湖北省武漢華中師大一附中2023-2024學(xué)年高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

湖北省武漢華中師大一附中2023-2024學(xué)年高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則的最大值為().A. B. C. D.2.已知,,若,則向量在向量方向的投影為()A. B. C. D.3.中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”,主要指德育;“樂”,主要指美育;“射”和“御”,就是體育和勞動;“書”,指各種歷史文化知識;“數(shù)”,指數(shù)學(xué).某校國學(xué)社團(tuán)開展“六藝”課程講座活動,每藝安排一節(jié),連排六節(jié),一天課程講座排課有如下要求:“數(shù)”必須排在第三節(jié),且“射”和“御”兩門課程相鄰排課,則“六藝”課程講座不同的排課順序共有()A.12種 B.24種 C.36種 D.48種4.為了加強“精準(zhǔn)扶貧”,實現(xiàn)偉大復(fù)興的“中國夢”,某大學(xué)派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)參加三個貧困縣的調(diào)研工作,每個縣至少去1人,且甲、乙兩人約定去同一個貧困縣,則不同的派遣方案共有()A.24 B.36 C.48 D.645.已知在中,角的對邊分別為,若函數(shù)存在極值,則角的取值范圍是()A. B. C. D.6.設(shè)數(shù)列的各項均為正數(shù),前項和為,,且,則()A.128 B.65 C.64 D.637.已知集合的所有三個元素的子集記為.記為集合中的最大元素,則()A. B. C. D.8.已知、,,則下列是等式成立的必要不充分條件的是()A. B.C. D.9.設(shè)是等差數(shù)列的前n項和,且,則()A. B. C.1 D.210.甲、乙、丙、丁四人通過抓鬮的方式選出一人周末值班(抓到“值”字的人值班).抓完鬮后,甲說:“我沒抓到.”乙說:“丙抓到了.”丙說:“丁抓到了”丁說:“我沒抓到."已知他們四人中只有一人說了真話,根據(jù)他們的說法,可以斷定值班的人是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁11.設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為,若從圓:的內(nèi)部隨機選取一點,則取自的概率為()A. B. C. D.12.“”是“,”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線的左右焦點分別關(guān)于兩漸近線對稱點重合,則雙曲線的離心率為_____14.如圖,某市一學(xué)校位于該市火車站北偏東方向,且,已知是經(jīng)過火車站的兩條互相垂直的筆直公路,CE,DF及圓弧都是學(xué)校道路,其中,,以學(xué)校為圓心,半徑為的四分之一圓弧分別與相切于點.當(dāng)?shù)卣顿Y開發(fā)區(qū)域發(fā)展經(jīng)濟(jì),其中分別在公路上,且與圓弧相切,設(shè),的面積為.(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式;(2)當(dāng)為何值時,面積為最小,政府投資最低?15.已知復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)的實部為____________.16.已知,,則與的夾角為.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知f(x)=|x+3|-|x-2|(1)求函數(shù)f(x)的最大值m;(2)正數(shù)a,b,c滿足a+2b+3c=m,求證:18.(12分)如圖,⊙的直徑的延長線與弦的延長線相交于點,為⊙上一點,,交于點.求證:~.19.(12分)已知函數(shù),且曲線在處的切線方程為.(1)求的極值點與極值.(2)當(dāng),時,證明:.20.(12分)分別為的內(nèi)角的對邊.已知.(1)若,求;(2)已知,當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時,求的周長.21.(12分)為了加強環(huán)保知識的宣傳,某學(xué)校組織了垃圾分類知識竟賽活動.活動設(shè)置了四個箱子,分別寫有“廚余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”;另有卡片若干張,每張卡片上寫有一種垃圾的名稱.每位參賽選手從所有卡片中隨機抽取張,按照自己的判斷將每張卡片放入對應(yīng)的箱子中.按規(guī)則,每正確投放一張卡片得分,投放錯誤得分.比如將寫有“廢電池”的卡片放入寫有“有害垃圾”的箱子,得分,放入其它箱子,得分.從所有參賽選手中隨機抽取人,將他們的得分按照、、、、分組,繪成頻率分布直方圖如圖:(1)分別求出所抽取的人中得分落在組和內(nèi)的人數(shù);(2)從所抽取的人中得分落在組的選手中隨機選取名選手,以表示這名選手中得分不超過分的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.22.(10分)已知在ΔABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且cosB(1)求b的值;(2)若cosB+3sin

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律,正弦函數(shù)的單調(diào)性,求出的最大值.【詳解】解:把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)在區(qū)間,上單調(diào)遞增,在區(qū)間,上,,,則當(dāng)最大時,,求得,故選:C.【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律,正弦函數(shù)的單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

由,,,再由向量在向量方向的投影為化簡運算即可【詳解】∵∴,∴,∴向量在向量方向的投影為.故選:B.【點睛】本題考查向量投影的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題3、C【解析】

根據(jù)“數(shù)”排在第三節(jié),則“射”和“御”兩門課程相鄰有3類排法,再考慮兩者的順序,有種,剩余的3門全排列,即可求解.【詳解】由題意,“數(shù)”排在第三節(jié),則“射”和“御”兩門課程相鄰時,可排在第1節(jié)和第2節(jié)或第4節(jié)和第5節(jié)或第5節(jié)和第6節(jié),有3種,再考慮兩者的順序,有種,剩余的3門全排列,安排在剩下的3個位置,有種,所以“六藝”課程講座不同的排課順序共有種不同的排法.故選:C.【點睛】本題主要考查了排列、組合的應(yīng)用,其中解答中認(rèn)真審題,根據(jù)題設(shè)條件,先排列有限制條件的元素是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

根據(jù)題意,有兩種分配方案,一是,二是,然后各自全排列,再求和.【詳解】當(dāng)按照進(jìn)行分配時,則有種不同的方案;當(dāng)按照進(jìn)行分配,則有種不同的方案.故共有36種不同的派遣方案,故選:B.【點睛】本題考查排列組合、數(shù)學(xué)文化,還考查數(shù)學(xué)建模能力以及分類討論思想,屬于中檔題.5、C【解析】

求出導(dǎo)函數(shù),由有不等的兩實根,即可得不等關(guān)系,然后由余弦定理可及余弦函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)論.【詳解】,.若存在極值,則,又.又.故選:C.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與極值,考查余弦定理.掌握極值存在的條件是解題關(guān)鍵.6、D【解析】

根據(jù),得到,即,由等比數(shù)列的定義知數(shù)列是等比數(shù)列,然后再利用前n項和公式求.【詳解】因為,所以,所以,所以數(shù)列是等比數(shù)列,又因為,所以,.故選:D【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的定義及等比數(shù)列的前n項和公式,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.7、B【解析】

分類討論,分別求出最大元素為3,4,5,6的三個元素子集的個數(shù),即可得解.【詳解】集合含有個元素的子集共有,所以.在集合中:最大元素為的集合有個;最大元素為的集合有;最大元素為的集合有;最大元素為的集合有;所以.故選:.【點睛】此題考查集合相關(guān)的新定義問題,其本質(zhì)在于弄清計數(shù)原理,分類討論,分別求解.8、D【解析】

構(gòu)造函數(shù),,利用導(dǎo)數(shù)分析出這兩個函數(shù)在區(qū)間上均為減函數(shù),由得出,分、、三種情況討論,利用放縮法結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性推導(dǎo)出或,再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.【詳解】構(gòu)造函數(shù),,則,,所以,函數(shù)、在區(qū)間上均為減函數(shù),當(dāng)時,則,;當(dāng)時,,.由得.①若,則,即,不合乎題意;②若,則,則,此時,,由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則,;③若,則,則,此時,由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則,.綜上所述,.故選:D.【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,構(gòu)造新函數(shù)是解本題的關(guān)鍵,解題時要注意對的取值范圍進(jìn)行分類討論,考查推理能力,屬于中等題.9、C【解析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡已知條件,求得的值.【詳解】由于等差數(shù)列滿足,所以,,.故選:C【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

可采用假設(shè)法進(jìn)行討論推理,即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,假設(shè)甲:我沒有抓到是真的,乙:丙抓到了,則丙:丁抓到了是假的,丁:我沒有抓到就是真的,與他們四人中只有一個人抓到是矛盾的;假設(shè)甲:我沒有抓到是假的,那么?。何覜]有抓到就是真的,乙:丙抓到了,丙:丁抓到了是假的,成立,所以可以斷定值班人是甲.故選:A.【點睛】本題主要考查了合情推理及其應(yīng)用,其中解答中合理采用假設(shè)法進(jìn)行討論推理是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與分析判斷能力,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

畫出不等式組表示的可行域,求得陰影部分扇形對應(yīng)的圓心角,根據(jù)幾何概型概率計算公式,計算出所求概率.【詳解】作出中在圓內(nèi)部的區(qū)域,如圖所示,因為直線,的傾斜角分別為,,所以由圖可得取自的概率為.故選:B【點睛】本小題主要考查幾何概型的計算,考查線性可行域的畫法,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

先求出滿足的值,然后根據(jù)充分必要條件的定義判斷.【詳解】由得,即,,因此“”是“,”的必要不充分條件.故選:B.【點睛】本題考查充分必要條件,掌握充分必要條件的定義是解題基礎(chǔ).解題時可根據(jù)條件與結(jié)論中參數(shù)的取值范圍進(jìn)行判斷.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

雙曲線的左右焦點分別關(guān)于兩條漸近線的對稱點重合,可得一條漸近線的斜率為1,即,即可求出雙曲線的離心率.【詳解】解:雙曲線的左右焦點分別關(guān)于兩條漸近線的對稱點重合,一條漸近線的斜率為1,即,,,故答案為:.【點睛】本題考查雙曲線的離心率,考查學(xué)生的計算能力,確定一條漸近線的斜率為1是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.14、(1);(2).【解析】

(1)以點為坐標(biāo)原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則,在中,設(shè),又,故,,進(jìn)而表示直線的方程,由直線與圓相切構(gòu)建關(guān)系化簡整理得,即可表示OA,OB,最后由三角形面積公式表示面積即可;(2)令,則,由輔助角公式和三角函數(shù)值域可求得t的取值范圍,進(jìn)而對原面積的函數(shù)用含t的表達(dá)式換元,再令進(jìn)行換元,并構(gòu)建新的函數(shù),由二次函數(shù)性質(zhì)即可求得最小值.【詳解】解:(1)以點為坐標(biāo)原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則,在中,設(shè),又,故,.所以直線的方程為,即.因為直線與圓相切,所以.因為點在直線的上方,所以,所以式可化為,解得.所以,.所以面積為.(2)令,則,且,所以,.令,,所以在上單調(diào)遞減.所以,當(dāng),即時,取得最大值,取最小值.答:當(dāng)時,面積為最小,政府投資最低.【點睛】本題考查三角函數(shù)的實際應(yīng)用,應(yīng)優(yōu)先結(jié)合實際建立合適的數(shù)學(xué)模型,再按模型求最值,屬于難題.15、【解析】

利用復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的除法運算計算即可得到答案.【詳解】,所以復(fù)數(shù)的實部為2.故答案為:2【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算,考查學(xué)生的基本計算能力,是一道基礎(chǔ)題.16、【解析】

根據(jù)已知條件,去括號得:,三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)見解析【解析】

(1)利用絕對值三角不等式求得的最大值.(2)由(1)得.方法一,利用柯西不等式證得不等式成立;方法二,利用“的代換”的方法,結(jié)合基本不等式證得不等式成立.【詳解】(1)由絕對值不等式性質(zhì)得當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立,所以(2)由(1)得.法1:由柯西不等式得當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,即,所以.法2:由得,,當(dāng)且僅當(dāng)時“=”成立.【點睛】本小題主要考查絕對值三角不等式,考查利用柯西不等式、基本不等式證明不等式,屬于中檔題.18、證明見解析【解析】

根據(jù)相似三角形的判定定理,已知兩個三角形有公共角,題中未給出線段比例關(guān)系,故可根據(jù)判定定理一需找到另外一組相等角,結(jié)合平面幾何的知識證得即可.【詳解】證明:∵,所以,又因為,所以.在與中,,,故~.【點睛】本題考查平面幾何中同弧所對的圓心角與圓周角的關(guān)系、相似三角形的判定定理;考查邏輯推理能力和數(shù)形結(jié)合思想;分析圖形,找出角與角之間的關(guān)系是證明本題的關(guān)鍵;屬于基礎(chǔ)題.19、(1)極小值點為,極小值為,無極大值;(2)證明見解析【解析】

先對函數(shù)求導(dǎo),結(jié)合已知及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求,結(jié)合單調(diào)性即可求解函數(shù)的極值點及極值;令,問題可轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值,結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求.【詳解】(1)由題得函數(shù)的定義域為.,由已知得,解得∴,令,得令,得,∴在上單調(diào)遞增.令,得∴在上單調(diào)遞減∴的極小值點為,極小值為,無極大值.(2)證明:由(1)知,∴,令,即∵,,∴恒成立.∴在上單調(diào)遞增又,∴在上恒成立∴在上恒成立∴,即∴【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題,考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平,屬于中檔題.20、(1)(2)【解析】

(1)根據(jù)正弦定理,將,化角為邊,即可求出,再利用正弦定理即可求出;(2)根據(jù),選擇,所以當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時,最大,結(jié)合(1)中條件,即可求出最大時,對應(yīng)的的值,再根據(jù)余弦定理求出邊,進(jìn)而得到的周長.【詳解】(1)由,得,即.因為,所以.由,得.(2)因為,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.因為的面積.所以當(dāng)時,的面積取得最大值,此時,則,所以的周長為.【點睛】本題主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形,涉及到基本不等式的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運算能力.21、(1)所抽取的人中得分落在組和內(nèi)的人數(shù)分別為人、人;(2)分布列見解析,.【解析】

(1)將分別乘以區(qū)間、對應(yīng)的矩形面積可得出結(jié)果;(2)由題可知,隨機變量的可能取值為、、,利用超幾何分布概率

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