青海省高二年級上冊12月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

一、單選題

1.已知集合力={0,2,4,6},集合8={x|2x-l<5},則/口8=()

A.{0}B.{0,2}C.{4,6}D.{0,2,4}

【答案】B

【解析】先化簡集合8,再求交集，即可得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)锽={x|2x-l<5}={x|x<3},{={0,2,4,6},

所以川5={0,2}.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集運(yùn)算，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.

2.在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-百x+1的傾斜角為()

71-2萬—3萬—5%

A.-B.*-C.—D.——

3346

【答案】B

【解析】根據(jù)方程得出直線y=-屈+1的斜率即可得到答案.

【詳解】因?yàn)橹本€y=-Gx+l的斜率為/=_/，所以其傾斜角為彳1

故選：B

3.數(shù)列{%}滿足6=1,a”.=2a“則%=()

11

A.4B.8C.-D.-

48

【答案】B

【分析】由題可得數(shù)列{0“}為等比數(shù)列，確定數(shù)列的首項(xiàng)和公比，由此可求得見的值.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列{4}滿足4=1,q川=2a“(〃wN，),即誓=2,

故數(shù)列{0“}為首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，

所以q=1x23=8.

故選：B.

4.若向量a=(x,2),5=(-1,2),且￡j_5，則卜卜()

A.2石B.4C.3拒D.275

【答案】D

【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示求X,再由向量的模的坐標(biāo)表示即得.

【詳解】由力可得-x+2x2=0,

所以x=4,￡=（2,2）,

|a|=44、+4=V20=2V5.

故選：D.

5.已知直線％+2”-1=0與直線（3。-1）%一夕-1=0垂直，則。的值為（）

11

A.0B.1C.-D.-

63

【答案】B

【分析】由垂直的直線所滿足的系數(shù)關(guān)系，列式即可求得參數(shù)值.

【詳解】因?yàn)閮芍本€垂直所以：lx（3“-l）+2ax（-l）=0,

解得：a=l.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查直線垂直與系數(shù)之間的關(guān)系，熟練掌握垂直、平行等條件與限制條件，注意避免

漏解與多解的情況發(fā)生.

6.將長方體截去一個四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的俯視圖是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)俯視圖的定義，即得.

【詳解】將長方體截去一個四棱錐得到的幾何體，從上向下看得到矩形,

矩形對角線從左上角連接右下角，且對角線為實(shí)線,

故該幾何體的俯視圖為D.

故選：D.

7.若過定點(diǎn)河（-1,0）且斜率為k的直線與圓/+4》+/-5=0在第一象限內(nèi)的部分有交點(diǎn)，則左

的取值范圍是（）

A.B.-75<k<0

C.0<A<V3D.0<左<5

【答案】A

【分析】由題可得圓交y軸正半軸于N（O,石），根據(jù)數(shù)形結(jié)合即得.

【詳解】由圓工2+41+/一5=0,可得圓交P軸正半軸于N（0,6）,

則=亞，

所以4的取值范圍是0<?<右.

故選：A.

8.設(shè)也〃為兩條不同的直線，區(qū)夕為兩個不同的平面，下列命題中為真命題的是（）

A.若nila,則加〃“

B.若〃z_La,a工［3、則優(yōu)//夕

C.若加_La,mlI/},則a_L尸

D.若加//a,a'B,則加工/

【答案】C

【分析】利用線面平行、線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理，可以判斷命題的真假.

【詳解】對于A,若機(jī)//a,nila,則機(jī)與〃可能平行、相交或異面，故A為假命題；

對于B,若aLp,則有可能機(jī)//夕或機(jī)u夕，故B為假命題；

對于C,若〃?，a,則機(jī)垂直于a面內(nèi)兩條相交直線，又m”,則必能在尸面內(nèi)找到一條直線

l//m,故/也垂直于a面內(nèi)兩條相交直線，所以/la,又/u￡,所以a_L〃，故C為真命題；

對于D,若m”a,a,",則有可能加〃/、%u/7或加與尸相交，故D為假命題.

故選：C.

9.函數(shù)、=3/+6辦+1在區(qū)間[-4,-2]上是單調(diào)函數(shù)，則〃的取值范圍是

A.B.[4,+00)C.(-00,2]U[4,+00)D.(-a>,l]U[2,+oo)

【答案】C

【詳解】對稱軸x=-a,所以-a4一4或-aN-2,解得a?2或aN4,故選C.

10.已知函數(shù)./■(工)=然足(0￥+9)(/>0,0>0,|同4^)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)_y=/(x)的表

達(dá)式是

B.f(x)=2sin^2x+y

sinf2x-y

D./(x)=2

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)的最值求得A,根據(jù)函數(shù)的周期求得。，根據(jù)函數(shù)圖像上一點(diǎn)的坐標(biāo)求得。，由

此求得函數(shù)的解析式.

【詳解】由題圖可知/=2,且4=?-與=g即7=萬，所以。=工=至=2,

22122TK

將點(diǎn)悟2)的坐標(biāo)代入函數(shù)/(x)=2sin(2x+*),

得紅+9=+%(&eZ),即s=2k^--(keZ),

623

因?yàn)榉珰w/所以夕=q,

所以函數(shù)/(X)的表達(dá)式為/(x)=2sin(2x-().故選D.

【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)圖像求三角函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題.

II.正方體力88-48?。中，點(diǎn)昂F,N分別18,CG和8月的中點(diǎn)，則異面直線E尸與NC

所成角的余弦值為()

A2RV30「后n2

51053

【答案】B

【分析】連接3/，由題可得N8/E為直線環(huán)與NC所成角或補(bǔ)角，然后根據(jù)正方體的性質(zhì)進(jìn)而

即得.

【詳解】如圖，連接用尸，則BN〃FC,BN=FC,

所以四邊形8囚6為平行四邊，

所以87〃NC,則NB/E為直線EF與NC所成角或補(bǔ)角，

設(shè)正方體的棱長2,則與￡=與尸==石，￡F=Vl+22+l=V6.

5/0I—

:T屈,即直線“'和CN所成角的余弦值為史?

COSN6』匕=—5=-=------1n

'V51010

故選：B.

12.已知圓M:(x-l)2+(y-l)2=4,直線/：x+?-6=0,A為直線/上一點(diǎn)，若圓M上存在兩點(diǎn)8

,C,使得ZB4C=60。，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的取值范圍為()

A.[1,5]B.[2,6]C.[-1,1]D.[-4,2]

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，由直線與圓的位置關(guān)系，從直線上的點(diǎn)向圓上的點(diǎn)連線成角，當(dāng)且僅當(dāng)兩條線

均為切線時才是最大的角，不妨設(shè)切線為月P,AQ,則NP/0為60。時，/尸加。為120。，所以

的長度為4,故可確定點(diǎn)A的橫坐標(biāo)％的取值范圍.

【詳解】解：根據(jù)題意，從直線上的點(diǎn)向圓上的點(diǎn)連線成角，當(dāng)且僅當(dāng)兩條線均為切線時才是最大

的角，

不妨設(shè)切線為4P,肛則NPN。為60。時，NPMQ為120°,所以的長度為4,

故問題轉(zhuǎn)化為在直線上找到一點(diǎn)，使它到點(diǎn)M的距離為4.

設(shè)仙,6-%),則.??6-1)2+(5-%)2=16

.??點(diǎn)A的橫坐標(biāo)方的取值范圍是口,5］；

故選：A.

二、填空題

x+y<3

13.若x,y滿足約束條件,則函數(shù)z=2x-y的最大值是

x+3y>3

【答案】6

【分析】畫出可行域，利用數(shù)形結(jié)合即得.

x+y<3

【詳解】畫出+l表示的區(qū)域，

x+3^>3

,，'x+3.

~0~

由z=2x-y,得y=2x-z,畫出y=2x并平移,

當(dāng)過(3,0)時，截距-z最小，即z最大為6.

故答案為：6.

14.在集合任卜46且xeN｝中任取一個元素，所取元素x恰好滿足方程(-1)、=1的概率是

-4

【答案】y

【分析】化簡集合然后根據(jù)古典概型概率公式即得.

【詳解】因?yàn)椋?6且漢wN｝=｛0,1,2,3,4,。6｝,

所以集合｛x|x46且xeN｝中任取一個元素共有7個等可能結(jié)果,

其中滿足方程(-1)'=1的結(jié)果有0,2,4,6共4個，

4

故所求概率為

故答案為：

15.已知直線3x+2y—3=0和6x+my+l=0互相平行，則它們之間的距離是.

【答案】W

【詳解】【解析】兩條平行直線間的距離.

分析：通過直線的平行，利用斜率相等即可求出01的值，通過平行線的距離公式求出距離即可.

解：直線3x+2y-3=0與6x+my+l=0相互平行，所以m=4,由平行線的距離公式可知d=2|=

732+22

7713

26

故答案為△叵.

26

16.如圖，在棱長為4的正方體48CD-Z4GA中，E、F分別是/8、的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是

上一點(diǎn)，且P8〃平面CEF,則四棱錐尸-N8CD外接球的表面積為

【答案】4E

【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得5P//0F,進(jìn)而OP=3,然后根據(jù)長方體的性質(zhì)及球的表面

積公式即得.

RCRF1

【詳解】連接8。交CE于。，連接OF,則徐=等=：,

X-xZ-X4

因?yàn)镻8〃平面CEF,P5u平面P8￡）,平面尸8。八平面CM=0尸，

PFBO1

所以BP//OF,

FD-OP-2

?.F是。。的中點(diǎn)，DD}=4,

所以。P=3,

???三棱錐P-ABCD外接球直徑為A/32+42+42="T，

所以所求表面積為4E.

故答案為：41兀.

三、解答題

17.根據(jù)下列條件，求直線方程：

（1）過點(diǎn)N（l,2）,且傾斜角是直線），=x+3的傾斜角的2倍；

（2）經(jīng)過點(diǎn)尸（3,2）且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等.

【答案】（l）x=l;（2）2x-3y=0或x+y-5=0.

【解析】（1）由條件得出所求直線的傾斜角為TT'即可：

（2）根據(jù)直線在兩坐標(biāo)軸上截距相等，則截距可能為0也可能不為0,分類討論，結(jié)合直線方程求

法，即可對本題求解.

【詳解】（1）因?yàn)橹本€V=x+3的傾斜角為JT所以所求直線的傾斜角為TgF

42

又因過點(diǎn)力（1,2）,所以所求直線為x=l

（2）設(shè)直線/在x，N軸上的截距均為

若a=0,即/過點(diǎn)(0,0)和(3,2),

2

???/的方程為N=§x,即2x-3y=0.

若awO,則設(shè)/的方程為二+上=1,

aa

???/過點(diǎn)(3,2),

32?

???一+-=1,

aa

?"?a=5,

.?」的方程為x+y-5=o,

綜上可知，直線/的方程為2x-3y=0或x+y-5=0.

18.在E14SC中，角4B,C的對邊分別為“，b,c,已知2bcosC+c=2a.

(1)求角8的大?。?/p>

(2)若a=5,b=7,求c的長.

【答案】(1)8=：；

(2)8.

【分析】(1)根據(jù)正弦定理結(jié)合條件可得cos8=；,即得；

(2)利用余弦定理即得.

【詳解】(1)因?yàn)榭?8C中，2bcosC+c=2a,

所以2sin8cosC+sinC=2sin4=2sin(8+C)=2sin6cosC+2cos8sinC,

又sin。w0,

??.cosB=g,又8(0,兀),

所以8=會

(2)由余弦定理cos8=巴上^———

lac

所以六25+c?-49

2x5xc

?e?c—8.

19.已知圓C過點(diǎn)(-1,4),(1,2),(-1,0),直線/過點(diǎn)(1,3).

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線/與圓C相切，求直線/的方程.

【答案】(l)(x+iy+(y-2)2=4

⑵x=l或/：3x+4y-15=o

【分析】（1）設(shè)圓C的方程為r+/+m+砂+尸=0（。2+后2-4/>0）,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，

解方程組即可求出結(jié)果；

（2）分直線/的斜率不存在與直線/的斜率存在兩種情況，設(shè)出直線的方程，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離

等于半徑，求出參數(shù)即可得到結(jié)果.

【詳解】（I）（1）設(shè)圓C的方程為/+產(chǎn)+。*+切+尸=0（》+￡2-4尸>0）,

17-O+4E+尸=0D=2

則<5+。+2E4-F=0,解得《E=—4,

\-D+F=0[F=1

貝!I圓C的一般方程為/+儼+2x-4y+l=0,

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+l『+（y-2）2=4.

（2）因?yàn)椋?+1）。（3-2）2=5>4,所以點(diǎn)（1,3）在圓C外.

①直線/的斜率不存在，則切線方程為x=l；

②直線/的斜率存在，設(shè)直線/：歹-3=左（工-1）,即米-夕+3-左=0,

|-^-2+3-^\\-2k\2

由題知圓心C到/的距離d=Jr+iVF+i

3

解得％=-；，即直線/:3x+4y-15=0；

4

綜上，直線/的方程為x=l或/：3x+4y-15=o.

20.如圖所示，在四棱錐P-Z8C。中，底面力8C。是矩形，側(cè)棱P4垂直于底面，E,F,G分別是

",PC,CD的中點(diǎn).

（1）求證：CDLPD；

(2)求證：平面EFG〃平面P/O.

【答案】(1)證明見解析；

(2)證明見解析.

【分析】(1)由條件可得CDVAD,進(jìn)而利用線面垂直的判定定理可得平面

PAD,從而得到CD_LP。；

(2)由EG///。，F(xiàn)G/PD,利用線面平行的判定定理得到線面平行，再利用面面平行的判定定理

即可證得面面平行.

【詳解】(I)???&，底面/8C。，.?.CDLP4,

又在矩形N8CD中，且/。cP/=/,AD,P/u面P/。，

.,?COJ.面尸4),

又尸。u面PN。，.,.CDJ■尸O.

(2)?.?矩形Z8CZ)中，E,G分別為N8,CD的中點(diǎn)，「.EG〃49,

???EGa平面P/。，/。＜=平面尸/1。，二￡16〃平面尸/1。，

VRG分別是PC,CD的中點(diǎn)，F(xiàn)GHPD,

???FG(z平面尸40,尸。u平面尸NO,??.FG//平面PAD,

又EGflFG=G,EG、7^匚平面后^^,

???平面EFG//平面/MD.

21.已知以點(diǎn)4(7,2)為圓心的圓與直線/x+2y+7=0相切，過點(diǎn)8(-2,0)的直線/與圓/相交

于“，N兩點(diǎn)，。是A/N的中點(diǎn)，|MN|=25/歷.

(1)求圓工的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求直線/的方程.

【答案】⑴(x+iy+(y-2)2=20

(2)x=-2或3x-4y+6=0

【分析】(1)由圓與直線相切結(jié)合點(diǎn)線距離公式可得半徑，即可求得標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)分別討論直線/與x軸垂直與否，設(shè)出直線方程，結(jié)合垂徑定理、點(diǎn)線距離公式列方程即可

解得參數(shù).

【詳解】(I)設(shè)圓/半徑為R,由圓與直線4：x+2y+7=0相切得R=t±$M=2逐，

???圓4的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+0-2)2=20.

(2)i.當(dāng)直線/與x軸垂直時，即x=-2,此時|MN|=2?2&j_(-1+2?=2M,符合題意;

ii.當(dāng)直線/不與x軸垂直時，設(shè)方程為'=%(》+2),即履-^+2%=0,

\-k-2+2k\_3

。是MN的中點(diǎn)，|的|=2M，AQ=V20-19=1,即/。=1解得.??直線/

收+1

為：3x-4y+6=0.

二直線/的方程為x=_2或3x_4y+6=0.

22.如圖，四棱柱/8CO-44CQ中，底面/8C。是菱形，ZABC=60°,441平面"CD,E

為中點(diǎn)，AAt=AB=2.

⑴求證：/6//平面片?！辏?/p>

(2)求點(diǎn)C到平面片?！甑木嚯x；

(3)在ZG上是否存在點(diǎn)“，滿足4G，平面A/BQ?若存在，求出//長，若不存在，說明理由.

【答案】(1)證明見解析；

⑵述；

2

(3)存在，述.

2

【分析】(1)連4G交BQ于點(diǎn)E連EF,由中位線定理以及線面平行的判定證明即可；

(2)連4c交EF于點(diǎn)N,由題可得CN=34N,進(jìn)而點(diǎn)C到平面的距離是點(diǎn)&到平面

BRE的距離的3倍，然后根據(jù)等積法即得；

(3)由線面垂直的性質(zhì)證明“G八作尸NL/C一垂足為"，由線