八年級數(shù)學(xué)下冊講義（人教版）：正方形（學(xué)生版）

第13課正方形目標(biāo)目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1．理解正方形的概念，了解平行四邊形、矩形及菱形與正方形的概念之間的從屬關(guān)系；2．掌握正方形的性質(zhì)及判定方法．知識精講知識精講知識點(diǎn)01正方形的定義四條邊都，四個角都是的四邊形叫做正方形.注意：既是矩形又是菱形的四邊形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更為特殊的平行四邊形，正方形是有一組鄰邊相等的矩形，還是有一個角是直角的菱形.知識點(diǎn)02正方形的性質(zhì)正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).1.邊——四邊、鄰邊、對邊；2.角——四個角都是；3.對角線——①，②互相，③每條對角線；4.是軸對稱圖形，有4條對稱軸；又是中心對稱圖形，兩條對角線的交點(diǎn)是對稱中心.注意：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，其對角線將正方形分為四個等腰直角三角形.知識點(diǎn)03正方形的判定正方形的判定除定義外，判定思路有兩條：或先證四邊形是，再證明它；或先證四邊形是，再證明它.知識點(diǎn)04特殊平行四邊形之間的關(guān)系或者可表示為：知識點(diǎn)05順次連接特殊的平行四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形的形狀（1）順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是.（2）順次連接矩形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是.（3）順次連接菱形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是.（4）順次連接正方形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是.注意：新四邊形由原四邊形各邊中點(diǎn)順次連接而成.（1）若原四邊形的，則新四邊形是矩形.（2）若原四邊形的，則新四邊形是菱形.（3）若原四邊形的，則新四邊形是正方形.能力拓展能力拓展考法01正方形的性質(zhì)【典例1】如圖，直線L上有三個正方形a，b，c，若a，c的面積分別為1和9，則b的面積為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【即學(xué)即練】如圖所示，直線a經(jīng)過正方形ABCD的頂點(diǎn)A，分別過正方形的頂點(diǎn)B、D作BF⊥a于點(diǎn)F，DE⊥a于點(diǎn)E，若DE＝8，BF＝5，則EF的長為__．【即學(xué)即練】如圖所示，，，以為邊作正方形，求，的坐標(biāo).【典例2】矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是（

）A．對角線相等 B．對角線互相平分 C．對角線互相垂直 D．對角線互相平分且相等【典例3】如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E為BC上一點(diǎn)，CE＝5，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)．若△CEF的周長為18，則OF的長為()A．3 B．4 C． D．【典例4】如圖，在正方形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）證明：；（2）連接，證明：．【典例5】如圖，四邊形ABDE和四邊形ACFG都是正方形，CE與BG交于點(diǎn)M，點(diǎn)M在△ABC的外部．(1)求證：BG＝CE；(2)求證：CE⊥BG；(3)求：∠AME的度數(shù)．【典例6】如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC上的一點(diǎn)，且∠AEF=90°，延長AE交BC的延長線于點(diǎn)G,（1）求GE的長；（2）求證：AE平分∠DAF；（3）求CF的長.考法02正方形的判定【典例7】在四邊形ABCD中，O是對角線的交點(diǎn)，能判定這個四邊形是正方形的條件是（）A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠A＝∠CC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC【典例8】如圖，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分線，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，連接DO并延長到點(diǎn)E，使OE=OD，連接AE，BE，（1）求證：四邊形AEBD是矩形；（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，矩形AEBD是正方形，并說明理由．【典例9】已知：如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是對角線BD上一點(diǎn)，且EA=EC．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求證：四邊形ABCD是正方形．【典例10】已知，如圖，四邊形ABCD是菱形，∠B是銳角，AF⊥BC于點(diǎn)F，CH⊥AD于點(diǎn)H，在AB邊上取點(diǎn)E，使得AE＝AH，在CD邊上取點(diǎn)G，使得CG＝CF．聯(lián)結(jié)EF、FG、CH、HE．(1)求證：四邊形EFGH是矩形．(2)若∠B＝45度，求證:四邊形EFGH是正方形．考法03正方形的綜合應(yīng)用【典例11】如圖，邊長相等的兩個正方形ABCD和OEFG，若將正方形OEFG繞點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120°，兩個正方形的重疊部分四邊形OMCN的面積(

)A．不變 B．先增大再減小C．先減小再增大 D．不斷增大【典例12】如圖，正方形ABCD和正方形CEFG邊長分別為a和b，正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，給出下列結(jié)論：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2，其中正確結(jié)論有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【典例13】正方形ABCD的邊長為3，E、F分別是AB、BC邊上的點(diǎn),且∠EDF=45°.將△DAE繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM.（1）求證：EF=FM（2）當(dāng)AE=1時，求EF的長．【典例14】如圖，正方形ABCD的對角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF=90°，OE、DA的延長線交于點(diǎn)M，OF、AB的延長線交于點(diǎn)N，連接MN．（1）求證：OM=ON．（2）若正方形ABCD的邊長為4，E為OM的中點(diǎn)，求MN的長．【典例15】△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D為直線BC上一動點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合），以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF，連接CF，（1）觀察猜想如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時，①BC與CF的位置關(guān)系為：．②BC，CD，CF之間的數(shù)量關(guān)系為：；（將結(jié)論直接寫在橫線上）（2）數(shù)學(xué)思考如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上時，結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結(jié)論再給予證明．（3）拓展延伸如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時，延長BA交CF于點(diǎn)G，連接GE，若已知AB=2，CD=BC，請求出GE的長．【典例16】如圖1，對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．(1)概念理解：如圖2，在四邊形中，，，問四邊形是垂美四邊形嗎？請說明理由；(2)性質(zhì)探究：如圖1，四邊形的對角線、交于點(diǎn)，．試證明：；(3)解決問題：如圖3，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連結(jié)、、．已知，，求的長．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．下列命題中，真命題是（）．A．對角線相等的四邊形是矩形B．對角線互相垂直的四邊形是菱形C．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形D．對角線互相垂直平分的四邊形是正方形2．如圖，平行四邊形,對角線交于點(diǎn),下列選項(xiàng)錯誤的是（

）A．互相平分B．時，平行四邊形為矩形C．時，平行四邊形為菱形D．時，平行四邊形為正方形3．如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形ADE，則∠BED為（）A．45° B．15° C．10° D．125°4．如圖，正方形ABCD的邊長為3，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，將AB、AD分別沿AE、AF折疊，點(diǎn)B、D恰好都落在點(diǎn)G處，已知BE＝1，則EF的長為（

）A． B． C． D．35．如圖，延長正方形ABCD的一邊BC到E，使CE=AC，連接AE交CD于F，則∠AFC的度數(shù)是（

）A． B． C． D．6．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E在邊AB上，AE＝1，若點(diǎn)P為對角線BD上的一個動點(diǎn)，則△PAE周長的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．67．如圖，正方形ABCD的邊長是2，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別在邊AD、AB上，且OE⊥OF，則四邊形AFOE的面積是（）A．4 B．2 C．1 D．8．正方形是有一組鄰邊_______，并且有一個角是_______的平行四邊形，因此它既是______又是________．題組B能力提升練9．以正方形ABCD的邊AD作等邊△ADE，則∠BEC的度數(shù)是_____．10．如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一正方形，點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為________．11．如圖，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，四邊形ACEF是正方形，則EF的長為_____．12．在正方形ABCD中，E在AB上，BE＝2，AE＝1，P是BD上的動點(diǎn)，則PE和PA的長度之和最小值為___________．13．如圖，在邊長為的正方形中，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，連接點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，連接，則的長度為__________．14．如圖，正方形ABCD的邊長是16，點(diǎn)E在邊AB上，AE=3，點(diǎn)F是邊BC上不與點(diǎn)B、C重合的一個動點(diǎn)，把△EBF沿EF折疊，點(diǎn)B落在B′處，若△CDB′恰為等腰三角形，則DB′的長為_____________.題組C培優(yōu)拔尖練15．如圖，四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，順次連接E、F、G、H，得到的四邊形EFGH叫中點(diǎn)四邊形．（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；（2）如圖，當(dāng)四邊形ABCD變成等腰梯形時，它的中點(diǎn)四邊形是菱形，請你探究并填空：當(dāng)四邊形ABCD變成平行四邊形時，它的中點(diǎn)四邊形是；當(dāng)四邊形ABCD變成矩形時，它的中點(diǎn)四邊形是；當(dāng)四邊形ABCD變成菱形時，它的中點(diǎn)四邊形是；當(dāng)四邊形ABCD變成正方形時，它的中點(diǎn)四邊形是；（3）根據(jù)以上觀察探究，請你總結(jié)中點(diǎn)四邊形的形狀由原四邊形的什么決定的？16．如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，對角線BD平分∠ABC，P是BD上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M、N．（1）求證：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，求證：四邊形MPND是正方形．17．已知：如圖，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，點(diǎn)D、E分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F、G是邊AC的三等分點(diǎn)，DF、EG的延長線相交于點(diǎn)H，連接HA、HC．(1)求證：四邊形FBGH是菱形；(2)求證：