利用函數(shù)的單調性求參數(shù)取值范圍-2023年新高考數(shù)學之導數(shù)突破(解析版)

專題03利用函數(shù)的單調性求參數(shù)取值范圍

一、單選題

I.已知函數(shù)/(x)=∕+f-奴+1在R上為單調遞增函數(shù)，則實數(shù)〃的取值范圍為(

?-K4]B-1巴C.D.[-?÷0°)

【解析】f'(x)=3x2+2x-a,

因為/(x)在R上為單調遞增函數(shù)，故0在R上恒成立，

所以4=4+12a≤0即α≤-L,故選：A.

3

2.若函數(shù)y=x+4nx在區(qū)間[1,48)內單調遞增，則"的取值范圍是()

A.(―∞,—2)B.(-∞,-l)C.[-2,+∞)D.[―1,+∞)

【解析】由y=x+αlnx=>V=I+彳，

因為函數(shù)y=x+alnx在區(qū)間[l,+oo)內單調遞增，

所以有y’20在[1,÷∞)上恒成立，即1+彳≥0在[I,E)上恒成立，

因為尤e[l,+α>),所以由l+f≥0=>x+4≥0nα≥-x,

因為xe[l,+8),所以-x∈(-∞,-f∣,于是有“≥-l,故選：D

3.若函數(shù)/(x)=OX+cosX在(YO,小功上單調遞增，則實數(shù)”的取值范圍是()

A.(-1,1)B.[l,+∞)C.(-1,+8)D.(-1,0)

【解析】∕,(x)=α-sinx,由題意得:∕,(x)=α-sinx≥O,

即42sinX在(→x>,+∞)上恒成立，

因為y=sinxe[-1,1],所以α≥l恒成立，故實數(shù)”的取值范圍是口,”).故選：B

TTTr

4.若函數(shù)/(X)=版+2SinX在Xe上單調遞增，則實數(shù)b的取值范圍是()

A.b≥0B.b>0

C.Z>≥-√2D.?>-√2

7Γτr

【解析】由題意/'(x)=6+2cosx≥0在上恒成立,

?≥-2cosx,XW時，y=-2cosx是增函數(shù)，ymax=0(X=?∣時取得)，所以6≥0.故選：A.

5.若函數(shù)/(x)=lnx+0√-2在區(qū)間(；』)內存在單調遞增區(qū)間，則實數(shù)α的取值范圍是(

)

A.―)C.(-2,+∞)D.(-8,+∞)

【解析】由f(x)=lnx+加-2可得：八X)W+2近

因為函數(shù)/(x)=lnx++-2在區(qū)間內存在單調遞增區(qū)間，

所以尸(x)>0在xe(1l)上有解，即α>-*在χe(gl)上有解.

設g(x)=-J,xeg,l),由g'(x)=χT>0在χeg,l)上恒成立，所以g(x)在xe[,l)單調遞增，所以

g[)<g(x)<g(l).所以“>g(j=-8.故選：D

6.已知函數(shù)/(X)=J+亨+αx+l存在三個單調區(qū)間，則實數(shù)〃的取值范圍是()

A.(0,4)B.[0,4]

C.(→o,0)(4,+∞)D.(-∞,0[J[4,+∞)

【解析】由題意，函數(shù)AX)=[+等+ax+l,可得f(x)=χ2+αr+4,

因為函數(shù)/(x)存在三個單調區(qū)間，可得f(x)有兩個不相等的實數(shù)根，

則滿足A=[2-4Q>0,解得αvθ或α>4,

即實數(shù)。的取值范圍是(-∞,0)(4,3).故選：C.

7.若函數(shù)/(x)=g/—9InX在區(qū)間[αTα]上單調遞減，則實數(shù)〃的取值范圍是()

A.Ka?3B.a≥4

C.-2≤a≤3D.?<a≤4

【解析】函數(shù)"x)=gχ2-91nx,(χ>0).則[(X)=X-B=

因為/(x)在區(qū)間3-1,0上單調遞減,

則T(x)≤0在區(qū)間[α-1,α]上恒成立，即f一9≤0,所以0<X≤3在區(qū)間一1,旬上恒成立,

a-l>0

所以α≤3'解得自？3,故選：A.

TrTr

8.已知函數(shù)/(無)=αsinx+2CoSX在K∈上單調遞增，則。的取值范圍為()

A.a≥0B.-2≤a≤2C.ci≥—2D.α≥0或α≤-2

ππ

【解析】因為函數(shù)/(x)=αsinx+2cosx在Xe上單調遞增,

3^4

兀π

所以/'(X)=QCoSX—2sinx≥0在x∈

3,^4匕恒成立,

ππ

即α≥2tanx在x∈上恒成立,

3,^4

由y=2tanx在(-5())上單調遞增知，ynm=2tan(-()=-2,所以α≥-2,故選：C

Sin2γ

9.若〃X)=X-十+3是R上的減函數(shù)，則實數(shù)〃的取值范圍是()

5

A.一,+8C.D.[l,+∞)

4

[解析】由f(X)=(4_g)x_s∣:2x+cosX,W-f'M=a~^~c°^2^v-sinX,

Sin2x

因為Ja)X———+COSX是R上的減函數(shù),

4

所以f'[x)=a_l_￡2|≥_sinχ≤O在R上恒成立,

1CCq2V]5

即4≤—+-----+sinx=cos2x+sinx=1-sin2x÷SinX=-(sinX——)2+一在R上恒成立,

2224

由于一l≤sinx≤l,所以αW-(-l-gy+(=T.故選：B.

7

10.若函數(shù)/(x)=；(COSX-SinX)(COSX+sinx)+3α(sinX-COSX)+(4"I)X在區(qū)間-π,2π上單調遞減，則

實數(shù)4的取值范圍為()

16

A.°5B.0D.(~∞,0]

[解析】函數(shù)/(x)=g(cosx—SinX)(COSjr+sinx)+3〃(SinX—COSX)+(4。一I)X

=—cos2x+34(SinX-COSx)+(4α-l)X

/.∕,(x)=-sin2x+3a(cosx+sinx)+4tz-l=-(cosx+sinx)^÷3a(cosx÷sinx)+4tz≤0,

-7

,

對％∈4-恒成立.cosx+sinx=>∕2sin∣x÷-|,..?x∈—兀,2π時，O≤cos+sinX≤1.

-I4J4

令g(f)=τ2+3αf+4^(0≤f≤l),欲使g(f)≤O恒成立,

22

只需滿足α≤J-,當O≤f≤l時，恒成立，即a≤

3f+l3，+1幾

設3f+l="2∈[l,4],r?-??,

工=貯3上l='+-L-2≥2、區(qū)工一2=0,當/=，-時，等號成立,

3f+19m99ιn9v99m999m

即α≤0.故選：D

11.若函數(shù)/(x)=gcos2x+34(sinx+cosx)+(20-l)x在θ,?上單調遞減，則實數(shù)〃的取值范圍為

C.u[l,+∞)

1Jr

【解析】由函數(shù)/(x)=,cos2x+30(SinX+cosx)+(2Q-I)X,口.次戈)在區(qū)間。,,上單調遞減,

在區(qū)間θ,?卜"(x)=r由2x+3α(COSXrinx)+2αTWo恒成立,

?；設f=Cosx-sinx=?∣2sin

Jlnππ

，當X∈0,y時,％1ι∈—J∈[-l,l],0即rl一1土。SXr加v≤l,

44

23

令r∈[-1,1]isin2x=1-∕∈[0,1],原式等價于-+34f+24-20,當f∈[T,l]時恒成立,

13。1

-1<-----<1

-四≤T-的≥12

?y(t)=t2+3at+2a-2↑只需滿足ν2或<2^或?^(l)=5a-l≤0,

g⑴=5d≤0g(-l)=-α-l≤Og(-l)=—〃一1≤0

解得?；?1≤a≤-2;或2一1;綜上，可得實數(shù)α的取值范圍是一1二1，故選：A.

335L5」

二、多選題

12.若函數(shù)/(x)=gχ2-91nx,在區(qū)間上w-l,"7+l］上單調，則實數(shù)機的取值范圍可以是()

A.m=4B.m≤2

C.?<m<2D.0<∕w≤3

【解析】定義域為(0,+8),/(χ)=χ-2=α∑;由尸(x)≥0得函數(shù)/(X)的增區(qū)間為［3,+8)；

XX

由f(X)≤0得函數(shù)F(X)的減區(qū)間為(0,3］；因為/(X)在區(qū)間［加—1,加+1］上單調，

所以《或"2-1≥3解得lva≤2或〃zN4；結合選項可得A,C正確.故選：AC.

［∕n+l≤3

三、填空題

13.若函數(shù)"x)=-；/+必有三個單調區(qū)間，則實數(shù)4的取值范圍是.

【解析】f'(x)=-x2+a,由于函數(shù)〃》)=一；1+奴有三個單調區(qū)間，

所以f(x)=τ2+a=。有兩個不相等的實數(shù)根，所以”>0.故答案為：(O,+S)

14.已知函數(shù)/(x)=fcf3+3(A7)χ2-公+1(%>o),若/(χ)的單調遞減區(qū)間是(0,4),則實數(shù)左的值為.

【解析】由/(x)=kx3+3(k-l)x2-k2+1(左>0),得/(Λ)=3kx2+6(%-I)X,

因為AX)的單調遞減區(qū)間是(0,4),所以f(幻<0的解集為(0,4),

所以x=4是方程3履2+6("I)X=O的一個根，所以12%+6(Z-l)=0,解得k=；

15.若函數(shù)〃%)=/+儂2-Shu在［0,+回單調遞增，則實數(shù),〃的取值范圍為.

【解析】由F(X)=d+m?-sinx,得尸(X)=爐+2/nr-COSX,

若函數(shù)/(x)=e*+儂2-SinX在［0,+8)單調遞增，

則/'(X)=e'+2儂-eos?..0在［。,+8)上恒成立，

g(x)=et+2∕nx-∞sx,x..0,貝∣Jg'(x)=e*+2m+sinx,

再令MX)=e*+2機+sinx,x.0,貝∣J∕7,(x)=e*+cosr,因為x.0,

所以，."=1,所以力'(x)=e*+cosx.0在［0,+oo)上恒成立:,

則MX)在［0,+∞)上單調遞增,故∕ι(x)min=A(O)=I+2m；

當1+2根.0時，得機…此時g'(x)=MX)..0,則g(x)在［0,+∞)上單調遞增，

貝IJg(X)??g(O)=0,此時符合/'(力=，+hnx-CosX.0在［0,+<?)上恒成立：

當l+2∕“<0時，得m<-g,3?∈(0,-κx)),使得人(Xo)=0,

故xe［0,xtt)時，MX)<0,即g'(x)<O,xw(%,+∞)時,MX)>0,即g'(x)>(),

故g(x)在［O,%)上單調遞減，

則當x∈［0,%)時，g(x),,g(0)=0,此時/,(x)=e*+2∕nr-COsΛ;,0,不合題意；

綜匕實數(shù)機的取值范圍為，兒..一;.

x1

16.已知函數(shù)/(x)=x-'-21nx,g{x}={x-?)e--ax,α∈R.對于任意劣,9￡。,+°°),且X≠?^2,必有

X2

/(?)-∕(?)Ω則”的取值范圍是,

g(x∣)-g(j?)

【解析】/(X)定義城為(O,E)./'(X)=1+3-2=@HNO.故/(x)在(LE)內單調遞增.

XXX

對于任意與，We(l,+∞),不妨設占<4，

則/(A)-/(w)<°?故g(χ∣)-g(w)<o,g(χ∣)<g(χ2),g(x)在(1,÷3°)內單調遞增.

故g'(x)=xe*-ox=x(e*-α)≥O在(l,+∞)恒成立，即α≤e，恒成立，可知α≤e.;.。的取值范圍為(-8,e].

17.已知函數(shù)f(x)=V-2米2+x-3在R上不單調，則Z的取值范圍是.

【解析】∕,(x)=3Λ2-4fcι-2+l,因為函數(shù)/(x)=∕-2fcv2+χ-3在R上不單調，

所以3f_4λ√+1=0必有解，

當3f-4H2+1=0只有一個解時，∕,U)=3x2-4fcc2+l≥0

得出函數(shù)/(x)在R上單調遞增，與題干矛盾，故3/一4齒2+1=0必有兩個不等實根

則A>0n(-4k)2-4χ3χl>0,解得k<-等或女>手

18.若實數(shù)αe(0,2),be(0,2),則函數(shù)〃x)=g屋V+g"/一如在區(qū)間(1,E)單調遞增的概率為

【解析】由題意∕*U)=∕J+/X-4?0在上恒成立，二次函數(shù)的對稱軸是X=-二<0,

2a1

因此/'(X)在(1,m)上單調遞增，所以/機)=/+/-4?0,

易知滿足Oca<2,0<∕7<2的點(a,b)據(jù)區(qū)域為圖中正方形CMSC,面積為2x2=4，

又滿足6+尸-4?0的SI)在正方形QABC在圓9+y2=4外部的部分，面積為4-與？2?4-p,

4

所以概率為P=與工.

4

19.若函數(shù)"X)=ALlX2+4χ+ι在區(qū)間(1,4)上不單調，則實數(shù)α的取值范圍是.

【解析】函數(shù)/(x)=ry-?^x2+4Λ÷1,/.f(x)=x2-ax+4,

若函數(shù)F(X)在區(qū)間(1,4)上不單調，則f(χ)=f-方+4=o在(1,4)上存在變號零點，

由/一奴+4=0得α=x+±,令g(x)=x+3,Xe(1,4),g?χ)=^x+^^2\

XXX

???g(x)在(1,2)遞減，在(2,4)遞增，而g(2)=2+g=4,g(l)=l+γ=5,g(4)=4+2=5,

所以4<α<5.故答案為：(4,5).

四、解答題

20.已知函數(shù)/(x)=x3-or-l.

(1)若"x)在區(qū)間(l,yθ)上為增函數(shù)，求α的取值范圍.

(2)若/(x)的單調遞減區(qū)間為(Tl),求”的值.

【解析】(D因為r(x)=3χ2-α,且/(x)在區(qū)間(Ly)上為增函數(shù),

所以/'(x)≥0在(1,E)上恒成立，即3χJα≥0在(1,+8)上恒成立，

所以α≤3f在上恒成立，所以a≤3,即”的取值范圍是(-∞,3］

(2)由題意知a>O.因為F(X)=Λ3-OX-1,所以f'(x)=3x2-α.

由r(x)<O,得-g<x<［所以“X)的單調遞減區(qū)間為(U,聆)，

又已知了(X)的單調遞減區(qū)間為(-1,1),所以(-5,A)=(T,1)，所以收=1，即α=3.

21.已知函數(shù)/(x)=lnx—

⑴若α=-3,求函數(shù)〃x)的極值；

(2)若函數(shù)f(x)在［e,e［上單調遞增，求。的取值范圍.

【解析】(1)當。=—3時，f(x)=lnx+-(x>O),則/(X)=J-W=與，

XXXX

令F(X)=O,得x=3,

X,/(X)和f(χ)的變化情況如下表

X(0,3)3(3,+∞)

/(X)一0+

?(?)遞減極小值遞增

所以當x=3時，/(χ)取得極小值/(3)=ln3+l,無極大值

(2)由/(x)=lnx-4(x>0),得f(X)='+彳=(x>0),

-VXXX

當“≥0時，/(x)>O,所以/(χ)在(0,+8)上單調遞增，所以/(x)在［e,e］匕單調遞增,

當“<0時，由f(χ)=O,得X=-。，

X,/(X)和/(x)的變化情況如下表

X(0,一。)-a(TZ,+co)

/(?)—0+

/(X)遞減極小值遞增

因為/(x)在［叱3］上單調遞增，所以—α≤e,得-e≤"O,

綜上，α的取值范圍為［-e,+∞)

22.已知αeR,函數(shù)f(x)=(-/+如對。eR,e為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)當α=2時，求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間；

(2)若函數(shù)/(x)在(-1,1)上單調遞增，求。的取值范圍：

【解析】⑴當α=2時,/(x)=(-X2+2x)e*,f'(x)=-(x2-2)et

令fix)〉。，得*2_2<0，.<x<&

.?J(X)的單調遞增區(qū)間是(-√∑,√∑)；

⑵/'(X)=［*+("2)x+α］e",若/"⑴在(TJ)內單調遞增,即當-IVX<1時,/'(x)??0,

β∣J-X2+(?！?)x+...0對X∈(—1,1)恒成立，即a..x+\----對xe(―L1)恒成立，

x+1

令…+1一缶’則叩+舟>°,

1133

y=x+l---;在(TJ)上單調遞增，.,.?<1+1--~~-=—,cι..,

x+11+122

當α=1時，當且僅當X=O時，f'(x)=O,?"的取值范圍是g+∞］.

212)

14-Y

23.已知函數(shù)/(x)=nX.....-.

(1)若曲線y=F(X)在點(0,/(0))處的切線方程為y=χ+3求實數(shù)”，b的值;

(2)若函數(shù)F(X)在區(qū)間(0,2)上存在單調增區(qū)間，求實數(shù)?的取值范圍；

(3)若/(x)在區(qū)間(Q2)上存在極大值，求實數(shù)。的取值范圍(直接寫出結果).

【解析】⑴因為>'(x)=a-JaX)=力+一所以/'(O)=”,

ee

因為曲線V=/(X)在點(OJ(O))處的切線方程為y=χ+b,

所以切線斜率為1,即α=l,F(O)=-I=b,所以α=l,匕=-1.

(2)因為函數(shù)/O)在區(qū)間(0,2)上存在單調增區(qū)間，

所以f'(x)=4+a>0?(0,2)上有解,即只需f'(χ)在(0,2)上的最大值大于O即可.

e

Y1—Y

令∕z(x)=∕,(x)=—÷?,//(%)=——,當X∈(0,1)時，h,(x)>O,h(x)為增函數(shù)，

ee

當x∈(l,2)時，/(x)<O,∕ι(x)為減函數(shù)，所以，當X=I時，〃(X)取最大值,+〃，

e

故只需1+α>0,即所以實數(shù)α的取值范圍是

ee

24.1.已知函數(shù)/(x)=χ3-0r-l(αwR).

(1)若函數(shù)f(x)在R上單調遞增，求實數(shù)”的取值范圍；

⑵若函數(shù)的單調遞減區(qū)間是(-1」)，求實數(shù)a的值；

(3)若函數(shù)/(x)在區(qū)間(-11)上單調遞減，求實數(shù)。的取值范圍.

【解析】⑴易知r(x)=3f-α.

因為f(x)在R上單調遞增，所以/'(x)≥0恒成立，即0≤3d恒成立，

故α≤(3χ2Ln=0.經(jīng)檢驗，當。=0時，符合題意，故實數(shù)”的取值范圍是(-8,0].

⑵由(1),得/'(力=3/-。.

因為/(x)的單調遞減區(qū)間是(TJ)，所以不等式3f-a<o的解集為(-?,l),

所以-1和1是方程3∕-α=0的兩個實根，所以。=3.

⑶由(1),得/'(x)=3χ2-α.

因為函數(shù)F(X)在區(qū)間(T,1)上單調遞減，所以r(χ)≤O在Xw(TI)上恒成立，

即.≥3χ2在Xg(Tl)上恒成立.

又函數(shù)y=3∕在(-1,1)上的值域為［0,3),所以α≥3.故實數(shù)a的取值范圍是［3,M).

25.已知函數(shù)f(x)=InX-a?/+αr(α∈R).

(1)當α=l時，求函數(shù)f(x)的最值

(2)若函數(shù)/(x)在區(qū)間［1,4W)上是減函數(shù)，求實數(shù)”的取值范圍.

【解析】(1)當α=l時，/(x)=InX-X2+χ,

貝rω=l-2x÷ι=A-I=_(2川)(1),

XXX

當O<x<l時，∕,(x)>O,當χ>l時，∕,(x)<θ,

所以當X=I時，"x)有最大值0,無最小值；

(2)f'(x)=--2a2x+a,因為函數(shù)/⑶在區(qū)間［1,+8)上是減函數(shù)，

X

所以f?x)=--2a2x+a≤O在區(qū)間［1,+∞)上恒成立,

X

令g(x)='-2∕x+”,則g［x)=--y-2a2<0,

所以g(x)在區(qū)間［1,+8)上遞減,所以g(x)maχ=g⑴=-%?+。+1,

則一202+”+l≤0,即2/—“一l≥0,即(2α+l)(α-l)≥0,解得α≤-g或“21,

所以實數(shù)。的取值范圍(-∞,-g］31,+8).

26.已知函數(shù)〃X)=X2x+4

(1)當α=l時，求曲線y=∕(x)在點(2J(2))處的切線方程：

(2)若〃X)=X?∣d-2x+α∣在區(qū)間［0,1］上單調遞增，求實數(shù)”的取值范圍.

【解析】(1)當α=l時，/(x)=x?∣√-2x+l∣=Xx-l)2,

貝IJ∕,(Λ)=3X2-4X+1,所以/(2)=2√'(2)=5,

所以，所求切線方程為y-2=5(x-2),即5x-y-8=0.

(2)設g(x)=∕-2x+α(0≤x≤l),貝［|g'(x)=2(x-l)≤0,

所以g(x)在［0,1］上單調遞減,從而g⑴≤g(x)≤g(0),即αT≤g(x)≤4.

(?)當“≥l時，g(x)≥αT≥0,則/(x)=x,-2x+“)，則/(x)=3x?-4x+α,

若/(x)在［0,1］上單調遞增，則/'O)=3/-4x+α≥O對于任意的Xa0』恒成立，

2O24