新教材同步系列2024春高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.6空間直線平面的垂直8.6.1直線與直線垂直課件新人教A版必修第二冊

第八章立體幾何初步8.6空間直線、平面的垂直8.6.1直線與直線垂直學(xué)習(xí)目標(biāo)素養(yǎng)要求借助長方形，通過直觀感知，了解空間中直線與直線垂直的關(guān)系；會用兩條異面直線所成角的定義，找出或作出異面直線所成的角，并求出該角直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算|自學(xué)導(dǎo)引|

異面直線所成的角1．定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間________一點O作直線a′∥a，b′∥b，則異面直線a與b所成的角就是直線a′與b′所成的________(或________)．2．異面直線所成角θ的范圍：______________．特別地，當(dāng)θ＝_______時，a與b互相垂直，記作________．任意銳角直角

0°＜θ≤90°

90°

a⊥b

【預(yù)習(xí)自測】如圖，正方體ABCD－A′B′C′D′中異面直線A′B′與BC所成的角為________；異面直線AD′與BC所成的角為________．【答案】90°

45°【解析】∵A′B′∥AB，∴∠ABC為A′B′與BC所成的角．又∵∠ABC＝90°，∴A′B′與BC所成的角為90°．∵BC∥AD，∴∠D′AD為AD′與BC所成的角．∵∠D′AD＝45°，∴AD′與BC所成的角為45°．|課堂互動|題型1異面直線的判斷如圖所示的是正方體表面的一種展開圖，則圖中的AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面直線的有__________對．【答案】3【解析】平面圖形的翻折應(yīng)注意翻折前后相對位置的變化，則AB，CD，EF和GH在原正方體中，顯然AB與CD，EF與GH，AB與GH都是異面直線，而AB與EF相交，CD與GH相交，CD與EF平行．故互為異面直線的有3對．異面直線的判定方法(1)定理：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的直線是異面直線．(2)先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)格的推理，推出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定兩條直線異面．此法在異面直線的判定中經(jīng)常用到．1．有下面四個命題：①若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面；②若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交；③若a，b為異面直線，直線c∥a，則c與b異面；④若空間三條直線滿足a⊥b，b∥c，則a⊥c．其中真命題的序號為__________．【答案】④【解析】①若直線a，b異面，b，c異面，則a，c三種位置關(guān)系都可能有，所以①不正確；②若直線a，b相交，b，c相交，則a，c三種位置關(guān)系都可能有，所以②不正確；③由空間直線的位置關(guān)系和c與b可能異面或相交，所以③不正確；④因為a⊥b，b∥c，所以a⊥c，所以④正確．題型2異面直線所成的角如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，CC1的中點．(1)求三棱錐E－DFC的體積；(2)求異面直線A1E與D1F所成的角的余弦值．解：(1)∵在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，CC1的中點．∴點E到平面DFC的距離d＝AD＝2，(2)如圖，取BB1的中點G，連接A1G，EG，則A1G∥D1F，∴∠EA1G是異面直線A1E與D1F所成的角(或所成角的補角)．求異面直線所成的角的步驟(1)找出(或作出)適合題設(shè)的角，遇題設(shè)中有中點，常考慮中位線；若異面直線依附于某幾何體，且對異面直線平移有困難時，可利用該幾何體的特殊點，使異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線．(2)求——轉(zhuǎn)化為求一個三角形的內(nèi)角，通過解三角形，求出所找的角．(3)結(jié)論——設(shè)由(2)所求得的角的大小為θ．若0°＜θ≤90°，則θ為所求；若90°＜θ＜180°，則180°－θ為所求．提醒：求異面直線所成的角，通常把異面直線平移到同一個三角形中去，通過解三角形求得，但要注意異面直線所成的角θ的范圍是0°＜θ≤90°．2．如圖所示，在三棱錐A－BCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，求EF與AB所成的角．解：如圖所示，取BD的中點G，連接EG，F(xiàn)G．因為E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，AB＝CD，所以∠GFE(或其補角)就是異面直線EF與AB所成的角，且EG＝GF．因為AB⊥CD，所以EG⊥GF．所以∠EGF＝90°．所以△EFG為等腰直角三角形．所以∠GFE＝45°，即EF與AB所成的角為45°．題型3異面直線垂直的證明如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1，求證：AC⊥B1D．證明：如圖，連接BD交AC于點O，設(shè)BB1的中點為E，連接OE，則OE∥DB1．所以O(shè)E與AC所成的角即為DB1與AC所成的角．連接AE，CE，易證AE＝CE．又因為O是AC的中點，所以AC⊥OE．所以AC⊥B1D．證明兩異面直線垂直的方法(1)要證明兩異面直線垂直，可根據(jù)兩條異面直線垂直的定義，證明這兩條異面直線所成的角為90°．(2)在證明兩條異面直線垂直時，與求兩條異面直線所成的角類似，一般也是通過平移法找到與之平行的直線．3．對角線互相垂直的空間四邊形ABCD各邊中點分別為M，N，P，Q，判定四邊形MNPQ的形狀．解：如圖，∵M，N，P，Q分別是四條邊的中點，∴MN∥AC，∴MN∥PQ且MN＝PQ．∴四邊形MNPQ是平行四邊形．又∵BD∥MQ，AC⊥BD，∴MN⊥MQ．∴平行四邊形MNPQ是矩形．易錯警示忽略空間角的范圍致誤

如圖，已知空間四邊形ABCD中，AD＝BC，M，N分別為AB，CD的中點，且直線BC與MN所成的角為30°，則BC與AD所成的角為__________．錯解：120°如圖，連接BD，并取中點E，連接EN，EM，則EN∥BC，ME∥AD，故∠ENM為BC與MN所成的角，∠MEN為BC與AD所成的角，∴∠ENM＝30°．又∵由AD＝BC，知ME＝EN，∴∠EMN＝∠ENM＝30°，∴∠MEN＝180°－30°－30°＝120°，即BC與AD所成的角為120°．易錯防范：在未判斷出∠MEN是銳角或直角還是鈍角之前，不能斷定它就是兩異面直線所成的角，因為異面直線所成的角α的取值范圍是0°＜α≤90°，如果∠MEN為鈍角，那么它的補角才是異面直線所成的角．正解：易求得∠MEN＝120°，又∵∠MEN(或其補角)是BC與AD所成的角，∴BC與AD所成的角為60°．|素養(yǎng)達成|在研究異面直線所成角的大小時，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角．將空間問題向平面問題轉(zhuǎn)化，這是我們學(xué)習(xí)立體幾何的一條重要的思維途徑．需要強調(diào)的是，兩條異面直線所成角的范圍為(0°，90°]，解題時經(jīng)常結(jié)合這一點去求異面直線所成角的大小．(體現(xiàn)直觀想象與數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng))1．(題型1)如果兩條直線a和b沒有公共點，那么a與b的位置關(guān)系是

(

)A．共面 B．平行C．異面 D．平行或異面【答案】D【解析】由兩條直線的位置關(guān)系，可知答案為D．2．(題型2)設(shè)α為兩條異面直線所成的角，則α滿足 (

)A．0°＜α＜90°

B．0°＜α≤90°C．0°≤α≤90°

D．0°＜α＜180°【答案】B【解析】異面直線所成的角為銳角或直角．故選B．3．(題型1)已知兩條直線a，b，且a∥平面α，b?α，則a與b的位置關(guān)系是__________．【答案】平行或異面【解析】a∥α，則a與α無交點，b?α，則a與b無交點，所以a，b的位置關(guān)系是平行或異面．4．(題型2)如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1的中點，則異面直線EF與B1D1所成的角為__________．【答案】60°【解析】如圖，連接BC1，AD1，AB1，則EF為△BCC1的中位線，∴EF∥BC1．∵AB∥CD∥C1D1，且AB＝CD＝C1D1，∴四邊形ABC1D1為平行四邊形．∴BC1∥AD1．∴EF∥AD1．∴∠AD1B1為異面直線EF和B1D1所成的角或其補角．在△AB1D1中，易知AB1＝B1D1＝AD1，∴△AB1D1為正三角形．∴∠AD1B1＝60°．∴EF與B1D1所成的角為60°．5．(題型3)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O1為底面A1B1C1D1的中心．求證：AO1⊥BD．證明：如圖，連接B1D1，AD1，AB1，∵ABCD－A