2023年中考備考數(shù)學(xué)中難題綜合復(fù)習(xí)一

初三數(shù)學(xué)中難題綜合復(fù)習(xí)一

1.（江蘇蘇州?二模）用一段長(zhǎng)為20m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，設(shè)菜園的對(duì)角線長(zhǎng)為xm,面積為Jm2,則

y與X的函數(shù)圖象大致是（）

2.（江蘇淮安?二模）電影《我和我的祖國(guó)》講述了普通人與國(guó)家之間息息相關(guān)密不可分的動(dòng)人故事，一上

映就獲得全國(guó)人民的追捧，第一天票房約3億元，以后每天票房按相同的增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，三天后累計(jì)票房收

入達(dá)10億元.若把增長(zhǎng)率記作X,則方程可以列為（）

A.3(1+x)=10B.3(1+X)2=10C.3+3(l+x)2=10D.3+3(1+x)+3(l+x)2=10

3.（徐州?模擬預(yù)測(cè)）已知演，々是關(guān)于X的方程V—履7=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,下列結(jié)論一定正確的是（）

A.%1≠X2B.x1÷x2>0C.x∣?X2>0D.x1<0,X2<0

4.（江蘇常州?二模）已知二次函數(shù)y=α√+bx+c的圖象過點(diǎn)4（-1,2）,B（-2,3）兩點(diǎn)，且不經(jīng)過第一

象限，設(shè)∕=α+b-c,貝!]/的取值范圍是.

5.（江蘇揚(yáng)州?一模）〃是自然數(shù)，我們稱〃的非0數(shù)字的乘積為〃的〃指標(biāo)數(shù)〃，如1的指標(biāo)數(shù)是1,27的指

標(biāo)數(shù)是14,40的指標(biāo)數(shù)為4,則1?99這九十九個(gè)自然數(shù)的指標(biāo)數(shù)的和是.

a

6.（江蘇?南師附中新城初中二模）如圖，A為＞軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，M.N是函數(shù)y=?κ+3的圖像上的兩

4

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AMj_4V.若MN的最小值為10,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為.

7.（江蘇淮安?中考真題）如圖，平地上一幢建筑物A8與鐵塔CD相距50m,在建筑物的頂部A處測(cè)得鐵塔

頂部C的仰角為28。、鐵塔底部D的俯角為40。，求鐵塔CD的高度.

(參考數(shù)據(jù)：sin28o≈0.47,cos28o≈0.8,tan28°≈0.53,sin40o≈0.64,cos40°≈0.77,tan40o≈0.84)

Bυ

8.（江蘇淮安?中考真題）如圖，在RtEIABC中，E）ACB=90。,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，以AC為直徑的回。與AB邊

交于點(diǎn)D,連接DE.

（1）判斷直線DE與回。的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若CD=3,DE=∣?,求EIo的直徑.

CEB

9.（江蘇無錫?中考真題）如圖，已知銳角ABC中，AC=BC.

CC

△Z

X

（圖1）（圖2）

（1）請(qǐng)?jiān)趫D1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作NAa的平分線CQ；作ΛBC的外接圓：。；（不寫作法,

保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，若AB=7,。的半徑為5,則SinB=.（如需畫草圖，請(qǐng)使用圖2）

10.（江蘇南通?中考真題）A,8兩家超市平時(shí)以同樣的價(jià)格出售相同的商品.暑假期間兩家超市都進(jìn)行促

銷活動(dòng)，促銷方式如下：

A超市：一次購(gòu)物不超過300元的打9折，超過300元后的價(jià)格部分打7折；

B超市：一次購(gòu)物不超過IOO元的按原價(jià)，超過IOo元后的價(jià)格部分打8折.

例如，一次購(gòu)物的商品原價(jià)為500元，

去A超市的購(gòu)物金額為：300x0.9+（500-300）x0.7=410（元）；

去B超市的購(gòu)物金額為：100+（5Oo-IOo）Xo.8=420（元）.

（1）設(shè)商品原價(jià)為X元，購(gòu)物金額為y元，分別就兩家超市的促銷方式寫出y關(guān)于X的函數(shù)解析式；

（2）促銷期間，若小剛一次購(gòu)物的商品原價(jià)超過20。元，他去哪家超市購(gòu)物更省錢？請(qǐng)說明理由.

11.（江蘇鹽城?二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，拋物線y=∕+6x+c與X軸交于力、8兩點(diǎn)，與y

軸交于點(diǎn)C,對(duì)稱軸為直線x=2,點(diǎn)/的坐標(biāo)為（1,0）.

（1）求該拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo);

（2）點(diǎn)尸為拋物線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)/重合），連接PC.當(dāng)團(tuán)PCB=0JC8時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo);

（3）在（2）的條件下，在對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)°,連接尸。，將線段繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，使點(diǎn)P

恰好落在拋物線上？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

12.（江蘇徐州?二模）如圖，矩形ZBC。中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O,a4OS=60o,AB=2,將一張和EWBC

一樣大的紙片和a48C重疊放置，點(diǎn)E是邊8C上一點(diǎn)（不含點(diǎn)8、C）,將EIOCE沿著OE翻折，點(diǎn)C落在

點(diǎn)尸處.

⑴直接寫出自08C、回OC8的數(shù)量關(guān)系是.

⑵連接。E,設(shè)IaoPE的面積為S/,回ODE的面積為S2,在點(diǎn)E取邊8C上每一點(diǎn)（除點(diǎn)8、O的過程中，

S+S2的值是否變化？如果變化，請(qǐng)求出它的取值范圍；如果不變，請(qǐng)求出S+S2的值；

（3）分別連接PD,PC,當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)8重合時(shí)，易知PO?PC=PE?PD,當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合時(shí),PO?PC=PE?P0

是否成立？請(qǐng)?jiān)趫D3、圖4中選一種情況進(jìn)行證明.

初三數(shù)學(xué)中難題綜合復(fù)習(xí)一解析

1.(江蘇蘇州?二模)用一段長(zhǎng)為20m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，設(shè)菜園的對(duì)角線長(zhǎng)為xm,面積為Vm2,則

y與X的函數(shù)圖象大致是()

【答案】B

【解析】【分析】設(shè)矩形的長(zhǎng)為寬為bin,可得〃+/7=10(〃?)，由菜園的對(duì)角線長(zhǎng)為x/n,根據(jù)勾股定理

標(biāo)+〃=/,由三角形成立條件與兩數(shù)差平方非負(fù)性可得5&≤X<10,由公式配方可得y=ab=-→2+50即

可.

【詳解】解：設(shè)矩形的長(zhǎng)為。加，寬為加7,

根據(jù)題意,得α+6=20÷2=10("?),

團(tuán)菜園的對(duì)角線長(zhǎng)為XW，

^?a2+b2=x2,

EiXCa+6=10,(tz—?)^≥0,

Br2=α-+?-≥2ab,僅當(dāng)a=b取等號(hào),

Slx?2×5×5,

13x≥5√2.

5>∕2≤x<10>

S(α+6)2-a2+2ab+b2,

mθ2=x2+2ab,

E,1O2-Λ212

0y=cιb-----------=—X+?5n0,

22

0O≤y<25,且X=5應(yīng)時(shí)，y=25,

Ely與X函數(shù)圖象是二次函數(shù)的圖象，即開口方向向下的拋物線.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查列二次函數(shù)解析式，自變量取值范圍，完全平方公式，矩形面積，掌握列二次函數(shù)解析

式，自變量取值范圍，完全平方公式，矩形面積是解題關(guān)鍵.

2.(江蘇淮安?二模)電影《我和我的祖國(guó)》講述了普通人與國(guó)家之間息息相關(guān)密不可分的動(dòng)人故事，一上

映就獲得全國(guó)人民的追捧，第一天票房約3億元，以后每天票房按相同的增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，三天后累計(jì)票房收

入達(dá)10億元.若把增長(zhǎng)率記作X,則方程可以列為()

A.3(1+Λ)=10B.3(l+x)2=10

C.3+3(1+Λ)2=10D.3+3(1+X)+3(1+Λ)2=10

【答案】D

【解析】【分析】根據(jù)增長(zhǎng)率為X，得出第二天為3(l+x),第三天為3(l+x)2,根據(jù)三天累計(jì)為10,即可

得出關(guān)于X的一元二次方程.

【詳解】解：設(shè)平均每天票房的增長(zhǎng)率為X,根據(jù)題意得:3+3(l+x)+3(l+x)2=10.故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)

鍵.

3.(江蘇徐州?模擬預(yù)測(cè))己知為，血是關(guān)于X的方程入T=O的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，下列結(jié)論一定正確的是

()

A.xl≠Jt2B.Jtl+x2>0C.xl?x2>0D.x∣<0,尤2<0

【答案】A

【解析】【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出占+々=&，?,A=-I.再逐個(gè)判斷即可.

【詳解】解：為，巧是關(guān)于X的方程/-收-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

.?.Xx+X2=k,xl?x2=-1,A=公+4>0,

團(tuán)不論左取何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即XIHX2,

故A選項(xiàng)符合題意；

S)不論左取何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且%+%="，

回X]+J?不-定大于0,

故B選項(xiàng)不符合題意;

□x1?x2=-1<0,

0x1<0tx2<0,

故C,D選項(xiàng)不符合題意；故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，能熟練記住根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

4.(江蘇常州?二模)已知二次函數(shù)y=α√+?χ+c的圖象過點(diǎn)Z(-1,2),8(-2,3)兩點(diǎn)，且不經(jīng)過第一

象限，設(shè)l=a+b-C9則/的取值范圍是.

【答案】∕≤-3

[h=3a-l

【解析】【分析】將48兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得出關(guān)于b、C的方程組，將a看作常數(shù)解此方程組得C，

[c=2α+1l

將其代入得∕=α+b-c=2α-2,結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知aVO、c=2o+∕≤0,據(jù)此得出。的范圍，繼而可得/

的范圍，即可得出答案.

入.，A,?a-b+c=2A,[b=3a-?

【詳解】由題意，得M,，解得C」

[4ZI。-2b+c=3[c=2a+l

貝∣J∕=4+b-c=4+(3tz-1)-(2a+l)=2。-2,

由拋物線過點(diǎn)力(-1.2),B(-2,3)兩點(diǎn)，且不經(jīng)過第一象限知α<0,c=2a+l≤0,解得α≤-J,

皿=24-2≤-3,故答案為：l≤-3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.(江蘇揚(yáng)州?一模)〃是自然數(shù)，我們稱〃的非O數(shù)字的乘積為〃的"指標(biāo)數(shù)"，如1的指標(biāo)數(shù)是L27的指

標(biāo)數(shù)是14,40的指標(biāo)數(shù)為4,則1?99這九十九個(gè)自然數(shù)的指標(biāo)數(shù)的和是.

【答案】2115

【解析】【分析】先分別求出1?9的指標(biāo)數(shù)之和，10?19的指標(biāo)數(shù)之和,20?29的指標(biāo)數(shù)之和，…,90?

99的指標(biāo)數(shù)之和，再將它們相加即可.

【詳解】解：1?9的指標(biāo)數(shù)之和為1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；

10-19的指標(biāo)數(shù)之和為1+1+2+3+4+5+6+7+8+9=46；

20?29的指標(biāo)數(shù)之和為2x(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=2×46；

30~39的指標(biāo)數(shù)之和為3x(l+l+2+3+4+5+6+7+8+9)=3x46；

40?49的指標(biāo)數(shù)之和為4x(l+l+2+3+4+5+6+7+8+9)=4x46;

50?59的指標(biāo)數(shù)之和為5*(l+l+2+3+4+5+6+7+8+9)=5x46；

60?69的指標(biāo)數(shù)之和為6χ(l+l+2+3+4+5+6+7+8+9)=6x46;

70?79的指標(biāo)數(shù)之和為7x(l+l+2+3+4+5+6+7+8+9)=7x46；

80?89的指標(biāo)數(shù)之和為8x(l+l+2+3+4+5+6+7+8+9)=8x46;

90-99的指標(biāo)數(shù)之和為9x(l+l+2+3+4+5+6+7+8+9)=9*46.

所以1?99的指標(biāo)數(shù)之和為45+(1+2+3+4+5+6+7+8+9)x46=45x47=2115.故答案為：2115.

【點(diǎn)睛】本題考查了自然數(shù)的"指標(biāo)數(shù)"，注意分類思想及整體思想，有一定的難度.

a

6.(江蘇?南師附中新城初中二模)如圖，A為了軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，M.N是函數(shù)尸+3的圖像上的兩

4

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且若MN的最小值為10,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為.

【解析M分析】取MN的中點(diǎn)為8,由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知：/18最小值，由Z施AW

時(shí)，/8最小，再通過SinNOCD=SinN5C4即可求出ZC的長(zhǎng)，從而得出Z點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】假設(shè)MN中點(diǎn)為點(diǎn)B,連接AB,根據(jù)直角三角形斜邊中線定理可得=

回MNmm=IO

(即定點(diǎn)力到直線y=-；x+3上動(dòng)點(diǎn)5的最短距離為5)

4

回)，=-^y+3的圖象與x、y軸交于C、O兩點(diǎn)，

0C(O,3),0(4,0),

根據(jù)垂線段最短可得，他，直線丫=-［犬+3時(shí)4?=5,如圖所示

4

在MeoD中，由勾股定理得：CD=J32+4?=5,

.AB5

RtA3C中,sina=-----=一

ACAC

OD4

RJCoD1P?Sina=-----=—

CD5

54

團(tuán)π----≡—

AC5

^AC=-

4

團(tuán)點(diǎn)力在y軸的負(fù)半軸

0OC=3,

EIoA=旦

El點(diǎn)/的縱坐標(biāo)為

4

故答案為：（o,-^

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，以及垂線段最短和三角函數(shù)等知識(shí)，得出垂線段48長(zhǎng)是解

決問題的關(guān)鍵.

7.（江蘇淮安?中考真題）如圖，平地上一幢建筑物AB與鐵塔CD相距50m,在建筑物的頂部4處測(cè)得鐵塔

頂部C的仰角為28。、鐵塔底部。的俯角為40。，求鐵塔C。的高度.

（參考數(shù)據(jù)：sin28o≈0.47,cos28o≈0.8,tan28"≈0.53,sin40°≈0.64,cos40o≈0.77,tan40"≈0.84）

【答案】68.5m

【分析】過A作Af0CD,垂足為E.分別在RtMEC和RtMED中，由銳角三角函數(shù)定義求出CE和DE的長(zhǎng),

然后相加即可.

【詳解】解：如圖，過A作AEI3CD,垂足為￡.

則AE=50m,

在RtEWEC中，CE=AE?tan28°≈=50χ0.53=26.5(m),

在RtEWED中，DF=4f?tan40°≈50×0.84=42(m),

EICD=CE+DE≈26.5+42=68.5(m).

答：鐵塔CD的高度約為68.5m.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，求出CE、DE的長(zhǎng)是解題的關(guān)犍.

8.（江蘇淮安?中考真題）如圖，在Rt13ABC中，SIACB=90。，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，以AC為直徑的團(tuán)0與AB邊

交于點(diǎn)D,連接DE.

（1）判斷直線DE與團(tuán)0的位置關(guān)系，并說明理由；

【答案】⑴相切，理由見解析；⑵

【分析】（1）連接。。，如圖，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，由I38DC=9O。，E為BC的中點(diǎn)得到DE

=CE=BE,則利用等腰三角形的性質(zhì)得S1EDC=I≡ECD,SODC=WCD,由于回。CD+l3DCE=gL4CB=90°,所以I3EDC

+0ODC=9Oo,即EIEDO=90。，于是根據(jù)切線的判定定理即可得到DE與回。相切；（2）根據(jù)勾股定理和相似

三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：（1）證明：連接D。，如圖，

EB8OC=90°,E為BC的中,點(diǎn)，≡]DE=CE=8E,EHEDC=I3ECD,

X0OD=OC,H≡O(shè)DC=ISOCD,

而SloCO+EIDCE=I3ACB=9O",

EElEDC+E10DC=90°,即IaEDo=90°,WESOD,EIDE與回。相切;

(2)由(1)得，IaCD8=90°,

2=22

團(tuán)CE=E8,WE=BCf團(tuán)8C=5,^?BD=y∣BC-CD√5-3

ACBCAC515

≡βGA=08DC=9Oo,團(tuán)8=團(tuán)8,^BCAWBDC,0一=一,0一=-,MC=-,

CDBD344

SEO直徑的長(zhǎng)為二.

4

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.要證某線是

圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可.也考查了直角三角形斜邊

上的中線性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì).

9.（江蘇無錫?中考真題）如圖，已知銳角ABC中，AC=BC.

（1）請(qǐng)?jiān)趫D1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作N4C8的平分線C。；作ABC的外接圓（O-（不寫作法，

保留作圖痕跡）

48

（2）在（1）的條件下，若AB=O的半徑為5,則SinB=.（如需畫草圖，請(qǐng)使用圖2）

【答案】（I）見詳解；（2）I4

【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作角平分線的步驟，即可作ZACB的平分線C￡>,作出AC的中垂線交8于點(diǎn)0,再

以點(diǎn)。為圓心，OC為半徑，畫圓，即可；

（2）連接。4根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AD=8D=],CDBAB,利用勾股定理求出。D,BC,進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：（1）如圖所示:

C

(2)連接OA,

SAC=BC,ZAe8的平分線CD,

1,c14824

β?AD=BD=-AB=-×——=——，CDSAB,

2255

13。的半徑為5,

732

0CD=CO+OD=5+-=y

0SC=√BD2+CD2==8?

_324

EsinB=CD54.故答案是：

—=---=-S

BC85

【點(diǎn)睛】本題主要考查尺規(guī)基本作圖，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，理解三角形

外接圓的圓心是三角形各條邊中垂線的交點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵.

10.（江蘇南通?中考真題）4B兩家超市平時(shí)以同樣的價(jià)格出售相同的商品.暑假期間兩家超市都進(jìn)行促

銷活動(dòng)，促銷方式如下：

A超市：一次購(gòu)物不超過300元的打9折，超過300元后的價(jià)格部分打7折;

B超市：一次購(gòu)物不超過IOO元的按原價(jià)，超過100元后的價(jià)格部分打8折.

例如，一次購(gòu)物的商品原價(jià)為500元,

去A超市的購(gòu)物金額為：3∞×0.9+（500-300）×0.7=410（元）；

去B超市的購(gòu)物金額為：100+（500-100）x0.8=420（元）.

（1）設(shè)商品原價(jià)為X元，購(gòu)物金額為y元，分別就兩家超市的促銷方式寫出y關(guān)于X的函數(shù)解析式:

（2）促銷期間，若小剛一次購(gòu)物的商品原價(jià)超過200元，他去哪家超市購(gòu)物更省錢？請(qǐng)說明理由.

-0.9x（0≤x≤300）

【答案】（I）A商場(chǎng)y關(guān)于X的函數(shù)解析式：J=；8商場(chǎng)y關(guān)于X的函數(shù)解析式:

A60+0.7x（x>300）

_x（0≤x≤100）

VB^[20+0,8Λ（X>I00）;

（2）當(dāng)200Vx<400時(shí)，去8超市更省錢；當(dāng)χ=400時(shí)，，去A、8超市一樣省錢；當(dāng)x>400時(shí)，去A超市

更省錢.

【解析】【分析】（1）利用促銷方式，分別寫出A、B兩商場(chǎng)促銷活動(dòng)的情況，注意需要寫出分段函數(shù)；

（2）小剛一次購(gòu)物的商品原價(jià)超過200元,則可以確定B的函數(shù)解析式，再分段求出A函數(shù)的解析式，比較

兩函數(shù)值即可，注意分段討論.

【詳解】

0.9Λ(0≤X≤300)即.∣0?M0≤X≤300)

解：（：L）A商場(chǎng)y關(guān)于X的函數(shù)解析式：y=?

λ0.9×300+0.7(x-300)(x>300)',*[60+0.7x(x>300),

x(0≤x≤100)Jb=，∣x(0≤x≤100);

B商場(chǎng)y關(guān)于X的函數(shù)解析式：%="oo+o8(χ一KX))(X>100)'即：20+0,8x(x>l∞)

(2)回小剛一次購(gòu)物的商品原價(jià)超過200元

團(tuán)當(dāng)200VX≤300時(shí)，%—%=0.9x-(20-0.8x)=0.1x-20,

令%-%=°，戶200,

所以，當(dāng)200Vχ≤300時(shí)，即%-%>0,去B超市更省錢;

當(dāng)x>300時(shí)，yA-yB=(60+0.7x)-(20+0.8x)=40-0.1x,

令%-%=°，x=400.

所以，當(dāng)x=400時(shí)，即以一％=。，此時(shí)去A、B超市?樣省錢;

當(dāng)300VX<400時(shí)，即以一%>°，去8超市更省錢;

當(dāng)x>400時(shí)，即以-為<0,去A超市更省錢;

綜上所述，當(dāng)200<x<400時(shí)，去8超市更省錢；當(dāng)χ=400時(shí)，去A、B超市一樣省錢；當(dāng)4400時(shí)，去A

超市更省錢.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，讀懂題目信息，理解兩家商場(chǎng)的讓利方法是解題的關(guān)鍵，要注意B

商場(chǎng)根據(jù)商品原價(jià)的取值范圍分情況討論.

11.（江蘇鹽城?二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系XQy中，拋物線V=N+∕>χ+c與X軸交于“、B兩點(diǎn)、,與y

軸交于點(diǎn)C,對(duì)稱軸為直線x=2,點(diǎn)力的坐標(biāo)為（1,0）.

（1）求該拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)N重合），連接尸C.當(dāng)附C2=EL4C8時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，在對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)0,連接P。，將線段P。繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，使點(diǎn)P

恰好落在拋物線上？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【解析】【分析】（1）由對(duì)稱軸為直線x=2,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0）,得出B（3,0）,通過交點(diǎn)式得出函數(shù)關(guān)系式；

（2）作AO_L8C于。，可知D在對(duì)稱軸上，求出E的坐標(biāo)，得出直線CE的關(guān)系式與拋物線求交點(diǎn)即可；

（3）分P在。上方和下方兩種情況，當(dāng)尸在Q上方時(shí)，構(gòu)造出ΔPDβ=AQEP',得尸'（，"+2$-加）代入拋物線

即可，當(dāng)。在尸上方時(shí)，得出Q（2,∕）?

【詳解】解：(1)對(duì)稱軸為直線X=2,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),

?3(3,0),

y=(x-l)(x-3)=犬-4x+3,

當(dāng)x=2時(shí)，y=T,

，頂點(diǎn)(2,-1),

(2)作AZ>?L8C于。，交CP于E,

8(3,0),C(0,3),

/.OB-OC.

.-.ZOBC=45°,

：.BD=應(yīng),

???0(2,1),

NPCB=ZACB,

.*.AD=DE，

...￡(3,2),

二直線CE的關(guān)系式為：>=-(x+3,

1

一一x+3=J7r-4x+3,

3

??i二°(舍)，X2=y，

（3）點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P,作PDJ_對(duì)稱軸于D,PEj_對(duì)稱軸于E,

當(dāng)P在。上方時(shí)，

貝IJpo=段一2=|,設(shè)OQ=機(jī)，

將線段PQ繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得線段。產(chǎn)，

SEIPQP'=90°,貝崛尸?！?gt;+回產(chǎn)。E=90。，

又加0。+0￡>尸。=90°,

SSP'QE=SDPQ,又PQ=FQ,朋￡>0=回0EP=90。,

:.NDQ=XQEP(AAS),

:.PE=DQ=m,QE=PD=3,

.^.P,(fτι+2,--∕n),

9

U恰好落在拋物線上，

(m+2)2-4(6+2)+3=g-∕w,

25

解得町=工,W=--(舍)，

?2D

回點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為為-1=9；

Q(2,茅,

當(dāng)。在P上方時(shí)，作PDJ■對(duì)稱軸于O,

可知：臚。尸為等腰直角三角形，

ElPD=PO=QD=I,

團(tuán)點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為既?=￡,

31

???β(2,-),

綜上：0(2,5)或Q(2,∕)?

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式、等腰直角三角形的性質(zhì)以及運(yùn)算能力，

用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間

的關(guān)系.

12.(江蘇徐州?二模)如圖，矩形NBCD中，對(duì)角線/C、8Z)相交于點(diǎn)O,0/108=60。，18=2,將一張和a48C

一樣大的紙片和a48C重疊放置，點(diǎn)E是邊8C上一點(diǎn)(不含點(diǎn)8、C),將團(tuán)?！把刂鳲E翻折，點(diǎn)C落在

點(diǎn)、P處.

⑴直接寫出回。BC、團(tuán)OCB的數(shù)量關(guān)系是.

(2)連接。E,設(shè)團(tuán)OPE的面積為S/,回?！?gt;￡的面積為S2,在點(diǎn)E取邊BC上每一點(diǎn)(除點(diǎn)8、C)的過程中，

S/+S2的值是否變化？如果變化，請(qǐng)求出它的取值范圍；如果不變，請(qǐng)求出S/+S2的值；

⑶分別連接PD.PC,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，易知PO?PC=PE?PD,當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)8重合時(shí),PO?PC=PE?PA

是否成立？請(qǐng)?jiān)趫D3、圖4中選一種情況進(jìn)行證明.

【答案】(I)ZOBC=ZOCfi

(2)不變,5,+52=√3

⑶成立，證明見解析

【解析】【分析】(1)由矩形的性質(zhì)可以證明OB=OC，則NOBC=NOCB;

(2)由折疊的性質(zhì)可得%砂=Ssg,由等底等高的三角形的面積相等可得&皿=SW,可證明，+S,=SMMC

則，+S2的值不變，由SAlIOC=g