2024春七年級數(shù)學(xué)下冊第五章生活中的軸對稱4利用軸對稱進(jìn)行設(shè)計(jì)練素養(yǎng)等腰三角形中作輔助線的七種常用方法課件新版北師大版

練素養(yǎng)等腰三角形中作輔助線的七種常用方法北師版七年級下集訓(xùn)課堂第五章生活中的軸對稱溫馨提示：點(diǎn)擊進(jìn)入講評習(xí)題鏈接1234567在幾何圖形中添加輔助線，往往能把分散的條件集中，

使隱蔽的條件顯露，將復(fù)雜的問題簡單化.例如：作“三線”

中的“一線”或平行線說明線段相等，利用截長補(bǔ)短法說明

線段和、差關(guān)系或求角的度數(shù)，利用倍長中線法說明線段的

倍分關(guān)系等，將不在同一個(gè)三角形中的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三

角形(兩個(gè)全等三角形)中，然后運(yùn)用等腰三角形(全等三角

形)的性質(zhì)來解決問題.方法1

等腰三角形中有底邊中點(diǎn)時(shí)，常作底邊上的中線1.如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D為BC的中

點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點(diǎn)，且BE＝AF.試說明：(1)DE＝DF；

(2)DE⊥DF.【解】因?yàn)椤鰾ED≌△AFD，所以

∠BDE＝∠ADF，所以∠BDE＋∠EDA＝∠ADF＋∠EDA＝90°，所以∠EDF＝90°，所以DE⊥DF.方法2

等腰三角形中沒有底邊中點(diǎn)時(shí)常作底邊上的高2.[2023·武漢黃陂區(qū)期中]如圖，點(diǎn)D，E在△ABC的邊BC上

(不與點(diǎn)B，C重合)，AB＝AC，AD＝AE.(1)如圖①，試說明：BD＝CE；【解】(1)如圖①，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H.因?yàn)锳B＝AC，AD＝AE，AH⊥BC，所以BH＝CH，DH＝EH，所以BH－DH＝CH－EH，即BD＝CE.(2)如圖②，當(dāng)AD＝CD時(shí)，過點(diǎn)C作CM⊥AD于點(diǎn)M.若DM

＝2，求CD－BD的值.

方法3

等腰三角形中說明與底有關(guān)的線段相等時(shí)常作底的

平行線3.如圖，在等邊三角形ABC中，D是邊AC的延長線上一點(diǎn)，

延長BC至點(diǎn)E，使CE＝AD，DG⊥BE于點(diǎn)G.試說明：BG

＝EG.【解】如圖，過點(diǎn)D作DF∥BE，交AB的延長線于點(diǎn)F，則

∠ABC＝∠F，∠ACB＝∠ADF.因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，所以∠AFD＝∠ADF＝60°，易得△ADF是等邊三角形，所以AD＝FD＝AF，所以AD－AC＝AF－AB，即CD＝BF.因?yàn)锳D＝CE，所以FD＝CE.因?yàn)椤螪CE＝∠ACB＝60°，所以∠DFB＝∠ECD.

所以△FBD≌△CDE(SAS)，所以DB＝ED，即△BDE是等腰三角形.又因?yàn)镈G⊥BE于點(diǎn)G，所以G為BE的中點(diǎn)，所以BG＝EG.方法4

等腰三角形中說明與腰有關(guān)的線段相等時(shí)常作腰的

平行線4.如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BA

移動(dòng)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A，B重合)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線

段AC的延長線移動(dòng)，點(diǎn)P，Q移動(dòng)的速度相同，PQ與BC相交于點(diǎn)D.(1)試說明：PD＝QD.

(2)過點(diǎn)P作BC的垂線，垂足為E，點(diǎn)P，Q在移動(dòng)的過程中，線段BE，DE，CD中是否存在長度保持不變的線段？請說明理由.

方法5

補(bǔ)形法構(gòu)造等腰三角形5.如圖，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝AB＋CD.試說明：(1)BE＝CE；【解】(1)如圖，延長AB，DE交于點(diǎn)F.因?yàn)锳B∥CD，所以∠2＝∠F.又因?yàn)椤?＝∠2，所以∠1＝∠2＝∠F，易得AD＝AF.因?yàn)锳D＝AB＋CD，AF＝AB＋BF，所以

CD＝BF.因?yàn)椤螪EC＝∠FEB，所以△DCE≌△FBE(AAS)，所以BE＝CE.(2)AE⊥DE；【解】由(1)知△DCE≌△FBE，所以DE＝EF.又因?yàn)锳D＝AF，所以AE⊥DE.(3)AE平分∠DAB.【解】因?yàn)镈E＝EF，AD＝AF，所以AE平分∠DAB.方法6

倍長中線法構(gòu)造等腰三角形6.如圖，在△ABC中，AD為中線，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，AD，

CE交于點(diǎn)F，且AE＝EF.試說明：AB＝CF.【解】如圖，延長AD至點(diǎn)G，使DG＝AD，連接CG.因?yàn)锳D為△ABC的中線，所以BD＝CD.又因?yàn)椤螦DB＝∠GDC，所以△ABD≌△GCD(SAS)，所以AB＝GC，∠BAD＝∠G.因?yàn)锳E＝EF，所以∠EAF＝∠EFA.又因?yàn)椤螮FA＝∠CFG，所以∠G＝∠GFC，易得CG＝CF，所以AB＝CF.方法7

延長(截取)法構(gòu)造等腰三角形7.如圖，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)

D.試說明：AC＋AD＝BC.(第7題)【解法一】如圖①，延長CA至點(diǎn)E，使AE＝AD，連接

DE，則∠E＝∠ADE.所以∠BAC＝180°－∠DAE＝∠E＋∠ADE＝2∠E.因?yàn)椤螧AC＝2∠B，所以∠E＝∠B.因?yàn)镃D平分∠ACB，所以∠ECD＝∠BCD.又因?yàn)镃D＝CD，所以△CDE≌△CDB(AAS)，所以CE＝CB.因?yàn)镃E＝AC＋AE＝AC＋AD，所以AC＋AD＝BC.【解法二】如圖②，在BC上截取CE＝CA，連接DE.因?yàn)镃D平分∠ACB，所以∠ACD＝∠ECD.又因?yàn)镃D＝CD，所以△ACD≌△ECD(