微考點6-2圓錐曲線中的弦長面積類問題

微考點62圓錐曲線中的弦長面積類問題（三大題型）直線與圓錐曲線相交，弦和某個定點所構成的三角形的面積，處理方法：①一般方法：（其中為弦長，為頂點到直線AB的距離），設直線為斜截式.進一步，=②特殊方法：拆分法,可以將三角形沿著軸或者軸拆分成兩個三角形，不過在拆分的時候給定的頂點一般在軸或者軸上，此時，便于找到兩個三角形的底邊長.③坐標法：設，則④面積比的轉化：三角形的面積比及其轉化有一定的技巧性，一般的思路就是將面積比轉化為可以利用設線法完成的線段之比或者設點法解決的坐標形式，通常有以下類型：1.兩個三角形同底，則面積之比轉化為高之比，進一步轉化為點到直線距離之比2.兩個三角形等高，則面積之比轉化為底之比，進一步轉化為長度（弦長之比）3.利用三角形面積計算的正弦形式，若等角轉化為腰長之比4.面積的割補和轉化⑤四邊形的面積計算在高考中，四邊形一般都比較特殊，常見的情況是四邊形的兩對角線相互垂直，此時我們借助棱形面積公式，四邊形面積等于兩對角線長度乘積的一半；當然也有一些其他的情況，此時可以拆分成兩個三角形，借助三角形面積公式求解.⑥注意某條邊過定點的三角形和四邊形當三角形或者四邊形某條邊過定點時，我們就可以把三角形，四邊形某個定頂點和該定點為邊，這樣就轉化成定底邊的情形，最終可以簡化運算.當然，你需要把握住一些常見的定點結論，才能察覺出問題的關鍵.題型一：利用弦長公式距離公式解決弦長問題【精選例題】【例1】已知橢圓，，分別為左右焦點，點，在橢圓E上.(1)求橢圓E的離心率；(2)過左焦點且不垂直于坐標軸的直線l交橢圓E于A，B兩點，若的中點為M，O為原點，直線交直線于點N，求取最大值時直線l的方程.【答案】(1)，(2)（1）解：將，代入橢圓方程，解得，所以橢圓的方程為，又，所以（2）解：設直線方程為，，，聯(lián)立可得；則，且，，設的中點，則，，∴坐標為，，因此直線的方程為，從而點為，又，，所以，令，則，因此當，即時，最大值為3.所以的最大值為，此時，直線l的方程為.【例2】已知圓：和圓：，以動點為圓心的圓與其中一個圓外切，與另一個圓內切，記動點的軌跡為．(1)求軌跡的方程；(2)若斜率為的直線交軌跡于，兩點，求的長度的最大值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）確定圓在圓內，設且對應圓半徑為，根據(jù)題設及兩點距離公式得到關于關系，代入距離公式整理即得軌跡方程；（2）設出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式建立關系并求出最大值即得.【詳解】（1）依題意，圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，顯然，即圓在圓內，設，半徑為，顯然以為圓心的圓與圓外切，與圓內切，則有，則，所以軌跡的方程為.（2）由（1）知，軌跡的方程為，設直線的方程為，由消去y并整理得，顯然，解得，設，則，因此，當且僅當時取等號，所以長度的最大值為.【跟蹤訓練】1.已知橢圓C：，圓O：，若圓O過橢圓C的左頂點及右焦點．(1)求橢圓C的方程；(2)過點作兩條相互垂直的直線，，分別與橢圓相交于點A，B，D，E，試求的取值范圍．【答案】(1)，(2)(1)圓O：與x軸的交點為，即橢圓C的左頂點及右焦點分別為，故，故，所以橢圓C的方程為：；(2)當直線，中，有一條直線斜率不存在，一條直線斜率為0時，弦長分別為，此時；當直線，斜率都存在時，設,聯(lián)立，可得，，，，同理，，令，則，，因為，所以，所以的取值范圍為.2．已知橢圓：的兩焦點，，且橢圓過.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點作不與坐標軸垂直的直線交橢圓于，兩點，線段的垂直平分線與軸負半軸交于點，若點的縱坐標的最大值為，求的取值范圍.【答案】(1)(2),．【分析】（1）由題意列出方程組，求解即可；（2）設直線的方程為為不等于0的實數(shù)），聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結合韋達定理可得中點坐標，進而得線段的中垂線方程，求出的縱坐標，結合題意求得，由弦長公式可得，令，，根據(jù)函數(shù)的單調性求出其值域即得答案．【詳解】（1）由題意可得：，解得，所以橢圓的方程為：；（2）因為左焦點，由題意可得直線的斜率存在且不為0，設直線的方程為為不等于0的實數(shù)），，，，，由，可得，則，，，所以，所以的中點為，，所以線段的中垂線方程為：，令，則，即點縱坐標為，又因為是與軸交于負半軸，所以，，又因為點的縱坐標的最大值為，所以，解得，又因為，因為，令，，由于函數(shù)在單調遞增，所以在,上單調遞增，所以，，所以，，即的取值范圍為：,．【點睛】方法點睛：圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質或判別式構造不等關系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關系；（3）利用隱含的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.題型二：利用弦長公式距離公式解決三角形面積類問題【精選例題】【例1】已知橢圓的方程為，稱圓心在坐標原點，半徑為的圓為橢圓的“蒙日圓”，橢圓的焦距為，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于、兩點，與其“蒙日圓”交于、兩點，當時，求面積的最大值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關于、、的方程組，解出這三個量的值，即可得出橢圓的方程；（2）對直線的斜率是否存在進行分類討論，在直線的斜率不存在時，根據(jù)的值求出的方程，進而可求得的面積；在直線的斜率存在時，設直線的方程為，根據(jù)可得出，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用弦長公式、三角形的面積公式以及基本不等式可求得面積的最大值.【詳解】（1）解：因為橢圓的焦距為，離心率為，則，可得，故橢圓的方程為.（2）解：由題意，蒙日圓方程為，圓心為，半徑，

①當軸時，設直線的方程為，將代入“蒙日圓”的方程得，解得，則，解得：，將直線的方程代入橢圓C的方程可得，解得，則，所以，；②當直線不垂直軸時，設直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，得，聯(lián)立，消去得，，可得，設、，則，，，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立，又因為，故的面積的最大值為.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調性或三角函數(shù)的有界性等求最值．【例2】已知橢圓的左、右焦點分別是，，上頂點為A，橢圓的焦距等于橢圓的長半軸長，且的面積為．(1)求橢圓的標準方程；(2)若B，C是橢圓上不同的兩點，且直線AB和直線AC的斜率之積為，求面積的最大值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質即可列方程求解，，，（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，得到韋達定理，進而根據(jù)弦長公式以及點到直線的距離公式表達出三角形的面積，利用換元法及基本不等式求面積的最大值.【詳解】（1）由題意得，，①由的面積為，得，②又，得，，，所以橢圓的標準方程為．（2）由（1）知點，易知直線AB和直線AC的斜率均存在，所以點B，C與橢圓的上、下頂點均不重合．若直線BC的斜率不存在，不妨設，則，直線AB和直線AC的斜率分別是，，所以，又點在橢圓上，所以，所以，所以，這與直線AB和直線AC的斜率之積為矛盾，所以直線BC的斜率存在．設直線BC的方程為，其中，將直線BC的方程代入，得，則，設，，則，．直線AB和直線AC的斜率分別是，，所以，又，所以，即，所以，故，即，所以直線的方程為，，，所以，點到直線BC的距離，所以的面積．令，則，所以，當且僅當，即，時，等號成立，所以面積的最大值為．【點睛】方法點睛：圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：（1）幾何法，若題目的條件能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值，如本題需先將的面積用k表示出來，然后再利用基本不等式長最值．【例3】動點滿足方程．(1)求動點P的軌跡的方程；(2)設過原點的直線l與軌跡相交于兩點，設，連接并分別延長交軌跡于點，記的面積分別是，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義求得，從而求得軌跡的方程.（2）通過聯(lián)立方程組的方法求得兩點的橫坐標，求得的表達式，并利用不等式的性質求得的取值范圍．【詳解】（1）方程，表示平面內到定點、的距離的和是常數(shù)的點的軌跡，它的軌跡是以、為焦點，長軸，焦距的橢圓.，，，軌跡的方程是.（2）設，，，，，所以直線的方程為.與的方程聯(lián)立，，消去y得.即，，則，同理，∴，∵，∴，，則，即.【點睛】求解動點的軌跡方程，可通過定義法來進行求解.定義法是根據(jù)已知條件，判斷出動點滿足哪種類型的軌跡的定義，由此來求得軌跡方程.圓錐曲線問題中，求解面積的范圍問題，可根據(jù)面積的表達式，利用不等式的性質、基本不等式等知識來進行求解.【例4】已知橢圓C的中心在原點，一個焦點為，且長軸長是短軸長的倍．(1)求橢圓C的標準方程；(2)設過焦點F的直線l與橢圓C交于A、B兩點，是橢圓的另一個焦點，若內切圓的半徑，求直線l的方程．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由題意可求得，，并且，求得，，，代入橢圓標準方程可得解；（2）設出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達定理可得，，可求得，再根據(jù)內切圓半徑可表示出，由此求得答案.【詳解】（1）由題可得，焦點在x軸上，，，，解得，，所以橢圓：.（2）設，，設直線的方程為，的根為，，，，且，又∵，，∴，所以直線的方程為：.【點睛】思路點睛：本題第二小問屬于直線與圓錐曲線綜合性問題，設出過點的直線與橢圓聯(lián)立，由韋達定理可得，，可求出，另根據(jù)三角形內切圓半徑和面積的關系可求得，由此可求得直線的方程.【跟蹤訓練】1．如圖，已知橢圓的焦點為，，離心率為，橢圓的上、下頂點分別為，右頂點為，直線過點且垂直于軸，點在橢圓上（且在第一象限），直線與交于點，直線與軸交于點.(1)求橢圓的標準方程；(2)判定（為坐標原點）與的面積之和是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.【答案】(1)；(2)面積和為定值，定值為【分析】（1）根據(jù)題意求即可得到橢圓方程；（2）設，分別求出點，坐標，然后求三角形面積即可.【詳解】（1）設橢圓方程為，焦距為，則，，所以，，所以橢圓的標準方程為.（2）由題意得，，直線：，設點，，，則①，直線：，令，則，所以，直線：，令，則，所以，，由①得，所以.2．已知橢圓C的方程為，其離心率為，，為橢圓的左右焦點，過作一條不平行于坐標軸的直線交橢圓于A，B兩點，的周長為．(1)求橢圓C的方程；(2)過B作x軸的垂線交橢圓于點D．①試討論直線AD是否恒過定點，若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由．②求面積的最大值．【答案】(1)；(2)①恒過定點；②.【分析】（1）根據(jù)已知焦點三角形周長，由橢圓定義及其離心率求橢圓參數(shù)即可得方程；（2）①設直線AD為且，，，，聯(lián)立橢圓方程，應用韋達定理并結合A，B，共線有，整理化簡求參數(shù)m，即可確定定點；②由直線AD所過定點，結合并將韋達公式代入化簡，應用基本不等式求面積最大值，注意取值條件.【詳解】（1）由題的周長，可得，又，則，，故橢圓的方程為．（2）①由題，設直線AD為且，，，，聯(lián)立方程可得：，化簡可得：，所以，，因為A，B，共線，則有，化簡可得，即，化簡可得恒成立．∴，即直線AD的方程為恒過定點．②設直線AD恒過定點記為，由上，可得，所以，·，令，則，當且僅當，即時，取等號．∴面積的最大值為．【點睛】關鍵點點睛：第二問，設直線AD為且，利用橢圓方程，應用韋達定理及已知條件求出參數(shù)m為關鍵.3．已知拋物線的頂點為坐標原點，焦點為．橢圓的中心為，左焦點為，上頂點為，右頂點為，且．(1)求拋物線和橢圓的標準方程．(2)設直線經過點，與拋物線交于，兩點，與橢圓交于，兩點．記和的面積分別為和，是否存在直線，使得？若存在，求出的方程；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)存在，其方程為或【分析】（1）根據(jù)拋物線的焦點坐標直接可得拋物線方程，再設，，結合，可得橢圓方程；（2）設直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，結合韋達定理及弦長公式，可得面積，再根據(jù)，可得直線方程.【詳解】（1）由拋物線的焦點為，可知，所以，所以拋物線的方程為；設橢圓的標準方程為，則，，所以，，由，可得，又，所以，解得或（舍），則，所以橢圓方程為；（2）

由題意可知，直線的斜率一定不為，則設直線的方程為，，，，，聯(lián)立直線與拋物線，得，，則，，所以的面積，聯(lián)立直線與橢圓，得，，則，，所以的面積，又，所以，解得，所以存在滿足條件的直線，且直線方程為或.【點睛】(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系．(2)涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．題型三：利用弦長公式距離公式解決定四邊形面積問題【精選例題】【例1】如圖所示，橢圓的上頂點和右頂點分別是和，離心率，，是橢圓上的兩個動點，且.(1)求橢圓的標準方程；(2)求四邊形面積的最大值；(3)試判斷直線與的斜率之積是否為定值，若是，求出定值；若不是，請說明理由.【答案】(1)；(2)4；(3)是，定值為【分析】（1）由題意求出b的值，根據(jù)離心率可求出，即得答案；（2）設直線的方程，聯(lián)立橢圓方程可得根與系數(shù)的關系式，結合弦長公式求出的表達式，即可求得四邊形面積的表達式，利用三角代換，結合二次函數(shù)性質即可求得面積的最大值；（3）求出直線與的斜率之積的表達式，結合根與系數(shù)的關系化簡，即可得結論.【詳解】（1）因為，所以，又離心率為，所以，即，，所以橢圓的標準方程為（2）因為，所以，所以，設直線的方程為，，，由，得，由得，則，，故，直線方程為，，所以，直線與之間的距離為，故四邊形的面積為，令，則，令，則，，所以，而函數(shù)在上單調遞增，所以當時，即時，四邊形面積的最大值為4；（3）由第（2）問得，，，故直線與的斜率之積為定值，且定值為.【例2】已知，分別為橢圓Γ：的左、右焦點，過點的直線與橢圓Γ交于A，B兩點，且的周長為.(1)求橢圓Γ的標準方程；(2)若過點的直線與橢圓Γ交于C，D兩點，且，求四邊形ACBD面積的取值范圍.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由的周長即可得到，從而求得，即可得到結果；（2）根據(jù)題意，分直線斜率存在與不存在討論，聯(lián)立直線與橢圓方程，結合韋達定理，弦長公式，代入計算，即可得到結果.【詳解】（1）設，，所以的周長為，解得，所以.所以橢圓Γ的標準方程為.（2）

當直線，中的一條直線的斜率不存在、另一條直線的斜率為0時，四邊形ACBD的面積.當直線，的斜率都存在且不為0時，設的方程為，，，聯(lián)立得，整理得，則，則，，，因為，故直線的方程為，同理可得，（把上式中的k替換為，即可得到）則四邊形ACBD的面積，令，則，故，易知函數(shù)在上單調遞增，則.所以.綜上所述，四邊形ACBD面積的取值范圍為.【跟蹤訓練】1．已知橢圓：，橢圓：，動點在上運動，過作的兩條切線，切點分別為A，B.（提示：過橢圓C：上一點與C相切的直線方程為）(1)求直線AB的方程（用，表示）；(2)O為坐標原點，求四邊形OAPB的面積.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)題意求切線方程，進而可得直線AB的方程；（2）分和兩種情況，根據(jù)弦長公式求面積，結合韋達定理分析求解.【詳解】（1）不妨設，，：，：，由題知A，B處的切線方程分別為，，因為這兩條直線均過，則，所以：.（2）當時，聯(lián)立方程，消去y得，因為，則代入上式，化簡得，則，且，所以，到直線的距離，O到直線的距離，所以；當時，則，直線：，由，解得，可得；所以綜上：四邊形OAPB的面積為定值.2．已知焦距為2的橢圓：，，分別為其左右焦點，過點的直線與橢圓交于，兩點，的周長為8．(1)求橢圓的方程；(2)若過點的直線與橢圓交于，兩點且滿足，求四邊形面積的最小值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由橢圓的性質直接求即可；（2）分斜率不存在，等于零，不等于零三種情況討論，由弦長公式得出面積的表達式再用二次函數(shù)的單調性求得結果.【詳解】（1）設因為過點的直線與橢圓交于，兩點，的周長為8所以則有所以所以所以的方程為（2）斜率不存在時.方程為，方程為

則有所以斜率為時.方程為，此時無法構成，不符合題意；斜率存在且不為時.設方程為則方程為所以由得所以所以同理，設代入并化簡可得.所以即...令則即所以此時當時，面積最小，【點睛】本題計算量較大，屬于弦長問題；第一問直接由橢圓的定義可得；第二問需要分類討論斜率不存在，等于零，不等于零三種情況，再由弦長公式得到面積的表達式，最后得出結果.1．設橢圓的左右頂點分別為，左右焦點．已知，．(1)求橢圓方程．(2)若斜率為1的直線交橢圓于A，B兩點，與以為直徑的圓交于C，D兩點．若，求直線的方程．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質列式計算得，，，得解；（2）設直線為，由圓心到直線的距離小于半徑得出的范圍，由圓的性質求出弦的長，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立得出韋達定理，求出弦的長，由條件得出方程，可得答案.【詳解】（1）由題意，，，解得，，，所以橢圓方程為．（2）設直線為，，，由題意，以為直徑的圓的方程為，則圓心到直線的距離，即，所以，由，消去，整理得，，解得，又，所以，，，，因為，所以，解得，又，所以，所以直線的方程為：或．2．已知圓O：，點M是圓O上任意一點，M在x軸上的射影為N，點P滿足，記點P的軌跡為E.(1)求曲線E的方程；(2)已知，過F的直線m與曲線E交于A，B兩點，過F且與m垂直的直線n與圓O交于C，D兩點，求的取值范圍.【答案】(1)；(2)【分析】（1）設點，，則，根據(jù)已知可推得，即可得出坐標，代入圓的方程，即可得出答案；（2）先求出直線的斜率為0以及不存在的情況.然后設，則，根據(jù)點到直線的距離公式結合垂徑定理得出.聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)韋達定理得出弦長，即可得出.根據(jù)不等式的性質求出，換元令，則，.構造函數(shù)，.求出導函數(shù)得出函數(shù)的單調性，即可得出答案.【詳解】（1）設點，，則，所以，，.由，可得，所以，.由點M在圓上，所以，整理得，所以曲線E的方程是.（2）當直線m的斜率為0時，直線m的方程為，代入橢圓方程可得，.直線的方程，代入圓的方程可得，,所以，，；當直線m的斜率不存在時，直線m的方程為，代入橢圓方程可得，.直線的方程，代入圓的方程可得，,所以，，；當直線m的斜率存在且不為0時，設，則，點O到直線n的距離，圓的半徑，根據(jù)垂徑定理可得，所以.將代入曲線E的方程，整理得，恒成立.設，，由韋達定理可得，，，則.所以.因為，所以，所以.令，則，.令，，則在上恒成立，所以在上單調遞減.又，，所以，即.綜上所述，的取值范圍是.【點睛】方法點睛：設出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達定理結合弦長公式得出弦長.3．已知橢圓的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點，且橢圓過，斜率為的直線與橢圓交于、.(1)求橢圓的標準方程；(2)若線段的垂直平分線交軸于點，記的中點為坐標為且，求直線的方程，并寫出的坐標.【答案】(1)(2)直線方程為，此時，或直線方程為，此時.【分析】（1）根據(jù)題意得到和，結合求出，得到橢圓方程；（2）設直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，表達出，根據(jù)得到方程，求出直線的方程，并寫出的坐標.【詳解】（1）由題意得中，，且，故，又橢圓過，所以，解得，故橢圓方程為；（2）設直線的方程為，聯(lián)立與得，，則，解得，設，則，則，則，，故，故，因為線段的垂直平分線交軸于點，故，解得，且，因為，所以，平方后，將代入，化簡得，即，解得，當?shù)?，此時滿足，直線方程為，，當?shù)茫藭r滿足，直線方程為，，【點睛】直線與圓錐曲線相交，通常要求解弦長或面積，其中弦長公式為：或.4．已知橢圓的左?右焦點分別為，離心率為，點在橢圓上.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點的直線與橢圓相交于，兩點，記的面積為，求的最大值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)題意，列出關于，，的方程即可求解；（2）設直線方程（有兩種方法，一種設；另一種設），與橢圓方程聯(lián)立，結合韋達定理及基本不等式即可求出面積的最大值.【詳解】（1）因為，所以，則，所以的標準方程為，因為點在上，所以，解得，從而，.所以的標準方程為.（2）易知點在的外部，則直線的斜率存在且不為0，設，，，聯(lián)立方程組消去得，由得，由根與系數(shù)的關系知所以，化簡得.設點到直線的距離為，則，所以的面積令，得，所以，因為，所以，當且僅當，即時，等號成立.因為滿足，所以的最大值為.評分細則：第二問另解：（2）設，，，聯(lián)立方程組，消去得.由得，由根與系數(shù)的關系知.所以，化簡得.設點到直線的距離為，則，所以的面積.令，得，所以，因為，所以，當且僅當，即時，等號成立.因為滿足，所以的最大值為.5．已知橢圓C：的離心率為，橢圓上一動點P與左、右焦點構成的三角形面積的最大值為．(1)求橢圓C的方程；(2)設橢圓C的左、右頂點分別為A，B，直線PQ交橢圓C于P，Q兩點，記直線AP的斜率為，直線BQ的斜率為，已知，設和的面積分別為，，求的最大值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）依題意列式即可求解；（2）先討論直線PQ的斜率為0的情況，斜率不為0時，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，用韋達定理結合已知條件證明直線PQ恒過x軸上一定點，再表示出即可求解.【詳解】（1）由題意知解得所以橢圓C的方程為．（2）依題意，，，設，．若直線PQ的斜率為0，則點P，Q關于y軸對稱，必有，即，不合題意．所以直線PQ的斜率必不為0，設其方程為，與橢圓C的方程聯(lián)立得，所以，且因為是橢圓上一點，滿足，所以，則，即．因為，所以，此時，故直線PQ恒過x軸上一定點．因此，，所以，則，當即時，取得最大值．6．已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為，直線與橢圓交于兩點，且的周長最大值為8．(1)求橢圓的標準方程；(2)已知點是橢圓上一動點（不與端點重合），分別為橢圓的左右頂點，直線交軸于點，若與的面積相等，求直線的方程．【答案】(1)(2)或.【分析】（1）確定當過右焦點時，的周長取最大值，由此求得a的值，再根據(jù)離心率求得c，繼而求出b，即可求得答案.（2）分類討論，考慮點Q的位置，即點在橢圓外和橢圓內，根據(jù)與的面積相等，推出相關線段的比例關系，從而求出點P的坐標，即可求得答案.【詳解】（1）設與軸的交點為，由題意可知，則，當重合時取等號，故當過右焦點時，的周長取最大值，所以因為橢圓的離心率為，所以，所以橢圓的標準方程為（2）由題意得：①當點在橢圓外，由于與的面積相等，，故,則，故，設，則，又P點在上，則，即，故，又，所以直線的方程為，即；②當點在橢圓內，此時，同理可得，又P點在上，則，即，故，又，所以直線的方程為，即綜上：直線的方程為：或.【點睛】難點點睛：解答本題關于直線和橢圓的位置關系類問題，難點就在于計算復雜，計算量較大，解答時要注意分類討論，即考慮Q點位置，結合與的面積相等，推出線段間的比例關系，由此求出P點坐標，即可求解直線的方程.7．在平面直角坐標系中，、為圓：與軸的交點，點為該平面內異于、兩點的動點，且______，從下列條件中任選一個補充在上面問題中作答.條件①：直線與直線的斜率之積為；條件②：設為圓上的動點，為點在軸上的射影，且為的中點；注：如果選擇多個條件作答，按第一個計分.(1)求動點的軌跡方程；(2)若直線與（1）問中軌跡方程交于、兩點，與圓相交于、兩點，且，求面積最大值.【答案】(1)①：；②：；(2)【分析】（1）選①：表示出兩條直線的斜率，整理方程，可得答案；選②：表示出點的坐標，利用中點坐標公式，建立等量關系，結合圓的方程，可得答案.（2）根據(jù)圓心角求得弦心距，利用直線與橢圓的弦長公式，結合分類討論以及函數(shù)思想，可得答案.【詳解】（1）選①：設，由圓，則，，所以直線的斜率分為為，，其中，由題意可得，整理可得.選②：設，，則，，由為的中點，則，解得，可得，整理可得.（2）在圓中，由，，則，在中，，則，當直線的斜率不存在時，可得，代入方程，可得：，解得，可得；當直線的斜率存在時，可設，聯(lián)立可得，消去整理可得：，，根據(jù)韋達定理可得：，，整理可得，則，解得，，令，則，令，解得或，可得下表：所以，則的最大值為，綜上所述，的最大值為.8．設橢圓的左、右焦點分別為，，上、下頂點分別為，，短軸長為，過且垂直于長軸的直線與橢圓相交所得的弦長為3．(1)求橢圓的標準方程；(2)過點的直線與橢圓交于不同的兩點，，若，試求內切圓的面積．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)短軸長以及通經的計算公式，建立方程組，可得答案；（2）根據(jù)垂直直線，寫出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，寫出韋達定理，根據(jù)內切圓與三角形的關系，結合圓的面積公式，可得答案.【詳解】（1）依題意得．解得．所以．（2）

由（1）得，，，由于，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，由．消去并化簡得，，設，，則，，所以，到直線即的距離，所以三角形的面積為，設三角形的內切圓半徑為，則，，所以內切圓的面積為．9．已知直線與橢圓有且只有一個公共點.(1)求橢圓的方程；(2)是否存在實數(shù)，使橢圓上存在不同兩點、關于直線對稱？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由；(3)橢圓的內接四邊形的對角線與垂直相交于橢圓的左焦點，是四邊形的面積，求的最小值.【答案】(1)；(2)存在，；(3)【分析】（1）將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，利用求解即可；（2）假設存在實數(shù)，設，通過求出的范圍，然后與橢圓聯(lián)立，求出線段的中點，代入直線，求出與的關系，進而可得大范圍；（3）先求出對角線與中有一個斜率不存在，另一個斜率為零時的，再求對角線與的斜率即存在，又不為零時的，對于這種情況，設，與橢圓聯(lián)立，然后利用弦長公式求出，同理求出，通過計算求其范圍，然后綜合可得的最小值.【詳解】（1）聯(lián)立，消去得直線與橢圓有且只有一個公共點，，解得即橢圓的方程為；（2）假設存在實數(shù)，使橢圓上存在不同兩點、關于直線對稱，設，聯(lián)立，消去得，則，解得，由韋達定理得，，，，存在實數(shù)，使橢圓上存在不同兩點、關于直線對稱，且的取值范圍是.（3）橢圓的左焦點為，當對角線與中有一個斜率不存在，另一個斜率為零時，，當對角線與的斜率即存在，又不為零時，設，則，聯(lián)立，消去得，則，，同理：，令，則，因為，，綜合得，當且僅當時，等號成立.即的最小值為.10．已知點與定點的距離和它到定直線的距離的比是．(1)求點的軌跡的標準方程；(2)設點，若點是曲線上兩點，且在軸上方，滿足，求四邊形面積的最大值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)題意設，然后根據(jù)題中的幾何條件得出方程，從而求解出軌跡方程；（2）根據(jù)題意設出直線，求出直線與橢圓相交弦長，并結合點到直線距離知識從而求解.【詳解】（1）依題意，得，整理化簡得，，所以：點的軌跡的方