新教材數(shù)學高中必修一課時素養(yǎng)評價6-3-2對數(shù)函數(shù)及其性質的應用

課時素養(yǎng)評價三十一對數(shù)函數(shù)及其性質的應用(15分鐘30分)1.(2020·成都高一檢測)已知函數(shù)f(x)=log2x,若函數(shù)g(x)是f(x)的反函數(shù),則f(g(2))= ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選B.由函數(shù)y=f(x)=log2x,得x=2y,把x與y互換,可得y=2x,即g(x)=2x,所以g(2)=22=4,則f(g(2))=f(4)=log24=2.2.已知a=21.1,b=log23,c=QUOTE,則a,b,c的大小關系為 ()A.a>b>c B.a>c>bC.b>a>c D.b>c>a【解析】選A.21.1>2,QUOTE=QUOTE.又2>log23>log2QUOTE=log2QUOTE=QUOTE,所以a>b>c.3.函數(shù)f(x)=2+log6(6x+1),x∈R的值域為 ()A.(0,1] B.(0,+∞)C.[1,+∞) D.(2,+∞)【解析】選D.因為6x+1>1,所以log6(6x+1)>0,故f(x)=2+log6(6x+1)>2.4.(2020·南昌高一檢測)已知函數(shù)f(x)=log2(x2+6x+7)的值域記為集合A,函數(shù)g(x)=QUOTE的值域為B,則有 ()A.B?RA B.A?RBC.A?B D.B?A【解析】選D.令t=x2+6x+7,t>0,當x=3時,tmax=32+6×3+7=16,此時f(x)max=log216=4,所以函數(shù)f(x)=log2(x2+6x+7)的值域為:A=(∞,4],在函數(shù)g(x)=QUOTE中,可得:0≤16x2≤16,所以函數(shù)g(x)=QUOTE的值域為:B=[0,4],所以B?A.5.函數(shù)f(x)=loga(x2ax+2)在區(qū)間(1,+∞)上恒為正值,則實數(shù)a的取值范圍是________.

【解析】因為函數(shù)f(x)=loga(x2ax+2)在區(qū)間(1,+∞)上恒為正值,當0<a<1時,loga(x2ax+2)>0=loga1,即0<x2ax+2<1在區(qū)間(1,+∞)上恒成立,此不等式顯然不恒成立.當a>1時,loga(x2ax+2)>0=loga1,即x2ax+2>1在區(qū)間(1,+∞)上恒成立,即a<x+QUOTE在區(qū)間(1,+∞)上恒成立,所以QUOTE即a的取值范圍是(1,2].答案:(1,2]【補償訓練】函數(shù)f(x)=loga(3ax)(a>0且a≠1)在區(qū)間(a2,a)上單調遞減,則a的取值范圍為________.

【解析】因為函數(shù)在區(qū)間(a2,a)上單調遞減,所以QUOTE解得1<a≤QUOTE.答案:{a|1<a≤QUOTE}6.已知函數(shù)f(x)=loga(x2+ax9)(a>0,a≠1).(1)當a=10時,求f(x)的值域和單調遞減區(qū)間;(2)若f(x)存在單調遞增區(qū)間,求a的取值范圍.【解析】(1)當a=10時,f(x)=log10(x2+10x9)=log10[((x5)2+16],設t=x2+10x9=(x5)2+16,由x2+10x9>0,得x210x+9<0,得1<x<9,即函數(shù)的定義域為(1,9),此時t=(x5)2+16∈(0,16],則y=log10t≤log1016,即函數(shù)的值域為(∞,lg16],要求f(x)的單調遞減區(qū)間,等價為求t=(x5)2+16的單調遞減區(qū)間,因為t=(x5)2+16的單調遞減區(qū)間為[5,9),所以f(x)的單調遞減區(qū)間為[5,9).(2)若f(x)存在單調遞增區(qū)間,只需x2+ax9>0有解,所以判別式Δ=a236>0,得a>6或a<6,又a>0,a≠1,所以a>6,綜上實數(shù)a的取值范圍是a>6.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.已知a<b,函數(shù)f(x)=(xa)·(xb)的圖象如圖所示,則函數(shù)g(x)=logb(x+a)的圖象可能是 ()【解析】選B.由題圖可知0<a<1<b,故函數(shù)g(x)單調遞增,排除A、D,結合a的范圍可知選B.2.已知函數(shù)y=|logQUOTEx|的定義域為QUOTE,值域為[0,1],則m的取值范圍為()A.QUOTE B.QUOTEC.[1,2] D.[1,+∞)【解析】選C.作出y=|logQUOTEx|的圖象(如圖),可知fQUOTE=f(2)=1,由題意結合圖象知:1≤m≤2.3.(2020·牡丹江高一檢測)已知函數(shù)f(x)=log2(x22x+a)的最小值為2,則a= ()A.4 B.5 C.6 D.7【解析】選B.內層函數(shù)為u=x22x+a,外層函數(shù)為y=log2u,由于內層函數(shù)u=x22x+a的減區(qū)間為(∞,1),增區(qū)間為(1,+∞),且外層函數(shù)為增函數(shù),所以,函數(shù)f(x)=log2(x22x+a)的單調遞減區(qū)間為(∞,1),單調遞增區(qū)間為(1,+∞),所以,函數(shù)y=f(x)在x=1處取得最小值,即f(x)min=f(1)=log2(a1)=2,解得a=5.【補償訓練】(2020·辛集高一檢測)若3≤loQUOTEx≤QUOTE,求f(x)=QUOTE·QUOTE的最大值和最小值.【解析】由題意,根據(jù)對數(shù)的運算性質,可得函數(shù)f(x)=(log2x1)(log2x2)=(log2x)23log2x+2=QUOTEQUOTE,又3≤loQUOTEx≤QUOTE,所以QUOTE≤log2x≤3.所以當log2x=3,即x=8時,f(x)max=f(8)=2;當log2x=QUOTE,即x=2QUOTE時,f(x)min=f(2QUOTE)=QUOTE.4.(2020·嘉興高一檢測)函數(shù)y=loQUOTE(x23x+2)的單調遞減區(qū)間為 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.因為y=loQUOTE(x23x+2),所以x23x+2>0,解得x<1或x>2,令t=x23x+2,因為t=x23x+2的圖象開口向上,對稱軸方程為x=QUOTE,所以內層函數(shù)t=x23x+2在(2,+∞)上單調遞增,外層函數(shù)y=loQUOTEt是減函數(shù),所以由復合函數(shù)單調性的性質可知函數(shù)y=loQUOTE(x23x+2)的單調遞減區(qū)間為(2,+∞).二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.已知f(x)=lg(10+x)+lg(10x),則 ()A.f(x)是奇函數(shù)B.f(x)是偶函數(shù)C.f(x)在(0,10)上單調遞增D.f(x)在(0,10)上單調遞減【解析】選B、D.由QUOTE得x∈(10,10),故函數(shù)f(x)的定義域為(10,10),關于原點對稱,又由f(x)=lg(10x)+lg(10+x)=f(x),故函數(shù)f(x)為偶函數(shù),而f(x)=lg(10+x)+lg(10x)=lg(100x2),y=100x2在(0,10)上遞減,y=lgx在(0,10)上遞增,故函數(shù)f(x)在(0,10)上遞減.6.關于函數(shù)f(x)=lgQUOTE(x≠0),有下列結論,其中正確的是 ()A.其圖象關于y軸對稱B.f(x)的最小值是lg2C.當x>0時,f(x)是增函數(shù);當x<0時,f(x)是減函數(shù)D.f(x)的增區(qū)間是(1,0),(1,+∞)【解析】選ABD.f(x)=lgQUOTE=f(x),f(x)是偶函數(shù),選項A正確;令t=QUOTE=|x|+QUOTE≥2,y=lgt在(0,+∞)上是增函數(shù),y=lgt≥lg2,所以f(x)的最小值為lg2,選項B正確;當x>0時,t=QUOTE=x+QUOTE,根據(jù)對勾函數(shù)的圖象可得,t=x+QUOTE單調遞減區(qū)間是(0,1),單調遞增區(qū)間是(1,+∞),y=lgt在(0,+∞)上是增函數(shù),所以f(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增,選項C錯誤;根據(jù)偶函數(shù)的對稱性,f(x)在(∞,1)上單調遞減,在(1,0)上單調遞增,f(x)的增區(qū)間是(1,0),(1,+∞),選項D正確.【補償訓練】已知函數(shù)f(x)=ex+x2,g(x)=lnx+x2,且f(a)=g(b)=0,則下列結論錯誤的是 ()A.a>b B.a<bC.g(a)<0<f(b) D.g(a)>0>f(b)【解析】選AD.因為函數(shù)y=ex,y=lnx,y=x2都是增函數(shù),所以f(x)=ex+x2,g(x)=lnx+x2都是增函數(shù),又f(0)=e0+02=1<0,f(1)=e1+12=e1>0,所以0<a<1,g(1)=ln1+12=1<0,g(2)=ln2+22=ln2>0,所以1<b<2,所以0<a<1<b<2,故A錯誤,B正確;因為a<b,所以g(a)<g(b)=0,f(a)<f(b),即f(b)>0,所以g(a)<0<f(b),故C正確,D錯誤.三、填空題(每小題5分,共10分)7.(2020·永濟高一檢測)已知函數(shù)f(x)=log2(2x)·log4(2x),x∈QUOTE,則f(x)的最小值為________.

【解析】由題可得將函數(shù)化簡為f(x)=QUOTE(log2x+1)2,設log2x=t,則y=QUOTE(t+1)2,因為x∈QUOTE,所以t∈[2,2].根據(jù)二次函數(shù)的性質得到:當t=1時,y取得最小值0,故f(x)的最小值為0.答案:08.已知定義域為R的偶函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是遞增的,且fQUOTE=0,則不等式f(log4x)<0的解集是________.

【解析】由題意可知,由f(log4x)<0,得QUOTE<log4x<QUOTE,即log4QUOTE<log4x<log4QUOTE,得QUOTE<x<2.答案:QUOTE四、解答題(每小題10分,共20分)9.已知f(x)=log2(x+1),當點(x,y)在函數(shù)y=f(x)的圖象上時,點QUOTE在函數(shù)y=g(x)的圖象上.(1)寫出y=g(x)的解析式.(2)求方程f(x)g(x)=0的根.【解析】(1)依題意,得QUOTE則gQUOTE=QUOTElog2(x+1),故g(x)=QUOTElog2(3x+1).(2)由f(x)g(x)=0,得log2(x+1)=QUOTElog2(3x+1),所以QUOTE解得x=0或x=1.10.設f(x)=loga(3+x)+loga(3x)(a>0,a≠1),且f(0)=2.(1)求實數(shù)a的值及函數(shù)f(x)的定義域.(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,QUOTE]上的最小值.【解析】(1)由題意,f(0)=loga3+loga3=2loga3=2,所以a=3,所以f(x)=log3(3+x)+log3(3x),所以QUOTE解得3<x<3,所以f(x)的定義域是(3,3).(2)因為f(x)=log3(3+x)+log3(3x)=log3[(3+x)(3x)]=log3(9x2)且x∈(3,3),所以當x=QUOTE時,f(x)在區(qū)間[0,QUOTE]上取得最小值,f(x)min=log33=1.1.(2020·日照高一檢測)已知函數(shù)f(x)=1+2lgx,則f(1)+f1(1)= ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選C.根據(jù)題意f(1)=1+2lg1=1,若f(x)=1+2lgx=1,解可得x=1,則f1(1)=1,故f(1)+f1(1)=1+1=2.2.已知函數(shù)f(x)=2x的反函數(shù)為f1(x)(1)若f1(x)f1(1x)=1,求實數(shù)x的值;(2)若