心理統(tǒng)計(jì)學(xué)課件

緒論第一節(jié)為什么要學(xué)習(xí)心理與教育統(tǒng)計(jì)第二節(jié)心理與教育統(tǒng)計(jì)的主要內(nèi)容第三節(jié)心理與教育統(tǒng)計(jì)中的基本概念與預(yù)備知識(shí)“從事教育的人，若不懂得教育統(tǒng)計(jì)，不能稱為教育科學(xué)家?！保ò瑐ィ癝tatisticalthinkingwillonedaybeasnecessaryforeffectivecitizenshipasabilitytoreadandwrite。”（H.G.Wells1866-1946）

第一節(jié)為什么要學(xué)習(xí)心理與教育統(tǒng)計(jì)學(xué)一、有助于深刻理解所學(xué)的心理與教育方面的知識(shí)

二、獲取心理與教育方面的新知識(shí)的重要條件。你在一本心理雜志上看到這樣一段文字：“獨(dú)立組的t檢驗(yàn)表明，在訓(xùn)練之前，實(shí)驗(yàn)組與控制組之間，在三個(gè)方面無顯著差異，三個(gè)t值分別是t(18)=0.39，P>0.05；t(18)=0.14，P>0.05；t(18)=1.35，P>0.05。”心理與教育測(cè)量、實(shí)驗(yàn)心理學(xué)三、為學(xué)校實(shí)施科學(xué)管理提供有效工具。例題：張老師是一位剛參加工作的年輕心理學(xué)教師，本學(xué)期期末所教班級(jí)的學(xué)生考試成績?nèi)缦拢?1，73，64，59，94，82，67，75，90，48，57，86，75，93，88，72，65，77，60，79，70，81，56，64，73，99，87，66，50，45，80，82，67，74，68，92，54，57，87，64，76，55，61，65，70，89，71，49，60，72，70，83，67，74。問題：張老師應(yīng)該怎樣比較全面地整理出這次考試分?jǐn)?shù)？怎樣初步評(píng)價(jià)這次考試結(jié)果？

檢測(cè)項(xiàng)目結(jié)果參考標(biāo)準(zhǔn)考試人數(shù)：20

平均分?jǐn)?shù)：76.100

成績標(biāo)準(zhǔn)差：

4.047-10考試優(yōu)良率%20.00%

考試合格率%100.0%

最高分：84.0

最低分：66.0

考試信度：

->0.7考試效度：

0.6162>0.4成績分布正態(tài)性檢驗(yàn)：成績分布服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布偏度：-0.3786

峰度：-0.3594

試卷總體難度：

0.7605

試卷總體區(qū)分度：

0.1000>0.2心理學(xué)考試質(zhì)量分析表假如你在某個(gè)小學(xué)任校長，該校正在進(jìn)行一項(xiàng)教學(xué)改革，如何評(píng)價(jià)改革的成敗？四、從事心理與教育研究的重要工具。

第二節(jié)心理與教育統(tǒng)計(jì)的性質(zhì)與

主要研究內(nèi)容定義：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的原理和方法對(duì)心理與教育問題進(jìn)行定量研究的一門學(xué)科。

運(yùn)用……

研究……

數(shù)量關(guān)系的學(xué)科統(tǒng)計(jì)學(xué)應(yīng)用統(tǒng)計(jì)心

理與教育統(tǒng)計(jì)學(xué)

人口統(tǒng)計(jì)學(xué)

經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)學(xué)生物統(tǒng)計(jì)學(xué)……

一、性質(zhì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)原理與方法

學(xué)習(xí)心理與教育統(tǒng)計(jì)學(xué)應(yīng)注意的問題克服畏難情緒注意重點(diǎn)掌握各種統(tǒng)計(jì)方法的使用條件與結(jié)果的正確解釋做一定的練習(xí)

選擇哪些方面作為衡量學(xué)生發(fā)展的指標(biāo)（學(xué)習(xí)成績、心理健康水平、身體素質(zhì)、解決問題能力等）？（研究變量的確定）選擇多少學(xué)生？（樣本容量的確定）怎樣選取學(xué)生？（抽樣方法的選擇）用什么統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行分析？（統(tǒng)計(jì)方法的選擇）二、內(nèi)容實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：研究者為了科學(xué)、經(jīng)濟(jì)、有效的進(jìn)行研究，在研究前所制定的研究計(jì)劃。通常包括研究課題的確定、研究變量的確定、研究對(duì)象的抽取、研究方法、研究工具、研究結(jié)果的統(tǒng)計(jì)分析方法的選擇等。獲得了一批什么樣的數(shù)據(jù)？其分布有何特征？（借用統(tǒng)計(jì)圖表和一些統(tǒng)計(jì)量數(shù)）描述統(tǒng)計(jì)：對(duì)已獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行初步整理和概括，以統(tǒng)計(jì)圖表和統(tǒng)計(jì)量數(shù)的形式將研究對(duì)象的全貌和分布特征清晰顯現(xiàn)出來的統(tǒng)計(jì)方法。主要包括統(tǒng)計(jì)圖表、集中量、差異量、峰態(tài)量、偏態(tài)量、位置量、相關(guān)量等?？傮w而言，推薦生與統(tǒng)考生的身心發(fā)展?fàn)顩r分別如何？（參數(shù)估計(jì)）推薦生身心發(fā)展是否顯著好于統(tǒng)考生？（假設(shè)檢驗(yàn)）推論統(tǒng)計(jì)：根據(jù)已獲得的樣本數(shù)據(jù)所提供的信息來推論總體的特征的統(tǒng)計(jì)方法。通常包括總體參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)（t、Z、F、

2檢驗(yàn)等）兩部分。三者關(guān)系：

推論統(tǒng)計(jì)可靠數(shù)據(jù)一般水平及關(guān)系樣本

↓

總體描述統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)（保障）

概率分布平均（基礎(chǔ)）（核心）推論統(tǒng)計(jì)推論統(tǒng)計(jì)（核心）第三節(jié)心理與教育統(tǒng)計(jì)中的基本概念一、基本概念(一)

總體、樣本、樣本容量

總體（N）

樣本容量樣本包含的個(gè)體數(shù)目大樣本n＞30小樣本n＜30樣本（n）

相對(duì)性總體（N）

(二)變量、觀測(cè)值、隨機(jī)變量常量變量：可以取不同數(shù)值的量觀測(cè)值：變量所對(duì)應(yīng)的各個(gè)具體數(shù)值。隨機(jī)變量：在取值之前不能預(yù)料取什么值的變量。

平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差相關(guān)系數(shù)統(tǒng)計(jì)量參數(shù)(三)參數(shù)與統(tǒng)計(jì)量參數(shù)：統(tǒng)計(jì)量：參數(shù)與統(tǒng)計(jì)量的符號(hào)系統(tǒng)量數(shù)總體特性樣本特性二、近似計(jì)算與連加和（一）近似數(shù)的計(jì)算法則四舍五入法則偶數(shù)法則：若在0.5之前是奇數(shù)，則去五進(jìn)一，若0.5之前是偶數(shù)，則把五舍去。保留小數(shù)位數(shù)：最終結(jié)果保留2位，計(jì)算過程中保留4位。

（二）連加和及其運(yùn)算法則1、連加和的縮寫式寫出下列符號(hào)的展開式

2、連加和的幾個(gè)運(yùn)算法則一、抽樣原則

隨機(jī)性原則保證總體中的每一個(gè)體都有一個(gè)相等的機(jī)會(huì)入選到樣本中。二、幾種主要的隨機(jī)抽樣方法（一）簡單隨機(jī)抽樣：

它是最符合隨機(jī)原則的而又最基本、最簡單的方法，因而又稱為完全隨機(jī)抽樣或純隨機(jī)抽樣。常用的具體抽取方式有抽簽法、隨機(jī)數(shù)字表法（見附表19）。

條件：對(duì)總體中的每一個(gè)成員編號(hào)特點(diǎn)：對(duì)于小樣本的研究比較簡便，但對(duì)于大規(guī)模的抽樣研究比較繁瑣，因此在實(shí)際研究中并不經(jīng)常單獨(dú)使用。（二）等距抽樣法：先把總體中的所有個(gè)體編號(hào)并排序，而后按固定的間距抽取個(gè)體組成樣本的方法。抽樣間距=總體大小/樣本大小抽樣的起始點(diǎn)是第一個(gè)抽樣間距內(nèi)的任意位置。

特點(diǎn)：與簡單隨機(jī)抽樣相比，這種方法更為簡便易行，而且它能比較均勻地抽取到總體中各個(gè)部分的個(gè)體，所以其樣本的代表性比簡單隨機(jī)抽樣好。

應(yīng)用這種方法應(yīng)注意的問題：對(duì)于現(xiàn)成的已排好序的名單，應(yīng)仔細(xì)考察其基本特征，以防止名單特定的順序使樣本不具備代表性。

（三）分層隨機(jī)抽樣：

步驟確定根據(jù)幾個(gè)變量分層。為總體確定抽樣框架：先根據(jù)一個(gè)變量把抽樣框架組成幾個(gè)層，然后根據(jù)另一個(gè)變量把每個(gè)層再分成幾個(gè)層。

使用簡單或等距隨機(jī)抽樣法，從各層取樣。各層在總體中占多大比例，在樣本中也應(yīng)占多大比例。

使用條件被取樣的總體是異質(zhì)的。如性別、年級(jí)、籍貫等。對(duì)所研究的總體有詳細(xì)的名單。特點(diǎn)：這種抽樣更為充分地考慮了總體的多樣化的信息，因而較前兩種方法選擇的樣本更具代表性。練習(xí)：要對(duì)某大學(xué)新生入學(xué)適應(yīng)狀況進(jìn)行調(diào)查，擬取150名學(xué)生作樣本進(jìn)行訪談，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)分層抽樣方案。（四）整群隨機(jī)抽樣：

如“濟(jì)南市初中生網(wǎng)絡(luò)成癮狀況及其對(duì)策的研究”特點(diǎn)：貫徹了隨機(jī)原則，又不需要構(gòu)成總體的最小單元名單，相對(duì)省時(shí)、省力。

三、非隨機(jī)抽樣的各種具體方法意外抽樣（社會(huì)調(diào)查）滾雪球式抽樣（抑郁癥患者的父母教養(yǎng)方式）

小結(jié)究竟使用哪種抽樣方法，要依研究的目的、樣本的大小、對(duì)樣本精確性的要求、總體的情況等來具體確定。

課堂練習(xí)題

1、某大城市的一個(gè)電臺(tái)主持人在選舉前通過熱線電話調(diào)查選舉人對(duì)市長的兩個(gè)主要候選人的支持程度。在打進(jìn)熱線電話的800個(gè)聽眾當(dāng)中，有500人支持A，250人支持B，50人無所謂，請(qǐng)問這是個(gè)隨機(jī)樣本嗎？為什么？

四、樣本的容量第一節(jié)數(shù)據(jù)的類型一、根據(jù)數(shù)據(jù)的來源計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)：通過計(jì)算個(gè)數(shù)獲得的數(shù)據(jù)。測(cè)量數(shù)據(jù)：借助于一定的測(cè)量工具而獲得的數(shù)據(jù)。測(cè)量工具的要素：參照點(diǎn)：根據(jù)有無絕對(duì)零點(diǎn)分為絕對(duì)和相對(duì)參照點(diǎn)。單位：理想的單位應(yīng)是等距的。名義量尺（nominalscale）：最低水平的量尺，只用數(shù)字代表事物或?qū)κ挛镞M(jìn)行分類。順序量尺（ordinalscale）:次低水平的量尺，不僅能表示事物的類別，而且能表明不同類別的大小、等級(jí)或具有某種特征的程度。等距量尺（equalintervalscale）：較高水平的量尺，有相等單位，但無絕對(duì)零點(diǎn)。比率量尺（ratioscale）：最高水平的量尺，既有絕對(duì)零點(diǎn)，又有相等單位。

練習(xí)題

請(qǐng)判斷下列測(cè)量分別采用的是何種量尺？

（１）用數(shù)字１－５表示美國人對(duì)移民的態(tài)度，其中１＝不歡迎，…，５＝非常歡迎，（２）某商店４０名職員的性別，（３）同年出生的５０個(gè)學(xué)生的出生日期，（４）女運(yùn)動(dòng)員百米沖刺的時(shí)間。

Dothenumbersexpressaquantitativevalueorruler?

Ifnothen→nominalscale

Ifyesthen

↓

Dothedifferencebetweenthenumbersrepresentsequalunitsofmeasurement?

Ifnothen→ordinalscale

Ifyesthen

↓

Dothescalehasanabsolutezero?

Ifnothen→intervalscale

Ifyesthen

↓

Ratioscale

名義數(shù)據(jù)：無實(shí)際數(shù)量意義順序數(shù)據(jù)：分類和排序等距數(shù)據(jù)：加減運(yùn)算比率數(shù)據(jù)：四則運(yùn)算

表3-1

名義、順序、等距與比例數(shù)據(jù)的比較數(shù)據(jù)類型適合的統(tǒng)計(jì)分析方法名義計(jì)算個(gè)數(shù)、比率、眾數(shù)、卡方檢驗(yàn)、品質(zhì)相關(guān)等順序中位數(shù)、百分位數(shù)、等級(jí)相關(guān)、秩次檢驗(yàn)等等距平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、積差相關(guān)、t檢驗(yàn)、F檢驗(yàn)等比率幾何平均數(shù)、相對(duì)差異量等（二）根據(jù)數(shù)據(jù)是否具有連續(xù)性

離散數(shù)據(jù)：又稱為間斷或不連續(xù)數(shù)據(jù)。該類數(shù)據(jù)一般用整數(shù)表示。（人數(shù)、個(gè)數(shù)、名次）連續(xù)數(shù)據(jù)：該類數(shù)據(jù)可以用小數(shù)表示。（身高、體重、智商、百分制得分）

下列變量中哪些是連續(xù)變量，哪些是離散變量？①年齡（）②性別（）③家庭的大?。ǎ苈殬I(yè)（）

⑤職員工作評(píng)定等級(jí)（）

⑥智力測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)（）練習(xí)題

判斷以下觀察指屬于何種數(shù)據(jù)類型？

（1）本班共有學(xué)生60名（2）某學(xué)生參加知識(shí)競(jìng)賽獲第一名（3）王鵬跑100米用了16秒4（4）某被試做對(duì)20道選擇（5）某學(xué)生珠算測(cè)驗(yàn)成績?yōu)?8分（6）不同的人思考問題表現(xiàn)出來的不同思維風(fēng)格某校五年級(jí)一班50名學(xué)生的語文考試成績的原始數(shù)據(jù)如下：

9996929090878684838382828079787878787777777676767675757474737272727171717070696968676767656462626157三、次數(shù)分布表簡單次（頻）數(shù)分布表相對(duì)次數(shù)分布表累積次數(shù)分布表大于制與小于制P37累積相對(duì)次數(shù)分布表分組次數(shù)分布表組別組中值次數(shù)（f）相對(duì)次數(shù)累積次數(shù)（cf）累積相對(duì)次數(shù)累積百分比95-9990-9485-8980-8475-7970-7465-6960-6455-5997928782777267625723261411741.04.06.04.12.28.22.14.08.0250484543372312511.00.96.90.86.74.46.24.10.02100969086744624102總和501.00表3-2分組次數(shù)分布表分組次數(shù)分布表：例2-1：某校50名學(xué)生心理系學(xué)生的心理與教育統(tǒng)計(jì)成績?yōu)?1，81，74，61，78，79，68，67，81，79，61，81，70，64，90，62，73，73，56，52，79，70，69，63，74，87，52，57，66，72，54，76，75，88，81，80，60，63，80，74，77，69，53，48，66，83，81，45，78，71。

問題：編制步驟？如何確定組距與組數(shù)？何為組限、組上限、組下限、表述組限、精確組限？列分組區(qū)間時(shí)應(yīng)注意什么問題？如何計(jì)算組中值？表3-3組限的幾種常見表述方法

組中值表述組限精確組限2220-20-2415-1910-1419.5-24.519.5-24.4991715-14.5-19.514.5-19.4991210-9.5-14.59.5-14.499次數(shù)f組中值

相對(duì)次數(shù)累積次數(shù)累積相對(duì)次數(shù)小于制大于制小于制大于制90-941920.02501100285-892870.0449398680-848820.164711942275-798770.163919783870-7410720.203129625865-696670.122135427060-647620.141542308455-592570.04844168850-544520.08648129645-492470.042504100∑50—1.00————表3-4心理與教育統(tǒng)計(jì)成績分組次數(shù)分布表

四、次數(shù)分布圖①間斷型數(shù)據(jù)的次數(shù)分布圖直條圖（barchart）單式和復(fù)式、豎式和臥式。圖3－2某校5年級(jí)學(xué)生語文成績直方圖圓形圖（circlegraph）或餅圖（piechart）：用扇形面積表示各種類別在整體中所占比重大小的統(tǒng)計(jì)圖。圖３－3某校5年級(jí)一班語文成績圓形圖②連續(xù)型數(shù)據(jù)的次數(shù)分布圖直方圖（histogram）：直方圖與直條圖的區(qū)別次數(shù)圖3－3某校5年級(jí)一班語文成績直方圖次數(shù)多邊圖（frequencypolygon）：在直方圖的基礎(chǔ)上，把相鄰各組直方的上邊線的中點(diǎn)連接起來，再把原來的直方去除形成的折線圖。圖３－4某校5年級(jí)一班語文成績次數(shù)多邊圖累積次數(shù)分布圖累積相對(duì)次數(shù)分布圖課堂練習(xí)題1、請(qǐng)結(jié)合表3-4為下列各題選擇合適的統(tǒng)計(jì)圖（１）比較該班數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績各種等級(jí)的構(gòu)成比。（２）比較三個(gè)小組數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績各種等級(jí)的人數(shù)百分比。表3－4某班數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績組別優(yōu)良中差一４８６１二２４８３三１８1022、把下列甲、乙兩組學(xué)生化學(xué)成績的分布制在同一個(gè)直角坐標(biāo)上，以資比較。

化學(xué)成績20-25-30-35-40-45-50-55-甲組人數(shù)3161018212928乙組人數(shù)114201921211413化學(xué)成績60-65-70-75-80-85-90-甲組人數(shù)4031321914104乙組人數(shù)54200003、統(tǒng)計(jì)表與統(tǒng)計(jì)圖是否在使用中可以完全互換？小結(jié)一般而言，統(tǒng)計(jì)圖更具有形象生動(dòng)、直觀、令人印象深刻的特點(diǎn)，但從統(tǒng)計(jì)圖中通常不能獲得確切的數(shù)字，因而不能完全代替統(tǒng)計(jì)表。在實(shí)際研究中要根據(jù)研究目的選擇使用。五、用spss做統(tǒng)計(jì)圖表統(tǒng)計(jì)表步驟：Analyze→DescriptiveStatistics→Frequencies統(tǒng)計(jì)圖步驟：Graphs：

第二節(jié)思考與練習(xí)繪制統(tǒng)計(jì)圖表的作用是什么？各種統(tǒng)計(jì)圖表適用的數(shù)據(jù)類型是什么？以下為30名學(xué)生的英語分?jǐn)?shù)，請(qǐng)嘗試用統(tǒng)計(jì)圖表對(duì)其次數(shù)分布情況進(jìn)行描述。

767166638883777268647076817973716661556574867882748467727674集中量：描述數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量。它反映了次數(shù)分布中大量數(shù)據(jù)向某一個(gè)量集中的情況。算術(shù)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)特殊平均數(shù)一、算術(shù)平均數(shù)（mean)1、符號(hào)：M、2、計(jì)算方法：未分組數(shù)據(jù)：分組數(shù)據(jù)：表3-3某校心理系普通心理學(xué)的考試成績分?jǐn)?shù)組中值fcf統(tǒng)計(jì)量55-1160-3465-4870-614Md=75-193380-740M0=85-54590-34895-2503、平均數(shù)的特性是否任何情況下都可以使用平均數(shù)作為集中量的代表值？4、應(yīng)用算術(shù)平均數(shù)時(shí)應(yīng)注意的問題當(dāng)數(shù)據(jù)中有極端值時(shí)，不宜使用算術(shù)平均數(shù)。（截尾平均數(shù)）當(dāng)數(shù)據(jù)中有些數(shù)據(jù)缺失或模糊不清時(shí)，不宜使用平均數(shù)。當(dāng)數(shù)據(jù)不同質(zhì)時(shí)，不宜使用算術(shù)平均數(shù)。二、中位數(shù)（median）定義：一組按大小順序排列的數(shù)據(jù)中位置居中的數(shù)值。計(jì)算方法未分組數(shù)據(jù)分組數(shù)據(jù)未分組數(shù)據(jù)當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)：當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)：17、15、14、12、11、10、9、63、4、4、5、5、6、6、9、10、11、11、13、13、13、13、18、18、18、19、19、20當(dāng)中間的數(shù)值為重復(fù)數(shù)時(shí)：可將重復(fù)數(shù)看作一個(gè)連續(xù)區(qū)間，然后根據(jù)中間數(shù)在區(qū)間內(nèi)的位置來確定中位數(shù)。4.555.512.51313.5課堂練習(xí)11、11、11、11、13、13、13、17、175、5、6、10、12、15、1711、11、11、11、13、13、13、17、17、18分組數(shù)據(jù)P58組別fcf↑c(diǎn)f↓85-89357380-848541175-7913462470-7415333965-699184860-64695455-59235650-541157∑57——三、眾數(shù)（mode）定義：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)的數(shù)值。M0計(jì)算：觀察法：公式法：

M0=3Md-2M思考題：請(qǐng)判斷以下各組數(shù)據(jù)的眾數(shù)3、5、8、10、12、15、162、3、3、3、4、4、4、52、3、4、4、4、5、5、7、7、7、9四、平均數(shù)、中位數(shù)與眾數(shù)的比較從對(duì)各種測(cè)量數(shù)據(jù)的適用性來看名義數(shù)據(jù)：順序數(shù)據(jù)：等距數(shù)據(jù)：比率數(shù)據(jù)：從對(duì)數(shù)據(jù)次數(shù)分布形態(tài)的適用性來看對(duì)稱分布：平均數(shù)非對(duì)稱分布：中位數(shù)、眾數(shù)從計(jì)算的精確性看平均數(shù)最精確、中位數(shù)次之、眾數(shù)最差從對(duì)統(tǒng)計(jì)分析的適用性看平均數(shù)既可作描述統(tǒng)計(jì)量，又可作推論統(tǒng)計(jì)量。中位數(shù)與眾數(shù)常用作描述統(tǒng)計(jì)量。

均數(shù)中數(shù)眾數(shù)優(yōu)點(diǎn)①②③④⑤⑥③④

③④應(yīng)用1．加權(quán)平均數(shù)2．離差、相關(guān)計(jì)算3、統(tǒng)計(jì)推斷1．有極端數(shù)值時(shí)2．模糊數(shù)據(jù)時(shí)3．快速估計(jì)集中量數(shù)時(shí)1．有極端數(shù)值時(shí)2、數(shù)據(jù)不同質(zhì)時(shí)3、粗略估計(jì)數(shù)據(jù)的集中量時(shí)4．粗略估計(jì)次數(shù)分布時(shí)5、雙峰分布時(shí)不足1．易受極端值的影響2．?dāng)?shù)據(jù)模糊不清、缺失時(shí)無法計(jì)算3、數(shù)據(jù)不同質(zhì)時(shí)無法計(jì)算1、反應(yīng)不夠靈敏2、易受抽樣變動(dòng)影響3．不適合代數(shù)運(yùn)算4、計(jì)算不嚴(yán)密1、反應(yīng)不夠靈敏2、易受抽樣變動(dòng)影響3．不適合代數(shù)運(yùn)算4、計(jì)算不嚴(yán)密人數(shù)

一項(xiàng)研究發(fā)現(xiàn)嬰兒發(fā)出第一個(gè)音節(jié)的年齡（月）分別為

9、10、10、11、11、11、12、12、13某一團(tuán)體成員的年齡分布如下表所示。試問表示它們集中趨勢(shì)的恰當(dāng)指標(biāo)是什么？為什么？并計(jì)算出你所選定的指標(biāo)。

25歲以下25-34歲35-44歲45-54歲55-64歲64歲以上454030552815五、特殊平均數(shù)在學(xué)校里，學(xué)生整個(gè)學(xué)期的總平均成績往往是平時(shí)成績和考試成績按照一定的比例折算而成的。假定這個(gè)比例是4:6，現(xiàn)有一個(gè)學(xué)生的平時(shí)成績?yōu)?0分，考試成績?yōu)?0分，問該生總評(píng)成績應(yīng)該是多少？（一）加權(quán)平均數(shù)（weightedmean）定義：具有不同權(quán)重的數(shù)據(jù)的平均數(shù)。計(jì)算：P69變式：（二）幾何平均數(shù)(geometricmean)定義：N個(gè)數(shù)值連乘積的N次方根。計(jì)算：應(yīng)用：數(shù)據(jù)呈不對(duì)稱分布或倍數(shù)關(guān)系（后一個(gè)數(shù)據(jù)是以前一個(gè)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)成比率增長）時(shí)例：2，2，

4，

4，

8，

8，

8，

16，

32，

64。（答案8）P72平均增長率=Mg-1（三）調(diào)和平均數(shù)（harmonicmean）定義：一組數(shù)據(jù)倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。應(yīng)用：求平均學(xué)習(xí)速度問題平均速度的概念：單位時(shí)間內(nèi)的工作量表示單位工作量所用的時(shí)間一、全距、四分位距（一）全距（range）：又稱為兩極差，用R表示。計(jì)算方法：未分組時(shí)：分組時(shí)：特點(diǎn)與應(yīng)用：易理解，計(jì)算簡單；但易受極端數(shù)值的影響，很不穩(wěn)定和可靠，只能作為差異量的一種粗略指標(biāo)。主要在對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分組時(shí)應(yīng)用，而并單獨(dú)不使用它來考察數(shù)據(jù)的離散程度。解決辦法：有人提出用中間50%的數(shù)據(jù)的距離計(jì)算差異量。四分位距（二）四分位距（quartilerange）：又名四分位差，指在一組排序的數(shù)據(jù)中，中間50%的數(shù)據(jù)的全距的一半，通常用Q來表示。1/41/23/4Q1Q3

計(jì)算方法未分組數(shù)據(jù)：Q=（Q3-Q1）/2Q3表示第三個(gè)四分位數(shù)

Q1表示第一個(gè)四分位數(shù)分組數(shù)據(jù)：P83課堂練習(xí)題：求下列16個(gè)原始數(shù)據(jù)的四分位距

25，22，29，12，40，15，14，39，37，31，33，19，17，20，35，30求下列112個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)的Q

分組53-58-63-68-73-78-83-

88-93-總和頻數(shù)5810928341422112特點(diǎn)與應(yīng)用：與全距相比，較少受極端數(shù)值的影響，且能反映中間數(shù)值的分布情況，但由于它也未將全部數(shù)據(jù)考慮在內(nèi)，因此也不夠可靠，一般只在數(shù)據(jù)中存在極端值時(shí)，才用它和中位數(shù)一起反映數(shù)據(jù)的分布情況。二、方差與標(biāo)準(zhǔn)差

（平均差A(yù)D）方差（variance）：離均差平方和的算術(shù)平均數(shù)，符號(hào)為S2或SD2（樣本方差）。標(biāo)準(zhǔn)差（standarddeviation）：方差的正的平方根，即離均差平方和求算術(shù)平均數(shù)后的正的平方根，符號(hào)為S或SD（樣本標(biāo)準(zhǔn)差）。總體方差總體標(biāo)準(zhǔn)差總體方差的無偏估計(jì)量總體標(biāo)準(zhǔn)差的無偏估計(jì)量簡捷公式：P89如何在計(jì)算器中計(jì)算S與S2總標(biāo)準(zhǔn)差的合成：P91總方差總標(biāo)準(zhǔn)差練習(xí)題：P107標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)：P94方差與標(biāo)準(zhǔn)差的特點(diǎn)與應(yīng)用：所有數(shù)據(jù)參與計(jì)算，因而更為精確，是較為常用的差異量。方差具有可加性的特點(diǎn)，常用于總標(biāo)準(zhǔn)差的合成和推論統(tǒng)計(jì)。標(biāo)準(zhǔn)差常與算術(shù)平均數(shù)一起描述數(shù)據(jù)的分布情況。

各年級(jí)中學(xué)生與父母關(guān)系質(zhì)量的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差

男生

MSD

女生

MSD初一33.486.9934.267.05初二32.296.8933.266.89初三32.466.5033.546.89高一32.436.6133.527.02高二31.866.6234.076.82高三32.806.3434.365.97例1：已知某小學(xué)一年級(jí)學(xué)生的平均體重為25千克，體重的標(biāo)準(zhǔn)差是3.7千克，平均身高110厘米，標(biāo)準(zhǔn)差為6.2厘米，問體重與身高的離散程度哪個(gè)大？例2：通過同一個(gè)測(cè)驗(yàn)，一年級(jí)學(xué)生的平均分為60分，標(biāo)準(zhǔn)差為4.02分，五年級(jí)學(xué)生的平均分為80分，標(biāo)準(zhǔn)差為6.04分，問這兩個(gè)年級(jí)的測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)中哪一個(gè)分散程度大？三、相對(duì)差異量相對(duì)差異量：又稱為差異系數(shù)，指標(biāo)準(zhǔn)差與其算術(shù)平均數(shù)的百分比。它是沒有單位的相對(duì)數(shù)。公式：

CV（coefficientofvariation）表示相對(duì)差異量用途：比較不同單位資料的差異程度比較單位相同而平均數(shù)相差較大的兩組資料的差異程度可判斷數(shù)據(jù)的可靠性

5%＜CV＜35%，如CV＞35%，可懷疑平均數(shù)是否失去意義，如CV＜5%，可懷疑平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差是否計(jì)算有誤。可評(píng)價(jià)學(xué)生學(xué)習(xí)的分化程度

CV＜9%表示基本無分化，CV＞20%表示分化嚴(yán)重，9%＜CV＜20%表示有分化跡象，應(yīng)引起重視。自學(xué)內(nèi)容P102-106

在SPSS中計(jì)算差異量的方法Analyze→DescriptiveStatistics→FrequenciesAnalyze→DescriptiveStatistics→Descriptives一、偏態(tài)量（skew）：是描述次數(shù)分布的偏態(tài)方向和程度的量數(shù)。計(jì)算公式：

當(dāng)SK=0時(shí)分布呈對(duì)稱形，當(dāng)SK>0時(shí)分布為正偏態(tài)，當(dāng)SK＜0時(shí)分布為負(fù)偏態(tài)。SK的絕對(duì)值越大，偏斜度越大。二、峰態(tài)量（kurtosis）：描述次數(shù)分布的高低寬窄特征的量數(shù)。高狹峰：S較小，分?jǐn)?shù)分布高窄，集中在平均數(shù)兩側(cè)。低闊峰：S較大，分?jǐn)?shù)分布低闊，散布較廣。正態(tài)峰：分布介于高峰態(tài)和低峰態(tài)之間。

計(jì)算公式當(dāng)Ku＜0.263時(shí)，分布呈高狹峰，當(dāng)Ku＞0.263時(shí)，呈低闊峰，當(dāng)Ku=0.263時(shí)，分布為正態(tài)峰。百分位數(shù)（percentile）：是位于一組按大小順序排列的數(shù)據(jù)中某一百分位置的數(shù)值。一般用Pp表示，稱為第p個(gè)百分位數(shù)。

計(jì)算公式：

P83

表3-3××班語文成績次數(shù)分布表分?jǐn)?shù)簡單次數(shù)相對(duì)次數(shù)（%）累積次數(shù)累積相對(duì)次數(shù)（%）95-290-385-580-775-1970-665-460-355-1例題：高考前某中學(xué)進(jìn)行了一次模擬考試，結(jié)果李玉同學(xué)物理考了75分，數(shù)學(xué)考了90分，于是李玉同學(xué)的家長認(rèn)為李玉同學(xué)數(shù)學(xué)成績比物理成績好，高考填寫志愿時(shí)應(yīng)報(bào)考某大學(xué)的數(shù)學(xué)專業(yè)。問題：這種考試分?jǐn)?shù)的解釋方法是否科學(xué)？

三、地位量（位置量數(shù)）：表明某一觀測(cè)值在其所處分布中的位置的量數(shù)。百分等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)（二）百分等級(jí)（percentilerank）：是百分位數(shù)的逆運(yùn)算，指某個(gè)數(shù)值在按一定順序排列的一組數(shù)據(jù)中所對(duì)應(yīng)的百分位置，用PR表示。計(jì)算公式X表示給定的某一數(shù)值P83特點(diǎn)：具有可比性，但由于是順序量數(shù)，所以不具有可加、減性。（三）標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)（standardscore）:又稱為Z分?jǐn)?shù)，是以標(biāo)準(zhǔn)差為單位表示一個(gè)原始分?jǐn)?shù)在其團(tuán)體中所處位置的相對(duì)位置量數(shù)。計(jì)算公式練習(xí)題某中學(xué)高三年級(jí)有三個(gè)班，高考前有一“免試保送”升學(xué)名額，于是學(xué)校決定，三個(gè)班各推薦1名品學(xué)兼優(yōu)的同學(xué)為“免試保送的后選人，學(xué)校再根據(jù)每位同學(xué)“數(shù)學(xué)”、“語文“、“英語”的畢業(yè)會(huì)考成績決定具體的推薦人選，3位同學(xué)的畢業(yè)會(huì)考成績?nèi)缦卤硭荆杭僭O(shè)畢業(yè)會(huì)考全校的數(shù)學(xué)、語文、英語的平均分分別為：76、81、86，標(biāo)準(zhǔn)差分別為18、7、10，問：學(xué)校根據(jù)3位同學(xué)畢業(yè)會(huì)考的綜合成績，具體應(yīng)推薦哪位同學(xué)為“免試保送生”？

科目人員數(shù)學(xué)語文英語

總分1班后選人A9575922622班后選人B8580912563班后選人C749185250標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：P97-98特點(diǎn)：不僅具有可比性，而且具有可加減性，但經(jīng)常出現(xiàn)小數(shù)和負(fù)數(shù)，使用起來不夠方便。標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的變式：

Z’=A.Z+B美國大學(xué)入學(xué)考試委員會(huì)使用的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，即CEEB分?jǐn)?shù)，公式為：CEEB分?jǐn)?shù)=100Z+500（TOEFL）我國出國人員英語水平考試即EPT所使用的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換公式為：EPT分?jǐn)?shù)=20Z+90在SPSS中計(jì)算集中量、差異量的方法Analyze→DescriptiveStatistics→Frequencies→StatisticsAnalyze→DescriptiveStatistics→Descriptives→OptionsAnalyze→Reports→Casesummaries第五節(jié)思考與練習(xí)題偏態(tài)量與峰態(tài)量的作用分別是什么？百分位數(shù)與百分等級(jí)有何關(guān)系？標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的意義是什么？請(qǐng)描述下表中分組數(shù)據(jù)的分布形態(tài)，并使用標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)判斷觀測(cè)值75在總體中的相對(duì)位置

分組區(qū)間fcf90-27480-67270-86660-105850-204840-112830-91720-5810-33第一節(jié)概率與概率分布基礎(chǔ)一、概率基礎(chǔ)后驗(yàn)概率先驗(yàn)概率概率的性質(zhì)概率的加法和乘法定理小概率事件P<.05P<.01小概率事件雖然不是不可能事件，但在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的可能性很小，不出現(xiàn)的可能性很大，以至于實(shí)際上可以看成是不可能發(fā)生的。在統(tǒng)計(jì)學(xué)上，把小概率事件在一次試驗(yàn)中看成是實(shí)際不可能發(fā)生的事件稱為小概率原理。小概率原理是統(tǒng)計(jì)學(xué)上進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)（顯著性檢驗(yàn)）的基本依據(jù)。二、概率分布類型（一）根據(jù)隨機(jī)變量的取值是否具有連續(xù)性連續(xù)分布——

正態(tài)分布

離散分布——

二項(xiàng)分布（二）根據(jù)分布的來源經(jīng)驗(yàn)分布（樣本分布）理論分布（總體分布）（三）根據(jù)概率分布所描述的數(shù)據(jù)特征基本隨機(jī)變量分布抽樣分布121.4119.2124.7125.0115.0112.8120.2110.2120.9120.1125.5120.3122.3118.2116.7121.7116.8121.6120.2122.0121.7118.8121.8124.5121.7122.7116.3124.0119.0124.5121.8124.9130.0123.5128.1119.7126.1131.3123.8116.7122.2122.8128.6122.0132.5122.0123.5116.3126.1119.2126.4118.4121.0119.1116.9131.1120.4115.2118.0122.4120.3116.9126.4114.2127.2118.3127.8123.0117.4123.2119.9122.1120.4124.8122.1114.4120.5120.0122.8116.8125.8120.1124.8122.7119.4128.2124.1127.2120.0122.7118.3127.1122.5116.3125.1124.4112.3121.3127.0113.5118.8127.6125.2121.5122.5129.1122.6134.5118.3132.8例某市1995年110名7歲男童的身高(cm)資料如下次數(shù)分布圖與概率密度曲線要注意的是，密度函數(shù)f(x)在某點(diǎn)處a的高度，并不反映X取值的概率.但是，這個(gè)高度越大，則X取a附近的值的概率就越大.也可以說，在某點(diǎn)密度曲線的高度反映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度。

f(x)xo第二節(jié)正態(tài)分布（normaldistribution）正態(tài)分布是一種很重要的連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布。心理與教育研究中有許多變量是服從或近似服從正態(tài)分布的,如智商、學(xué)業(yè)成績、能力、心理健康水平等，許多統(tǒng)計(jì)分析方法也都是以正態(tài)分布為基礎(chǔ)的。因此正態(tài)分布無論在理論研究上還是實(shí)際應(yīng)用中，均占有重要的地位。

德莫佛高斯

高斯分布高斯(Gauss1777-1855)

德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家，他和牛頓、阿基米德，被譽(yù)為有史以來的三大數(shù)學(xué)家。高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，有“數(shù)學(xué)王子”之稱。其祖父是農(nóng)民，父親是泥水匠，母親是一個(gè)石匠的女兒。高斯幼時(shí)家境貧困，但聰敏異常，表現(xiàn)出超人的數(shù)學(xué)天才。1795～1798年在格丁根大學(xué)學(xué)習(xí)1798年轉(zhuǎn)入黑爾姆施泰特大學(xué)，翌年因證明代數(shù)基本定理獲博士學(xué)位。從1807年起擔(dān)任格丁根大學(xué)教授兼格丁根天文臺(tái)臺(tái)長直至逝世。高斯的成就遍及數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，在數(shù)論、非歐幾何、微分幾何、超幾何級(jí)數(shù)、復(fù)變函數(shù)論以及橢圓函數(shù)論等方面均有開創(chuàng)性貢獻(xiàn)。（一）正態(tài)分布特征正態(tài)分布的形式是左右對(duì)稱的，對(duì)稱軸是經(jīng)過平均數(shù)的垂線。正態(tài)分布的中央點(diǎn)最高，然后逐漸向兩側(cè)下降，并無限延伸，但永不與基線相交。正態(tài)分布隨變量的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的大小而呈不同的分布形態(tài)。正態(tài)分布曲線下，標(biāo)準(zhǔn)差與概率間有一定的數(shù)量關(guān)系。X軸上用標(biāo)準(zhǔn)分Z代替原始分?jǐn)?shù)，則根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)分的性質(zhì)，該分布的平均數(shù)為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（二）正態(tài)分布表的使用

根據(jù)Z值求概率P根據(jù)概率求Z值根據(jù)Z值或概率P查找縱線高度Y值根據(jù)Z值求概率PP(0—Z）

P(Z—±∞)P（Z—Z）

計(jì)算步驟:Ifyouarebeginningwitharawscore,firstconvertittoaZscore.Drawapictureofthenormalcurve,wheretheZscorefallsonit,andshadeintheareaforwhichyouarefindingtheprobability.Findtheexactprobabilityusingthenormalcurvetable.課堂練習(xí)題

問：若從中隨機(jī)抽取一人，其智商高于125的可能性有多大?低于95的可能性有多大?例題：如果已知其智商處于總?cè)巳褐械那?%,問:其智商至少是多少?如果已知其智商處于總?cè)巳褐械暮?%,其智商最高不超過多少?若已知其智商處于中間50%，其智商得分應(yīng)處在什么范圍內(nèi)？

2.根據(jù)概率求Z值計(jì)算步驟:Drawapictureofthenormalcurve,wheretheprobabilityfallsonit,andshadeinthearea.FindtheexactZscoreusingthenormalcurvetable.Ifyouwanttofindarawscore,converttoitfromtheZscore.幾個(gè)常用概率值雙尾概率值︱Z0.05/2︱=1.96，︱Z0.01/2︱=2.58，這里下標(biāo)中的0.05和0.01表示的是兩端概率之和，斜杠2表示雙尾概率。單尾概率值︱Z0.05︱=1.645，︱Z0.01︱=2.333.根據(jù)Z值或概率P查找縱線高度Y值（三）正態(tài)分布在實(shí)踐中的應(yīng)用確定錄取分?jǐn)?shù)線在能力分組或等級(jí)評(píng)定時(shí)確定人數(shù)將能力、品行等的等級(jí)評(píng)定轉(zhuǎn)化為數(shù)量化分?jǐn)?shù)確定錄取分?jǐn)?shù)線

例題：某項(xiàng)職業(yè)錄取考試，在參加考試的1600人中準(zhǔn)備錄取200人，考試分?jǐn)?shù)接近正態(tài)分布，平均分為74，標(biāo)準(zhǔn)差為11，問錄取分?jǐn)?shù)是多少？計(jì)算步驟根據(jù)參考人數(shù)和錄取人數(shù)確定錄取比率；將錄取比率視為正態(tài)曲線上端（右側(cè)）的面積，找出相應(yīng)的Z值；根據(jù)公式Z=X-/

計(jì)算出原始分?jǐn)?shù)XX=+Z

在能力分組或等級(jí)評(píng)定時(shí)確定人數(shù)例如：假設(shè)對(duì)100名報(bào)考研究生的學(xué)生按能力分為甲、乙、丙、丁四個(gè)組，問各組應(yīng)有多少人才能使分組構(gòu)成等距量尺？計(jì)算步驟：將正態(tài)分布基線上Z=-3至Z=3之間6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的距離分成相等的幾份；根據(jù)正態(tài)分布表查找各段Z值間的概率；再用各概率乘以學(xué)生總?cè)藬?shù)，即為各等級(jí)人數(shù)。3.將能力、品行等的等級(jí)評(píng)定轉(zhuǎn)化為數(shù)量化分?jǐn)?shù)

計(jì)算步驟：計(jì)算各等級(jí)人數(shù)的概率；求各等級(jí)中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的Z值求各等級(jí)中點(diǎn)以下（上）的累加概率，并求出其與0.5的差；根據(jù)計(jì)算出的概率查找相應(yīng)的Z值，該值就是各等級(jí)的數(shù)量化分?jǐn)?shù)；練習(xí)題某年高考平均分500，標(biāo)準(zhǔn)差100，考分呈正態(tài)分布，某考生得到650分。設(shè)當(dāng)年高考錄取率為10％，問該生能否被錄取？錄取分?jǐn)?shù)線：500+1.28*100=628某地區(qū)47000人參加高考，物理學(xué)平均分為57.08，標(biāo)準(zhǔn)差為18.04。問：（1）成績?cè)?0以上有多少人？（2）成績?cè)?0－90之間有多少人？（3）60分以下有多少人？（1）成績?cè)?0以上有多少人？0.03438，1615.86（2）成績?cè)?0－90之間有多少人？0.06766，3180（3）60分以下有多少人？0.56356，26487期中考試題張老師是一位剛參加工作的年輕歷史教師，本學(xué)期期末所教班級(jí)的學(xué)生考試成績?nèi)缦拢?1，73，64，59，94，82，67，75，90，48，57，86，75，93，88，72，65，77，60，79，70，81，56，64，73，99，87，66，50，45，80，82，67，74，68，92，54，57，87，64，76，55，61，65，70，89，71，49，60，72，70，83，67，74。問題：張老師應(yīng)該怎樣比較全面地整理出這次考試分?jǐn)?shù)？怎樣初步評(píng)價(jià)這次考試結(jié)果？名詞解釋積差相關(guān)系數(shù)、斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)、肯德爾和諧系數(shù)、質(zhì)與量相關(guān)系數(shù)、品質(zhì)相關(guān)系數(shù)第一題考試分?jǐn)?shù)的整理一般從兩個(gè)側(cè)面進(jìn)行描述：一方面是圖表描述，另一方面是數(shù)字描述，數(shù)字描述主要包括集中量與差異量的計(jì)算。制作次數(shù)分布表和圖由次數(shù)分布表與次數(shù)分布圖可以看出，本次歷史考試成績基本呈兩頭小、中間大的正態(tài)分布，這說明試題的難易程度比較適中，同時(shí)也說明我們可以使用平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差作為這次歷史成績的集中與分散情況的代表值。2.計(jì)算平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差

3.計(jì)算分化程度由于9%<17.97%<20%，所以說明該班歷史成績有分化跡象。第二題積差相關(guān)系數(shù)：如果兩個(gè)變量都是正態(tài)連續(xù)變量，且呈線性關(guān)系，那么這兩個(gè)變量間的相關(guān)系數(shù)稱為積差相關(guān)系數(shù)。斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)：如果兩個(gè)變量的取值都是順序數(shù)據(jù)，那么這兩個(gè)變量間的相關(guān)系數(shù)稱為斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)。肯德爾和諧系數(shù)：如果兩個(gè)以上變量的取值均是順序數(shù)據(jù)，那么這幾個(gè)變量間的相關(guān)系數(shù)稱為肯德爾和諧系數(shù)或評(píng)分者信度。質(zhì)與量的相關(guān)系數(shù)：如果一個(gè)變量是連續(xù)型變量，另一個(gè)變量是分類型變量，那么這兩個(gè)變量間的相關(guān)系數(shù)為質(zhì)與量的相關(guān)系數(shù)。它又包括二列、點(diǎn)二列和多列相關(guān)系數(shù)品質(zhì)相關(guān)系數(shù)：如果兩個(gè)變量都是分類型變量，那么這兩個(gè)變量間的相關(guān)系數(shù)為品質(zhì)相關(guān)系數(shù)。它又包括四分、phi和列聯(lián)相關(guān)系數(shù)第三節(jié)二項(xiàng)分布一、定義：重復(fù)進(jìn)行n次二項(xiàng)試驗(yàn)后不同“成功”次數(shù)的概率分布稱為二項(xiàng)分布。例1：一名學(xué)生作答2道三擇一的選擇題，每作答1題正確的概率為1/3，錯(cuò)誤的概率為2/3，問該生作答正確1題的概率是多少？例2：一名兒童對(duì)10個(gè)記憶項(xiàng)目進(jìn)行再認(rèn)，每個(gè)項(xiàng)目再認(rèn)正確的概率為1/2，錯(cuò)誤的概率為1/2，問該生再認(rèn)正確6個(gè)項(xiàng)目的概率是多少？。例3：設(shè)生男孩的概率為p,生女孩的概率為q=1-p，令X表示隨機(jī)抽查出生的4個(gè)嬰兒中“男孩”的個(gè)數(shù)，求X的概率分布。一次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，即“成功”和“失敗”(只說明兩種結(jié)果或狀態(tài)而已)；各次試驗(yàn)中“成功”（失?。┑母怕氏嗟瘸晒Ω怕剩簆失敗概率：q=1-p各次試驗(yàn)相互獨(dú)立，互不影響；凡是滿足以上條件的試驗(yàn)稱為二項(xiàng)試驗(yàn)。隨機(jī)抽查2個(gè)嬰兒中男嬰的概率分布可能結(jié)果012次數(shù)x121概率P1/42/41/4X=0X=1X=2男女隨機(jī)抽查3個(gè)嬰兒中男嬰的概率分布

可能結(jié)果0123次數(shù)x1331概率P1/83/83/81/8男女X=0X=1X=2X=3男女隨機(jī)抽查的4個(gè)嬰兒中男孩的概率分布X=0X=1X=2X=3X=4女P178可能結(jié)果01234次數(shù)x14641概率p1/164/166/164/161/16二項(xiàng)展開式的通式就是二項(xiàng)分布函數(shù)，運(yùn)用這一函數(shù)式可以直接求出在n次二項(xiàng)試驗(yàn)中成功事件恰好出現(xiàn)X次的概率

假設(shè)把一個(gè)質(zhì)地均勻的硬幣拋擲3次，這時(shí)你和朋友打賭：著地時(shí)會(huì)有2次出現(xiàn)“正面”，賭注為10元。如果這種結(jié)果出現(xiàn)了，你的朋友必須給你10元錢。但誰最有可能贏得這10元錢呢？你還是你朋友？二項(xiàng)分布圖

二、二項(xiàng)分布的特點(diǎn)二項(xiàng)分布的概率之和等于1。二項(xiàng)分布隨n和p的變化而成一簇分布：當(dāng)P=0.5時(shí)，無論n的大小，均為對(duì)稱分布；當(dāng)P≠0.5,n較小時(shí)為偏態(tài)分布,n較大時(shí)（np≥5或nq≥5）逼近正態(tài)分布。

當(dāng)二項(xiàng)分布接近正態(tài)分布時(shí)，在二項(xiàng)試驗(yàn)中成功事件出現(xiàn)次數(shù)的1、平均數(shù)2、標(biāo)準(zhǔn)差推導(dǎo)過程見王孝玲《教育統(tǒng)計(jì)學(xué)》三、在心理與教育研究中的用途二項(xiàng)分布是一種離散型隨機(jī)變量的概率分布。二項(xiàng)分布在心理與教育研究中，主要用于解決含有機(jī)遇性質(zhì)的問題。所謂機(jī)遇問題，是指實(shí)驗(yàn)結(jié)果可能由猜測(cè)而造成的。為了區(qū)分是猜測(cè)的結(jié)果還是真實(shí)的結(jié)果，就可用二項(xiàng)分布來解決。例題：在一項(xiàng)有關(guān)兒童認(rèn)知發(fā)展的研究中，為了考察2歲兒童是否理解“最大”的概念，隨機(jī)抽取了15名年齡在30-32個(gè)月之間的兒童，并分別對(duì)他們進(jìn)行測(cè)試。測(cè)試的內(nèi)容是讓他們?cè)谌齻€(gè)物體中挑選出最大的一個(gè)。結(jié)果發(fā)現(xiàn)15名兒童中有9名能正確作答。問：該研究結(jié)果能否表明2歲兒童理解了“最大”的概念或能否排除猜測(cè)因素在作答中的作用。解法1二項(xiàng)分布法首先假設(shè)是猜測(cè)的結(jié)果，并計(jì)算猜測(cè)作答正確的概率（利用二項(xiàng)分布函數(shù)）。判斷是否小概率事件，如果是則表明不是猜測(cè)的結(jié)果，表明被試?yán)斫饣蛘莆樟讼鄳?yīng)的概念或知識(shí)。解法2正態(tài)分布法先求出二項(xiàng)分布的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差而后利用正態(tài)分布計(jì)算如果要確定猜測(cè)作答正確是小概率（5%）事件至少需要正確作答幾次（臨界次數(shù)）。X=+1.645

最后用實(shí)際作答正確的次數(shù)與其相比較，如果實(shí)際作答正確的次數(shù)多于與小概率事件對(duì)應(yīng)的臨界次數(shù)，則排除猜測(cè)因素的作用。

第四節(jié)抽樣分布前言

統(tǒng)計(jì)學(xué)研究問題的方法是從特殊到一般，從部分到全局，即用樣本來推斷總體。從一個(gè)總體中可以抽取出很多很多的樣本，而實(shí)際中一般只選取一個(gè)樣本進(jìn)行研究，所以你所選取的那一個(gè)具體的樣本只是你隨機(jī)選中的一個(gè)，你完全有可能選中另外的樣本。統(tǒng)計(jì)學(xué)就是用你隨機(jī)選中的一個(gè)樣本來推斷總體，為了讓這種推斷有根有椐，我們必須清楚這種隨機(jī)的規(guī)律是什么？而抽樣分布理論給出了答案。總體分布樣本分布抽樣分布下面是某班25名同學(xué)的某科成績，它就是要研究的總體：

1～13號(hào)819966985592100846974776610014～25號(hào)8410068597160949192957884

X1X2X3X4X5平均數(shù)第一次抽樣學(xué)8成績711009910084第二次抽樣學(xué)號(hào)102312151778.8成績74956610059第三次抽樣學(xué)號(hào)5152211083.8成績55100999174…………………………………………常用的抽樣分布

平均數(shù)的抽樣分布方差的抽樣分布兩個(gè)樣本平均數(shù)差的抽樣分布兩個(gè)樣本方差比的抽樣分布一、樣本平均數(shù)的抽樣分布

一個(gè)正態(tài)總體中的抽樣分布（一）總體正態(tài)且方差已知時(shí)的樣本平均數(shù)的抽樣分布

…正態(tài)分布(Z-distribution)一個(gè)正態(tài)總體中的抽樣分布數(shù)據(jù)2342（2，2）（2，3）（2，4）3（3，2）（3，3）（3，4）4（4，2）（4，3）（4，4）應(yīng)用：大樣本或總體方差已知時(shí)的總體平均數(shù)的估計(jì)、樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)差異的檢驗(yàn)隨機(jī)抽取的一個(gè)樣本平均數(shù)在其抽樣分布中的位置為：一個(gè)正態(tài)總體中的抽樣分布（二）總體正態(tài)且方差未知時(shí)的樣本平均數(shù)的抽樣分布

…t分布（t-distribution）應(yīng)用：小樣本或總體方差未知時(shí)的總體平均數(shù)的估計(jì)、樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)差異的檢驗(yàn)

t分布的來源：

1900年左右，統(tǒng)計(jì)學(xué)家開始覺得標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布并不總是用來尋找概率的正確分布。WilliamGosset（高賽特）是在愛爾蘭一家啤酒廠工作的一名化學(xué)分析技術(shù)人員，他也是對(duì)此感到懷疑的人之一。于是他決定檢驗(yàn)在概率問題中使用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是否總是正確的。令人不可思義的是，Gosset以收集犯人的身高和左手中指長度開始了他的探索。他以每4個(gè)犯人作為一個(gè)樣本，共收集了750個(gè)不同的樣本，并對(duì)每一個(gè)樣本都計(jì)算了一個(gè)數(shù)值。然后他繪制了兩個(gè)直方圖（身高和左手中指長度），想看一看每一個(gè)樣本的所有的數(shù)值的分布是什么樣的？他們與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有多類似？結(jié)果Gosset發(fā)現(xiàn)兩個(gè)直方圖形狀非常接近，但是與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有很大不同。他將這個(gè)新分布命名為t分布，計(jì)算出的值也叫做t值。由于他的雇主害怕員工泄露釀造啤酒的秘密而禁止員工發(fā)表文章，所以Gosset在1908年發(fā)表上述研究結(jié)果時(shí)，使用了假名“學(xué)生”。正因?yàn)槿绱?，t分布又名學(xué)生分布（student’sdistribution）。特點(diǎn)：t分布以Y軸為對(duì)稱軸，呈單峰對(duì)稱狀，且在t＝0時(shí)，分布密度函數(shù)（縱線高度）取值最大。t分布受自由度的制約，每一個(gè)自由度都有一條t分布密度曲線。與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線相比，t分布曲線頂部略低，兩尾部稍高而平。df越小這種趨勢(shì)越明顯。df越大，t分布越趨近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。當(dāng)n>30時(shí)，t分布接近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，當(dāng)n→∞時(shí)，t

分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布完全一致。

自由度（degreeoffreedom）：變量值可以自由變化的個(gè)數(shù)，?？s寫為df。X1+X2=10df=1X1

X2=4df=0X1與X2之間一個(gè)條件也沒有df=2df=變量個(gè)數(shù)-限制條件數(shù)t分布中變量取值只受離差之和等于0的限制，故df=n-1t分布表的使用：（附表2P452）按自由度及相應(yīng)的概率去找到對(duì)應(yīng)的t值

例：t0.05/2(15)其意義是：

P(-∞<t<-2.131)=P(2.131<t<+∞)=0.025;

P(-∞<t<-2.131)+P(2.131<t<+∞)=0.05。（三）總體呈非正態(tài)，方差未知，n＞30時(shí)，則樣本均數(shù)的分布呈漸近正態(tài)分布

應(yīng)用：樣本方差與總體方差的差異檢驗(yàn)、計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)的假設(shè)檢驗(yàn)二、樣本方差的抽樣分布→

2分布特點(diǎn)：呈正偏態(tài)，隨著自由度的增大，

2分布趨近于正態(tài)分布。

2都是正值。

2分布表的使用：（附表12，P474）

按自由度及相應(yīng)的概率去找到對(duì)應(yīng)的

2值20.05(7)

=14.1

三、兩樣本平均數(shù)之差的抽樣分布兩樣本的分類根據(jù)兩樣本內(nèi)個(gè)體是否存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系獨(dú)立樣本相關(guān)樣本獨(dú)立樣本：兩個(gè)樣本內(nèi)的個(gè)體是隨機(jī)抽取的,它們之間不存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。例1：為了比較獨(dú)生子女與非獨(dú)生子女社會(huì)性方面的差異，隨機(jī)抽取獨(dú)生子女25人，非獨(dú)生子女31人，進(jìn)行社會(huì)認(rèn)知測(cè)驗(yàn)。例2：從某大學(xué)一年級(jí)隨機(jī)抽取部分學(xué)生，其中男生100人，女生80人，研究男生與女生英語成績有無顯著差異。相關(guān)樣本：兩個(gè)樣本內(nèi)個(gè)體存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。重復(fù)測(cè)量樣本：對(duì)同一組被試先后進(jìn)行兩次測(cè)量所獲得的樣本。匹配樣本：根據(jù)某些基本條件相同的原則，將被試匹配成對(duì)，然后將他們隨機(jī)分配到實(shí)驗(yàn)組和控制組接受不同的實(shí)驗(yàn)處理所獲得的樣本。例1：為了揭示小學(xué)二年級(jí)的兩種識(shí)字教學(xué)法是否有顯著差異，根據(jù)學(xué)生的智力水平、努力程度、識(shí)字量多少、家庭輔導(dǎo)力量等條件基本相同的原則，將學(xué)生配成10對(duì)，然后把每對(duì)學(xué)生隨機(jī)地分入實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組。實(shí)驗(yàn)組施以分散識(shí)字教學(xué)法，而對(duì)照組施以集中識(shí)字教學(xué)法。例2：為考察某一試卷的穩(wěn)定性，隨機(jī)選取36名學(xué)生先后施測(cè)兩次，以求兩次測(cè)驗(yàn)間的相關(guān)。兩樣本容量不相等時(shí)，一定不是相關(guān)樣本，但相等時(shí)不一定是相關(guān)樣本。

P265（一）總體正態(tài)且方差已知時(shí)，樣本平均數(shù)之差的 抽樣分布——正態(tài)分布平均數(shù)：獨(dú)立樣本標(biāo)準(zhǔn)誤：相關(guān)樣本標(biāo)準(zhǔn)誤：獨(dú)立樣本Z值計(jì)算：相關(guān)樣本Z值計(jì)算：獨(dú)立樣本的標(biāo)準(zhǔn)誤：相關(guān)樣本的標(biāo)準(zhǔn)誤：(二）總體正態(tài)方差未知時(shí)，樣本平均數(shù)之差的抽樣分 布平均數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)誤：獨(dú)立樣本大樣本小樣本方差齊性：方差齊性：

相關(guān)樣本大樣本小樣本四、兩個(gè)樣本方差比的抽樣分布F分布F分布是以英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)舍爾（R.AFisher）的姓氏的第一個(gè)英文字母命名的概率分布。費(fèi)舍爾.羅納德（Feisher.Ronald1890-1962）英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家，出生于英國倫敦附近，在劍橋接受教育，早年在赫德福德郡的羅塞姆斯特德農(nóng)業(yè)研究實(shí)驗(yàn)站擔(dān)任統(tǒng)計(jì)員，后入倫敦大學(xué)，繼皮爾遜后擔(dān)任優(yōu)生學(xué)和生物統(tǒng)計(jì)學(xué)教授職位，并在劍橋大學(xué)擔(dān)任遺傳學(xué)教授。費(fèi)舍爾是現(xiàn)代最具有創(chuàng)造力的統(tǒng)計(jì)學(xué)家，為心理學(xué)提供了（1）方差分析（2）小樣本理論（3）零假設(shè)等重要概念。應(yīng)用：兩總體方差齊性（是否相等）檢驗(yàn)、方差分析（多個(gè)總體的平均數(shù)是否相等）特點(diǎn)呈正偏態(tài)，隨著自由度的增大，F(xiàn)分布趨近于正態(tài)分布。F都是正值。F分布表的使用(附表3P454附表4P458）按兩個(gè)自由度及相應(yīng)的概率去找到對(duì)應(yīng)的F值

推論統(tǒng)計(jì)參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)參數(shù)檢驗(yàn)非參數(shù)檢驗(yàn)樣本與總體平均數(shù)差異兩樣本平均數(shù)差異多樣本平均數(shù)差異(方差分析)方差齊性檢驗(yàn)相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)主要內(nèi)容第一節(jié)參數(shù)估計(jì)第二節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理第三節(jié)樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)差異的假設(shè)檢驗(yàn)第四節(jié)兩樣本平均數(shù)差異的假設(shè)檢驗(yàn)第五節(jié)方差分析例1：從某市隨機(jī)抽取小學(xué)三年級(jí)學(xué)生60名，測(cè)得平均體重為28kg，標(biāo)準(zhǔn)差3.5kg。試問該市小學(xué)三年級(jí)學(xué)生的平均體重大約是多少？例2：某教師用韋氏成人智力量表測(cè)100名高三學(xué)生，M=115。試估計(jì)該校高三學(xué)生智商平均數(shù)大約為多少？第一節(jié)參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)：用樣本統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)的理論和方法。點(diǎn)估計(jì)（pointestimation）區(qū)間估計(jì)（intervalestimation）

例3：從某市某年參加高三語文畢業(yè)會(huì)考的11000名考生中隨機(jī)抽取550名，算出他們的語文成績：M=62分、s=6。主要特點(diǎn)：沒有考慮誤差的影響，也沒有指出估計(jì)的可靠程度。一、點(diǎn)估計(jì)二、區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)：是在一定概率保證下指出總體參數(shù)的可能范圍。所給出的概率保證稱為

置信度或置信概率

（confidenceprobability），給出的可能范圍叫

置信區(qū)間（confidenceinterval）。常用的置信度為0.95、0.99知識(shí)回顧總體正態(tài)、方差已知時(shí)樣本平均數(shù)的抽樣分布服從……分布？如何確定一個(gè)樣本平均數(shù)在抽樣分布中的位置？總體正態(tài)、方差未知時(shí)樣本平均數(shù)的抽樣分布服從……分布？如何確定一個(gè)樣本平均數(shù)在抽樣分布中的位置？總體非正態(tài)、方差未知、n>30時(shí)樣本平均數(shù)的抽樣分布服從……分布？如何確定一個(gè)樣本平均數(shù)在抽樣分布中的位置？三、總體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)基本原理：平均數(shù)的抽樣分布理論以平均數(shù)的抽樣分布呈正態(tài)為例

總體平均數(shù)出現(xiàn)在之間的概率為0.95，或者說，總體平均數(shù)有95%的可能性出現(xiàn)在之間，而不在這個(gè)范圍內(nèi)的可能性為5%（可能犯錯(cuò)誤的概率：，1-=置信度）。置信下限：置信上限：

（一）總體正態(tài)且方差已知時(shí)的區(qū)間估計(jì)P205解：由于σ已知，故所以當(dāng)置信度為0.95時(shí)，的置信區(qū)間為73.62—82.38。練習(xí)題已知某校的一次外語考試中，全體考生成績的總體方差σ2=100，從中抽取5名考生的成績?yōu)?5、83、94、70、88，試求全體考生的平均成績的99%的置信區(qū)間。（二）總體正態(tài)標(biāo)且準(zhǔn)差σ未知時(shí)的區(qū)間估計(jì)P207應(yīng)用舉例解：由于σ未知，且樣本容量n<30，所以所以當(dāng)置信度為0.95時(shí)，的置信區(qū)間為71.968—84.032。（三）總體非正態(tài)、標(biāo)準(zhǔn)差σ未知且n>30時(shí)P222思考與練習(xí)題5-7一、假設(shè)檢驗(yàn)的意義例4：隨機(jī)抽取10名女生和10名男生測(cè)得心理健康水平得分分別如下：男生：11，11，9，12，10，13，13，8，10，13女生：8，11，12，10，9，8，8，9，10，7經(jīng)計(jì)算得男生心理健康水平的平均數(shù)為11，標(biāo)準(zhǔn)差為1.76；女生平均數(shù)為9.2，標(biāo)準(zhǔn)差為1.549。

第二節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理能否僅憑這兩個(gè)平均數(shù)的差值11-9.2=1.8，立即得出男生與女生心理健康水平存在差異的結(jié)論呢？導(dǎo)致前面男生與女生心理健康水平存在差異的原因可能有兩種，一是女生與男生兩總體心理健康水平確實(shí)存在本質(zhì)不同，另一可能是抽樣誤差導(dǎo)致的。對(duì)兩個(gè)樣本進(jìn)行比較時(shí)，必須判斷樣本間差異是抽樣誤差造成的，還是本質(zhì)不同引起的。這正是假設(shè)檢驗(yàn)要解決的問題。二、假設(shè)的提出虛無假設(shè)（無差假設(shè)、零假設(shè)）（nullhyphothesis）一般用H0表示。備擇假設(shè)（對(duì)立假設(shè)）（alternativehyphothesis）一般用H1表示。三、假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理采用概率論中的“小概率事件實(shí)際不可能性原理”進(jìn)行反證。即首先假定虛無假設(shè)成立，然后根據(jù)樣本信息計(jì)算虛無假設(shè)成立的概率的大小，如果成立的概率小于0.05（0.01），則拒絕虛無假設(shè)，接受備擇假設(shè)，反之，則接受虛無假設(shè)。用來確定拒絕或接受虛無假設(shè)的概率標(biāo)準(zhǔn)叫顯著性水平（significancelevel），記作α。在統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)常取α=0.05或α=0.01。四、假設(shè)檢驗(yàn)的幾種形式雙側(cè)（尾）檢驗(yàn)：只強(qiáng)調(diào)差異而不強(qiáng)調(diào)方向。H0：

1=0

H1：

1

0

單側(cè)（尾）檢驗(yàn)：強(qiáng)調(diào)差異的方向左側(cè)（尾）檢驗(yàn)H0：

1=0

H1：

1<0

右側(cè)（尾）檢驗(yàn)H0：

1=0

H1：

1>0

P265思考與練習(xí)題8-10判斷檢驗(yàn)形式

雙側(cè)檢驗(yàn)顯著的單側(cè)檢驗(yàn)一定顯著，單側(cè)檢驗(yàn)顯著的雙側(cè)檢驗(yàn)不一定顯著。應(yīng)根據(jù)研究目的恰當(dāng)選擇假設(shè)檢驗(yàn)的形式。五、假設(shè)檢驗(yàn)的步驟提出假設(shè)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（Z或t值）確定顯著性水平（檢驗(yàn)形式）統(tǒng)計(jì)決斷六、假設(shè)檢驗(yàn)中的錯(cuò)誤因?yàn)轱@著性檢驗(yàn)是根據(jù)“小概率事件實(shí)際不可能性原理”來拒絕或接受虛無假設(shè)的，所以不論是接受還是拒