430137081.沖刺211微專(zhuān)題之分段函數(shù)

第一章分段函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題【重要知識(shí)點(diǎn)梳理】一、復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題處理策略：考慮關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)，在解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要分為兩層來(lái)分析，第一層是解關(guān)于的方程，觀察有幾個(gè)的值使得等誰(shuí)成立；第二層是結(jié)合著第一層的值求出每一個(gè)被幾個(gè)對(duì)應(yīng)，將的個(gè)數(shù)匯總后即為的根的個(gè)數(shù).【典例分析】例1.已知函數(shù)，若函數(shù)存在5個(gè)零點(diǎn)，則整數(shù)的值為.解析∵，∴令，則，∴或，∵函數(shù)存在5個(gè)零點(diǎn)．∴與交點(diǎn)加上與交點(diǎn)共5個(gè)，畫(huà)出的草圖如下：，∴整數(shù)的值為2．點(diǎn)評(píng)本題考察分段函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，由存在5個(gè)零點(diǎn)，我們先令得出或，進(jìn)而我們畫(huà)出的圖象，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，就可以得出參數(shù)的取值范圍了！事實(shí)上這個(gè)題干虛數(shù)有不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牡胤?，函?shù)存在5個(gè)零點(diǎn)，那么有6個(gè)零點(diǎn)是不是肯定也存在5個(gè)零點(diǎn)．舉個(gè)很簡(jiǎn)單的例子，你兜里只有一張100元的鈔票，班里老師臨時(shí)需要借錢(qián)辦雜事，問(wèn)班里誰(shuí)有50塊錢(qián)，相信你一定會(huì)舉手！你肯定會(huì)想，我都有100了，難道還沒(méi)有50塊．所以我覺(jué)得目前的條件不同的人會(huì)有不同的理解，條件最好改為函數(shù)有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，這樣就不會(huì)有任何歧義了！例2.已知函數(shù)．若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．解析（巧妙轉(zhuǎn)化，靈活處理）令，∴，一、若，此時(shí)，，∵，無(wú)零點(diǎn)，舍去，（如下圖）二、當(dāng)時(shí)，，，由于，此時(shí)和各有兩個(gè)零點(diǎn)，共4個(gè)零點(diǎn)，滿足題意．（如下圖）三、當(dāng)（時(shí)不符合題意，舍去），即，∴，無(wú)零點(diǎn)，要使共4個(gè)零點(diǎn)，則，要有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且兩個(gè)零點(diǎn)均比大，結(jié)合圖象知．綜上，的取值范圍是．例3.已知函數(shù)，（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為 A. B. C. D.解析令，，令，在，上分別單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．．分別畫(huà)出與的圖象．①當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，且，，此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，有兩個(gè)零點(diǎn)，共三個(gè)零點(diǎn)，不符合題意舍去．當(dāng)以及的情況同理舍去．②當(dāng)時(shí)，有四個(gè)零點(diǎn)，，，（），且，，，各有一個(gè)零點(diǎn)，共兩個(gè)零點(diǎn)．，有兩個(gè)零點(diǎn)，其實(shí)要使有4個(gè)零點(diǎn)，則無(wú)零點(diǎn)．∴，∵，∴，選C．例4.設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意給定的，都存在一唯一的，滿足，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為 A. B. C. D.解析，先作出的大致圖象．（如下圖）令，要存在唯一的，使成立，則對(duì)任意給定的，有唯一的根，只需．例5.若函數(shù)有極值點(diǎn)，，且，則關(guān)于的方程的不同實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)是.解析，由題意，不妨設(shè)，，為方程的兩個(gè)根．且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．∴，．∵，設(shè)，原方程變?yōu)椋傻?，．再解，即，，?huà)出的草圖：∵，則由圖象可知有兩個(gè)零點(diǎn)，∵，∴有一個(gè)零點(diǎn)，共3個(gè)零點(diǎn)．故關(guān)于的方程的不同實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)是3．二、不動(dòng)點(diǎn)與穩(wěn)定點(diǎn)對(duì)于函數(shù)，我們把使得成立的稱(chēng)為函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”，把使得成立的稱(chēng)為函數(shù)的“穩(wěn)定點(diǎn)”，函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”構(gòu)成的集合分別為和．即，，①若無(wú)解，則也無(wú)解．證明若無(wú)解，當(dāng)恒成立時(shí)，則，∴，即也無(wú)解；當(dāng)恒成立時(shí)，則，∴，即也無(wú)解．故無(wú)解，則也無(wú)解．②若有唯一的不動(dòng)點(diǎn)，則也有唯一的不動(dòng)點(diǎn)．證明設(shè)的唯一的不動(dòng)點(diǎn)為，那么有．就有不動(dòng)點(diǎn)．如果的不動(dòng)點(diǎn)不是唯一的，則假設(shè)還存在第二個(gè)不動(dòng)點(diǎn)（）．即，則，必存在不動(dòng)點(diǎn)．這與有唯一的不動(dòng)點(diǎn)矛盾，故假設(shè)不成立，即也有唯一的不動(dòng)點(diǎn)．③有解時(shí)，的所有實(shí)數(shù)解也是的解．證明有解時(shí)，設(shè)為其任一解，則，∴，∴也為的解．即有解時(shí)，的所有實(shí)數(shù)解也是的解．例1.已知是定義在上的函數(shù)，若方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則可能是 A. B. C. D.解析我們知道無(wú)解時(shí)，也無(wú)解．有解時(shí)，的所有實(shí)數(shù)解也是的解．解的個(gè)數(shù)解的個(gè)數(shù)．對(duì)于A選項(xiàng)，，考察得，，故至少有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，故舍去；對(duì)于B選項(xiàng)，無(wú)實(shí)根，故也無(wú)實(shí)根，故舍去；對(duì)于C選項(xiàng)，無(wú)實(shí)根，故也無(wú)實(shí)根，故舍去；對(duì)于D選項(xiàng)，只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，故至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解，下說(shuō)明其解唯一，，∴，，解得．故選D．例2.已知函數(shù)（，），集合，，若且存在，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 A. B.或 C. D.或解析∵，設(shè)且，∴，，∴，，故，，由，，∵存在，，故有實(shí)根，且0，不同時(shí)為它的實(shí)根，即，∴或，故或，選B．三、迭代型函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題通常的類(lèi)型是：已知函數(shù)，定義：，，…，，讓探究零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題．這種題目一般有兩種處理方法：①畫(huà)圖處理；②規(guī)律探尋：同學(xué)們考場(chǎng)上遇到這種題，實(shí)在沒(méi)辦法的話，可以令，2，3，算幾個(gè)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，找下規(guī)律．例1.已知函數(shù)．定義：，，…，，，3，4，…滿足的點(diǎn)稱(chēng)為的階不動(dòng)點(diǎn)．則的階不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè)解析，，則的1階不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2，2階不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是4，3階不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是8，階不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是．例2.設(shè)，，，…，一般地，其中，則使方程有2018個(gè)根的值為．解析時(shí)，，時(shí)，令，∴有三段，有五段，…，有段，有2018個(gè)正根，令，∴，結(jié)合的圖象可知，有個(gè)實(shí)數(shù)根，，，…，（），有三個(gè)實(shí)數(shù)根，（）對(duì)每個(gè)都有一個(gè)實(shí)根，共個(gè)實(shí)根．則，．例3.定義函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間（）內(nèi)的所有零點(diǎn)之和為 A. B. C. D.解析的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根，再轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示．每一個(gè)尖頂?shù)淖鴺?biāo)為．在區(qū)間（）上經(jīng)過(guò)共個(gè)尖頂，所有零點(diǎn)之和為，選D．四、分段函數(shù)之奇偶性與周期性結(jié)合例1.已知是定義在上且周期為3的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)在區(qū)間上有10個(gè)零點(diǎn)（互不相同），則實(shí)數(shù)的取值范圍是.解析是定義在上且周期為3的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)在區(qū)間上有10個(gè)零點(diǎn)（互不相同），在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)與的圖象如圖：由圖象可知，故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考察函數(shù)的圖象及函數(shù)的零點(diǎn)的求法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用．例2.已知周期為4的函數(shù)，若方程恰好有5個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．解析當(dāng)時(shí)，由得（），實(shí)質(zhì)上為一個(gè)半橢圓，其圖象如圖所示，同時(shí)在坐標(biāo)系中作出當(dāng)時(shí)的圖象，再根據(jù)周期性作出函數(shù)其他部分的圖象，由圖象易知若方程恰好有5個(gè)實(shí)數(shù)根，則等價(jià)為與恰好有5個(gè)交點(diǎn)，即與第二個(gè)半橢圓相交，而與第三個(gè)半橢圓無(wú)公共點(diǎn)時(shí)，方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解．將代入得，即，則判別式得，即，即，則，將代入得，即，則判別式得，即，即，則．當(dāng)時(shí)，，綜上實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的周期性作出函數(shù)的田象，轉(zhuǎn)化為直線和橢圓的位置關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大.例3.已知定義在上的函數(shù)滿足：，且，，若函數(shù)在區(qū)間上有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.解析聯(lián)立，，結(jié)合圖象知，要使在區(qū)間上有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．五、當(dāng)分段函數(shù)遇見(jiàn)了惱人的邏輯關(guān)聯(lián)詞例1.已知，若存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是.解析由題意，問(wèn)題等價(jià)于方程與方程的根的個(gè)數(shù)和為2，若兩個(gè)方程各有一個(gè)根：則可知關(guān)于的不等式組有解，∴，從而；若方程無(wú)解，方程有2個(gè)根：則可知關(guān)干的不等式組，從而，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．例2.已知，若對(duì)任意的，與總有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.解析令，∴，令，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，無(wú)零點(diǎn)．而當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，此時(shí)由圖知與始終有交點(diǎn)滿足題意．當(dāng)，設(shè)直線與切于．∴，，∴，∴，，，此時(shí)只需，∴，綜上：．例3.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．解析當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，而值域不可能為，當(dāng)時(shí)，這與值域?yàn)橄矶?，舍去，?dāng)時(shí)，取，滿足值域?yàn)椋剩?.（2018江蘇南京高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期初學(xué)情調(diào)研）已知函數(shù)，若存在唯一的整數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.解析作出的函數(shù)圖象如圖所示：（1）當(dāng)時(shí)，，∵存在唯一的整數(shù)，使得成立，∴只有1個(gè)整數(shù)解，又，∴．（2）若，則，∵存在唯一的整數(shù)，使得成立，∴只有1個(gè)整數(shù)解，又，，∴．∴當(dāng)或時(shí)，只有1個(gè)整數(shù)解．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)的圖象，屬于中檔題．解后思：對(duì)于方程解的個(gè)數(shù)（或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)）問(wèn)題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圈，從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對(duì)稱(chēng)性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．六、分段函數(shù)中的圖象變換例1.已知函數(shù)，．若方程恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.解析在同一坐標(biāo)系中畫(huà)和的圖象（如圖），問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與圖象恰有四個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)與（或與）相切時(shí)，與的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)．把代入，得，即，由，得，解得或．又當(dāng)時(shí)，與僅兩個(gè)交點(diǎn)，∴或．例2.知函數(shù)，，則方程實(shí)根的個(gè)數(shù)為.解析解法1當(dāng)時(shí)，由得，解得或（舍去）．當(dāng)時(shí)，由得或．分別在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出函數(shù)與的圖象（如圖1）和函數(shù)與的圖象（如圖2）．當(dāng)時(shí)，它們分別有1個(gè)、2個(gè)交點(diǎn)，故時(shí)，方程目3個(gè)實(shí)根．綜上，方程共有4個(gè)不同的實(shí)根．解法2，∵，∴，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，∴在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增．從而畫(huà)出函數(shù)的圖像，并對(duì)圖像執(zhí)行留上翻下的操作．結(jié)合圖像知方程共有4個(gè)不同的實(shí)根．七、分段函數(shù)函數(shù)對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題例1.已知為正常數(shù)，，若存在，滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.解折關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且在上為增函數(shù).所以.因?yàn)?，．所以．?.若圖象上恰存在兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.解析設(shè)，，其中，，，．由與在上只有一個(gè)交點(diǎn)，知或．八、分段函數(shù)中的其他綜合問(wèn)題例1.已知函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.解析易得.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，至多兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，令，解得，易得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在同一坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像可知：當(dāng)，時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí)，要使得有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則或者解得.點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，函數(shù)與方程的思想方法，，分段函數(shù)的圖象性質(zhì)來(lái)解決兩個(gè)函數(shù)取大后的零點(diǎn)問(wèn)題。例2.（2018秋季揚(yáng)州期末）已知函數(shù)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，并且這三個(gè)零點(diǎn)構(gòu)成等差數(shù)列，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_________.解析解法一：常規(guī)分類(lèi)函數(shù)，得設(shè).則函數(shù)，不妨設(shè)的3個(gè)根為且當(dāng)時(shí)，由，得，即得，得，解得或若①，即，此時(shí)，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，得，滿足在上有一解.若②，即，則在上有兩個(gè)不同的解，不妨設(shè)為其中.所以是的兩個(gè)解，即是的兩個(gè)解.得到又由的3個(gè)根成等差數(shù)列，且，得到解得：（舍去）或③，即時(shí)，最多只有兩個(gè)解，不滿足題意;綜上所述：或.解法二：借助“V”型函數(shù)頂點(diǎn)的移動(dòng)，設(shè)其三個(gè)解分別為令，它的原點(diǎn)為在上運(yùn)動(dòng)令，令或當(dāng)即時(shí)，由圖像可知，，聯(lián)立當(dāng)時(shí)，即時(shí)，由圖像知，聯(lián)立③由①③知代入=2\*GB3②得綜上：或例3.已知函數(shù).設(shè)，且函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)四個(gè)象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)____________.解析解析一：常規(guī)處理①當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)第二、三象限，則，則②當(dāng)時(shí)，，要經(jīng)過(guò)第一、四象限，則有解，解為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增的極小值為：經(jīng)過(guò)第一、四象限，極小值小于0，解得，綜上：解法二：巧妙轉(zhuǎn)化注意到要使的圖像經(jīng)過(guò)四個(gè)象限，只需分別在和上有解即可.當(dāng)時(shí)，，而時(shí)，而綜上：.例4.，恰有3個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍_______.解析當(dāng)時(shí)，令，則或當(dāng)時(shí)，令，則，得令，令當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增：當(dāng)，，單調(diào)遞減∴要使有三個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)圖像知：只需例5.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，且當(dāng)時(shí)，，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（） A. B. C. D.解析當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，此時(shí)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍為【課后練習(xí)】【1】設(shè)函數(shù).（1）若，則的最小值為_(kāi)___;（2）若恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【2】已知，函數(shù)，若函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【3】定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則關(guān)于的函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為_(kāi)________.【4】已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)使函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.【5】已知函數(shù)，若關(guān)于的方程在定義域上有四個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【課后練習(xí)答案】【1】解析函數(shù)的圖像如圖所示，令與的圖像最多有3個(gè)零點(diǎn)。當(dāng)有3個(gè)零點(diǎn)，則，從左到右交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次，由于函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)，，則每一個(gè)的值對(duì)應(yīng)的2個(gè)的值，對(duì)稱(chēng)軸，則最小值由圖可知，，則由于是交點(diǎn)橫坐標(biāo)中最小的，滿足=1\*GB3①，=2\*GB3②聯(lián)立得【2】解析作函數(shù)與的圖象如下，結(jié)合圖象可知，函數(shù)與的圖象共有5個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)有5個(gè)零點(diǎn)，設(shè)5個(gè)零點(diǎn)分別，，故，即.故，【3】解析令，故在上單調(diào)遞減令，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.注意到當(dāng)時(shí)，的值域恰好為當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)楫?dāng)，函數(shù)的值域取不到0