2023年全國高考乙卷理數(shù)真題試卷及答案

高考PAGE1試卷2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國乙卷）理科數(shù)學(xué)一、選擇題1.設(shè)，則（）A. B. C. D.2.設(shè)集合，集合，，則（）A.?????∪?? B.??∪?????C.?????∩?? D.??∪?????3.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該零件的表面積為（）A.24 B.26 C.28 D.304.已知是偶函數(shù)，則（）A. B. C.1 D.25.設(shè)O為平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點，在區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點，記該點為A，則直線OA的傾斜角不大于的概率為（）A. B. C. D.6.已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條對稱軸，則（）A. B. C. D.7.甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（）A.30種 B.60種 C.120種 D.240種8.已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.9.已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（）A. B. C. D.10.已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（）A.－1 B. C.0 D.11.設(shè)A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（）A. B. C. D.12.已知的半徑為1，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（）A. B.C. D.二、填空題13.已知點在拋物線C：上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為______.14.若x，y滿足約束條件，則的最大值為______.15.已知為等比數(shù)列，，，則______.16.設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是______.三、解答題17.某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為，．試驗結(jié)果如下：試驗序號12345678910伸縮率545533551522575544541568596548伸縮率536527543530560533522550576536記，記的樣本平均數(shù)為，樣本方差為．（1）求，；（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）18.在中，已知，，.（1）求；（2）若D為BC上一點，且，求的面積.19.如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點分別為D，E，O，，點F在AC上，.（1）證明：平面；（2）證明：平面平面BEF；（3）求二面角的正弦值.20.已知橢圓的離心率是，點在上．（1）求的方程；（2）過點的直線交于兩點，直線與軸的交點分別為，證明：線段的中點為定點．21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.（3）若在存在極值，求a的取值范圍.四、選做題【選修4-4】（10分）22.在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線：（為參數(shù)，）.（1）寫出的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線既與沒有公共點，也與沒有公共點，求的取值范圍.【選修4-5】（10分）23.已知.（1）求不等式的解集；（2）在直角坐標(biāo)系中，求不等式組所確定的平面區(qū)域的面積.2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國乙卷）理科數(shù)學(xué)（2023·全國乙卷·理·1·★）設(shè)，則（）（A）（B）（C）（D）答案：B解析：由題意，，所以.（2023·全國乙卷·理·2·★）設(shè)全集，集合，，則（）（A）?????∪??（B）??∪?????（C）?????∩??（D）??∪?????答案：A解析：正面求解不易，直接驗證選項，A項，由題意，，所以，故選A.（2023·全國乙卷·理·3·★）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該零件的表面積為（）（A）24 （B）26 （C）28 （D）30答案：D解析：如圖所示，在長方體中，，，點為所在棱上靠近點的三等分點，為所在棱的中點，則三視圖所對應(yīng)的幾何體為長方體去掉長方體之后所得的幾何體，該幾何體的表面積和原來的長方體的表面積相比少2個邊長為1的正方形，其表面積為：.（2023·全國乙卷·理·4·★★）已知是偶函數(shù)，則（）（A）（B）（C）1（D）2答案：D解法1：要求a，可結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)取特值建立方程，由為偶函數(shù)得，故①，又，代入①得，所以，從而，故，經(jīng)檢驗，滿足為偶函數(shù).解法2：也可直接用偶函數(shù)的定義來分析，因為為偶函數(shù)，所以恒成立，從而，故，所以，從而，故，所以，故，此式要對定義域內(nèi)任意的x都成立，只能，所以.（2023·全國乙卷·理·5·★）設(shè)O為平面坐標(biāo)系的原點，在區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點，記該點為A，則直線OA的傾斜角不大于??4的概率為（）（）（A） （B） （C） （D）答案：C解析：因為區(qū)域表示以圓心，外圓半徑，內(nèi)圓半徑的圓環(huán)，則直線的傾斜角不大于的部分如陰影所示，在第一象限部分對應(yīng)的圓心角，結(jié)合對稱性可得所求概率.（2023·全國乙卷·理·6·★★）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖象的兩條對稱軸，則（）（A）（B）（C）（D）答案：D解析：條件中有兩條對稱軸，以及它們之間的單調(diào)性，據(jù)此可畫出草圖來分析，如圖，，所以，故，不妨取，則，再求，代一個最值點即可，由圖可知，，所以，從而，故，所以.（2023·全國乙卷·理·7·★★）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（）（A）30種（B）60種（C）120種（D）240種答案：C解析：恰有1種課外讀物相同，可先把相同的課外讀物選出來，再選不同的，由題意，先從6種課外讀物中選1種，作為甲乙兩人相同的課外讀物，有種選法，再從余下5種課外讀物中選2種，分別安排給甲乙兩人，有種選法，由分步乘法計數(shù)原理，滿足題意的選法共種.（2023·全國乙卷·理·8·★★★）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（）（A）（B）（C）（D）答案：B解析：求圓錐的體積只差高，我們先翻譯條件中的，由于PA，PB和都未知，所以不易通過求PA，再求PO，故選擇AB為底邊來算，需作高PQ，而AB可在中求得，在中，由余弦定理，，所以，取AB中點Q，連接PQ，OQ，則，，所以，又，所以，故，在中，，所以，故，所以圓柱PO的體積.（2023·全國乙卷·理·9·★★★）已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（）（A）（B）（C）（D）答案：C解析：兩個等腰三角形有公共的底邊，這種情況常取底邊中點構(gòu)造線面垂直，如圖，取AB中點E，連接DE，CE，由題意，，，所以，，故即為二面角的平面角，且平面CDE，所以，作的延長線于O，則平面CDE，所以，故平面ABC，所以即為直線CD與平面ABC所成的角，不妨設(shè)，則，，因為，所以，故，，，所以.【反思】兩個等腰三角形有公共底邊這類圖形，常取底邊中點，構(gòu)造兩個線線垂直，進(jìn)而得出線面垂直.（2023·全國乙卷·理·10·★★★★）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（）（A）（B）（C）0（D）答案：B解析：由題意，S中的元素為，，，…，由于周期為，恰為公差的3倍，所以必以3為周期重復(fù)出現(xiàn)，故只需考慮前三個值.但題干卻說，只有兩個元素，為什么呢？這說明前三個值中恰有兩個相等，若討論是哪兩個相等來求，則較繁瑣，我們直接畫單位圓，用余弦函數(shù)的定義來看，如圖，由三角函數(shù)定義可知，在終邊不重合的前提下，余弦值相等的兩個角終邊關(guān)于x軸對稱，所以要使，，中有兩個相等，則，，的終邊只能是如圖所示的兩種情況，至于三個終邊哪個是，不影響答案，只要它們逆時針排列即可，若為圖1，則，，所以S中的元素是和，故；若為圖2，則，，所以S中的元素是1和，故.（2023·全國乙卷·理·11·★★★）設(shè)A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可能為線段AB中點的是（）（A）（B）（C）（D）答案：D解析：涉及弦中點，考慮中點弦斜率積結(jié)論，A項，記，由中點弦斜率積結(jié)論，，因為，所以，又直線AB過點M，所以AB的方程為，即①，只要該直線與雙曲線有2個交點，那么A項就正確，可將直線的方程代入雙曲線方程，算判別式，將①代入整理得：，，所以該直線與雙曲線沒有兩個交點，故A項錯誤，同理可判斷B、C也錯誤，此處不再贅述；D項，記，則，由中點弦斜率積結(jié)論，，所以，又直線AB過點N，所以AB的方程為，整理得：②，將②代入整理得：，判別式，所以該直線與雙曲線有兩個交點，故D項正確.（2023·全國乙卷·理·12·★★★★）已知⊙O半徑為1，直線PA與⊙O相切于點A，直線PB與⊙O交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（）（A）（B）（C）（D）答案：A解析：，，所以①，且是等腰直角三角形，所以，因為D是BC的中點，所以，求要用，故可設(shè)角為變量，引入為變量，可與直角聯(lián)系起來，更便于分析，設(shè)，則，有圖1和圖2兩種情況，要討論嗎？觀察發(fā)現(xiàn)圖2的每一種PD，在圖1中都有一個對稱的位置，二者相同，但圖2的夾角更大，所以更小，數(shù)量積也就更小，從而的最大值不會在圖2取得，故可只考慮圖1，如圖1，，代入①得①，注意到與有關(guān)，故將它也用表示，統(tǒng)一變量，由圖可知，，代入①得：，故當(dāng)時，，取得最大值.（2023·全國乙卷·理·13·★）已知點在拋物線上，則點A到C的準(zhǔn)線的距離為_____.答案：解析：點在拋物線上，所以拋物線的準(zhǔn)線為，故A到該準(zhǔn)線的距離.（2023·全國乙卷·理·14·★）若x，y滿足約束條件，則的最大值為______.答案：8解析：作出可行域如下圖所示：??=2?????，移項得??=2?????，聯(lián)立有，解得，設(shè)，顯然平移直線使其經(jīng)過點，此時截距???最小，則??最大，代入得??=8（2023·全國乙卷·理·15·★★）已知為等比數(shù)列，，，則_____.答案：解析：已知和要求的都容易用通項公式翻譯，故直接翻譯它們，，化簡得：①，②，由①可得，代入②得：，所以③，結(jié)合①③可得.（2023·全國乙卷·理·16·★★★★）設(shè)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是_____.答案：解析：直接分析的單調(diào)性不易，可求導(dǎo)來看，由題意，，因為在上，所以在上恒成立，即，參數(shù)a較多，沒法集中，但x只有兩處，且觀察發(fā)現(xiàn)可同除以把含x的部分集中起來，所以，故①，想讓式①恒成立，只需左側(cè)最小值，故分析其單調(diào)性，因為，，所以，從而在上，故，所以①恒成立，從而，故，結(jié)合解得：.（2023·全國乙卷·理·17·★★）某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對試驗，每次配對試驗，選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為，，試驗結(jié)果如下：試驗序號i12345678910伸縮率545533551522575544541568596548伸縮率536527543530560533522550576536記，記的樣本平均數(shù)為，樣本方差為.（1）求，，（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高.（如果，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）解：（1）由題意，的數(shù)據(jù)依次為9，6，8，，15，11，19，18，20，12，所以，.（2）由（1）可得，所以甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.（2023·全國乙卷·理·18·★★★）在中，已知，，.（1）求；（2）若D為BC上一點，且，求的面積.解：（1）（已知兩邊及夾角，可先用余弦定理求第三邊，再用正弦定理求角）由余弦定理，，所以，由正弦定理，，所以.（2）如圖，因為，，所以，（求還差A(yù)D，只要求出，就能在中求AD，可放到中來求）由余弦定理推論，，所以，，故.（2023·全國乙卷·理·19·★★★★）在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點分別為D，E，O，，點F在AC上，.（1）證明：EF∥平面ADO；（2）證明：平面平面BEF；（3）求二面角的大小.解：（1）證法1：（由圖可猜想DEFO是平行四邊形，故嘗試證DE平行且等于OF.注意到D，E，O都是所在棱的中點，故若能證出F是中點，則DE，OF都平行且等于AB的一半，問題就解決了.那F的位置由哪個條件決定呢？顯然是，我們可以設(shè)，利用向量來翻譯，求出）設(shè)，則，，因為，所以，解得：，所以F是AC的中點，又D，E，O分別是BP，AP，BC的中點，所以DE和OF都平行且等于AB的一半，故DE平行且等于OF，所以四邊形DOFE是平行四邊形，故EF∥OD，又平面ADO，平面ADO，所以EF∥平面ADO.證法2：（分析方法同解法1，證明F為AC中點的過程，也可用平面幾何的方法）如圖1，在中，因為，所以，故①，又，，O為BC中點，所以，故，，所以，故，結(jié)合①可得，所以，連接OF，因為O是BC中點，所以，又，所以O(shè)F∥AB，結(jié)合O為BC中點可得F為AC的中點，接下來同證法1.（2）（要證面面垂直，先找線面垂直，條件中有，于是不外乎考慮證面BEF或證面AOD，怎樣選擇呢？此時我們再看其他條件，還沒用過的條件就是一些長度，長度類條件用于證垂直，想到勾股定理，我們先分析有關(guān)線段的長度）由題意，，，，所以，故，（此時結(jié)合OD∥EF我們發(fā)現(xiàn)可以證明面BEF）由（1）可得EF∥OD，所以，又，且BF，EF是平面BEF內(nèi)的相交直線，所以平面BEF，因為平面ADO，所以平面平面BEF.（3）解法1：（此圖讓我們感覺面面ABC，若這一感覺正確，那建系處理就很方便.我們先分析看是不是這樣的.假設(shè)面面ABC，由于，于是面PBC，故，但我們只要稍加計算，就會發(fā)現(xiàn)，矛盾，所以我們的感覺是不對的，也就不方便建系.怎么辦呢？那就在兩個半平面內(nèi)找與棱垂直的射線，它們的夾角等于二面角的大小.事實上，這樣的射線已經(jīng)有了）由題意，，由前面的過程可知，所以射線OD與BF的夾角與所求二面角相等，（OD與BF異面，直接求射線OD和BF的夾角不易，故考慮通過平移使其共面，到三角形中分析）因為OD∥EF，所以的補角等于射線OD和BF的夾角，由題意，，，，（只要求出BE，問題就解決了，BE是的中線，可用向量來算，先到中求）在中，，因為，所以，故，在中，，所以，故二面角的大小為.解法2：（得出所求二面角等于射線OD與BF夾角的過程同解法1.要計算此夾角，也可用向量法.觀察圖形可發(fā)現(xiàn)，，的長度都已知或易求，兩兩夾角也好求，故選它們?yōu)榛?，用基底法算和的夾角），所以，又，所以，從而，故，所以二面角為.解法3：（本題之所以不便建系，是因為點P在面ABC的射影不好找，不易寫坐標(biāo).那有沒有辦法突破這一難點呢？有的，我們可以設(shè)P的坐標(biāo)，用已知條件來建立方程組，直接求解P的坐標(biāo)）以B為原點建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，則，由可得，解得：，代回兩方程中的任意一個可得②，（此時發(fā)現(xiàn)還有這個條件沒用，故翻譯它）又，所以，將代入整理得：③，聯(lián)立②③結(jié)合解得：，，（到此本題的主要難點就攻克了，接下來是流程化的計算）所以，故，，設(shè)平面AOD的法向量為，則，令，則，所以是平面AOD的一個法向量，由圖可知是平面AOC的一個法向量，所以，由圖可知二面角為鈍角，故其大小為.【反思】當(dāng)建系后有點的坐標(biāo)不好找時，直接設(shè)其坐標(biāo)，結(jié)合已知條件建立方程組，求解坐標(biāo)，這也是一種好的處理思路.（2023·全國乙卷·理·20·★★★）已知橢圓的離心率是，點在上．（1）求的方程；（2）過點的直線交于兩點，直線與軸的交點分別為，證明：線段的中點為定點．答案：（1）（2）證明見詳解解析：（1）由題意可得，解得，所以橢圓方程為.（2）由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)，聯(lián)立方程，消去y得：，則，解得，可得，因為，則直線，令，解得，即,同理可得，則，所以線段的中點是定點.（2023·全國乙卷·理·21·★★★★）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；（2）是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對稱？若存在，求a，b的值；弱不存在，說明理由；（3）若在上存在極值，求a的取值范圍.解：（1）當(dāng)時，，，所以，，故所求切線方程為，整理得：.（2）由函數(shù)的解析式可得，函數(shù)的定義域滿足，即函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于直線對稱，由題意可得，由對稱性可知，取可得，即，則，解得，經(jīng)檢驗滿足題意