2021學(xué)年內(nèi)江市市六中高一數(shù)學(xué)(理)下學(xué)期第一次月考卷附答案解析

學(xué)年內(nèi)江市市六中高一數(shù)學(xué)（理）下學(xué)期第一次月考卷滿分:150分時(shí)間：120分鐘一、單選題1．設(shè)向量=（3，k)，=（－1，3），已知，則k=（

）A．2 B．1 C．－2 D．－12．的值為（

）A． B． C． D．3．在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，且，E是AD的中點(diǎn)，則（

）A．B．C．D．4．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖是由四個(gè)全等直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖）．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為13，直角三角形中較小的銳角為θ，那么（

）A．5 B． C． D．5．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，角和角均以為始邊，終邊分別為射線和，射線，與單位圓的交點(diǎn)分別為，．若，則的值是（

）A． B． C． D．6．已知，若是方程的兩根，則（

）A．或 B． C． D．7．點(diǎn)是所在平面上一點(diǎn)，滿足，則的形狀是（

）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等邊三角形8．已知是邊長(zhǎng)為的正三角形，為線段上一點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則的取值范圍為（

）A． B． C． D．9．已知，，，則＝（）A． B． C． D．10．已知向量，將向量繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到向量（），則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．B．C．D．11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P（x，y）（xy≠0）是角α終邊上一點(diǎn)，P與原點(diǎn)O之間距離為r，比值叫做角α的正割，記作secα；比值叫做角α的余割，記作cscα；比值叫做角α的余切，記作cotα．四名同學(xué)計(jì)算同一個(gè)角β的不同三角函數(shù)值如下：甲：；乙：；丙：；丁：．如果只有一名同學(xué)的結(jié)果是錯(cuò)誤的，則錯(cuò)誤的同學(xué)是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁12．已知向量，滿足，，若，且，則的最大值為（

）A．3 B．2 C． D．二、填空題13．設(shè)，是兩個(gè)不共線的向量，若向量與向量共線，則________．14．已知，，則________.15．如圖，在等腰中，已知，，、分別是邊、的點(diǎn)，且，，其中且，若線段、的中點(diǎn)分別為、，則的最小值是________．16．已知函數(shù)的圖象的相鄰兩個(gè)對(duì)稱軸之間的距離為，且恒有，若存在成立，則的取值范圍為_(kāi)_________．三、解答題17．已知向量，，其中，．(1)求；(2)求在方向上的投影．18．（1）已知非零向量滿足，且，求與的夾角．（2）四邊形為平行四邊形，，，若點(diǎn)M，N滿足，，求的值．19．已知向量.(1)若，求的值；(2)記求的取值范圍.20．化簡(jiǎn)下列各式：(1)；(2)；(3)．21．如圖所示，ABCD是一塊邊長(zhǎng)為7米的正方形鐵皮，其中ATN是一半徑為6米的扇形，已經(jīng)被腐蝕不能使用，其余部分完好可利用．工人師傅想在未被腐蝕部分截下一個(gè)有邊落在BC與CD上的長(zhǎng)方形鐵皮，其中P是弧TN上一點(diǎn)．設(shè)，長(zhǎng)方形的面積為S平方米．（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）求的最大值．22．已知，，其中，，且函數(shù)在處取得最大值．(1)求的最小值，并求出此時(shí)函數(shù)的解析式和最小正周期；(2)在（1）的條件下，先將的圖像上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位，再把所得圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），然后將所得圖像上所有的點(diǎn)向下平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像．若在區(qū)間上，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)在（1）的條件下，已知點(diǎn)是函數(shù)圖像上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)為函數(shù)圖像上的一點(diǎn)，點(diǎn)，且滿足，求的解集．【答案】1.B【分析】根據(jù)向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算與垂直定義即可求解．【詳解】因?yàn)椋瑒t，解得故選：B2．A【分析】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)原式，即可求解.【詳解】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式，可得：.故選：A.3．D【分析】利用向量的線性運(yùn)算即得.【詳解】因?yàn)?，所以．因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，則．故選：D．4．A【分析】先求得直角三角形的直角邊，由此求得，進(jìn)而求得.【詳解】由題意可知，大正方形的邊長(zhǎng)為，小正方形的邊長(zhǎng)為1，設(shè)圖中直角三角形較短的直角邊長(zhǎng)為，可得出直角三角形較長(zhǎng)的直角邊長(zhǎng)為，由勾股定理可得，解得，，所以，因此，.故選：A5．C【解析】由三角函數(shù)定義得，由誘導(dǎo)公式得，再由兩角差的余弦公式可求值．【詳解】由題知，，，，，則，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義，考查誘導(dǎo)公式和兩角差的余弦公式，解題關(guān)鍵是掌握兩角差的余弦公式．6．C【解析】根據(jù)韋達(dá)定理可得的和與積關(guān)系,再根據(jù)判斷的范圍.再代入兩角和的正切公式求解,判斷的大小即可.【詳解】因?yàn)槭欠匠痰膬筛傻?所以均為正數(shù),又,故所以.又.故.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角和的正切公式的運(yùn)用,包括根據(jù)正切值范圍求解角度范圍的方法等.屬于中等題型.7．B【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算與模長(zhǎng)公式，可以得出，由此可判斷出的形狀.【詳解】點(diǎn)是所在平面上一點(diǎn)，滿足，則，可得，即，等式兩邊平方并化簡(jiǎn)得，，因此，是直角三角形.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算，也考查了模長(zhǎng)公式應(yīng)用，是中等題．8．A【分析】以線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，則，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，并結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】取線段的中點(diǎn)，連接，則，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，、，，，故.故選：A.9．C【分析】由已知，結(jié)合同角平方關(guān)系可求cos()、sin()，然后根據(jù)，由兩角差的余弦展開(kāi)可求值．【詳解】∵，∴，．∵，∴，則cos()＝，∵，∴sin()＝．＝cos()cos()+sin()sin()＝．故選：C．10．C【分析】由題意得到四邊形OACB為菱形，且，由兩邊之和大于第三邊判斷A選項(xiàng)，利用余弦定理求出B選項(xiàng)，利用模的平方求出模的范圍，判斷C選項(xiàng)，利用數(shù)量積為0判斷D選項(xiàng).【詳解】由題意得：，四邊形OACB為菱形，且，由兩邊之和大于第三邊，可得：，A正確；因?yàn)椋?，故，所以，B正確；，則，，則，故，C錯(cuò)誤；，故，D正確.故選：C11．D【分析】當(dāng)甲錯(cuò)誤時(shí)，乙一定正確，從而推導(dǎo)出丙、丁均錯(cuò)誤，與題意不符，故甲一定正確；再由丙丁必有一個(gè)錯(cuò)誤，得到乙一定正確，由此利用三角函數(shù)的定義能求出結(jié)果．【詳解】解：當(dāng)甲：錯(cuò)誤時(shí)，乙：正確，此時(shí)，r＝5k，y＝3k，則|x|＝4k，（k＞0），或，∴丙：不正確，丁：不正確，故錯(cuò)誤的同學(xué)不是甲；甲：，從而r＝5k，x＝﹣4k，|y|＝3k，（k＞0），此時(shí)，乙：；丙：；?。罕赜袃蓚€(gè)正確，一個(gè)錯(cuò)誤，∵丙和丁應(yīng)該同號(hào)，∴乙正確，丙和丁中必有一個(gè)正確，一個(gè)錯(cuò)誤，∴y＝3k＞0，x＝﹣4k＜0，，故丙正確，丁錯(cuò)誤，綜上錯(cuò)誤的同學(xué)是?。蔬x：D．12．D【分析】令，，根據(jù)題意作出圖形，結(jié)合圖形將已知條件轉(zhuǎn)化，得到，然后數(shù)形結(jié)合求的最大值.【詳解】如圖:令，，則，故.因?yàn)椋?，記的中點(diǎn)為，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上.設(shè)，連接，因?yàn)?，所以點(diǎn)在直線上.因?yàn)椋?，即，所?結(jié)合圖形可知，當(dāng)時(shí)，即取得最大值，且.故選：D【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：向量中有關(guān)最值的求解思路：一是形化，利用向量的幾何意義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問(wèn)題；二是數(shù)化，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值、不等式的解集、方程有解等問(wèn)題.13．.【分析】根據(jù)向量與共線，設(shè)，得到，列出方程組，即可求解.【詳解】由題意，向量與向量因?yàn)橄蛄颗c共線，可設(shè)，即，則，解得.故答案為：.14．【分析】根據(jù)題中條件，同角三角函數(shù)基本關(guān)系，得到，再由兩角差的正弦公式，即可得出結(jié)果.【詳解】∵，，∴，，即，，兩式相加可得：，即，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)三角恒等變換求三角函數(shù)值，熟記同角三角函數(shù)基本關(guān)系，以及兩角差的正弦公式即可，屬于常考題型.15．【分析】直接利用向量的數(shù)量積和向量的線性運(yùn)算的應(yīng)用和模的運(yùn)算的應(yīng)用整理成關(guān)于以為變量的二次函數(shù)的形式，進(jìn)一步利用二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】在等腰中，∵，，∴；∵、分別是邊、的點(diǎn)，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，其中，，即，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，∴的最小值是．故答案為：．16．【分析】根據(jù)兩角和的正弦公式，輔助角公式，化簡(jiǎn)可得解析式，根據(jù)題意，求得周期，可得值，根據(jù)，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)，可求得a值，根據(jù)x的范圍，求得的范圍，可得的最值，結(jié)合題意，分析即可得b的范圍.【詳解】由題設(shè)，，，由相鄰兩個(gè)對(duì)稱軸之間的距離為，故，又，即，故，解得．，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的最大值為，最小值為，若存在，，使成立，則只需，，故的取值范圍為17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，求得，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解；（2）根據(jù)在方向上的投影的計(jì)算公式，即可求得在方向上的投影．【詳解】(1)解：由題意，向量，，其中，，可得，所以.(2)解：因?yàn)樵诜较蛏系耐队盀?，又因?yàn)?，所以在方向上的投影為?8．（1）（2）9【解析】（1）由，再結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算即可得解；（2）由向量的線性運(yùn)算可得，再結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算即可得解；【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以，又，則，則．又，所以．（2）∵，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，重點(diǎn)考查了向量的夾角及向量的線性運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.19．(1)(2)【分析】（1）直接利用向量平行得到，即可求出角x；（2）整理出=，直接求值域.【詳解】(1)∵向量，由可得：，即.∵∴(2)由=∵，∴∴f（x）的取值范圍為20．(1)(2)(3)【分析】（1）將67°寫成，結(jié)合兩角和的正弦、正切公式，即可求解；（2）切化弦，結(jié)合輔助角公式，兩角和的正弦公式運(yùn)算即可求解；．（3）將改成，改成的形式，結(jié)合兩角和的正弦公式即可求解．【詳解】(1)解：原式=．(2)解：原式．(3)解：原式．21．（1）；（2）平方米．【分析】（1），將用表示，易得到關(guān)于的函數(shù)解析式．（2）由（1）可知是關(guān)于的三角函數(shù)，通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)求解最值，注意換元后定義域也一同變換．【詳解】（1）延長(zhǎng)RP交AB于E，延長(zhǎng)QP交AD于F，由ABCD是正方形，PRCQ是矩形，可知，，由，可得，，，，故S關(guān)于的函數(shù)解析式為．（2）令，可得，即，．又由，可得，故，關(guān)于t的表達(dá)式為,又由，可知當(dāng)時(shí)，S取最大值，最大值為平方米．【點(diǎn)睛】此題考查三角函數(shù)最值問(wèn)題，關(guān)鍵點(diǎn)在對(duì)式子靈活換元處理，換元后新函數(shù)的定義域一同改變，屬于一般題目．22．(1)的最小值為1，此時(shí)，(2)(3)【分析】（1）根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，化簡(jiǎn)函數(shù)，結(jié)合在處取得最大值，求得的值，得到函數(shù)的解析式和最小整數(shù)周期；（2）根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，求得，把方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象列出不等式，即可求解；（3）設(shè)，，根據(jù)，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】(1)解：因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谔幦〉米畲笾?，所以，即，?dāng)時(shí)