2023版新教材高中數(shù)學(xué)第五章數(shù)列5.2等差數(shù)列5.2.1等差數(shù)列第2課時(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)及簡單運(yùn)用課時(shí)作業(yè)新人教B版選擇性必修第三冊

第2課時(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)及簡單運(yùn)用必備知識基礎(chǔ)練1．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a2＋a8＝8，則a1＋a5＋a9＝()A．8B．12C．15D．242．在等差數(shù)列{an}中，若a2＋2a6＋a10＝120，則2a6＝()A．30B．40C．60D．803．設(shè){an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，則a37＋b37＝()A．0B．37C．100D．－374．{an}是等差數(shù)列，且a1＋a4＋a7＝15，a2＋a5＋a8＝24，則a3＋a6＋a9＝()A．24B．27C．30D．335．已知{an}為等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，則a20＝________．6．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，則B＝________．關(guān)鍵能力綜合練7.設(shè){an}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，則a11＋a12＋a13＝()A．120B．105C．90D．758．在等差數(shù)列{an}中，a2000＝log27，a2022＝log2eq\f(1,7)，則a2011＝()A．0B．7C．1D．499．(多選題)若{an}是等差數(shù)列，則下列數(shù)列為等差數(shù)列的有()A．{an＋3}B．{aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))}C．{an－1＋an}D．{2an＋n}10.已知等差數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2－6x－1＝0的兩根，則a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝________．11．已知{an}是等差數(shù)列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若從數(shù)列{an}中，依次取出第2項(xiàng)、第4項(xiàng)、第6項(xiàng)……第2n項(xiàng)，按原來順序組成一個(gè)新數(shù)列{bn}，試求出{bn}的通項(xiàng)公式．12.某公司經(jīng)銷一種數(shù)碼產(chǎn)品，第1年獲利200萬元，從第2年起由于市場競爭等方面的原因，利潤每年比上一年減少20萬元，按照這一規(guī)律如果公司不開發(fā)新產(chǎn)品，也不調(diào)整經(jīng)營策略，從哪一年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損？核心素養(yǎng)升級練13.若關(guān)于x的方程x2－x＋m＝0和x2－x＋n＝0(m，n∈R，且m≠n)的四個(gè)根組成首項(xiàng)為eq\f(1,4)的等差數(shù)列，則數(shù)列的公差d＝________，m＋n的值為________．14．如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)都是實(shí)數(shù)，且從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的平方差是相同的常數(shù)，則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫這個(gè)數(shù)列的公方差．(1)設(shè)數(shù)列{an}是公方差為p的等方差數(shù)列，求an和an－1(n≥2，n∈N＋)的關(guān)系式；(2)若數(shù)列{an}既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，證明該數(shù)列為常數(shù)列．15．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＝2an－1＋2n(n≥2).(1)求a2，a3；(2)證明：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)))是等差數(shù)列；(3)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an.第2課時(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)及簡單運(yùn)用必備知識基礎(chǔ)練1．答案：B解析：a2＋a8＝2a5＝8，故a5＝4，a1＋a5＋a9＝3a5＝12.故選B.2．答案：C解析：因?yàn)閧an}為等差數(shù)列，又a2＋2a6＋a10＝120，且a2＋a10＝2a6，所以4a6＝120，所以2a6＝60.故選C.3．答案：C解析：設(shè)cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差數(shù)列，則{cn}也是等差數(shù)列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，所以{cn}的公差d＝c2－c1＝0.所以c37＝100.故選C.4．答案：D解析：因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則a2＋a5＋a8－(a1＋a4＋a7)＝3d，a3＋a6＋a9－(a2＋a5＋a8)＝3d，所以a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9也成等差數(shù)列，所以a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝2×24－15＝33.故選D.5．答案：1解析：因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，所以a1＋a3＋a5＝3a3＝105，a2＋a4＋a6＝3a4＝99，所以a3＝35，a4＝33，所以d＝a4－a3＝－2，a20＝a4＋16d＝33－32＝1.6．答案：60°解析：因?yàn)閮?nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，所以2B＝A＋C，又因?yàn)锳＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，所以B＝60°.關(guān)鍵能力綜合練7．答案：B解析：因?yàn)閍1＋a2＋a3＝3a2＝15，所以a2＝5，又因?yàn)閍1a2a3＝80，所以a1a3＝16，即(a2－d)(a2＋d)＝16，因?yàn)閐>0，所以d＝3.則a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a2＋10d)＝105.故選B.8．答案：A解析：∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，∴由等差數(shù)列的性質(zhì)可知2a2011＝a2000＋a2022＝log27＋log2eq\f(1,7)＝log21＝0，故a2011＝0.故選A.9．答案：ACD解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，當(dāng)n≥2時(shí)，an－an－1＝d.對于A，an＋1＋3－(an＋3)＝an＋1－an＝d，為常數(shù)，因此{(lán)an＋3}是等差數(shù)列，故A正確；對于B，aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n＋1))－aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＝d(an＋1＋an)＝d[2a1＋(2n－1)d]，不為常數(shù)，因此{(lán)aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))}不是等差數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對于C，(an＋2＋an＋1)－(an＋1＋an)＝an＋2－an＝2d，為常數(shù)，因此{(lán)an＋1＋an}是等差數(shù)列，故C正確；對于D，2an＋1＋(n＋1)－(2an＋n)＝2(an＋1－an)＋1＝2d＋1，為常數(shù)，因此{(lán)2an＋n}是等差數(shù)列，故D正確．故選ACD.10．答案：15解析：因?yàn)閍3＋a15＝6，又a7＋a11＝a8＋a10＝2a9＝a3＋a15，所以a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝(2＋eq\f(1,2))(a3＋a15)＝eq\f(5,2)×6＝15.11．解析：(1)因?yàn)閍1＋a2＋a3＝12，所以a2＝4.因?yàn)閍8＝a2＋(8－2)d，所以16＝4＋6d，所以d＝2，所以an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n.(2)a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，a2n＝2×2n＝4n.當(dāng)n>1時(shí)，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4.所以{bn}是以4為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，所以bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n.12．解析：設(shè)第1年獲利為a1萬元，第n年獲利為an萬元，由題意知an－an－1＝－20(n≥2，n∈N＋)，每年獲利構(gòu)成等差數(shù)列{an}，且首項(xiàng)a1＝200，公差d＝－20，所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝－20n＋220.若an<0，則該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損，由an＝－20n＋220<0，解得n>11，即從第12年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損．核心素養(yǎng)升級練13．答案：eq\f(1,6)eq\f(31,72)解析：設(shè)x2－x＋m＝0，x2－x＋n＝0的根分別為x1，x2，x3，x4，則x1＋x2＝x3＋x4＝1，且1－4m>0，1－4n>0.設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為x1，則根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列的第4項(xiàng)為x2.由題意知x1＝eq\f(1,4)，所以x2＝eq\f(3,4)，數(shù)列的公差d＝eq\f(\f(3,4)－\f(1,4),4－1)＝eq\f(1,6)，所以數(shù)列的中間兩項(xiàng)分別為eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝eq\f(5,12)，eq\f(5,12)＋eq\f(1,6)＝eq\f(7,12).所以m＝x1·x2＝eq\f(3,16)，n＝x3·x4＝eq\f(5,12)×eq\f(7,12)＝eq\f(35,144).所以m＋n＝eq\f(3,16)＋eq\f(35,144)＝eq\f(31,72).14．解析：(1)由等方差數(shù)列的定義可知，aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))－aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n－1))＝p(n≥2，n∈N＋).(2)證明：因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則an－an－1＝an＋1－an＝d.又{an}是等方差數(shù)列，所以aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))－aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n－1))＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n＋1))－aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))，(an＋an－1)(an－an－1)＝(an＋1＋an)(an＋1－an)，即d(an＋an－1－an＋1－an)＝－2d2＝0，所以d＝0，即{an}是常數(shù)列．15．解析：(1)由題設(shè)，a2＝2a1＋22＝6，a3＝2a2＋23＝20.(2)證明：因?yàn)閍n＝2an－1＋2n(n≥2)，所以eq\f(an,2n)＝eq\f(an－1,2n－1)＋1(n≥