人教版九年級數(shù)學上冊同步練習 第08課 一元二次方程章末復習（原卷版+解析）

第08課一元二次方程全章復習與鞏固目標導航目標導航課程標準1.了解一元二次方程及有關概念；2.掌握通過配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依據(jù)實際問題建立一元二次方程的數(shù)學模型的方法．知識精講知識精講知識點01一元二次方程的有關概念1.一元二次方程的概念：通過化簡后，只含有(一元)，并且未知數(shù)的(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：EMBEDEquation.DSMT43.一元二次方程的解：使一元二次方程的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.要點詮釋：判斷一個方程是否為一元二次方程時，首先觀察其是否是整式方程，否則一定不是一元二次方程；其次再將整式方程整理化簡使方程的右邊為0，看是否具備另兩個條件：①一個未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)為2.對有關一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個特點，不要忽視不為0．知識點02一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程一元一次方程2．基本解法要點詮釋：解一元二次方程時，根據(jù)方程特點，靈活選擇解題方法，先考慮能否用直接開平方法和因式分解法，再考慮用公式法．知識點03一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系1.一元二次方程根的判別式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即(1)當△>0時，一元二次方程；(2)當△=0時，一元二次方程；(3)當△<0時，一元二次方程.2.一元二次方程的根與系數(shù)的關系如果一元二次方程的兩個實數(shù)根是，那么.注意它的使用條件為.要點詮釋：1.一元二次方程的根的判別式正反都成立．利用其可以解決以下問題：(1)不解方程判定方程根的情況；(2)根據(jù)參系數(shù)的性質確定根的范圍；(3)解與根有關的證明題．2.一元二次方程根與系數(shù)的應用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；(2)已知方程，求含有兩根對稱式的代數(shù)式的值及有關未知數(shù)系數(shù)；(3)已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程．要點四、列一元二次方程解應用題1.列方程解實際問題的三個重要環(huán)節(jié)：一是整體地、系統(tǒng)地審題；二是把握問題中的等量關系；三是正確求解方程并檢驗解的合理性.2.利用方程解決實際問題的關鍵是尋找等量關系.3.解決應用題的一般步驟：審(審題目，分清已知量、未知量、等量關系等)；設(設未知數(shù)，有時會用未知數(shù)表示相關的量)；列(根據(jù)題目中的等量關系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰)；驗(檢驗方程的解能否保證實際問題有意義)；答(寫出答案，切忌答非所問).4.常見應用題型數(shù)字問題、平均變化率問題、利息問題、利潤(銷售)問題、形積問題等.要點詮釋：列方程解應用題就是先把實際問題抽象為數(shù)學問題(列方程)，然后由數(shù)學問題的解決而獲得對實際問題的解決.能力拓展能力拓展考法01一元二次方程的有關概念【典例1】關于x的一元二次方程的一個根是0，則a的值為()A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．考法02一元二次方程的解法【典例2】用適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠?1)；(2)；(3)；(4)；【即學即練1】解方程．(1)(3x-2)2+(2-3x)＝0；(2)2(t-1)2+t＝1.考法03一元二次方程根的判別式的應用【典例3】若關于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a=0有實數(shù)根，則a的取值范圍是() A．a≥1 B． a＞1 C． a≤1 D． a＜1考法04一元二次方程的根與系數(shù)的關系【典例4】已知x1、x2是關于x的方程的兩個不相等的實數(shù)根，(1)求t的取值范圍；(2)設，求s關于t的函數(shù)關系式．【即學即練2】已知關于x的一元二次方程的兩實數(shù)根為，．(1)求m的取值范圍；(2)設，當y取得最小值時，求相應m的值，并求出最小值．考法05一元二次方程的應用【典例5】如圖所示，在長為10cm，寬為8cm的矩形的四個角上截去四個全等的小正方形，使得留下的圖形(圖中陰影部分)面積是原矩形面積的80%，求所截去的小正方形的邊長．【即學即練3】如圖，某中學準備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個矩形花園ABCD(圍墻MN最長可利用25m)，現(xiàn)在欲砌50m長的墻，砌成一個面積300m2的矩形花園，則BC的長為多少m?【典例6】某旅行社有100張床位，每床每晚收費10元，空床可全部租出；若每床每晚提高2元，則減少10張床位租出；若每床每晚收費再提高2元，則再減少10張床位租出．以每次提高2元的這種方法變化下去，為了每晚獲得1120元的利潤，每床每晚應提高多少元?第08課一元二次方程全章復習與鞏固目標導航目標導航課程標準1.了解一元二次方程及有關概念；2.掌握通過配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依據(jù)實際問題建立一元二次方程的數(shù)學模型的方法．知識精講知識精講知識點01一元二次方程的有關概念1.一元二次方程的概念：通過化簡后，只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.要點詮釋：判斷一個方程是否為一元二次方程時，首先觀察其是否是整式方程，否則一定不是一元二次方程；其次再將整式方程整理化簡使方程的右邊為0，看是否具備另兩個條件：①一個未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)為2.對有關一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個特點，不要忽視二次項系數(shù)不為0．知識點02一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程一元一次方程2．基本解法直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法．要點詮釋：解一元二次方程時，根據(jù)方程特點，靈活選擇解題方法，先考慮能否用直接開平方法和因式分解法，再考慮用公式法．知識點03一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系1.一元二次方程根的判別式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即(1)當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數(shù)根；(2)當△=0時，一元二次方程有2個相等的實數(shù)根；(3)當△<0時，一元二次方程沒有實數(shù)根.2.一元二次方程的根與系數(shù)的關系如果一元二次方程的兩個實數(shù)根是，那么，.注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0.要點詮釋：1.一元二次方程的根的判別式正反都成立．利用其可以解決以下問題：(1)不解方程判定方程根的情況；(2)根據(jù)參系數(shù)的性質確定根的范圍；(3)解與根有關的證明題．2.一元二次方程根與系數(shù)的應用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；(2)已知方程，求含有兩根對稱式的代數(shù)式的值及有關未知數(shù)系數(shù)；(3)已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程．要點四、列一元二次方程解應用題1.列方程解實際問題的三個重要環(huán)節(jié)：一是整體地、系統(tǒng)地審題；二是把握問題中的等量關系；三是正確求解方程并檢驗解的合理性.2.利用方程解決實際問題的關鍵是尋找等量關系.3.解決應用題的一般步驟：審(審題目，分清已知量、未知量、等量關系等)；設(設未知數(shù)，有時會用未知數(shù)表示相關的量)；列(根據(jù)題目中的等量關系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰)；驗(檢驗方程的解能否保證實際問題有意義)；答(寫出答案，切忌答非所問).4.常見應用題型數(shù)字問題、平均變化率問題、利息問題、利潤(銷售)問題、形積問題等.要點詮釋：列方程解應用題就是先把實際問題抽象為數(shù)學問題(列方程)，然后由數(shù)學問題的解決而獲得對實際問題的解決.能力拓展能力拓展考法01一元二次方程的有關概念【典例1】關于x的一元二次方程的一個根是0，則a的值為()A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．【思路點撥】根據(jù)方程的解的定義，把x=0代入方程，即可得到關于a的方程，再根據(jù)一元二次方程的定義即可求解．【答案】B；【解析】解：根據(jù)題意得：a2﹣1=0且a﹣1≠0，解得：a=﹣1．故選B．【總結升華】本題主要考查了一元二次方程的解的定義，特別需要注意的條件是二次項系數(shù)不等于0．【即時訓練】關于x的方程,當時為一元一次方程；當時為一元二次方程.【答案】=4；≠4且≠-2.考法02一元二次方程的解法【典例2】用適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠?1)；(2)；(3)；(4)；【答案與解析】(1)原方程可化為0.5x2=∴x2=用直接開平方法，得方程的根為∴x1=，x2=．(2)原方程可化為x2+2ax+a2=4x2+2ax+∴x2=a2用直接開平方法，得原方程的根為∴x1=a，x2=a．(3)a=2，b=-4，c=-1b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0x=∴x1=，x2=.(4)將方程整理，得(1-)x2-(1+)x=0用因式分解法，得x[(1-)x-(1+)]=0∴x1=0，x2=-3-2．【總結升華】在以上歸納的幾種解法中，因式分解法是最簡便、最迅捷的方法，但只有一部分方程可以運用這種方法，所以要善于及時觀察標準的二次三項式在有理數(shù)范圍內是否能直接因式分解，凡能直接因式分解的，應首先采取這種方法．公式法是可以解任何類型的一元二次方程，但是計算過程較繁瑣，所以只有選擇其他解法不順利時，才考慮用這種解法．雖然先配方，再開平方的方法也適用于任何類型的一元二次方程，但是對系數(shù)復雜的一元二次方程，配方的過程比運用公式更繁瑣，所以，配方法適用于系數(shù)簡單的一元二次方程的求解．【即學即練1】解方程．(1)(3x-2)2+(2-3x)＝0；(2)2(t-1)2+t＝1.【答案】 (1)原方程可化為：(3x-2)2-(3x-2)＝0，∴(3x-2)(3x-2-1)＝0．∴3x-2＝0或3x-3＝0，∴，．(2)原方程可化為：2(t-1)2+(t-1)＝0．∴(t-1)[2(t-1)+1]＝0．∴(t-1)(2t-1)＝0，∴t-1＝0或2t-1＝0．∴，．考法03一元二次方程根的判別式的應用【典例3】若關于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a=0有實數(shù)根，則a的取值范圍是() A．a≥1 B． a＞1 C． a≤1 D． a＜1【答案】A；【解析】∵關于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a=0有實數(shù)根，∴△=(﹣4)2﹣4(5﹣a)≥0，∴a≥1．故選A．【總結升華】本題考查的是一元二次方程根的判別式，根據(jù)方程有兩個實數(shù)根，得到判別式大于等于零，求出a的取值范圍．考法04一元二次方程的根與系數(shù)的關系【典例4】已知x1、x2是關于x的方程的兩個不相等的實數(shù)根，(1)求t的取值范圍；(2)設，求s關于t的函數(shù)關系式．【答案與解析】(1)因為一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．所以△＝(-2)2-4(t+2)＞0，即t＜-1．(2)由一元二次方程根與系數(shù)的關系知：，，從而，即．【總結升華】利用根與系數(shù)關系求函數(shù)解析式綜合題.【即學即練2】已知關于x的一元二次方程的兩實數(shù)根為，．(1)求m的取值范圍；(2)設，當y取得最小值時，求相應m的值，并求出最小值．【答案】(1)將原方程整理為．∵原方程有兩個實數(shù)根．∴，∴．(2)，且．因為y隨m的增大而減小，故當時，取得最小值1．考法05一元二次方程的應用【典例5】如圖所示，在長為10cm，寬為8cm的矩形的四個角上截去四個全等的小正方形，使得留下的圖形(圖中陰影部分)面積是原矩形面積的80%，求所截去的小正方形的邊長．【答案與解析】設小正方形的邊長為xcm，由題意得4x2＝10×8×(1-80%)．解得x1＝2，x2＝-2．經檢驗，x1＝2符合題意，x2＝-2不符合題意舍去．∴x＝2．答：截去的小正方形的邊長為2cm．【總結升華】設小正方形的邊長為xcm，因為圖中陰影部分面積是原矩形面積的80%，所以4個小正方形面積是原矩形面積的20%．【即學即練3】如圖，某中學準備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個矩形花園A