專題15概率（知識梳理精講）原卷版

專題15概率知識點一有關隨機事件的概率(1)任何兩個基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.例1．（1）、（2024上·四川宜賓·高二統(tǒng)考期末）袋子中裝有4個大小質地完全相同的球，其中2個白球，2個紅球，從中不放回地依次隨機摸出2個球．記事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“兩個球顏色相同”（

）A．事件A與事件B互斥 B．事件A與事件B獨立C．事件A與事件B對立 D．事件C包含事件（2）、（2024上·湖北十堰·高三統(tǒng)考期末）有5張相同的卡片，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，從中有放回地隨機取兩次，每次取1張卡片．表示事件“第一次取出的卡片上的數(shù)字為2”，表示事件“第二次取出的卡片上的數(shù)字為1”，表示“事件兩次取出的卡片上的數(shù)字之和為6”，表示事件“兩次取出的卡片上的數(shù)字之和為7”，則（

）A．與相互獨立 B．與相互獨立C．與相互獨立 D．與相互獨立（3）、（2024上·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）下列說法正確的是（

）A．對立事件一定是互斥事件B．若是互斥事件，則C．甲乙兩人獨立地解同一道題，已知各人能解出該題的概率分別是0.5和0.25，則該題被解出的概率是0.75D．從中任取2個不同的數(shù)，則取出的2個數(shù)之差的絕對值為2的概率是1．（2024上·內蒙古錫林郭勒盟·高二統(tǒng)考期末）將一枚均勻硬幣連續(xù)拋擲兩次，下列事件中與事件“至少一次正面向上”互為對立事件的是（

）A．至多一次正面向上 B．兩次正面都向上C．只有一次正面向上 D．兩次都沒有正面向上2．（2024上·湖北恩施·高二恩施土家族苗族高中?？茧A段練習）拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，設“第一次向上的點數(shù)是2”為事件，“第二次向上的點數(shù)是奇數(shù)”為事件，“兩次向上的點數(shù)之和能被3整除”為事件，則下列說法正確的是（

）A．事件與事件互斥B．C．D．事件與事件不相互獨立3．（2023下·湖南岳陽·高一統(tǒng)考期末）將一枚質地均勻且標有數(shù)字1，2，3，4，5，6的骰子隨機擲兩次，記錄每次正面朝上的數(shù)字，甲表示事件“第一次擲出的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次擲出的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次擲出的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次擲出的數(shù)字之和是7”.則（

）A．事件甲與事件丙是互斥事件B．事件甲與事件丁是相互獨立事件C．事件乙包含于事件丙D．事件丙與事件丁是對立事件知識點二有關古典概型的概率1.古典概型具有以下兩個特征的概率模型稱為古典的概率模型，簡稱古典概型.(1)試驗的所有可能結果只有有限個，每次試驗只出現(xiàn)其中的一個結果.(2)每一個試驗結果出現(xiàn)的可能性相同.2.如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結果有n個，而且所有結果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是eq\f(1,n)；如果某個事件A包括的結果有m個，那么事件A的概率P(A)＝eq\f(m,n).3.古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(事件A包含的可能結果數(shù),試驗的所有可能結果數(shù)).例2．（1）、（2024上·陜西漢中·高一南鄭中學校聯(lián)考期末）為充分挖掘“漢風古韻”文化內涵，漢中市創(chuàng)新策劃了“漢風年，老家過”2024年迎新春系列文化活動，活動圍繞“潮、賞、購、趣、游”5個主題開展.某公司計劃從5個主題中選取2個主題制作吉祥物，則主題“游”當選的概率為.（2）、（2023上·河南安陽·高一校聯(lián)考期末）在足球比賽中通常要求雙方穿著顏色不同的球衣，已知甲隊有白、黑、紅3種顏色的球衣，乙隊有藍、白、黑3種顏色的球衣．若甲、乙兩隊隨機挑選一套球衣進行比賽，則他們的球衣顏色符合要求的概率為（

）A． B． C． D．（3）、（2023上·廣東佛山·高二校聯(lián)考期中）某戲曲學院圖書館藏有四部戲曲名著各10本，由于該戲曲學院的部分學生對《牡丹亭》這部戲曲產(chǎn)生了濃厚的興趣，該戲曲學院圖書館決定購買一批《牡丹亭》戲曲書籍（其他三部數(shù)量保持不變）若干本．若要保證購買后在該戲曲學院圖書館所藏有的這四大戲曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戲曲書籍的概率不小于0.6，則該戲曲學院圖書館需至少購買《牡丹亭》戲曲書籍（

）A．25本 B．30本 C．35本 D．40本1．（2023上·上?！じ叨虾Ｊ邢蛎髦袑W?？茧A段練習）桌上有三個紙杯，正中間那一個有巧克力，現(xiàn)采取如下操作：將正中間那個紙杯和左右兩邊中的任意一個紙杯互換，記為一次操作，重復上述操作4次，則正中間紙杯中有巧克力的概率是.2．（2024上·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如．在不大于10的素數(shù)中，選兩個不同的數(shù)，和為偶數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．3．（2023上·廣東佛山·高二校聯(lián)考階段練習）《易經(jīng)》是中國文化中的精髓，如圖，這是易經(jīng)八卦圖（含乾?坤?巽?震?坎?離?艮?兌八卦），每一卦由三根線組成（表示一根陽線，稱為陽爻，表示一根陰線，稱為陰爻），從八卦中任取一卦，則卦中陽爻比陰爻多的概率為（

）A． B． C． D．例3．（2024上·廣西桂林·高一統(tǒng)考期末）2023年11月，首屆全國學生（青年）運動會在廣西舉行.10月31日，學青會火炬?zhèn)鬟f在桂林舉行，廣西師范大學有5名教師參與了此次傳遞，其中男教師2名，女教師3名.現(xiàn)需要從這5名教師中任選2名教師去參加活動.(1)寫出試驗“從這5名教師中任選2名教師”的樣本空間；(2)求選出的2名教師中至多有1名男教師的概率.例4．（2024上·四川巴中·高二統(tǒng)考期末）新高考科目設置采用“”模式，普通高中學生從高一升高二時將面臨選擇物理還是歷史的問題，某校進行了大數(shù)據(jù)統(tǒng)計，在1000名學生的問卷調查中，發(fā)現(xiàn)有800名學生選擇了物理，200名學生選擇了歷史．(1)從這1000名學生中按選科比例選出五名學生將選科信息錄入系統(tǒng)，同時在這五名學生中抽取兩名學生作為組長，寫出樣本空間；(2)求出（1）中兩名組長出自不同選科的概率．例5．（2024上·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）在一次猜燈速的活動中，共有20道燈謎，甲乙兩名同學之間獨立競猜.甲同學猜對了16道，乙同學猜對了12道，假設猜對每道燈謎都是等可能的.(1)任選一道燈謎，求甲和乙各自猜對的概率；(2)任選一道燈謎，求甲和乙至少一人猜對的概率.例6．（2024上·云南大理·高二統(tǒng)考期末）算盤是我國古代一項偉大的發(fā)明，是一類重要的計算工具．如圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左，分別表示個位、十位、百位、千位、……，上面一粒珠子（簡稱上珠）代表5，下面一粒珠子（簡稱下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大?。纾瑐€位撥動一粒上珠、十位撥動一粒下珠至梁上，表示數(shù)字15．現(xiàn)將算盤的個位、十位、百位分別隨機撥動一粒珠子至梁上，設事件“表示的三位數(shù)能被5整除”，“表示的三位數(shù)能被3整除”．(1)求事件發(fā)生的概率；(2)求事件或發(fā)生的概率．.知識點三有關長度的幾何概率1.幾何概型的定義如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型.2.幾何概型的兩個基本特點(1)無限性：在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結果有無限多個；(2)等可能性：每個結果的發(fā)生具有等可能性.3.幾何概型的概率公式P(A)＝eq\f(構成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）,試驗的全部結果所構成的區(qū)域長度（面積或體積）).例7．（1）、（2023上·內蒙古包頭·高三統(tǒng)考開學考試）一個路口的紅綠燈，紅燈的時間為40秒，黃燈的時間為5秒，綠燈的時間為45秒，當你到達路口時，看見黃燈的概率為（

）A． B． C． D．（2）、（2022下·內蒙古赤峰·高二統(tǒng)考期末）在區(qū)間上任取一個數(shù)x，若x滿足的概率為，則實數(shù)m的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．81．（2023·江西撫州·金溪一中統(tǒng)考模擬預測）在區(qū)間[0，π]上隨機取一個數(shù)x，則事件“”的概率為（

）A． B． C． D．2．（2022上·陜西榆林·高二?？计谀┰趨^(qū)間內隨機取一個實數(shù)，則的概率為（

）A． B． C． D．知識點四有關面積的幾何概率例8．（1）、（2023·貴州畢節(jié)·校考模擬預測）勾股定理，是幾何學中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學的基石”，而且在高等數(shù)學和其他學科中也有著極為廣泛的應用．正因為這樣，世界上幾個文明古國都已發(fā)現(xiàn)并且進行了廣泛深入的研究，因此有許多名稱．我國古代數(shù)學家趙爽在所注解的《周髀算經(jīng)》中給出了一種勾股定理的絕妙證明．如圖，這是趙爽的弦圖及注文，弦圖是一個以勾股形之弦為邊的正方形，其面積稱為弦實．圖中包含四個全等的勾股形及一個小正方形，分別涂成紅（朱）色及黃色，其面積稱為朱實、黃實，利用2×勾×股+（股勾）=4×朱實+黃實=弦實，化簡得勾+股=弦．設勾股形中勾股比為5∶12，現(xiàn)給弦圖內的4個朱色三角形分別作內切圓，并向弦圖內隨機拋擲1粒芝麻（大小忽略不計），則芝麻落在所作的4個內切圓中的概率為（

）A． B． C． D．（2）、（2023·內蒙古包頭·統(tǒng)考二模）小王家訂了一份報紙，送報人可能在早上之間把報送到小王家，小王離開家去工作的時間在早上之間．用A表示事件：“小王在離開家前能得到報紙”，設送報人到達的時間為x，小王離開家的時間為y，看成平面中的點，則用幾何概型的公式得到事件A的概率P（A）等于（

）A． B． C． D．1．（2022·甘肅臨夏·統(tǒng)考一模）如圖是一張剪紙窗花，外部正六邊形的