人教版高中數(shù)學(xué)《排列組合》教案

排列與組合

一、教學(xué)目標(biāo)

1、知識(shí)傳授目標(biāo)：正確理解和掌握加法原理和乘法原理

2、能力培養(yǎng)目標(biāo)：能準(zhǔn)確地應(yīng)用它們分析和解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)

題

3、思想教育目標(biāo)：發(fā)展學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和

解決問(wèn)題的能力

二、教材分析

1.重點(diǎn)：加法原理，乘法原理。解決方法：利用簡(jiǎn)單的舉例得

到一般的結(jié)論.

2.難點(diǎn)：加法原理，乘法原理的區(qū)分。解決方法：運(yùn)用對(duì)比的方

法比較它們的異同.

三、活動(dòng)設(shè)計(jì)

1.活動(dòng)：思考，討論，對(duì)比，練習(xí).

2.教具：多媒體課件.

四、教學(xué)過(guò)程正

1.新課導(dǎo)入

隨著社會(huì)發(fā)展，先進(jìn)技術(shù)，使得各種問(wèn)題解決方法多樣化，高標(biāo)

準(zhǔn)嚴(yán)要求，使得商品生產(chǎn)工序復(fù)雜化，解決一件事常常有多種方法完

成，或幾個(gè)過(guò)程才能完成。排列組合這一章都是討論簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問(wèn)

題，而排列、組合的基礎(chǔ)就是基本原理，用好基本原理是排列組合的

關(guān)鍵.

2.新課

我們先看下面兩個(gè)問(wèn)題.

(1)從甲地到乙地,可以乘火車，也可以乘汽車,還可以乘輪船.一

天中，火車有4班，汽車有2班，輪船有3班，問(wèn)一天中乘坐這些

交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？

板書：圖

因?yàn)橐惶熘谐嘶疖囉?種走法，乘汽車有2種走法，乘輪船有3

種走法，每一種走法都可以從甲地到達(dá)乙地，因此，一天中乘坐這些

交通工具從甲地到乙地共有4十2十3=9種不同的走法.

一般地，有如下原理：

加法原理：做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦

法中有叫種不同的方法，在第二類辦法中有uh種不同的方法，……,

在第n類辦法中有mn種不同的方法.那么完成這件事共有N=rm十

m2H-----kmn種不同的方法.

(2)我們?cè)倏聪旅娴膯?wèn)題：

由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條.從A

村經(jīng)B村去C村，共有多少種不同的走法？

板書：圖

這里，從A村到B村有3種不同的走法，按這3種走法中的每一

種走法到達(dá)B村后，再?gòu)腂村到C村又有2種不同的走法.因此，從

A村經(jīng)B村去C村共有3X2=6種不同的走法.

一般地，有如下原理：

乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有

nu種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有

mn種不同的方法.那么完成這件事共有N=num2…mn種不同的方法.

例1書架上層放有6本不同的數(shù)學(xué)書，下層放有5本不同的語(yǔ)

文書.

1)從中任取一本，有多少種不同的取法？

2)從中任取數(shù)學(xué)書與語(yǔ)文書各一本，有多少的取法？

解：(1)從書架上任取一本書，有兩類辦法：第一類辦法是從上

層取數(shù)學(xué)書，可以從6本書中任取一本，有6種方法；第二類辦法是

從下層取語(yǔ)文書，可以從5本書中任取一本，有5種方法.根據(jù)加法

原理，得到不同的取法的種數(shù)是6十5=11.

答：從書架L任取一本書，有11種不同的取法.

(2)從書架上任取數(shù)學(xué)書與語(yǔ)文書各一本，可以分成兩個(gè)步驟

完成：第一步取一本數(shù)學(xué)書，有6種方法；第二步取一本語(yǔ)文書，有

5種方法.根據(jù)乘法原理，得到不同的取法的種數(shù)是N=6X5=30.

答：從書架上取數(shù)學(xué)書與語(yǔ)文書各一本，有30種不同的方法.

練習(xí)：一同學(xué)有4枚明朝不同古幣和6枚清朝不同古幣

1)從中任取一枚，有多少種不同取法？2)從中任取明清古

幣各一枚，有多少種不同取法？

例2：(1)由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)數(shù)字允許重復(fù)

三位數(shù)？

(2)由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)數(shù)字不允許重復(fù)三位

數(shù)？

(3)由數(shù)字0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)數(shù)字不允許重復(fù)三

位數(shù)？

解：要組成一個(gè)三位數(shù)可以分成三個(gè)步驟完成：第一步確定

百位上的數(shù)字，從5個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)數(shù)字，共有5種選法；第二步

確定十位上的數(shù)字，由于數(shù)字允許重復(fù)，

這仍有5種選法，第三步確定個(gè)位上的數(shù)字，同理，它也有5種

選法.根據(jù)乘法原理，得到可以組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是N=5X5X5=125.

答：可以組成125個(gè)三位數(shù).

練習(xí)：

1、從甲地到乙地有2條陸路可走，從乙地到丙地有3條陸路可

走，又從甲地不經(jīng)過(guò)乙地到丙地有2條水路可走.

(1)從甲地經(jīng)乙地到丙地有多少種不同的走法？

(2)從甲地到丙地共有多少種不同的走法？

2.一名兒童做加法游戲.在一個(gè)紅口袋中裝著20張分別標(biāo)有數(shù)

1、2、…、19、20的紅卡片，從中任抽一張，把上面的數(shù)作為被加

數(shù)；在另一個(gè)黃口袋中裝著10張分別標(biāo)有數(shù)1、2、…、9、10的黃

卡片，從中任抽一張，把上面的數(shù)作為加數(shù).這名兒童一共可以列出

多少個(gè)加法式子？

3.題2的變形

4.由0—9這10個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

小結(jié)：要解決某個(gè)此類問(wèn)題，首先要判斷是分類，還是分步？分類時(shí)

用加法，分步時(shí)用乘法

其次要注意怎樣分類和分步，以后會(huì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)

練習(xí)

1.(口答)一件工作可以用兩種方法完成.有5人會(huì)用第一種

方法完成，另有4人會(huì)用第二種方法完成.選出一個(gè)人來(lái)完成這件工

作，共有多少種選法？

2.在讀書活動(dòng)中，一個(gè)學(xué)生要從2本科技書、2本政治書、3

本文藝書里任選一本，共有多少種不同的選法？

3.乘積(al+a2+a3)(bl+b2+b3+b4)(cl+c2+c3+c4+c5)展開后

共有多少項(xiàng)？

4.從甲地到乙地有2條路可通，從乙地到丙地有3條路可通；

從甲地到丁地有4條路可通，從丁地到丙地有2條路可通.從甲地到

丙地共有多少種不同的走法？

5.一個(gè)口袋內(nèi)裝有5個(gè)小球，另一個(gè)口袋內(nèi)裝有4個(gè)小球，所

有這些小球的顏色互不相同.

(1)從兩個(gè)口袋內(nèi)任取一個(gè)小球，有多少種不同的取法？

(2)從兩個(gè)口袋內(nèi)各取一個(gè)小球，有多少種不同的取法？

作業(yè)：

排列

【復(fù)習(xí)基本原理】

1.加法原理做一件事，完成它可以有n類辦法，第一類辦法

中有mi種不同的方法，第二辦法中有m2種不同的方法……，第n辦

法中有m”種不同的方法，那么完成這件事共有

,**

N=mi+m2+m3+mn

種不同的方法.

2.乘法原理做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步

有n種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步

有四種不同的方法，.那么完成這件事共有

N=mixm2xm3xf?xmn

種不同的方法.

3.兩個(gè)原理的區(qū)別：

【練習(xí)11

1.北京、上海、廣州三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線，需要準(zhǔn)備多少

種不同的機(jī)票？

2.由數(shù)字1、2、3可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的二位數(shù)？請(qǐng)一一

列出.

【基本概念】

1.什么叫排列？從n個(gè)不同元素中，任取個(gè)元素（這

里的被取元素各不相同）按照一定的筑房排成一列，叫做從n個(gè)不同

元素中取出m個(gè)元、素的一個(gè)排列

2.什么叫不同的排列？元素和順序至少有一個(gè)不同.

3.什么叫相同的排列？元素和順序都相同的排列.

4.什么叫一個(gè)排列？

【例題與練習(xí)】

1.由數(shù)字1、2、3、4可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

2.已知a、b、c、d四個(gè)元素，①寫出每次取出3個(gè)元素的所有

排列；②寫出每次取出4個(gè)元素的所有排列.

【排列數(shù)】

1.定義：從n個(gè)不同元素中，任取m(m4〃)個(gè)元素的所有排

列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)元素中取出m元素的排列數(shù)，用符號(hào)p：表示.

用符號(hào)表示上述各題中的排列數(shù).

2.排列數(shù)公式：p；,=n(n-l)(n-2)???(n-m+1)

Pn=；Pn=；Pn=；

Pn=；

計(jì)算：P；=；P，=；

Pis=；

【課后檢測(cè)】

1.寫出：

①?gòu)奈鍌€(gè)元素a、b、c、d、e中任意取出兩個(gè)、三個(gè)元素的

所有排列；

②由1、2、3、4組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的所有3位數(shù).

③由0、1、2、3組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的所有3位數(shù).

2.計(jì)算：

①p；oo②P；③P；-2p；④

Pl2

排列

課題：排列的簡(jiǎn)單應(yīng)用(1)

目的：進(jìn)一步掌握排列、排列數(shù)的概念以及排列數(shù)的兩個(gè)計(jì)算公

式，會(huì)用排列數(shù)公式計(jì)算和解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)：(引導(dǎo)學(xué)生對(duì)上節(jié)課所學(xué)知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)整理)

1.排列的定義，理解排列定義需要注意的幾點(diǎn)問(wèn)題；

2.排列數(shù)的定義，排列數(shù)的計(jì)算公式

A：=n(n-l)(n-2)???(n-m+1)或A：=—————(其中〃

(n-m)!

m,nwZ)

3.全排列、階乘的意義；規(guī)定0!=1

4.“分類”、“分步”思想在排列問(wèn)題中的應(yīng)用.

二、新授：

例1:⑴7位同學(xué)站成一排，共有多少種不同的排法？

解：?jiǎn)栴}可以看作：7個(gè)元素的全排列一一A；=504()

⑵7位同學(xué)站成兩排(前3后4),共有多少種不同的排法？

解：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：7X6X5X4X3X2X1=71=5040

⑶7位同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不

同的排法?

解：?jiǎn)栴}可以看作：余下的6個(gè)元素的全排列一一A：=720

（4）7位同學(xué)站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？

解：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：第一步甲、乙站在兩端有用種；第二

步余下的5名同學(xué)進(jìn)行全排列有用種則共有內(nèi)父=240種排列方

法

⑸7位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有

多少種？

解法一（直接法）：第一步從（除去甲、乙）其余的5位同

學(xué)中選2位同學(xué)站在排頭和排尾有種方法；第二步從余下的5位

同學(xué)中選5位進(jìn)行排列（全排列）有父種方法所以一共有=

2400種排列方法.

解法二：（排除法）若甲站在排頭有種方法；若乙站在排尾

有A：種方法；若甲站在排頭且乙站在排尾則有父種方法.所以甲不

能站在排頭，乙不能排在排尾的排法共有A；-2A：+A；=2400種.

小結(jié)一：對(duì)于“在”與“不在”的問(wèn)題，常常使用“直接法”

或“排除法”，對(duì)某些特殊元素可以優(yōu)先考慮.

例2:7位同學(xué)站成一排.

⑴甲、乙兩同學(xué)必須相鄰的排法共有多少種？

解：先將甲、乙兩位同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素與其余的

5個(gè)元素（同學(xué)）一起進(jìn)行全排列有種方法；再將甲、乙兩個(gè)同學(xué)

“松綁”進(jìn)行排列有用種方法.所以這樣的排法一共有否=1440

⑵甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)都相鄰的排法共有多少種？

解:方法同上，一共有用用=720種.

⑶甲、乙兩同學(xué)必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾的排法有

多少種？

解法一：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)

一共有6個(gè)元素，因?yàn)楸荒苷驹谂蓬^和排尾，所以可以從其余的5

個(gè)元素中選取2個(gè)元素放在排頭和排尾，有另種方法；將剩下的4

個(gè)元素進(jìn)行全排列有A：種方法；最后將甲、乙兩個(gè)同學(xué)“松綁”進(jìn)行

排列有種方法.所以這樣的排法一共有A；A：&=960種方法.

解法二：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)一

共有6個(gè)元素，若丙站在排頭或排尾有2種方法，所以丙不能站在

排頭和排尾的排法有（膛-28）.=960種方法.

解法三：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)一

共有6個(gè)元素，因?yàn)楸荒苷驹谂蓬^和排尾，所以可以從其余的四個(gè)

位置選擇共有種方法，再將其余的5個(gè)元素進(jìn)行全排列共有用種

方法，最后將甲、乙兩同學(xué)“松綁”，所以這樣的排法一共有用

=960種方法.

小結(jié)二：對(duì)于相鄰問(wèn)題，常用“捆綁法”（先捆后松）.

例3：7位同學(xué)站成一排.

⑴甲、乙兩同學(xué)不能相鄰的排法共有多少種？

解法一：（排除法）4-*&=3600

解法二：（插空法）先將其余五個(gè)同學(xué)排好有種方法，此時(shí)他

們留下六個(gè)位置（就稱為“空”吧），再將甲、乙同學(xué)分別插入這六

個(gè)位置（空）有A；種方法，所以一共有=3600種方法.

⑵甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)都不能相鄰的排法共有多少種？

解：先將其余四個(gè)同學(xué)排好有種方法，此時(shí)他們留下五個(gè)“空”,

再將甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)分別插入這五個(gè)“空”有種方法，所以一

共有A：A；=1440種.

小結(jié)三：對(duì)于不相鄰問(wèn)題，常用“插空法”（特殊元素后考慮）.

三、小結(jié)：

1.對(duì)有約束條件的排列問(wèn)題，應(yīng)注意如下類型：

⑴某些元素不能在或必須排列在某一位置；

⑵某些元素要求連排（即必須相鄰）；

⑶某些元素要求分離（即不能相鄰）；

2.基本的解題方法：

⑴有特殊元素或特殊位置的排列問(wèn)題，通常是先排特殊元素或

特殊位置，稱為優(yōu)先處理特殊元素（位置）法（優(yōu)限法）；

⑵某些元素要求必須相鄰時(shí)一，可以先將這些元素看作一個(gè)元素,

與其他元素排列后，再考慮相鄰元素的內(nèi)部排列，這種方法稱為“捆

綁法”；

⑶某些元素不相鄰排列時(shí)、可以先排其他元素，再將這些不相

鄰元素插入空擋，這種方法稱為“插空法”；

（4）在處理排列問(wèn)題時(shí)，一般可采用直接和間接兩種思維形式，

從而尋求有效的解題途徑，這是學(xué)好排列問(wèn)題的根基.

四、作業(yè)：《課課練》之“排列課時(shí)1—3”

課題：排列的簡(jiǎn)單應(yīng)用（2）

目的：使學(xué)生切實(shí)學(xué)會(huì)用排列數(shù)公式計(jì)算和解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)

題，進(jìn)一步培養(yǎng)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，同時(shí)讓學(xué)生學(xué)會(huì)一題多

解.

過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)：

1.排列、排列數(shù)的定義，排列數(shù)的兩個(gè)計(jì)算公式；

2.常見(jiàn)的排隊(duì)的三種題型：

⑴某些元素不能在或必須排列在某一位置一一優(yōu)限法；

⑵某些元素要求連排（即必須相鄰）一一捆綁法；

⑶某些元素要求分離（即不能相鄰）一一插空法.

3.分類、分布思想的應(yīng)用.

二、新授：

示例一：從10個(gè)不同的文藝節(jié)目中選6個(gè)編成一個(gè)節(jié)目單，

如果某女演員的獨(dú)唱節(jié)目一定不能排在第二個(gè)節(jié)目的位置上，則共有

多少種不同的排法？

解法一：（從特殊位置考慮）閩閩=136080

解法二：（從特殊元素考慮）若選：5若不選：個(gè)

則共有5-^+^=136080

解法三：（間接法）簿-&=136080

示例二：

⑴八個(gè)人排成前后兩排，每排四人，其中甲、乙要排在前排，

丙要排在后排，則共有多少種不同的排法？

略解：甲、乙排在前排用；丙排在后排A：；其余進(jìn)行全排列A；.

所以一共有A：A：用=5760種方法.

⑵不同的五種商品在貨架上排成一排，其中“，人兩種商品必須

排在一起，而兩種商品不排在一起，則不同的排法共有多少種？

略解：（“捆綁法”和“插空法”的綜合應(yīng)用）a,b捆在一起與e

進(jìn)行排列有用；

此時(shí)留下三個(gè)空，將兩種商品排進(jìn)去一共有最后將。,人

“松綁”有用.所以一共有用=24種方法.

⑶6張同排連號(hào)的電影票，分給3名教師與3名學(xué)生，若要求

師生相間而坐，則不同的坐法有多少種？

略解：（分類）若第一個(gè)為老師則有A；A；；若第一個(gè)為學(xué)生則有

用

所以一共有2A；A；=72種方法.

示例三：

⑴由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的正整

數(shù)？

略解：+=325

（2）由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，并且

比13000大的正整數(shù)？

解法一：分成兩類，一類是首位為1時(shí)一，十位必須大于等于3有

種方法；另一類是首位不為1,有A：A：種方法.所以一共有

A；A；+A：A：=114個(gè)數(shù)比13000大.

解法二：（排除法）比13000小的正整數(shù)有用個(gè)，所以比13000

大的正整數(shù)有8-用=114個(gè).

示例四：用1,3,6,7,8,9組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，由小

到大排列.

⑴第114個(gè)數(shù)是多少？⑵3796是第幾個(gè)數(shù)？

解：⑴因?yàn)榍粩?shù)是1的四位數(shù)一共有耳=60個(gè)，所以第114

個(gè)數(shù)的千位數(shù)應(yīng)該是“3”，十位數(shù)字是“1”即“31”開頭的四位數(shù)

有=12個(gè)；同理，以“36”、“37”、“38”開頭的數(shù)也分別有12個(gè),

所以第114個(gè)數(shù)的前兩位數(shù)必然是“39”，而“3968”排在第6個(gè)位

置上，所以“3968”是第114個(gè)數(shù).

（2）由上可知“37”開頭的數(shù)的前面有60+12+12=84個(gè)，而3

796在“37”開頭的四位數(shù)中排在第11個(gè)（倒數(shù)第二個(gè)），故3796

是第95個(gè)數(shù).

示例五：用0,1,2,3,4,5組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中

⑴能被25整除的數(shù)有多少個(gè)？

⑵十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大的有多少個(gè)？

解：（1）能被25整除的四位數(shù)的末兩位只能為25,50兩種，

末尾為50的四位數(shù)有"個(gè)，末尾為25的有個(gè)，所以一共有"十

=21個(gè).

注：能被25整除的四位數(shù)的末兩位只能為25,50,75,00

四種情況.

⑵用0,1,2,3,4,5組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，一共有46=300

個(gè).因?yàn)樵谶@300個(gè)數(shù)中，十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的大小關(guān)系是“等可

熊斷，所以十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大的有=150個(gè).

三、小結(jié)：能夠根據(jù)題意選擇適當(dāng)?shù)呐帕蟹椒?，同時(shí)注意考慮問(wèn)

題的全面性，此外能夠借助一題多解檢驗(yàn)答案的正確性.

四、作業(yè)：“3+X”之排列練習(xí)

組合⑴

課題：組合、組合數(shù)的概念

目的：理解組合的意義，掌握組合數(shù)的計(jì)算公式.

過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)、引入：

1.復(fù)習(xí)排列的有關(guān)內(nèi)容:

定特相公

義點(diǎn)同排列式

排

列

以上由學(xué)生口答.

2.提出問(wèn)題：

示例1：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天的一項(xiàng)

活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有

多少種不同的選法？

示例2：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加一項(xiàng)活動(dòng)，

有多少種不同的選法？

引導(dǎo)觀察：示例1中不但要求選出2名同學(xué)，而且還要按照一定

的順序“排列”，而示例2只要求選出2名同學(xué)，是與順序無(wú)關(guān)的.

引出課題：組育問(wèn)題.

二、新授：

1.組合的概念：一般地，從〃個(gè)不同元素中取出加（mW〃）個(gè)

元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.

注：1.不同元素2.“只取不排”——無(wú)序性3.相同組合：

元素相同

判斷下列問(wèn)題哪個(gè)是排列問(wèn)題哪個(gè)是組合問(wèn)題：

⑴從A、B、C、。四個(gè)景點(diǎn)選出2個(gè)進(jìn)行游覽；（組合）

⑵從甲、乙、丙、丁四個(gè)學(xué)生中選出2個(gè)人擔(dān)任班長(zhǎng)和團(tuán)支部

書記.（排列）

2.組合數(shù)的概念：從〃個(gè)不同元素中取出相（加個(gè)元素的

所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從〃個(gè)不同元素中取出，幾個(gè)元素的組合數(shù).用

符號(hào)表示.

例如：示例2中從3個(gè)同學(xué)選出2名同學(xué)的組合可以為：甲乙,

甲丙，乙丙.即有C；=3種組合.

又如：從A、B、C、D四個(gè)景點(diǎn)選出2個(gè)進(jìn)行游覽的組合：

AB,AC,AD,BC,BD,CD一共6種組合，即：C：=6

在講解時(shí)一定要讓學(xué)生去分析：要解決的問(wèn)題是排列問(wèn)題還是

組合問(wèn)題，關(guān)鍵是看是否與順序有關(guān).那么又如何計(jì)算/呢？

3.組合數(shù)公式的推導(dǎo)

⑴提問(wèn)：從4個(gè)不同元素a,b,c,d中取出3個(gè)元素的組合數(shù)C：

是多少呢？

啟發(fā)：由于排列是先組合再排列，而從4個(gè)不同元素中取出3

個(gè)元素的排列數(shù)A：可以求得，故我們可以考察一下C：和耳的關(guān)系，

如下：

組合排列

abc—>abc,bac,cab,acb,bca,cba

abdfabd,bad,dab,adb,bda,dba

acd—>acd,cad,dac,adc,eda,dca

bed—>bed,cbd,dbc,bdc,edb,deb

由此可知：每一個(gè)組合都對(duì)應(yīng)著6個(gè)不同的排列，因此，求從

4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的排列數(shù)國(guó)，可以分如下兩步：①考

慮從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的組合，共有仁個(gè)；②對(duì)每一個(gè)

組合的3個(gè)不同元素進(jìn)行全排列,各有用種方法.由分步計(jì)數(shù)原理得:

■A：=，所以：C：=.

4

⑵推廣：一般地，求從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列

數(shù)4",可以分如下兩步：①先求從〃個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的

組合數(shù)C："；②求每一個(gè)組合中加個(gè)元素全排列數(shù)40根據(jù)分布計(jì)

數(shù)原理得：A：=C：?A；：

⑶組合數(shù)的公式:

r,n_A：_n(n-l)(n-2)---(n-m+l)

或C：=-------(〃，加eN*,且加<“)

ml(n-m)l

(4)鞏固練習(xí)：

1.計(jì)算:(1)C：(2)C：。

2.求證：c：=型」C”

n-m

3.設(shè)xeM,求Of+第T的值.

解：由題意可得：12x-30-1即：2W%W4

[x+1>2x—3

,：xwN+,；.x=2或3或4

當(dāng)x=2時(shí)原式值為7；當(dāng)％=3時(shí)原式值為7；當(dāng)產(chǎn)2時(shí)原式

值為11.

???所求值為4或7或11.

4.例題講評(píng)

例1.6本不同的書分給甲、乙、丙3同學(xué)，每人各得2本，有

多少種不同的分

法？

略解：C；.C1C；=90

例2.4名男生和6名女生組成至少有1個(gè)男生參加的三人實(shí)踐

活動(dòng)小組，問(wèn)組成方法共有多少種？

解法一：(直接法)小組構(gòu)成有三種情形：3男，2男1女，1

男2女,分別有c：,C：c，c\-Cl，所以一共有C：+C[C：+C：.C；=

100種方法.

解法二：（間接法）一。；=100

5.學(xué)生練習(xí)：（課本99練習(xí)）

三、小結(jié)：

定特相公

義點(diǎn)同組合式

排

列

組

此外，解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)首先要看是否與順序有關(guān)，從而確定

是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題，必要時(shí)要利用分類和分步計(jì)數(shù)原理.

四、作業(yè)：課堂作業(yè)：教學(xué)與測(cè)試75課

課外作業(yè)：課課練課時(shí)7和8

組合⑵

課題：組合的簡(jiǎn)單應(yīng)用及組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)

目的：深刻理解排列與組合的區(qū)別和聯(lián)系，熟練掌握組合數(shù)的計(jì)

算公式；掌握組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)，并且能夠運(yùn)用它解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)

用問(wèn)題.

過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)回顧：

1.復(fù)習(xí)排列和組合的有關(guān)內(nèi)容：

強(qiáng)調(diào)：排列一一次序性；組合一一無(wú)序性.

2.練習(xí)一：

練習(xí)1:求證：C；f=-C1^.（本式也可變形為：，〃c：=〃c竄）

m

練習(xí)2：計(jì)算：①G：和GZ；②c：-c：與c：；③G：+G：

答案：①120,120②20,20③792

（此練習(xí)的目的為下面學(xué)習(xí)組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)打好基礎(chǔ).）

3.練習(xí)二：

⑴平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn)，以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少

條？

⑵平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn)，以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多

少條？

答案：⑴62。=45（組合問(wèn)題）⑵短=90（排列問(wèn)題）

二、新授：

1.組合數(shù)的性質(zhì)1：C：=C；".

理解：一般地，從〃個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素后，剩下〃-加

個(gè)元素.因

為從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的每一個(gè)組合，與剩下的〃-

m個(gè)元素的每一個(gè)組合一一芍廖，所以從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)

元素的組合數(shù)，等于從這〃個(gè)元素中取出〃-"2個(gè)元素的組合數(shù)，即：

C：=C7".在這里，我們主要體現(xiàn)：“取法”與“剩法”是“一一對(duì)

應(yīng)”的思想.

證明：???c7"=-----------=—

（〃一m）\[n-（n-//7）]!ml（n-m）!

注：1。我們規(guī)定C：=1

2°等式特點(diǎn)：等式兩邊下標(biāo)同，上標(biāo)之和等于下標(biāo).

3°此性質(zhì)作用：當(dāng)加冶時(shí)，計(jì)算C：可變?yōu)橛?jì)算CT",能夠使運(yùn)

算簡(jiǎn)化.

例如：喘=C~01==2002.

4°C：=C；=>x=y或x+y=〃

2.示例一：(課本101例4)一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的7個(gè)白

球和1個(gè)黑球.

⑴從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，共有多少種取法？

⑵從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中含有1個(gè)黑球，有多少種取法？

⑶從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中不含黑球，有多少種取法？

解：(1)Cl=56(2)C-=21(3)=35

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：=G+為什么呢？

我們可以這樣解釋：從口袋內(nèi)的8個(gè)球中所取出的3個(gè)球，可

以分為兩類：一類含有1個(gè)黑球，一類不含有黑球.因此根據(jù)分類計(jì)

數(shù)原理，上述等式成立.

一般地，從a”的,…,。用這〃+1個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的

組合數(shù)是C；、，這些組合可以分為兩類：一類含有元素％,一類不含

有生.含有％的組合是從。2，。3,…,。向這〃個(gè)元素中取出m-I個(gè)元素

與《組成的，共有G7個(gè)；不含有巧的組合是從由，。3,…,。用這〃個(gè)元

素中取出"2個(gè)元素組成的，共有C；個(gè).根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，可以得

到組合數(shù)的另一個(gè)性質(zhì).在這里，我們主要體現(xiàn)從特殊到一般的歸納

思想，“含與不含其元素”的分類思想.

3.組合數(shù)的性質(zhì)2：C：\=C：+C：T.

證明：C"'+C"I=——-——+--------------

ml(n-(n?-1)![??-(AH-1)]!

_nl(n一機(jī)+1)+nlm

m\(n-m+1)!

_(〃一加+1+機(jī))九！

nA(n-m+l)l

(〃+1)!

加！(〃一"?+1)!

一e?+i

???C"C：+C：I.

注：1。公式特征：下標(biāo)相同而上標(biāo)差1的兩個(gè)組合數(shù)之和，等

于下標(biāo)比原下標(biāo)多1而上標(biāo)與高的相同的一個(gè)組合數(shù).

2°此性質(zhì)的作用：恒等變形，簡(jiǎn)化運(yùn)算.在今后學(xué)習(xí)“二

項(xiàng)式定理”時(shí)，我們會(huì)看到它的主要應(yīng)用.

4.示例二：

(1)計(jì)算：c；+c；+c；+c；

⑵求證：C-=C'：+2CT+C；2

⑶解方程：GY:Gff

(4)解方程：0^2+C二=1A；+3

⑸計(jì)算：+C：+C：++C：和+C；+C；+C；

推廣：C：+，+(?：+???+C；-1+C；；=2"

5.組合數(shù)性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用：

證明下列等式成立：

⑴（講解）%+%+%+…+c3+c：=c/

（2）（練習(xí)）cm..+ciy

⑶C：+2C；+3C；+…+〃C；=+C；+…+C：）

6.處理《教學(xué)與測(cè)試》76課例題

三、小結(jié)：1.組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)；

2.從特殊到一般的歸納思想.

四、作業(yè)：課堂作業(yè)：《教學(xué)與測(cè)試》76課

課外作業(yè)：課本習(xí)題10.3；課課練課時(shí)9

組合⑶

課題：組合、組合數(shù)的綜合應(yīng)用⑴

目的：進(jìn)一步鞏固組合、組合數(shù)的概念及其性質(zhì)，能夠解決一些

較為復(fù)雜的組合應(yīng)用問(wèn)題，提高合理選用知識(shí)的能力.

過(guò)程：

一、知識(shí)復(fù)習(xí)：

1.復(fù)習(xí)排列和組合的有關(guān)內(nèi)容：

依然強(qiáng)調(diào)：排列一一次序性；組合一一無(wú)序性.

2.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及有關(guān)性質(zhì)

性質(zhì)1：C：=性質(zhì)2：C嘉=C；：+C；-1

常用的等式：c：=c3=C=G：；=i

3.練習(xí)：處理《教學(xué)與測(cè)試》76課例題

二、例題評(píng)講：

例1.100件產(chǎn)品中有合格品90件，次品10件，現(xiàn)從中抽取4

件檢查.

⑴都不是次品的取法有多少種?

⑵至少有1件次品的取法有多少種?

⑶不都是次品的取法有多少種?

解：⑴.=2555190;

⑵/+cfA+G：=1366035

⑶Gto-+c；c,^+c*c：。+c:=3921015.

例2.從編號(hào)為1,2,3,10,11的共11個(gè)球中，取出5

個(gè)球，使得這5個(gè)球的編號(hào)之和為奇數(shù)，則一共有多少種不同的取

法？

解：分為三類：1奇4偶有C；C；；3奇2偶有亡或；5奇1

偶有C；

所以一共有C：C；+C；C；+C；=236.

例3.現(xiàn)有8名青年，其中有5名能勝任英語(yǔ)翻譯工作；有4名

青年能勝任德語(yǔ)翻

譯工作（其中有1名青年兩項(xiàng)工作都能勝任），現(xiàn)在要從中挑選

5名青年承擔(dān)一項(xiàng)任務(wù)，其中3名從事英語(yǔ)翻譯工作，2名從事德語(yǔ)

翻譯工作，則有多少種不同的選法？

解：我們可以分為三類：

①讓兩項(xiàng)工作都能擔(dān)任的青年從事英語(yǔ)翻譯工作，有

②讓兩項(xiàng)工作都能擔(dān)任的青年從事德語(yǔ)翻譯工作，有

③讓兩項(xiàng)工作都能擔(dān)任的青年不從事任何工作，有

所以一共有C：C；+C：C；+C：C；=42種方法.

例4.甲、乙、丙三人值周，從周一至周六，每人值兩天，但甲

不值周一，乙不值周六，問(wèn)可以排出多少種不同的值周表？

解法一：（排除法）-=42

解法二：分為兩類：一類為甲不值周一，也不值周六，有C：《；

另一類為甲不值周一，但值周六，有所以一共有c；c：+c：c；=

42種方法.

例5.6本不同的書全部送給5人，每人至少1本，有多少種不

同的送書方法？

解：第一步從6本不同的書中任取2本“捆綁”在一起看成一

個(gè)元素有&種方法；第二步將5個(gè)“不同元素（書）”分給5個(gè)人有

A：種方法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，一共有廢用=1800種方法.

變題1：6本不同的書全部送給5人，有多少種不同的送書方法？

變題2：5本不同的書全部送給6人，每人至多1本，有多少種不同

的送書方法？

變題3：5本相同的書全部送給6人，每人至多1本，有多少種不同

的送書方法？