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文檔簡介
§4.1
定積分的概念和性質(zhì)
CONTENT1
引例2
定積分的概念目錄3
定積分的性質(zhì)引例Chapter1
一、曲邊梯形的面積曲邊梯形是指由連續(xù)曲線,直線及
x
軸所圍成的平面圖形.問題:如何計算曲邊梯形的面積
A?
一、曲邊梯形的面積1.分割:在區(qū)間
中用
n-1個點(diǎn)分成
n
個小區(qū)間,記
將曲邊梯形分成
n個小曲邊梯形.令每個小曲邊梯形的底邊長為
一、曲邊梯形的面積2.近似:討論第i個小曲邊梯形,記面積為,在區(qū)間
上任取一點(diǎn),以
為高作一個小矩形,矩形的長為,高為,那么曲邊梯形的面積
近似等于矩形面積,即
一、曲邊梯形的面積3.作和:對于大曲邊梯形來說,用同樣的方法,將剩下的
n-1個小曲邊梯形面積計算出來,然后作和即為大曲邊梯形的面積,即
4.取極限:當(dāng)分割越來越細(xì),且每個小區(qū)間的長度越來越小時,上述近似值就越來越接近于精確值
A.記,則當(dāng)
時,所有小區(qū)間的長度
都趨于零,于是
二、收益問題問題:設(shè)某商品的價格是購買量Q的函數(shù)(其中Q為連續(xù)變量),當(dāng)購買量從
a
變動到
b時的收益
R
是多少?1.分割:用
n-1個點(diǎn)
把區(qū)間[a,b]分成
n
個小區(qū)間,每個購買量段
上的購買量為,相應(yīng)的收益為
從而總收益為
二、收益問題2.近似:當(dāng)
很小時,在小區(qū)間
上變化也很小,可近似看作價格不變,任取一點(diǎn),把
作為該段的近似價格,因此該段的近似收益為3.作和:將n
段的收益加起來,即得收益R
的近似值4.取極限:當(dāng)分割越來越細(xì),且每個小區(qū)間的長度越來越小時,上述近似值越來越接近于精確值
R.記,于是
二、收益問題共同點(diǎn):曲邊梯形的面積和收益問題的計算,都采取了“分割—近似—作和—取極限”這些步驟,從而轉(zhuǎn)為相同結(jié)構(gòu)和式的極限定積分的概念Chapter2
一、定積分的定義
一、定積分的定義積分和
一、定積分的定義
二、定積分存在定理
三、定積分的幾何意義幾何意義:
三、定積分的幾何意義幾何意義:定積分的性質(zhì)Chapter3
一、定積分的性質(zhì)性質(zhì)1、2(線性性質(zhì))
(其中
為常數(shù)).性質(zhì)3(積分可加性)
一、定積分的性質(zhì)性質(zhì)4如果在區(qū)間
上,,則
性質(zhì)5如果在
上,,則
性質(zhì)7性質(zhì)6如果在區(qū)間
上,,則
一、定積分的性質(zhì)性質(zhì)8如果在區(qū)間
上,,則
一、定積分的性質(zhì)性質(zhì)9(積分中值定理)設(shè)
在區(qū)間
上連續(xù),則在區(qū)間
內(nèi)至少存在一點(diǎn)
c,使得
注:數(shù)
稱為函數(shù)
在區(qū)間
上的平均值.
幾何解釋
積分中值定理的幾何意義在區(qū)間
上至少存在一點(diǎn)
使以區(qū)間
為底邊,以曲線為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為
的矩形的面積.
練習(xí)例1
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