2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與達(dá)標(biāo)檢測(cè)第16講導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值最值

第16講導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用——導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值思維導(dǎo)圖知識(shí)梳理1．函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極小值：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，則點(diǎn)a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．(2)函數(shù)的極大值：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，則點(diǎn)b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．2．函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．題型歸納題型1利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問(wèn)題——根據(jù)函數(shù)圖象判斷函數(shù)極值【例11】（2020春?宜賓期末）如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則函數(shù)的極大值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A．3 B．2 C．1 D．0【分析】通過(guò)讀圖得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值點(diǎn)，得出答案．【解答】解：由圖象知在，上，所以此時(shí)函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，所以時(shí)，函數(shù)取得極大值，時(shí)，函數(shù)取得極小值．則函數(shù)的極大值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1．故選：．【例12】（2019秋?未央?yún)^(qū)校級(jí)期末）函數(shù)的圖象如圖所示，則關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法正確的是A．函數(shù)有3個(gè)極值點(diǎn) B．函數(shù)在區(qū)間上是增加的 C．函數(shù)在區(qū)間上是增加的 D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可知，，函數(shù)單調(diào)遞增，，函數(shù)單調(diào)遞減，結(jié)合圖象即可判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值．【解答】解：結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可知，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值故選：．【跟蹤訓(xùn)練11】（2019秋?臨渭區(qū)期末）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則關(guān)于的結(jié)論正確的是A．在區(qū)間上為減函數(shù) B．在處取得極小值 C．在區(qū)間，上為增函數(shù) D．在處取得極大值【分析】結(jié)合圖象求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)即可．【解答】解：由圖象得：在遞減，在遞增，在遞減，故在取極小值，在取極大值，故選：．【跟蹤訓(xùn)練12】（2019秋?咸陽(yáng)期末）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖，則下列敘述正確的是A．函數(shù)在上單調(diào)遞減 B．函數(shù)在處取得極大值 C．函數(shù)在處取得極值 D．函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的集合意義，通過(guò)數(shù)形結(jié)合法可判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值可得答案；【解答】解：由已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，在區(qū)間，，在，在區(qū)間，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的定義和集合意義，導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)，原函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)，原函數(shù)單調(diào)遞減，導(dǎo)函數(shù)等于0時(shí)是原函數(shù)的拐點(diǎn)位置，可能為原函數(shù)取極值處，通過(guò)函數(shù)單調(diào)性函數(shù)取極值的左右兩側(cè)區(qū)間原函數(shù)的圖象單調(diào)性相反判斷可得：、，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減錯(cuò)誤；、，，，，函數(shù)在處取得極大值錯(cuò)誤；、，，，，，，函數(shù)在處取得極值錯(cuò)誤；、，，，，函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)正確；故選：．【名師指導(dǎo)】由圖象判斷函數(shù)y＝f(x)的極值，要抓住兩點(diǎn)：(1)由y＝f′(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)，可得函數(shù)y＝f(x)的可能極值點(diǎn)；(2)由導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象可以看出y＝f′(x)的值的正負(fù)，從而可得函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性．兩者結(jié)合可得極值點(diǎn)．題型2利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問(wèn)題——已知函數(shù)求極值或極值點(diǎn)【例21】（2020春?順義區(qū)期末）已知函數(shù)，則的極大值點(diǎn)為A． B． C． D．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)等于0求得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)函數(shù)的定義域分段，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在各段內(nèi)的符號(hào)判斷函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的極值點(diǎn)．【解答】解：由，得：．由，得：，或．由，得：．所以，函數(shù)的增區(qū)間為，．函數(shù)的減區(qū)間為．所以，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)．故選：．【例22】（2020春?海淀區(qū)校級(jí)期末）函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn)為A． B． C． D．【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的極小值點(diǎn)．【解答】解：，，令，解得或，，當(dāng)時(shí)，，或，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，或，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在，，，上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在，，，上單調(diào)遞減，函數(shù)函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn)為，故選：．【跟蹤訓(xùn)練21】（2020春?樂(lè)山期中）函數(shù)的極小值是A．4 B．2 C． D．【分析】求導(dǎo)，分析單調(diào)性，可得極小值．【解答】解：函數(shù)定義域：．，令，得或1，在，上，，單調(diào)遞增，在上，，單調(diào)遞減，所以（1），故選：．【跟蹤訓(xùn)練22】（2020春?龍巖期末）函數(shù)的極大值為．【分析】求導(dǎo)數(shù)便可得出，容易看出為方程的解，從而可判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而得出該函數(shù)的極大值點(diǎn)．【解答】解：；時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，；是的極大值點(diǎn)．函數(shù)的極大值為：．故答案為：．【名師指導(dǎo)】求函數(shù)的極值或極值點(diǎn)的步驟(1)求導(dǎo)數(shù)f′(x)，不要忘記函數(shù)f(x)的定義域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)檢查在方程的根的左右兩側(cè)f′(x)的符號(hào)，確定極值點(diǎn)或函數(shù)的極值．題型3利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問(wèn)題——已知函數(shù)的極值點(diǎn)或極值求參數(shù)的值或范圍【例31】（2020春?赤峰期末）若函數(shù)存在極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．， C． D．，【分析】先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)題意在上有根，得到與在有交點(diǎn)，進(jìn)而得出答案．【解答】解：根據(jù)題意得在上有零點(diǎn)，所以在上有根，即在上有根，即與在有交點(diǎn)，因?yàn)榍覇握{(diào)，所以，故選：．【例32】（2020春?荊州期末）若當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B． C． D．【分析】求導(dǎo)得，根據(jù)題意可得在上有兩個(gè)根，從而得到在上有兩個(gè)根，設(shè)，求導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，求出的最小值，進(jìn)而得出答案．【解答】解：，根據(jù)題意，可得在上兩個(gè)根，即在上有兩個(gè)根，即在上有兩個(gè)根，設(shè)，則，在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，所以（1），所以．故選：．【跟蹤訓(xùn)練31】（2020春?濰坊期末）已知時(shí)，函數(shù)取得極大值，則A． B． C．4 D．2【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極大值點(diǎn)即可．【解答】解：，，令，解得：或，令，解得：，故在遞增，在遞減，在遞增，故時(shí)，取極大值，則，故選：．【跟蹤訓(xùn)練32】（2020春?南陽(yáng)期末）已知函數(shù)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【分析】根據(jù)題意可得只有一個(gè)解只有一個(gè)解與只有一個(gè)交點(diǎn)，求導(dǎo)數(shù)，分析單調(diào)性，及當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，畫(huà)出函數(shù)的草圖，及可得的取值范圍，再檢驗(yàn)是否符合題意，即可得出答案．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，所以只有一個(gè)解，即，只有一個(gè)解，即與只有一個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以（1），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，畫(huà)出函數(shù)的草圖如下：結(jié)合圖象可得或，解得或，當(dāng)時(shí)，，所以，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以（1），所以恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)．所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，．【跟蹤訓(xùn)練33】（2020?臨川區(qū)校級(jí)一模）已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【分析】，，由函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)可得和在上有兩個(gè)交點(diǎn)，，令，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．【解答】解：，，由函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)可得和在上有兩個(gè)交點(diǎn)，，令，則，在上單調(diào)遞減且（1），當(dāng)，時(shí)，，即，在，上單調(diào)遞增，（1），當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞減．故（1），而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；若和的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，只需，故．故答案為：，．【名師指導(dǎo)】已知函數(shù)極值點(diǎn)或極值求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)(1)列式：根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解．(2)驗(yàn)證：因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證根的合理性．題型4利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值【例41】（2020春?克什克騰旗校級(jí)月考）（文科普班）已知，若，求函數(shù)的最小值．【分析】代入的值，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最值即可．【解答】解：時(shí)，，，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在遞增，故．【例42】（2020春?徐州期中）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在，上的最大值和最小值．【分析】（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）先求出函數(shù)在區(qū)間，上的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最值問(wèn)題．【解答】解：（1），令，解得：，令，解得：；函數(shù)的增區(qū)間：，減區(qū)間：；（2）由（1）得：在，遞減，在，遞增，，，（1）（1）．【跟蹤訓(xùn)練41】（2020春?十堰期末）函數(shù)在，上的最大值為2，則的值為A． B．2 C．5 D．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不等式，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最大值，得到關(guān)于的方程，解出即可．【解答】解：．令，解得：，令，解得：，故在，遞減，在，遞增，故的最大值是或（3），而（3），故，故選：．【跟蹤訓(xùn)練42】（2020春?內(nèi)江期末）函數(shù)在，上的A．最小值為0，最大值為 B．最小值為0，最大值為 C．最小值為1，最大值為 D．最小值為1，最大值為【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可得在，上恒成立，可得在，上的單調(diào)遞增，則最值可求．【解答】解：由，得，函數(shù)在，上的單調(diào)遞增，則；．函數(shù)在，上的最小值為1，最大值為．故選：．【跟蹤訓(xùn)練43】（2020春?沭陽(yáng)縣期中）已知函數(shù)，且（1）．（1）求的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間，上的最大值．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用（1），求解即可．（2）結(jié)合（1）化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解函數(shù)的最大值即可．【解答】解：（1），可得，因?yàn)椋?），得，解得．（2）由（1）得，因?yàn)椋栽?，上單調(diào)遞增，最大值為（3）．【名師指導(dǎo)】導(dǎo)數(shù)法求給定區(qū)間上函數(shù)的最值問(wèn)題的一般步驟(1)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；(2)求f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性和極值；(3)求f(x)在給定區(qū)間上的端點(diǎn)值；(4)將f(x)的各極值與f(x)的端點(diǎn)值進(jìn)行比較，確定f(x)的最大值與最小值；(5)反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)和解題規(guī)范．題型5利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)極值和最值的綜合問(wèn)題【例51】（2020春?朝陽(yáng)區(qū)期末）已知函數(shù)，（Ⅰ）若，求證：當(dāng)，時(shí)，恒成立；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間，上的最大值和最小值；（Ⅲ）若函數(shù)存在極大值和極小值，且極大值和極小值的差不超過(guò)4，求的取值范圍．【分析】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，．設(shè)，通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后推出結(jié)果．（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，．利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出極值點(diǎn)，判斷函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的極值以及最值即可．（Ⅲ），求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)的范圍，判斷函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性，求出的范圍．【解答】解：（Ⅰ）證明：當(dāng)時(shí)，．設(shè)，則．因?yàn)?，，所以．所以在，上單調(diào)遞增，所以（1）．所以當(dāng)，時(shí)，恒成立．（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，．所以．令得或．當(dāng)在，上變化時(shí)，，的變化情況如下表：012001極大值極小值13所以，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的最大值為（2），函數(shù)的最小值為（1）．（Ⅲ）因?yàn)椋裕畹没颍李}意，函數(shù)存在極大值和極小值，所以．（?。┊?dāng)時(shí)，．當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：00極大值極小值所以函數(shù)的極大值為，極小值為（a）．依題意有，所以．所以，．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，．當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：00極大值極小值所以函數(shù)的極大值為（a），極小值為．依題意有，所以．所以，．綜上所述，，，．【跟蹤訓(xùn)練51】（2020春?貴池區(qū)校級(jí)期中）已知，．（1）若在處取極值，求在點(diǎn)處切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間，最小值為，求．【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合在處取極值，導(dǎo)函數(shù)為0，求解，然后求解切線的斜率，求解切線方程．（2）令，求出極值點(diǎn)，若，若，若，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的極值與最值，然后推出結(jié)果．【解答】解：