2024年中考數(shù)學（滬科版）二輪復習高頻考點突破課件 三角形中的邊角關系、命題與證明

三角形中的邊角關系、命題與證明?考點一三角形的三邊關系典例1一個等腰三角形的周長為18cm.（1）

已知腰長是底邊長的2倍，求三邊長.（2）

已知其中一邊長為4cm，求另兩邊長.思路導引

（1）

設底邊長為acm，則腰長為2acm，構造方程求解.（2）

設4cm為腰長或底邊長，根據兩種情況進行解答即可.

（2）

當4cm為腰長時，設底邊長為xcm.∴4＋4＋x＝18，解得x＝10，此時，三邊長是4cm，4m，10cm，不符合三角形的三邊關系，不能組成三角形.當4cm為底邊長時，設腰長為ycm.∴

y＋4＋y＝18，解得y＝7，此時，三邊長是7cm，7cm，4cm，符合三角形的三邊關系.綜上所述，另兩邊長是7cm，7cm.方法歸納等腰三角形中求三邊長的方法

在求解等腰三角形的邊長問題時，要注意分類討論.利用三角形的三邊關系求出邊長后，還要檢驗得到的三條線段能否組成三角形.

思路導引

利用“三角形中任何兩邊的和大于第三邊”進行證明.規(guī)范解答

在△ABO中，由三角形的三邊關系，可知OA＋OB＞AB.同理，可得OA＋OC＞CA，OB＋OC＞BC.∴2（OA＋OB＋OC）＞AB＋BC＋CA.

方法歸納線段不等關系的證明方法

一般地，當題目中出現(xiàn)證明線段的不等關系時，常利用三角形的三邊關系進行證明，將要證明的線段轉化到某一個三角形中，再根據“三角形中任何兩邊的和大于第三邊”“三角形中任何兩邊的差小于第三邊”列不等式解決.?1.

（2022·衢州）線段a，b，c首尾順次相接組成三角形.若a＝1，b＝3，則c的長可以是（

A

）A.3B.4C.5D.62.

一個三角形3條邊的長分別為xcm，（x＋1）cm，（x＋2）cm，它的周長不超過39cm，則x的取值范圍是

1＜x≤12

?.

3.

（2022·安慶懷寧期末）已知三角形的三邊長分別為a，b，c，化簡：｜a＋b－c｜－2｜a－b－c｜＋｜a＋b＋c｜.解：∵△ABC的三邊長分別是a，b，c，∴

a＋b－c＞0，a－b－c＜0，a＋b＋c＞0.∴

｜a＋b－c｜－2｜a－b－c｜＋｜a＋b＋c｜＝a＋b－c＋2a－2b－2c＋a＋b＋c＝4a－2c.A1＜x≤12

考點二三角形中的三條重要線段典例3

如圖①，AD為△ABC的中線，BE為△ABD的中線.（1）

在△BED中作邊BD上的高EF.（2）

若△ABC的面積為60，BD＝5，求EF的長.思路導引

（1）

直接利用三角尺作出三角形的高.（2）

利用三角形的中線平分三角形的面積及面積公式求出即可.規(guī)范解答

（1）

如圖②，EF即為所求作.（2）

∵

AD為△ABC的中線，BE為△ABD的中線，

∵△ABC的面積為60，BD＝5，

∴

EF＝6.方法歸納與中線有關的三角形面積計算

在三角形中計算面積時，常用到三角形的中線和三角形的面積公式，三角形的中線把三角形分成面積相等的兩個部分.?4.

如圖，在△ABC中，邊BC上的高為（

A

）A.

ADB.

BEC.

BFD.

CG5.

（2022·六安霍邱期末）如圖，在△ABC中，點D在邊BC上，且BD＝2CD，E是AC的中點，AD，BE交于一點G，連接CG.已知△BGD的面積是8，△AGE的面積是3，則△ABC的面積是（

B

）A.25B.30C.35D.40AB考點三命題與證明典例4

如圖，現(xiàn)有以下3個論斷：①

BD∥EC；②∠D＝∠C；③∠A＝∠F.（1）

請以其中兩個為條件，另一個為結論構造命題，你能構造哪幾個命題？（2）

你構造的命題是真命題還是假命題？請說明理由.思路導引

（1）

分別以其中2個論斷為條件，第3個論斷為結論可寫出3個命題.（2）

根據平行線的判定與性質對3個命題分別進行證明，判斷其真假.規(guī)范解答

（1）

①

由BD∥EC，∠D＝∠C，得到∠A＝∠F.②

由BD∥EC，∠A＝∠F，得到∠D＝∠C.

③

由∠A＝∠F，∠D＝∠C，得到BD∥EC.

（2）

①

“由BD∥EC，∠D＝∠C，得到∠A＝∠F”是真命題.理由：∵

BD∥EC，∴∠ABD＝∠C.∵∠D＝∠C，∴∠ABD＝∠D.∴

AC∥DF.∴∠A＝∠F.②

“由BD∥EC，∠A＝∠F，得到∠D＝∠C”是真命題.理由：∵

BD∥EC，∴∠ABD＝∠C.∵∠A＝∠F，∴

AC∥DF.∴∠D＝∠ABD.∴∠D＝∠C.③

“由∠A＝∠F，∠D＝∠C，得到BD∥EC”是真命題.理由：∵∠A＝∠F，∴

AC∥DF.∴∠D＝∠ABD.∵∠D＝∠C，∴∠ABD＝∠C.∴

BD∥EC.方法歸納證明一個命題的步驟

（1）

分清命題的題設和結論，如果問題與圖形有關，那么根據條件畫出圖形，并在圖形上標出有關字母與符號.

（2）

結合圖形，寫出已知、求證.

（3）

分析因果關系，找出證明途徑.

（4）

有條理地寫出證明過程.?6.

如圖，AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點E，F(xiàn)，∠BEF的平分線與∠DFE的平分線相交于點P.求證：△EPF是直角三角形.

7.

如圖，有下列四個條件：①

AC∥DE；②

DC∥EF；③

CD平分∠BCA；④

EF平分∠BED.請在四個條件中選擇三個作為題設，余下的一個作為結論，寫出一個真命題，給予證明.解：答案不唯一，如若AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA，則EF平分∠BED.證明：∵

CD平分∠BCA，∴∠BCD＝∠ACD.∵

DC∥EF，∴∠BCD＝∠BEF，∠DEF＝∠CDE.∵

AC∥DE，∴∠ACD＝∠CDE.∴∠BEF＝∠DEF，即EF平分∠BED.考點四三角形的內角和定理及其推論典例5

（2022·合肥期中）“8字”的性質及應用：（1）

如圖①，AD，BC相交于點O，得到一個“8字”ABCD，求證：∠A＋∠B＝∠C＋∠D.（2）

如圖②，以圖中給的字母為頂點的“8字”有多少個？

方法歸納三角形的內角和定理及其推論的應用

在三角形中求角的度數(shù)時，三角形的內角和定理及其推論是重要的計算依據.單獨使用內角和定理時，通常是已知三角形的兩個內角求第三個角，或已知三個角之間的關系，通過列方程（組）求角度.三角形的外角的性質溝通了三角形的內角和外角，起到了橋梁紐帶的作用.?8.

（1）

如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分線，CD是高，AE，CD相交于點F.求證：∠CFE＝∠CEF.解：（1）

∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠CAB＝90°.∵

CD是高，∴

易得∠ACD＋∠CAB＝90°.∴∠B＝∠ACD.∵

AE是角平分線，∴∠CAF＝∠DAF.

∵∠CFE＝∠CAF＋∠ACD，∠CEF＝∠DAF＋∠B.∴∠CFE＝∠CEF.（2）

如圖②，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是邊AB上的高.若△ABC的外角∠BAG的平分線交CD的延長線于點F，其反向延長線與邊BC的延長線交于點E，∠CFE與∠CEF還相等嗎？請說明理由.解：（2）∠CFE＝∠CEF.理由：∵

AF是∠BAG的平分線，∴∠GAF＝∠DAF.又∵∠CAE＝∠GAF，∴∠CAE＝∠DAF.∵

CD是邊AB上的高，∴∠ADC＝90°.∴∠ADF＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝90°.∴∠ADF＝∠ACE.

∵∠CFE＝180°－∠ADF－∠DAF，∠CEF＝180°－∠ACE－∠CAE，∴∠CFE＝∠CEF.（3）

如圖③，在△ABC中，在AB上存在一點D，使得∠ACD＝∠B，角平分線AE交CD于點F.△ABC的外角∠BAG的平分線所在直線MN與BC的延長線交于點M.試判斷∠M與∠CFE之間的數(shù)量關系，并說明理由.解：（3）∠M＋∠CFE＝90°.理由：∵

點C，A，G在同一條直線上，AE，AN是角平分線，∴

易得∠EAN＝90°.∴∠GAN＋∠CAE＝90°.又∵∠GAN＝∠CAM，∴∠CAM＋∠CAE＝90°，即∠MAE＝90°.∴∠M＋∠CEF＝90°.

∵

AE是角平分線，∴∠EAB＝∠EAC.∵∠CEF＝∠EAB＋∠B，∠CFE＝∠EAC＋∠ACD，∠ACD＝∠B，∴∠CEF＝∠CFE.∴∠M＋∠CFE＝90°.?1.

如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D，E為AC上的兩點，且AE＝DE，BD平分∠EBC.下列說法中，不一定正確的是（

D

）A.

BC是△ABE的高B.

BE是△ABD的中線C.

BD是△EBC的角平分線D.∠ABE＝∠EBD＝∠DBC2.

已知a，b，c是△ABC的三邊長，b，c滿足（b－2）2＋｜c－3｜＝0，且a為方程｜x－4｜＝2的解，則△ABC的周長為（

D

）A.4B.5C.7或11D.7DD3.

已知△ABC有一個內角的度數(shù)是另一個內角度數(shù)的3倍，且∠A＝72°，則這個三角形的最大內角度數(shù)為

81°或84°

?.

4.

（2022·無為期中）如圖，在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，點D在邊BC上，點E在邊AC上，且∠ADE＝∠AED.（1）

當∠BAD＝60°時，∠CDE的度數(shù)為

30°

?.

（2）

當點D在邊BC（