第4次課第1章應(yīng)力理論

在三維空間中，由九個(gè)有序數(shù)組成的集合在坐標(biāo)變換時(shí)，這組數(shù)按照以下坐標(biāo)變換關(guān)系而變化：則這組有序數(shù)的集合就是二階張量。復(fù)習(xí)張量的概念體力為物體單位體積的載荷，與坐標(biāo)軸同向?yàn)檎ｓw力定義：體力的表示：簡寫為：復(fù)習(xí)：體力面力為物體單位面積上的載荷，與坐標(biāo)軸同向?yàn)檎?。簡寫為：或面力定義：面力的表示：或復(fù)習(xí)：面力應(yīng)力矢量的方向由內(nèi)力主矢量的方向確定.△F復(fù)習(xí)：應(yīng)力△F:內(nèi)力主矢量應(yīng)力矢量的定義：zyx對于第一個(gè)腳標(biāo)表示應(yīng)力的面向第二個(gè)腳標(biāo)表示應(yīng)力的力向復(fù)習(xí)：應(yīng)力狀態(tài)xyz稱為應(yīng)力的平衡微分方程。復(fù)習(xí)：平衡微分方程張量表達(dá)式為：由微元體的平衡有τxy

=τyx

τyz

=τzy

τzx

=τxz或σxy

=σyx

σyz

=σzy

σzx

=σxz復(fù)習(xí)：剪應(yīng)力互等定理xyτxyτyx復(fù)習(xí)：斜截面上的應(yīng)力（Cauchy應(yīng)力公式）代數(shù)表示指標(biāo)表示第二章應(yīng)力理論（2）1.5應(yīng)力邊界條件邊界表面Ss對于彈性體的表面，應(yīng)力分量必須與面力相平衡，此平衡條件稱為應(yīng)力邊界條件，其意義為彈性體表面的平衡條件。根據(jù)Cauchy應(yīng)力公式，應(yīng)用到邊界表面Ss設(shè)邊界面力已知，面力邊界為Ss。有應(yīng)力邊界條件：展開此式確定了是彈性體表面外力與彈性體內(nèi)部趨近于邊界的應(yīng)力分量的關(guān)系。是彈性體應(yīng)力需要滿足的基本關(guān)系。應(yīng)力不僅隨點(diǎn)的位置改變而變化，而且隨截面方向改變而變化。同一點(diǎn)由于截面的法線方向（坐標(biāo)方向）不同，截面上的應(yīng)力也不同。討論應(yīng)力分量在坐標(biāo)變換（坐標(biāo)方向變化）時(shí)的變化規(guī)律。1.6坐標(biāo)變換應(yīng)力張量已知求則（即n）軸微面上沿舊坐標(biāo)方向的應(yīng)力分量為由此可得由斜截面的應(yīng)力關(guān)系即新坐標(biāo)系坐標(biāo)軸的方向余弦OldNew即所以因（Cauchy應(yīng)力公式）求軸微面在新坐標(biāo)系下的應(yīng)力分量，就是將微面的應(yīng)力矢量分別向新坐標(biāo)軸作投影，如向軸投影：軸對于軸對于軸同理，向新坐標(biāo)軸軸投影。對軸微面上的應(yīng)力有同理對軸微面上的應(yīng)力有歸納對于軸微面上的應(yīng)力或此式稱為坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)力坐標(biāo)變換公式，此坐標(biāo)變換公式符合張量的定義，因此應(yīng)力是張量，且為二階張量。歸納應(yīng)力坐標(biāo)變換公式的展開式新老坐標(biāo)系的方向余弦OldNew新老坐標(biāo)系的方向余弦OldNew對于有新老坐標(biāo)系的方向余弦OldNew平面應(yīng)力坐標(biāo)變換公式即同理若的方向與單位法線的方向相同，那么法線的平面稱為該點(diǎn)的主平面，它的法線方向稱為主方向。正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。由主方向的定義有分量表示由Cauchy應(yīng)力公式1.7主應(yīng)力應(yīng)力張量不變量123所以有i=1,2,3即展開上方程可縮寫為由齊次方程組具有非零解的條件展開上式有上式稱為應(yīng)力特征方程。即可以證明應(yīng)力特征方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根。其中從一個(gè)三次方程根的特性可知所以有由此可以得出，的值與坐標(biāo)系無關(guān)，像這樣與坐標(biāo)系無關(guān)的量稱為不變量?？梢源_定對應(yīng)于（主應(yīng)力）每個(gè)值的單位法線的分量這三個(gè)方向稱為該點(diǎn)的主方向?？梢宰C明三個(gè)主方向兩兩正交。確定彈性體內(nèi)部任意一點(diǎn)主應(yīng)力和應(yīng)力主方向。對于應(yīng)力特征方程主應(yīng)力和應(yīng)力主方向取決于載荷、形狀和邊界條件等，它們與坐標(biāo)軸的選取無關(guān)。因此，特征方程的根是確定的，即I1、I2、I3的值是不隨坐標(biāo)軸的改變而變化的。I1、I2、I3