)，PA，PB分別切⊙于點(diǎn)A，B，CD切⊙于點(diǎn)E，且分別交PA，PB于點(diǎn)C，D，若，則的周長(zhǎng)為（

）A．5 B．7 C．8 D．10【答案】C【詳解】解：∵PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，∴PB=PA=4，∵CD切⊙O于點(diǎn)E且分別交PA、PB于點(diǎn)C，D，∴CA=CE，DE=DB，∴△PCD的周長(zhǎng)=PC+PD+CD=PC+CA+PD+DB=PA+PB=8，故選：C．【即學(xué)即練】如圖，PA，PB切⊙O于點(diǎn)A，B，PA＝20，CD切⊙O于點(diǎn)E，交PA，PB于C，D兩點(diǎn)，則△PCD的周長(zhǎng)是（

）A．20 B．36 C．40 D．44【答案】C【詳解】解：∵PA、PB切⊙O于點(diǎn)A、B，∴PB=PA=20，∵CD切⊙O于點(diǎn)E，交PA、PB于C、D兩點(diǎn)，∴CA=CE，DB=DE，∴PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB=20+20=40．則△PCD的周長(zhǎng)是40．故選：C．考法02三角形的內(nèi)切圓【典例3】如圖，△ABC中，內(nèi)切圓I和邊BC、AC、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，若∠B＝55°，∠C＝75°，則∠EDF的度數(shù)是（）A．55° B．60° C．65° D．70°【答案】C【詳解】解：連接IE、IF，如圖，∵內(nèi)切圓I和邊AC、AB分別相切于點(diǎn)E、F，∴IE⊥AC，IF⊥AB，∴∠AEI＝∠AFI＝90°，∴∠A＝180°﹣∠EIF，∵∠EDF＝∠EIF，∴∠EDF＝90°﹣∠A，∵∠B＝55°，∠C＝75°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣55°﹣75°＝50°，∴∠EDF＝90°﹣×50°＝65°．故選：C．【即學(xué)即練】如圖，在△ABC中，∠A＝50°，⊙O截△ABC的三邊所得的弦長(zhǎng)相等，則∠BOC＝（

）A．100° B．110° C．115° D．120°【答案】C【詳解】解：如圖，∵△ABC中∠A=50°，⊙O截△ABC的三條邊所得的弦長(zhǎng)相等，∴O到三角形三條邊的距離相等，即O是△ABC的內(nèi)心，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3=（180°-∠A）=（180°-50°）=65°，∴∠BOC=180°-（∠1+∠3）=180°-65°=115°．故選：C．【典例4】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AC上一點(diǎn)，連接BE，交AD于點(diǎn)F，若AE＝BE，則下列說(shuō)法正確的為（

）A．點(diǎn)F為△ABC的外心 B．點(diǎn)F到△ABC三邊的距離相等C．點(diǎn)E、B、C在以F為圓心的同一個(gè)圓上 D．點(diǎn)E為AC中點(diǎn)【答案】B【詳解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣36°）＝72°，∵AD⊥BC，AB＝AC，∴AD是∠BAC的角平分線，∵AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA＝36°，∴∠EBC＝72°﹣36°＝36°，∴∠ABE＝∠CBE，∴BE是∠ABC的角平分線，∵BE、AD交于點(diǎn)F，∴點(diǎn)F是三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，∴點(diǎn)F到△ABC三邊的距離相等．由已知條件均得不出A，C，D選項(xiàng)故選：B．【即學(xué)即練】如圖，在△ABC中，（1）作AB和BC的垂直平分線交于點(diǎn)O；（2）以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作圓；（3）⊙O分別與AB和BC的垂直平分線交于點(diǎn)M，N；（4）連接AM，AN，CM，其中AN與CM交于點(diǎn)P．根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形，下列四個(gè)結(jié)論：①＝2；②AB＝2AM；③點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心；④∠MON＋2∠MPN＝360°．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】解：作BC的垂直平分線，則ON平分，則＝，所以①正確；作AB的垂直平分線，則OM平分，則＝，2AM＞AB，所以②錯(cuò)誤；∵M(jìn)點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴∠ACM=∠BCM，∵點(diǎn)N為的中點(diǎn)，∴∠BAN=∠CAN，故P點(diǎn)為△ABC的內(nèi)心，所以③正確；∵∠APC=180°-∠PAC-∠PCA=180°-∠BAC-∠BCA=180°-(∠BAC+∠BCA)=180°-(180°-∠B)=90°+∠B，∴2∠MPN=2∠APC=180°+∠B，又OM⊥AB，ON⊥BC，∴∠MON+∠B=180°，∴∠MON+2∠MPN=∠MON+180°+∠B=180°+180°=360°，故④正確，∴正確的結(jié)論有3個(gè)，故選：C．考法03與相切有關(guān)的計(jì)算與證明【典例5】如圖，P是的直徑的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，則當(dāng)（

）時(shí)，直線是的切線．A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：當(dāng)30°時(shí)，直線是的切線．證明：連接OA．∵∠P＝30°，30°，∴∠PAC＝120°；∵OA＝OC，∴30°，∴，即OA⊥PA，∴直線是的切線．故選：B【即學(xué)即練】如圖，內(nèi)接于，過(guò)A點(diǎn)作直線，當(dāng)（

）時(shí)，直線與相切．A．∠B B． C． D．【答案】C【詳解】解：當(dāng)時(shí)，直線與相切．理由如下：作AF交圓O于F點(diǎn)，連接BF．∵∠F，∠C是同弧AB所對(duì)的角，∴∠C＝∠F，∵∠BAE＝∠C，∴∠BAE＝∠F，∵AF為直徑，∴∠ABF＝90°，∴在三角形ABF中，∠F+∠BAF＝90°，∵∠F＝∠BAE，∴∠BAE+∠BAF＝90°，∴FA⊥DE，∴直線DE與⊙O相切．故選：C【典例6】如圖，是⊙O的直徑，交⊙O于點(diǎn)，于點(diǎn)，下列說(shuō)法不正確的是（

）A．若，則是⊙O的切線 B．若，則是⊙O的切線C．若，則是⊙O的切線 D．若是⊙O的切線，則【答案】A【詳解】解：當(dāng)AB=AC時(shí)，如圖：連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BC，∴CD=BD，∵AO=BO，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線，所以B選項(xiàng)正確；當(dāng)DE是⊙O的切線時(shí)，如圖：連接AD，∵DE是⊙O的切線，∴DE⊥OD，∵DE⊥AC，∴OD∥AC，∴OD是△ABC的中位線，∴CD∥BD，∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BC，∴AD是線段BC的垂直平分線，∴AB=AC，所以D選項(xiàng)正確；當(dāng)CD=BD時(shí)，又AO=BO，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線，所以C選項(xiàng)正確．若，沒(méi)有理由證明DE是⊙O的切線，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：A．【即學(xué)即練】如圖，AB是⊙O的直徑，下列條件中不能判定直線AT是⊙O的切線的是(

)A．AB=4，AT=3，BT=5 B．∠B=45°，AB=ATC．∠B=55°，∠TAC=55° D．∠ATC=∠B【答案】D【詳解】A．∵AB=4，AT=3，BT=5，∴AB2+AT2=BT2，∴△BAT是直角三角形，∴∠BAT=90°，∴直線AT是⊙O的切線，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．∵∠B=45°，AB=AT，∴∠T=45°，∴∠BAT=90°，∴直線AT是⊙O的切線，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．∵AB為直徑，∴∠BAC=90°．∵∠B=55°，∴∠BAC=35°．∵∠TAC=55°，∴∠CAT=90°，∴直線AT是⊙O的切線，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．∠ATC=∠B，無(wú)法得出直線AT是⊙O的切線，故此選項(xiàng)正確．故選D．題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．如圖，從⊙O外一點(diǎn)P引圓的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別是A，B，若∠APB＝60°，PA＝5，則弦AB的長(zhǎng)是（）A． B． C．5 D．5【答案】C【詳解】解：∵PA，PB為⊙O的切線，∴PA=PB，∵∠APB=60°，∴△APB為等邊三角形，∴AB=PA=5．故選：C．2．下列直線是圓的切線的是（

）A．與圓有公共點(diǎn)的直線 B．到圓心的距離等于半徑的直線C．到圓心的距離大于半徑的直線 D．到圓心的距離小于半徑的直線【答案】B【詳解】A、與圓只有一個(gè)交點(diǎn)的直線是圓的切線,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

B、到圓心距離等于圓的半徑的直線是圓的切線,故本選項(xiàng)正確;

C、經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

D、經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選B.3．如圖，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長(zhǎng)線和△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D，連接BD，BE，CE，若∠CBD=32°，則∠BEC的度數(shù)為（

）A．128° B．126° C．122° D．120°【答案】C【詳解】在⊙O中，∵∠CBD=32°，∵∠CAD=32°，∵點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，∴∠BAC=64°，∴∠EBC+∠ECB=（180°-64°）÷2=58°，∴∠BEC=180°-58°=122°．故選：C．4．下列命題：①平?四邊形是中?對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形；②直徑是最長(zhǎng)的弦，半徑是最短的弦；③過(guò)切點(diǎn)的直線是圓的切線；④三角形的外?是三條邊垂直平分線的交點(diǎn)；⑤三角形的內(nèi)?是三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)；其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【詳解】解：①平?四邊形是中?對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，錯(cuò)誤，平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形；②直徑是最長(zhǎng)的弦，正確，半徑是最短的弦，錯(cuò)誤，半徑不是弦；③過(guò)切點(diǎn)的直線是圓的切線，錯(cuò)誤；④三角形的外?是三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，正確；⑤三角形的內(nèi)?是三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，正確．故選：B．5．已知三角形的周長(zhǎng)為12，面積為6，則該三角形內(nèi)切圓的半徑為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D6．如圖，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切線．已知AD＝3，BC＝6，則AB＋CD的值是(

)A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【詳解】解：∵AB、BC、CD、DA都是的切線，∴可以假設(shè)切點(diǎn)分別為E、H、G、F，如圖所示：∴AE=AF，BE=BH，DF=DG，CG=CH，∴AB+CD=AE+BE+DG+CG=AF+BH+DF+CH=AD+BC∵AD=3，BC=6∴AB+CD=3+6=9故選C．．7．如圖，PA、PB是⊙O的切線，若∠APO＝25°，則∠BPA＝_____．【答案】50°【詳解】解：∵PA、PB是⊙O的切線，∴∠BPO＝∠APO＝25°，∴∠BPA＝50°，故答案為：50°．8．如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別和⊙O切于A、B，C是弧AB上任意一點(diǎn)，過(guò)C作⊙O的切線分別交PA、PB于D、E，若△PDE的周長(zhǎng)為20cm，則PA長(zhǎng)為__________．【答案】10cm【詳解】解：根據(jù)切線長(zhǎng)定理得：AD＝CD，CE＝BE，PA＝PB，則△PDE的周長(zhǎng)＝2PA＝20，PA＝10．故答案為：9．如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑作⊙O，點(diǎn)D為⊙O上一點(diǎn)，且CD＝CB、連接DO并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并證明；（2）若BE＝8，DE＝16，求⊙O的半徑．【答案】（1）相切，理由見解析；（2）⊙O的半徑為6【詳解】解：（1）相切，理由如下，如圖，連接OC，在△OCB與△OCD中，，∴△OCB≌△OCD（SSS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥DC，∴DC是⊙O的切線；（2）設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△OBE中，∵OE2＝EB2+OB2，∴（16﹣r）2＝r2+82，∴r＝6，∴⊙O的半徑為6．10．如圖，在△ABC中，已知∠ABC＝90o，在AB上取一點(diǎn)E，以BE為直徑的⊙O恰與AC相切于點(diǎn)D，若AE＝2cm，AD＝4cm．(1)求⊙O的直徑BE的長(zhǎng)；(2)計(jì)算△ABC的面積．【答案】（1）BE＝6；(2)S△ABC＝24..【詳解】（1）連接OD，∴OD⊥AC∴△ODA是直角三角形設(shè)半徑為r∴AO＝r＋2∴解之得：r＝3∴BE＝6(2)∵∠ABC＝900∴OB⊥BC∴BC是⊙O的切線∵CD切⊙O于D∴CB＝CD令CB＝x∴AC＝x＋4，CB＝x，AB＝8∵∴x＝6.∴S△ABC＝24（cm2）.故答案為（1）BE＝6；(2)S△ABC＝24..題組B能力提升練1．下列命題中：①相等的圓心角所對(duì)的弧相等；②平分弦的直徑垂直于弦；③垂直于半徑的直線是圓的切線；④E，F(xiàn)是∠AOB的兩邊OA，OB上的兩點(diǎn)，則不同的E，O，F(xiàn)三點(diǎn)確定一個(gè)圓：其中正確的有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．0個(gè)【答案】D【詳解】解：①在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等；故錯(cuò)誤；②平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦；故錯(cuò)誤；③垂直于半徑且過(guò)半徑的外端點(diǎn)的直線是圓的切線；故錯(cuò)誤；④E、F是∠AOB（∠AOB≠180°）的兩邊OA、OB上的兩點(diǎn)，則E、O、F三點(diǎn)確定一個(gè)圓；故錯(cuò)誤；故選：D．2．如圖，是的切線，是切點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．都不對(duì)【答案】A【詳解】解：PA，PB是⊙O的切線，，，，，，，．故選：A．3．如圖：切于，切于，交于，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．是的中點(diǎn)【答案】D【詳解】、是的切線，切點(diǎn)是、，，，選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；，，，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；根據(jù)已知不能得出是的中點(diǎn)，故選項(xiàng)D正確；故選D．4．小明同學(xué)用一把直尺和一個(gè)直角三角板（有一個(gè)銳角為60°）測(cè)量一張光盤的直徑，他把直尺、三角板和光盤按如圖的方式放置，點(diǎn)A是60°角頂點(diǎn)，B是光盤與直尺的公共點(diǎn)，測(cè)得AB＝3，則此光盤的直徑為（

）A．3 B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，設(shè)光盤的圓心為,直角三角板與的切點(diǎn)為，連接，是的切線，，，此光盤的直徑為故選D5．如圖，在中，點(diǎn)為的內(nèi)心，點(diǎn)在邊上，且，若，，則的度數(shù)為（

）A．111° B．130° C．172° D．170°【答案】C【詳解】解：在中，，BAC＝180－42－58＝80點(diǎn)為的內(nèi)心，CAI＝BAI＝＝40四邊形AIDC的內(nèi)角和180（4－2）＝360，且＝360－－－CAI＝360－90－40－58＝172故選C．6．如圖，在△ABC中，以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AB、AC于點(diǎn)M、N；再分別以M、N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P；連結(jié)AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D．則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C．一定經(jīng)過(guò)△ABC的內(nèi)心 D．AD一定經(jīng)過(guò)△ABC的外心【答案】C【詳解】根據(jù)作圖步驟得：AD是∠BAC的角平分線A、在△ABD中，AD+BD＞AB，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；B、由角平分線得，而不一定成立，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合題意；C、△ABC的內(nèi)心是三條角平分線的交點(diǎn)，故選項(xiàng)C正確，符合題意；D、△ABC的外心是三邊中垂線的交點(diǎn)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．7．如圖，中，，它的周長(zhǎng)為16．若與三邊分別切于E，F(xiàn)，D點(diǎn)，則DF的長(zhǎng)為____________【答案】2【詳解】解：∵⊙O與BC，AC，AB三邊分別切于E，F(xiàn)，D點(diǎn)，∴AD=AF，BE=BD，CE=CF，∵BC=BE+CE=6，∴BD+CF=6，∵AD=AF，∠A=60°，∴△ADF是等邊三角形，∴AD=AF=DF，∵AB+AC+BC=16，BC=6，∴AB+AC=10，∵BD+CF=6，∴AD+AF=4，∵AD=AF=DF，∴DF=AF=AD=，故答案為：2．8．如圖，若△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，則陰影部分的周長(zhǎng)是_____．【答案】8【詳解】∵AB＝5，BC＝13，CA＝12，∴，∴△ABC為直角三角形，∠A＝90°，∵AB、AC與⊙O分別相切于點(diǎn)E、F，∴OF⊥AB，OE⊥AC，∴四邊形OFAE為矩形，∵OE=OF∴四邊形OFAE為正方形，設(shè)OE＝r，則AE＝AF＝r，∵△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，∴BD＝BF＝5﹣r，CD＝CE＝12﹣r，∴5﹣r+12﹣r＝13，∴r＝2，∴陰影部分（即四邊形AEOF）的面積是2×4＝8．故陰影部分的周長(zhǎng)是：8．9．如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)F為BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠DAF＝∠B．(1)求證：AF是⊙O的切線；(2)若⊙O的半徑為5，AD是AEF的中線，且AD＝6，求AE的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）證明：∵AC是直徑，∴∠ADC=90°，∴∠ACD+∠DAC=90°，∵∠ACD=∠B，∠B=∠DAF，∴∠DAF=∠ACD，∴∠DAF+∠DAC=90°，∴，∵AC是直徑，∴AF是⊙O的切線；（2）解：作于點(diǎn)H，∵⊙O的半徑為5，∴AC=10，∵∠AHD=∠ADC=90°，∠DAH=∠CAD，∴△ADH～△ACD，∴，∴，∵AD＝6，∴，∵AD是△AEF的中線，∠EAF=90°，∴AD=ED，．10．已知，，分別與相切于，，三點(diǎn)，，．（Ⅰ）如圖1，求的長(zhǎng)；（Ⅱ）如圖2，當(dāng)，時(shí)，連接，，求，的長(zhǎng)．【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ），．【詳解】解：（Ⅰ）∵AB，BC，CD都是圓O的切線，∴BM=BA=1，CM=CD=3，∴BC=BM+CM=4；（Ⅱ）如圖所示，連接OD，OM，OA，∵BC，DC都是圓O的切線，∴∠ODC=∠OMC=∠OMB=90°，CM=CD，又∵OC=OC，∴Rt△OCD≌Rt△OCM（HL），∴∠OCD=∠OCM，同理可得∠OBA=∠OBM，∵∠DCB=60°，AB∥CD，∴∠OCM=30°，∠ABM=120°∴OC=2OM，∠OBM=60°，∴，∴，∴．題組C培優(yōu)拔尖練1．如圖，AB是的直徑，PA與相切于點(diǎn)A，交于點(diǎn)C．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，連接OC，因?yàn)镺B=OC，所以∠OCB=∠OBC=70°，所以∠BOC=180°-70°-70°=40°，又因?yàn)椋浴螦OP=∠B=70°，∴∠POC=180°-∠AOP-∠BOC=70°，所以在△PAO和△PCO中，，所以△PAO≌△PCO（SAS），所以∠OCP=∠OAP因?yàn)镻A與相切于點(diǎn)A，所以∠OCP=∠OAP=90°，所以∠OPC=180°-∠POC-∠OCP=20°，故選：B．2．如圖，AB為的直徑，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作的切線PC，PD，切點(diǎn)分別為C，D，連接CD交AP于點(diǎn)M，連接BD，AD．若，，則AD的長(zhǎng)為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【詳解】解：連接，如圖所示，∵PC，PD是的切線，∴設(shè)∵∴∴設(shè)的半徑為∴在中，，解得，在中，∵是的切線，∴在中，∵∵∴整理得，∴解得，或（舍去）∴∴在中，，故A正確．故選：A．3．如圖，BC是⊙O的直徑，點(diǎn)A是⊙O上的一點(diǎn)，點(diǎn)D是△ABC的內(nèi)心，若BC＝5，AC＝3，則BD的長(zhǎng)度為（）A．2 B．3 C． D．【答案】C【詳解】解：如下圖，過(guò)點(diǎn)D分別作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，連接AD，CD，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC=90°，∵BC＝5，AC＝3，∴，∵點(diǎn)D是△ABC的內(nèi)心，∴DE=DF=DH，AE=АН，BE=BF，CF=CH，設(shè)BE=x，則BF=x，AE=4-x，CF=5-x，CH=5-x，AН=4-x，∵AC=3，∴4-x+5-x=3，解得：x=3∴BE=3，設(shè)DE=r，∵S△ABC=S△ABD+S△BDC+S△ADC，∴，解得：r=1，∴DE=1，在Rt△BDE中，，故選：C．4．如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，CD切⊙O于點(diǎn)E，分別交PA、PB于點(diǎn)C、D，若PA＝8，則△PCD的周長(zhǎng)為(

)A．8 B．12 C．16 D．20【答案】C【詳解】解：∵PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，CD切⊙O于點(diǎn)E，∴PA=PB=6，AC=EC，BD=ED，∴PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PA+AC+PD+BD=PA+PB=8+8=16，即△PCD的周長(zhǎng)為16．故選：C．5．如圖，若等邊△ABC的內(nèi)切圓的半徑是2，則△ABC的面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：連接，，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，是等邊的內(nèi)切圓，，，，由勾股定理得：，同理，，是等邊三角形，，，三點(diǎn)共線，，．故選：D．6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，在CF上取一點(diǎn)E，使DE＝DC，連接BE．對(duì)于下列結(jié)論：①BD＝DC；②△CAB∽△CDE；③＝；④BE為⊙O的切線，其中一定正確的是（）A．①② B．①②③ C．①④ D．①②④【答案】D【詳解】解：∵AB為直徑，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，而AB＝CA，∴BD＝DC，所以①正確；∵AB＝CA，∴∠ABC＝∠ACB，而