高中數(shù)學(xué)北師大版選修1-1第二章2.2拋物線的簡單性質(zhì)（二）作業(yè)1

[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1.過點(diǎn)(－1，0)且與拋物線y2＝x有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有()A．1條 B．2條C．3條 D．4條解析：選C.點(diǎn)(－1，0)在拋物線y2＝x的外部，過此點(diǎn)與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有三條．其中兩條切線，一條相交直線(平行x軸)．2.過拋物線y＝x2上的點(diǎn)M(eq\f(1,2)，eq\f(1,4))的切線的傾斜角是()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：選B.由題意可設(shè)切線方程為y－eq\f(1,4)＝k(x－eq\f(1,2))，代入y＝x2，化簡得4x2－4kx＋2k－1＝0，由Δ＝16k2－16(2k－1)＝0，得k＝1，∴切線的傾斜角為45°.3.拋物線y＝ax2＋1與直線y＝x相切，則a等于()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,2) D．1解析：選B.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝ax2＋1,y＝x))消去y整理得ax2－x＋1＝0，由題意a≠0，Δ＝(－1)2－4a＝0.∴a＝eq\f(1,4).4.拋物線y＝x2上一點(diǎn)到直線2x－y－4＝0的距離最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A．(eq\f(1,2)，eq\f(1,4)) B．(1，1)C．(eq\f(3,2)，eq\f(9,4)) D．(2，4)解析：選B.令y＝x2的切線方程為2x－y＋c＝0，代入y＝x2整理得x2－2x－c＝0.由Δ＝(－2)2＋4c＝0，∴c＝－1，∴x＝1，y＝1.切點(diǎn)(1，1)到直線2x－y－4＝0的距離最?。?.已知直線y＝k(x＋2)(k>0)與拋物線C：y2＝8x相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)．若|FA|＝2|FB|，則k＝()A.eq\f(1,3) B．eq\f(\r(2),3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(2\r(2),3)解析：選D.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x＋2），,y2＝8x，))得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，∴x1x2＝4，①∵|FA|＝x1＋eq\f(p,2)＝x1＋2，|FB|＝x2＋eq\f(p,2)＝x2＋2，且|FA|＝2|FB|，∴x1＝2x2＋2.②由①②得x2＝1，∴B(1，2eq\r(2))，代入y＝k(x＋2)，得k＝eq\f(2\r(2),3).故選D.6.拋物線y＝－x2上的點(diǎn)到直線4x＋3y－8＝0距離的最小值是________．解析：設(shè)切線為4x＋3y＋C＝0，代入y＝－x2整理得3x2－4x－C＝0，由Δ＝(－4)2＋12C＝0得，C＝－eq\f(4,3)，故最小距離為eq\f(8＋\f(4,3),\r(42＋32))＝eq\f(28,15).答案：eq\f(28,15)7.設(shè)已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(1，0)，直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)為(2，2)，則直線l的方程為________．解析：由題意知C的方程為y2＝4x，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則yeq\o\al(2,1)＝4x1，yeq\o\al(2,2)＝4x2，兩式作差，(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，kAB＝eq\f(4,y1＋y2)＝eq\f(4,4)＝1，又直線l過(2，2)，故l的方程為y＝x.答案：y＝x8.將兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y2＝2px(p>0)上，另一個(gè)頂點(diǎn)是此拋物線焦點(diǎn)的正三角形的個(gè)數(shù)記為n，則n＝________．解析：根據(jù)拋物線對稱性知正三角形的一邊平行于y軸，又過焦點(diǎn)與x軸的夾角為30°的直線有兩條，故符合題意的正三角形有兩個(gè)．答案：29.已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸的拋物線截直線y＝x＋eq\f(3,2)所得的弦長|P1P2|＝4eq\r(2)，求此拋物線的方程．解：設(shè)拋物線方程為y2＝－2px(p>0)，把直線方程與拋物線方程聯(lián)立得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋\f(3,2)，,y2＝－2px，))消元得x2＋(3＋2p)x＋eq\f(9,4)＝0①，判別式Δ＝(3＋2p)2－9＝4p2＋12p>0，解得p>0或p<－3(舍)，設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則①中由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝－(3＋2p)，x1·x2＝eq\f(9,4)，代入弦長公式得eq\r(1＋1)·eq\r(（3＋2p）2－9)＝4eq\r(2)，解得p＝1或p＝－4(舍)，把p＝1代入拋物線方程y2＝－2px(p>0)中，得y2＝－2x.綜上，所求拋物線方程為y2＝－2x.10.A、B為拋物線y2＝2px(p>0)上兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，若OA⊥OB，求證：直線AB過定點(diǎn)．證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵OA⊥OB?x1x2＋y1y2＝0，A，B在拋物線上?yeq\o\al(2,1)yeq\o\al(2,2)＝4p2x1x2，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1·y2＝－4p2,x1·x2＝4p2))，lAB：y－y1＝eq\f(2p,y1＋y2)(x－x1)，∴y－y1＝eq\f(2p,y1＋y2)(x－eq\f(yeq\o\al(2,1),2p))，∴y＝eq\f(2p,y1＋y2)·x－eq\f(yeq\o\al(2,1),y1＋y2)＋y1＝eq\f(2p,y1＋y2)·x－eq\f(4p2,y1＋y2)＝eq\f(2p,y1＋y2)(x－2p)，∴直線AB過定點(diǎn)(2p，0)．[能力提升]1.已知拋物線y2＝2px(p>0)與圓(x－a)2＋y2＝r2(a>0)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則()A．r＝a＝p B．r＝a≤pC．r<a≤p D．r<a＝p解析：選B.當(dāng)r<a時(shí)，根據(jù)圓與拋物線的對稱性可知，圓(x－a)2＋y2＝r2(a>0)與拋物線y2＝2px(p>0)要么沒有交點(diǎn)，要么交于兩點(diǎn)或四點(diǎn)，與題意不符；當(dāng)r>a時(shí)，易知圓與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，與題意不符；當(dāng)r＝a時(shí)，圓與拋物線交于原點(diǎn)，要使圓與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，必須使方程(x－a)2＋2px＝r2(x≥0)有且僅有一個(gè)解x＝0，可得a≤p.故選B.2.已知直線y＝a交拋物線y＝x2于A，B兩點(diǎn)，若該拋物線上存在點(diǎn)C，使得∠ACB為直角，則a的取值范圍為________．解析：設(shè)C(x，x2)，由題意可取A(－eq\r(a)，a)，B(eq\r(a)，a)，則eq\o(CA,\s\up6(→))＝(－eq\r(a)－x，a－x2)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(eq\r(a)－x，a－x2)，由于∠ACB＝eq\f(π,2)，所以eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝(－eq\r(a)－x)(eq\r(a)－x)＋(a－x2)2＝0，整理得x4＋(1－2a)x2＋a2－a＝0，即y2＋(1－2a)y＋a2－a＝0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－（1－2a）≥0，,a2－a≥0，,（1－2a）2－4（a2－a）>0，))解得a≥1.答案：[1，＋∞)3.已知過點(diǎn)A(－4，0)的動(dòng)直線l與拋物線G：x2＝2py(p>0)相交于B，C兩點(diǎn)，當(dāng)直線l的斜率是eq\f(1,2)時(shí)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝4eq\o(AB,\s\up6(→)).(1)求拋物線G的方程；(2)設(shè)線段BC的中垂線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍．解：(1)設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，當(dāng)直線l的斜率是eq\f(1,2)時(shí)，l的方程為y＝eq\f(1,2)(x＋4)，即x＝2y－4，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝2py，,x＝2y－4，))得2y2－(8＋p)y＋8＝0，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1y2＝4，,y1＋y2＝\f(8＋p,2)，))又∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝4eq\o(AB,\s\up6(→))，∴y2＝4y1，由這三個(gè)表達(dá)式及p>0得y1＝1，y2＝4，p＝2，則拋物線的方程為x2＝4y.(2)由題意可設(shè)l：y＝k(x＋4)，BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝4y，,y＝k（x＋4），))得x2－4kx－16k＝0，∴x0＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k，∴線段BC的中垂線方程為y－2k2－4k＝－eq\f(1,k)(x－2k)，∴線段BC的中垂線在y軸上的截距為：b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，由Δ＝16k2＋64k>0得k>0或k<－4.∴b∈(2，＋∞)．4．已知拋物線C的頂點(diǎn)為O(0，0)，焦點(diǎn)為F(0，1)．(1)求拋物線C的方程；(2)過點(diǎn)F作直線交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，若直線AO，BO分別交直線l：y＝x－2于M，N兩點(diǎn)，求|MN|的最小值.解：(1)由題意可設(shè)拋物線C的方程為x2＝2py(p>0)，則eq\f(p,2)＝1，所以拋物線C的方程為x2＝4y.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y＝kx＋1.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＝4y，))消去y，整理得x2－4kx－4＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.從而|x1－x2|＝4eq\r(k2＋1).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(y1,x1)x，,y＝x－2，))解得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM＝eq\f(2x1,x1－y1)＝eq\f(2x1,x1－\f(xeq\o\al(2,1),4))＝eq\f(8,4－x1).同理，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)xN＝eq\f(8,4－x2).所以|MN|＝eq\r(2)|xM－xN|＝eq\r(2)|eq\f(8,4－x1)－eq\f(8,4－x2)|＝8eq\r(2)|eq\f(x1－x2,x1x2－4（x1＋x2）＋16)|＝eq\f(8\r(2)\r(k2＋1),|4k－3|).令