1第六章平面向量及其應用（知識歸納題型突破）

第六章平面向量及其應用（知識歸納+題型突破）1．了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系．2．理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義．3．掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算．4．能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系．5．靈活應用正余弦定理解三角形,會運用正（余）弦定理，解決三角形中的邊，角問題．6．能靈活運用正余弦定理解決生活中的三角形問題．知識點01：向量的加法（1）向量加法的定義求兩個向量和的運算,叫做向量的加法.兩個向量的和仍然是一個向量.對于零向量與任意向量，我們規(guī)定.（2）向量加法的三角形法則(首尾相接，首尾連）已知非零向量,,在平面內(nèi)任取一點,作,,則向量叫做與的和,記作,即.這種求向量和的方法,稱為向量加法的三角形法則.（3）向量加法的平行四邊形法則（作平移,共起點,四邊形,對角線）已知兩個不共線向量,,作,,以,為鄰邊作,則以為起點的向量(是的對角線)就是向量與的和.這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.知識點02：向量的減法（1）相反向量與向量長度相等,方向相反的向量,叫做的相反向量，記作.①零向量的相反向量仍是零向量②任意向量與其相反向量的和是零向量，即:③若,互為相反向量,則，，.（2）向量減法定義向量加上的相反向量，叫做與的差，即.求兩個向量差的運算叫做向量的減法.向量減法的實質(zhì)是向量加法的逆運算.利用相反向量的定義,可以把向量的減法轉(zhuǎn)化為向量的加法進行運算.（3）向量減法的幾何意義已知向量,,在平面內(nèi)任取一點,作,,則向量.如圖所示如果把兩個向量,的起點放在一起,則可以表示為從向量的終點指向向量的終點的向量.知識點03：向量三角不等式①已知非零向量，，則（當與反向共線時左邊等號成立；當與同向共線時右邊等號成立）；②已知非零向量，，則（當與同向共線時左邊等號成立；當與反向共線時右邊等號成立）；記憶方式：（“符異”反向共線等號成立；“符同”同向共線等號成立）如中，中間連接號一負一正“符異”，故反向共線時等號成立；右如：中中間鏈接號都是正號“符同”，故同向共線時等號成立；知識點04：向量的數(shù)乘（1）向量數(shù)乘的定義一般地,我們規(guī)定實數(shù)與向量的積是一個向量,這種運算叫做向量的數(shù)乘,記作.它的長度與方向規(guī)定如下：①②當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；當時，.知識點05：向量共線定理內(nèi)容：向量與非零向量共線，則存在唯一一個實數(shù)，.知識點06：平面向量數(shù)量積的概念（1）平面向量數(shù)量積的定義已知兩個非零向量與,它們的夾角為,我們把數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積(或內(nèi)積).記作：，即.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0（2）投影如圖,設,是兩個非零向量,,,作如下變換:過的起點和終點,分別作所在直線的垂線,垂足分別為,,得到,我們稱上述變換為向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量.知識點07：平面向量基本定理（1）平面向量基本定理如果,是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對實數(shù),,使.若,不共線,我們把,叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.知識點08：平面向量的坐標表示（1）兩個向量和（差）的坐標表示兩個向量和（差）的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和（差）.坐標表示：，則：；（2）向量數(shù)乘的坐標表示實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標.坐標表示:,則.知識點09：平面向量共線的坐標表示設,,其中,則當且僅當存在唯一實數(shù),使得；用坐標表示,可寫為,即：消去得到：.這就是說,向量()共線的充要條件是.知識點10：兩個向量平行、垂直的坐標表示已知非零向量，（1）．（2）知識點11：向量模的坐標表示向量模的坐標表示若向量，由于，所以．其含義是：向量的模等于向量坐標平方和的算術(shù)平方根．知識點12：兩向量夾角余弦的坐標表示已知非零向量，是與的夾角，則．知識點13：平面幾何中的向量方法①平面兩個向量的數(shù)量積：；②向量平行的判定:；③向量平行與垂直的判定:；④平面內(nèi)兩點間的距離公式：（其中，）⑤求模：；；知識點141：余弦定理（1）余弦定理的描述①文字語言：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍.②符號語言：在中，內(nèi)角，所對的邊分別是,則：；（2）余弦定理的推論；；知識點15：正弦定理（1）正弦定理的描述①文字語言：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等.②符號語言：在中，若角、及所對邊的邊長分別為，及，則有（2）正弦定理的推廣及常用變形公式在中，若角、及所對邊的邊長分別為，及，其外接圓半徑為，則①②；；；③④⑤④，，（可實現(xiàn)邊到角的轉(zhuǎn)化）⑥⑤，，（可實現(xiàn)角到邊的轉(zhuǎn)化）知識點16：解決幾何問題的常見公式三角形面積的計算公式：①；②；③（其中，是三角形的各邊長，是三角形的內(nèi)切圓半徑）；④(其中，是三角形的各邊長，是三角形的外接圓半徑).題型一：平面向量基本概念【例1】（2023下·河南·高三校聯(lián)考階段練習）已知四邊形，下列說法正確的是（

）A．若，則四邊形為平行四邊形B．若，則四邊形為矩形C．若，且，則四邊形為矩形D．若，且，則四邊形為梯形【答案】A【詳解】A選項，若，則且，則四邊形為平行四邊形，正確；選項，如圖，但是四邊形不是矩形，錯誤；選項，若，且，則四邊形可以是等腰梯形,也可以是矩形，故錯誤．選項，若，且，則四邊形可以是平行四邊形，也可以是梯形，故錯誤.故選：A【例2】（2023下·北京·高一北京市第九中學校考期中）給出下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，，則C．若且，則 D．若，，則【答案】B【詳解】對于A，當與方向不同時，不成立，∴A錯誤，對于B，若，，則，∴B正確，對于C，當與方向相反時，不成立，∴C錯誤，對于D，當時，滿足，，但不一定成立．所以D錯誤.故選：B．【例3】（2019·浙江·高三專題練習）給出下列命題：①兩個具有共同終點的向量，一定是共線向量；②若是不共線的四點，則是四邊形為平行四邊形的充要條件；③若與同向，且，則>；④λ，μ為實數(shù)，若λ＝μ，則與共線．其中假命題的個數(shù)為（）A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【詳解】①不正確．當起點不在同一直線上時，雖然終點相同，但向量不共線；②正確．∵＝，∴||＝||且；又∵是不共線的四點，∴四邊形是平行四邊形．反之，若四邊形是平行四邊形，則且與方向相同，因此＝；③不正確．兩向量不能比較大小．④不正確．當時，與可以為任意向量，滿足λ＝μ，但與不一定共線．故選：.鞏固訓練1．（2023上·黑龍江·高三校聯(lián)考階段練習）設，都是非零向量，下列四個條件中，能使一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，故同向.對于A:，方向相反,A選項錯誤；對于B:，得出,不能得出方向，B選項錯誤；對于C:,方向向相同,則成立，C選項正確；對于D:,不能確定的方向，D選項錯誤.故選：C．2．（2022下·四川遂寧·高一遂寧中學?？茧A段練習）下列命題中，正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若兩個單位向量互相平行，則這兩個單位向量相等D．若，則與方向相同或相反【答案】B【詳解】對于A選項：平行于任何向量，若，滿足，，但不一定滿足，故A錯；對于B選項：根據(jù)向量傳遞性，正確；對于C選項：兩個單位向量互相平行，這兩個單位向量相等或相反（大小相等，方向完全相反），故C錯；對于D選項：零向量與任何非零向量都平行,且零向量的方向任意.如果中有一個是零向量,那么方向相同或相反,或者不同，故D錯.故選：B.3．（2020下·四川涼山·高一四川省越西中學?？茧A段練習）如圖所示，4×3的矩形(每個小方格都是單位正方形)，在起點和終點都在小方格的頂點處的向量中，試問：（1）與相等的向量共有幾個；（2）與方向相同且模為的向量共有幾個；【答案】（1）5；（2）2.【詳解】解：由題可知，每個小方格都是單位正方形，每個小正方形的對角線的長度為且都與平行，則，（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的兩個向量，則與相等的向量共有5個，如圖1；（2）與方向相同且模為的向量共有2個，如圖2.題型二：平面向量共線定理及推論【例1】（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）在中，點，分別是，邊上的中點，線段，交于點D，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】方法一：可由三角形重心的性質(zhì)知：方法二：設，則，由共線可知，，，故，故選：C．【例2】（2023下·四川成都·高一四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）已知點O是的內(nèi)心，，，則（

）A． B． C．2 D．【答案】D【詳解】連接并延長交于點，連接，因為O是的內(nèi)心，所以為的平分線，所以根據(jù)角平分線定理可得，所以,因為三點共線，所以設，則，因為，所以，故選：D【例3】（2023下·貴州·高二校聯(lián)考階段練習）在中，E為AC上一點，，P為線段BE上任一點，若，則的最小值是（

）A． B． C．6 D．8【答案】B【詳解】由題可得B，P，E三點共線，則.又，，則，則.當且僅當，即時取等號.故選：B鞏固訓練1．（2024上·陜西安康·高三校聯(lián)考階段練習）已知是所在平面內(nèi)一點，若均為正數(shù)，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【詳解】因為，所以點是的重心，所以.因為，所以，綜上，.因為，所以三點共線，則，即.因為均為正數(shù)，所以，則，所以（當且僅當，即時取等號），所以的最小值為.故選：B2．（2023下·廣東深圳·高一翠園中學校考期中）如圖，在△ABC中，點P在邊BC上，且，過點P的直線l與射線AB，AC分別交于不同的兩點M，N，若，，則實數(shù)的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意知：，又，，即，由三點共線，可得，即.故選：B.3．（2022下·湖南長沙·高一長沙市明德中學階段練習）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，，，．(1)試用向量來表示;(2)AM交DN于O點，求的值．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）因為，所以，所以，因為，所以，所以；（2）設，則，因為三點共線，所以存在實數(shù)使，由于向量不共線，則，，解得，所以.題型三：平面向量基本定理【例1】（2022·高一課時練習）已知分別為的邊上的中線，設，,則＝（

）A．＋ B．＋C． D．＋【答案】B【詳解】分別為的邊上的中線,則,,由于，，所以,故解得故選：B【例2】（2023下·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）如圖，在中，點，分別在邊和邊上，，分別為和的三等分點，點靠近點，點靠近點，交于點，設，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】設，，所以，又，所以，因為，所以，所以，解得，所以，故選：B.【例3】（2023下·江西·高一校聯(lián)考期中）如圖，在中，為重心，，延長交于點，設，.(1)若，求的值；(2)若，求的值.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）在中，連接并延長交于，因為是重心，則是的中點，，由知，，即，因此，而不共線，且，于是，所以.（2）依題意，，，而，且，因此存在，使得，即，則，解得，所以的值是.鞏固訓練1．（2022上·海南·高三校聯(lián)考期末）已知長方形中，，是線段的中點，是線段上靠近的三等分點，線段，交于點，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題可知，設則,又，所以，解得，所以.故選：A.2．（多選）（2020上·江蘇南通·高一統(tǒng)考期末）在梯形中，，，，分別是，的中點，與交于，設，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【詳解】由題意可得，，故A正確；，故B正確；，故C錯誤；，故D正確．故選：ABD．3．（2023下·山東·高一濱州一中校聯(lián)考期中）如圖，在梯形ABCD中，，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，AC與DE相交于點O，設，．(1)用，表示；(2)用，表示．【答案】(1)(2)【詳解】（1）在中，因為E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，所以，且，故.（2）因為，所以，則，故.題型四：平面向量共線的坐標表示【例1】（2022下·廣東梅州·高一統(tǒng)考期末）已知，且三點共線，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，得,因為三點共線，所以，即，解得.所以.故選：A.【例2】（2023下·云南大理·高一大理白族自治州民族中學?？计谥校┮阎獌蓚€非零向量，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】由得：，即或，因為為非零向量，所以，即，故“”是“”的充要條件．故選：C【例3】（2023上·陜西寶雞·高三校聯(lián)考階段練習），且，則.【答案】【詳解】由，且，得，所以.故答案為:.鞏固訓練1．（2023上·湖南·高二邵陽市第二中學校聯(lián)考階段練習）已知向量，且，則.【答案】【詳解】，因為，所以，解得，所以.故答案為：.2．（2023上·北京朝陽·高三統(tǒng)考期中）已知向量，若，則；若，則.【答案】4【詳解】向量，若，則，得；若，則，得.故答案為：4；3．（2023下·安徽宿州·高一統(tǒng)考期中）平面內(nèi)給定三個向量，且.(1)求實數(shù)關(guān)于的表達式；【答案】(1)【詳解】（1）因為,所以，即.題型五：平面向量的數(shù)量積（含定值，最值，范圍）【例1】（2023上·廣東中山·高三中山一中?？茧A段練習）正三角形中，，為上的靠近的四等分點，為的中點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】

因為為上的靠近的四等分點，則，且為的中點，則，又為等邊三角形，且，則.故選：A【例2】（2023·山東·山東省五蓮縣第一中學校聯(lián)考模擬預測）已知是半徑為2的圓上的三個動點，弦所對的圓心角為，則的最大值為（

）A．6 B．3 C． D．【答案】A【詳解】因為弦所對的圓心角為，且圓的半徑為2，所以，取的中點，所以，，如圖所示：因為,因為是的中點，所以，，所以若最大，所以只需最大，所以，所以.故選：A【例3】（2023·全國·模擬預測）如圖，在四邊形中，已知，，，點在邊上，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解法一

由，，，得，，所以，，．設，則，所以，當且僅當時，取得最小值．解法二：由，，，得，，所以，，，，連接，交于點，則易知，建立如圖所示的平面直角坐標系，則，，，，所以．設，則，所以，，，則，當且僅當時，取得最小值．解法三

由，，，得，，所以，，，，如圖，分別以所在的直線為軸、軸建立平面直角坐標系，所以，．因為點在邊上，所以設，所以，，所以，當且僅當時，取得最小值．故選：A.鞏固訓練1．（2023上·浙江湖州·高二湖州中學?？茧A段練習）在邊長為的正方形中，是中點，則；若點在線段上運動，則的最小值是.【答案】【詳解】

根據(jù)題意，以為坐標原點，建立如圖所示平面直角坐標系，因為正方形的邊長為，且是中點，則，則，所以；設，其中，則，則，所以，，則，，其中，，當時，有最小值為.所以的最小值是.故答案為：30；2．（2023上·天津·高三天津市第七中學校考階段練習）如圖，在菱形中，，E、F分別為、上的點．，，點M在線段上，且滿足，；若點N為線段上一動點，則的取值范圍為．【答案】,．【詳解】由可得，所以,設，,，，所以，，所以，因為,，所以,，故答案為：；,．3．（2023上·天津薊州·高三天津市薊州區(qū)第一中學?？茧A段練習）如圖，已知直角三角形△中，，，，點在以為圓心且與邊相切的圓上，若與圓的切點為，則，則的取值范圍為.【答案】【詳解】以A為坐標原點建立平面直角坐標系，如圖，則，且，由，所以，解得，即圓的半徑為，則，所以；設BC的中點為，則，又，，所以，所以的取值范圍為.故答案為：；題型六：向量的模（含定值，最值，范圍）【例1】（2023上·湖北·高三校聯(lián)考階段練習）已知平面向量，的夾角為，則．【答案】【詳解】由得，由的夾角為，得，又，所以，所以．故答案為：【例2】（2023上·上?！じ叨虾Ｊ衅邔氈袑W校考階段練習）單位向量，，兩兩之間的夾角都是，求.【答案】【詳解】由題意得單位向量，，且兩兩之間夾角為，所以，，所以.故答案為：.【例3】（2016上·湖南·高三階段練習）已知為單位向量，且，向量滿足，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因為，所以，設，，由，得，即，即，又，所以，解得，所以的取值范圍為.故選：B.【例4】（2023·上海崇明·統(tǒng)考一模）已知不平行的兩個向量滿足，．若對任意的，都有成立，則的最小值等于．【答案】【詳解】依題意，設與的夾角為，，因為，，所以，即，則，所以，因為對任意的，都有成立，所以，即，即對于恒成立，故，又，解得，綜上，，則的最小值為.故答案為：.【例5】（2023下·山西朔州·高一校聯(lián)考階段練習）已知向量滿足，若對任意的實數(shù)，都有，則的最小值為.【答案】/【詳解】因為，所以對任意的實數(shù)恒成立，即，所以，所以.所以，當且僅當與反向時等號成立，即的最小值為.故答案為：.鞏固訓練1．（2023上·江西·高三校聯(lián)考階段練習）已知向量，滿足，，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．4【答案】D【詳解】因為，所以，即，整理得，又，所以，即，所以，即，又，所以當與反向時，取得最大值，且最大值為.故選：D.2．（2023上·吉林長春·高二長春外國語學校?？茧A段練習）已知向量，滿足，，則.【答案】【詳解】由題意，，所以.故答案為：.3．（2023上·上海黃浦·高二格致中學?？计谥校┤?，與、的夾角都是60°，且，，，則.【答案】【詳解】因為，所以，又與、的夾角都是60°，且，，，所以，，所以.故答案為：.4．（2023上·天津武清·高三天津市武清區(qū)楊村第一中學校考階段練習）在中，為中點，為線段上一點，且滿足，若，則的最大值為．【答案】【詳解】由題可得，，則，因D,P,C三點共線，則.又注意到，結(jié)合，余弦定理可得：.則.又由基本不等式，.當且僅當，即時取等號.則.故答案為：.5．（2023下·浙江紹興·高二紹興一中?？紝W業(yè)考試）已知向量，為單位向量，且夾角為，若向量滿足，則的取值范圍是.【答案】【詳解】由得，即，又，則，設向量與向量的夾角為，則，因為，由已知等式可知，所以，所以，因為，所以，解得.故答案為：題型七：向量的夾角（含定理，最值，范圍）【例1】（2023上·北京順義·高一牛欄山一中校考期中）如圖，在中，，，，，邊上的兩條中線，相交于點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，，，由余弦定理得，，得到，又，所以為直角三角形，建立如圖所示的平面直角坐標系，則有，又分別為中點，所以，故，所以，故選：D.【例2】（2021下·福建三明·高一統(tǒng)考期末）中，若，，點滿足，直線與直線相交于點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖所示，以點為原點，為軸構(gòu)建直角坐標系，因為，，所以，，，設，因為、、三點共線，所以，，，因為，、、三點共線，所以，聯(lián)立，解得，，，因為，，所以，，因為，所以，故選：A.【例3】（2022上·上海寶山·高二上海交大附中?？茧A段練習）若平面向量，，滿足，，，，則，夾角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設，，，以O為原點，方向為x軸正方向建立平面直角坐標系，，，，，，三者直接各自的夾角都為銳角，，，，，，即在上的投影為1，在上的投影為3，，，如圖，即，且則，由基本不等式得，，與的夾角為銳角，，由余弦函數(shù)可得：與夾角的取值范圍是，故選：C.【例4】（2022·上?！ば？既＃┰谥?，，點滿足,則的最大值是【答案】【詳解】解：以，為，軸建立坐標系，設，，，，，，，，最小值為，，，的最大值是為．故答案為：1．（2019上·廣東深圳·高三深圳市南頭中學校考期末）在中，、分別是邊、的中點，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】依題意，如圖，設、，因為為中點，為的中點，，，，，，則，當且僅當時，等號成立，因此，的最小值為.故選：A.2．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預測）已知向量，，，則向量與的夾角為．【答案】【詳解】，則，則，又，則故答案為：.3．（2019上·浙江杭州·高三杭州四中?？计谥校┮阎?，向量滿足，設與的夾角為θ，則的最小值為．【答案】【詳解】解：，∴設，∴，由得，，則，∴，∴，∴，∴當即時取最小值；故答案為：．4．（2023下·新疆伊犁·高一校聯(lián)考期末）設，向量，，，且∥，．(1)求；(2)求向量與夾角的大小.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為∥，，則，解得，即，，可知，即，可得，所以.（2）由（1）可知：，，可得，，則，，可得，且，則，所以向量與夾角為.鞏固訓練1．（2019上·廣東深圳·高三深圳市南頭中學?？计谀┰谥?，、分別是邊、的中點，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】依題意，如圖，設、，因為為中點，為的中點，，，，，，則，當且僅當時，等號成立，因此，的最小值為.故選：A.2．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預測）已知向量，，，則向量與的夾角為．【答案】【詳解】，則，則，又，則故答案為：.3．（2019上·浙江杭州·高三杭州四中?？计谥校┮阎?，向量滿足，設與的夾角為θ，則的最小值為．【答案】【詳解】解：，∴設，∴，由得，，則，∴，∴，∴，∴當即時取最小值；故答案為：．4．（2023下·新疆伊犁·高一校聯(lián)考期末）設，向量，，，且∥，．(1)求；(2)求向量與夾角的大小.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為∥，，則，解得，即，，可知，即，可得，所以.（2）由（1）可知：，，可得，，則，，可得，且，則，所以向量與夾角為.題型八：向量的投影【例1】（2024·河南·方城第一高級中學校聯(lián)考模擬預測）已知向量，，則在上的投影向量的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意得，，則在上的投影向量是，即在上的投影向量的坐標為，故B項正確.故選:B.【例2】（多選）（2023·遼寧遼陽·統(tǒng)考二模）若過作的垂線，垂足為，則稱向量在上的投影向量為．如圖，已知四邊形均為正方形，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在上的投影向量為B．在上的投影向量為C．在上的投影向量為D．在上的投影向量為【答案】AC【詳解】過作于，連接，因為，，所以四邊形為平行四邊形，設，則，，由可得，所以，則，所以在上的投影向量為，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，得，所以在上的投影向量為．故選：AC.【例3】（2022上·天津北辰·高三天津市第四十七中學?？茧A段練習）在中，已知，，，若，且，則在上的投影向量為（為與同向的單位向量），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】在中，，，，所以，，如圖，以為原點，為軸建系，則，，，所以，又，所以，當時，；當時，；當時，；當時，；綜上所述，.故選：C.鞏固訓練1．（2022上·湖南懷化·高二統(tǒng)考期中）已知向量，向量，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】在上投影向量故選：A2．（2022·高一課時練習）已知的外接圓圓心為，且，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由得：為中點，的外接圓圓心為，則，又，所以，為正三角形，由投影向量的定義，得向量在向量上的投影向量為.故選：D3．（2022下·上海金山·高一上海市金山中學?？计谀┮阎庑蔚倪呴L為1，設，若恒成立，則向量在方向上數(shù)量投影的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：已知菱形的邊長為1，則向量在方向上數(shù)量投影為，若恒成立，則恒成立，，，令，則，即，要使恒成立，則，解得，即向量在方向上數(shù)量投影的取值范圍是，故選：C.4．（2022下·浙江紹興·高一統(tǒng)考期末）已知，，函數(shù)，當時，f（x）有最小值，則在上的投影向量為（

）A． B． C．－ D．－【答案】C【詳解】由題意得，,，當時，有最小值，即，則在上的投影向量為，故選：C題型九：向量平行垂直的坐標表示【例1】（2023下·廣東·高一校聯(lián)考階段練習）已知向量，．(1)若，求；(2)若，求實數(shù)的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）時，，，所以．（2），，因為，所以整理得，故．【例2】（2023下·河南焦作·高一統(tǒng)考期末）已知向量，．(1)若，求實數(shù)k的值；(2)若，求實數(shù)t的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，，所以，．因為，所以，解得．（2），因為，所以，解得．【例3】（2022下·山東臨沂·高一統(tǒng)考期末）已知向量，.(1)若，求實數(shù)m的值；(2)若非零向量滿足，求與的夾角.【答案】(1)(2)或【詳解】（1）解：∵，，∴，又，∴，即，∴；（2）解：，由，得，∵，∴，設向量與的夾角為，，則，當時，，，當時，，，∴與的夾角為或.鞏固訓練1．（2023上·河北秦皇島·高二校考開學考試）設向量，滿足，，．(1)求向量，的夾角及；(2)若，則實數(shù)k的值．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）由可得：，又，，則，又，所以，；（2）由，可得，即，由（1）可得：，解得．2．（2023下·寧夏銀川·高一賀蘭縣第一中學?？茧A段練習）已知兩個非零向量與不共線，(1)試確定實數(shù)k，使得與共線；(2)若，且，求實數(shù)的值．【答案】(1)1(2)【詳解】（1）若與共線，則，解得（2）得由，知，解得.3．（2023下·陜西西安·高一高新一中?？茧A段練習）已知向量，，，(1)若，求實數(shù)的值；(2)向量，互相垂直，試求的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1），，當時，，解得.（2）由題意得，則，即，解得.4．（2021下·天津西青·高一統(tǒng)考期末）已知向量，．(1)求；(2)若向量，且，求向量的坐標；(3)若向量與相互垂直，求實數(shù)的值．【答案】(1)(2)或(3)【詳解】（1），，.（2）設，由，且得，解得，或，故，或.（3）若向量與相互垂直，則，即，所以，即，故．題型十：兩個向量所成角為銳角或鈍角【例1】（2023上·山東·高二濟南市歷城第二中學校聯(lián)考開學考試）已知且與的夾角為銳角，則的取值范圍是.【答案】【詳解】因為，，所以，因為與的夾角為銳角，所以，且與不同向共線，所以且，解得且，所以的取值范圍為，故答案為：.【例2】（2023下·江西景德鎮(zhèn)·高一景德鎮(zhèn)一中?？计谥校┤粝蛄?，的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【詳解】依題意，向量與的夾角為鈍角，所以，解得且，所以的取值范圍是.故答案為：.【例3】（2023下·河北石家莊·高一石家莊市第十七中學?？计谥校┮阎蛄?，且與的夾角為.(1)求及；(2)若與所成的角是銳角，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)且【詳解】（1）由于與的夾角為，所以，解得，則，所以（2），由于與所成的角是銳角，所以，，解得且.鞏固訓練1．（2023上·安徽蕪湖·高二蕪湖市第二中學?？奸_學考試）已知，若與的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】因為與的夾角為鈍角，所以，解得且，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：2．（2023下·甘肅定西·高一甘肅省臨洮中學?？茧A段練習）設向量，，向量與的夾角為銳角，則x的范圍為.【答案】且【詳解】向量，，由得，，所以.由已知得，，所以，即，且不共線.則，所以.又不共線，則.所以x的取值范圍為且.故答案為：且.3．（2023上·黑龍江雞西·高三雞西市第一中學校?？茧A段練習）已知平面向量，，．(1)①若，求；②若，求；(2)若向量與的夾角為鈍角，求x的取值范圍．【答案】(1)①或；②或(2)【詳解】（1），，①若，則，即，解得或；②若，則，解得或.（2）由，解得或，又時，或，若向量與的夾角為鈍角，則或或，故的取值范圍為.題型十一：利用正（余）弦定理判定三角形解的個數(shù)【例1】（2023下·天津河西·高一統(tǒng)考期中）根據(jù)下列情況，判斷三角形解的情況，其中正確的是（

）A．，，，有兩解B．，，，有一解C．，，，有一解D．，，，無解【答案】C【詳解】A中，因為，所以，又，所以，即只有一解，故A錯誤；B中，因為，所以，且，所以，故有兩解，故B錯誤；C中，因，所以，又，所以角B只有一解，故C正確；D中，因為,,，所以，有解，故D正確.故選：C.【例2】（2023下·北京·高一北京市陳經(jīng)綸中學?？计谥校┮阎谥校?，若滿足條件的三角形有且只有一個，則a的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或【答案】D【詳解】由正弦定理可得，若滿足條件的三角形有且只有一個，則或，所以或，可得或.故選：D.【例3】（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并作答.問題：在中，角所對的邊分別為，且__________.(1)求角的大小；(2)已知，且角有兩解，求的范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】（1）若選①：整理得，因為，所以，因為，所以；若選②：因為，由正弦定理得，所以，所以，因為，所以；若選③：由正弦定理整理得，所以，即，因為，所以；（2）將代入正弦定理，得，所以，因為，角的解有兩個，所以角的解也有兩個，所以，即，又，所以，解得.【例4】（2022下·北京大興·高一統(tǒng)考期末）在中，.(1)若，求；(2)若存在且唯一確定，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)或【詳解】（1）因為，所以.因為，所以.由余弦定理知所以.得.所以，或.由正弦定理知.所以，當時，.當時，.（2）由（1）得，存在且唯一確定，則，或，綜上，當或時，存在且唯一確定.鞏固訓練1．（2023下·江蘇連云港·高一?？计谥校┯上铝袟l件解，其中有兩解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【詳解】對于A，,由正弦定理可得,由和可知和只有唯一解，所以只有唯一解；對于B，因為，由余弦定理可知只有唯一解，所以三角形的三個邊唯一確定，即只有唯一解；對于C，因為，由正弦定理得，即，所以，所以角有兩個解，即有兩個解；對于D，因為，，，由正弦定理得，所以，又c>a，所以，所以角只有一個解，即只有唯一解.故選：C2．（2022上·北京·高三北京四中?？奸_學考試）在下列關(guān)于的四個條件中選擇一個，能夠使角被唯一確定的是：（

）①②；③；④.A．①② B．②③ C．②④ D．②③④【答案】B【詳解】對于①，因為，所以或，故①錯誤；對于②，因為在上單調(diào)，所以角被唯一確定，故②正確；對于③，因為，，所以，所以，所以，又，由正弦定理有，所以，所以角被唯一確定，故③正確；對于④，因為，所以，所以如圖，不唯一，故④錯誤.故A，C，D錯誤.故選：B.3．（2023下·江西宜春·高二?？茧A段練習）在中，角所對的邊分別為，且.(1)求角的大??；(2)已知，且角有兩解，求的范圍.【答案】(1);(2).【詳解】（1）解：因為，由正弦定理得，所以，所以，因為，所以；（2）解：將代入正弦定理，得，所以，因為，角的解有兩個，所以角的解也有兩個，所以，即，又，所以，解得.所以的范圍為.4．（2023·高一課時練習）在中，，．分別根據(jù)下列條件，求邊長a的取值范圍．(1)有一解；(2)有兩解；(3)無解．【答案】(1)或；(2)；(3).【詳解】（1）由正弦定理可得，.（ⅰ）當，即時，.①若，即，則不存在，無解，此時；②若，即，，有一解，此時；③若，即，因為，此時可能是銳角或鈍角，即此時有兩解，此時，即.綜上所述，當時，有一解；（ⅱ）當，即時，，有一解；（ⅲ）當，即時，，此時只能是銳角，有一解.綜上所述，有一解時，邊長a的取值范圍是或.（2）由（1）知，有兩解，應滿足，由，即，解得.（3）由（1）知，無解，應滿足，即，解得.題型十二：利用正（余）弦定理判定三角形的形狀【例1】（2023上·全國·高三專題練習）在中，，，分別為角，，的對邊，已知．若，，成等比數(shù)列，則是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰三角形 D．不確定【答案】B【詳解】因為，由誘導公式得，由正弦定理得，又，所以，即，又，所以.又因為，，成等比數(shù)列，所以，由余弦定理得，解得，所以為等邊三角形.故選：B.【例2】（2023下·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期中）在中，三個內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【詳解】，由正弦定理化簡得，即，故，，則或，即或，則的形狀為等腰或直角三角形.故選：D.【例3】（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省丹陽高級中學?？茧A段練習）在中，角所對的邊分別為，且，則的形狀為.【答案】直角三角形或等腰三角形【點睛】根據(jù)，由正弦定理可得，，又為三角形內(nèi)角，即，于是，，上述等式變?yōu)椋?，等式左邊展開可得，于是，故當?shù)玫?，此時為直角三角形，或當?shù)玫剑藭r三角形為等腰三角形.故答案為：直角三角形或等腰三角形鞏固訓練1．（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）中，，，分別是角，，的對邊，且，則的形狀為（

）A．直角三角形 B．銳角三角形C．直角或鈍角三角形 D．鈍角三角形【答案】D【詳解】因為，，所以，即，所以，即，所以，所以，又因為，所以，所以為鈍角三角形.故選：D.2．（2023下·高一課時練習）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足，若，則的形狀為.【答案】等邊三角形【詳解】由，解得或（舍去），∵，∴，∵，∴，∴，整理，得，即，故，∴為等邊三角形.故答案為：等邊三角形.3．（2023下·上海松江·高一上海市松江一中?？茧A段練習）在中，角所對應的邊分別是，滿足，則該三角形的形狀是．【答案】等腰直角三角形【詳解】由正弦定理及，得

，，，，又，由余弦定理，得，即，，為等腰直角三角形．故答案為：等腰直角三角形題型十三：求三角形周長（邊長）（含定值，最值，范圍）【例1】（2023上·湖南長沙·高三統(tǒng)考階段練習）在銳角三角形中，角的對邊分別為，且，則：（1）．（2）若的中點為，則的取值范圍為．【答案】【詳解】因為三角形為銳角三角形，所以，又D是BC的中點，，由余弦定理，由正弦定理：，又，.故答案為：；【例2】（2023上·安徽淮南·高三?？茧A段練習）在中，角的對邊分別是,若是銳角三角形且角，則的取值范圍為.【答案】【詳解】解：由正弦定理可得，,因為是銳角三角形，所以即即即，所以，所以，所以的取值范圍為.故答案為：【例3】（2023下·遼寧錦州·高一渤海大學附屬高級中學?？茧A段練習）在銳角中，角所對的邊為，若，且，則的取值范圍是.【答案】【詳解】由得：，，又，，，又，，則由得：，，解得：；由正弦定理得：，；，，，，，即的取值范圍為.故答案為：.【例4】（2023上·江西吉安·高三吉安一中?？计谥校┰谥?，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且，若D為邊上一點，，．(1)求角；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1），由正弦定理可得，即，因為，，故，，又，故.（2）

因為，故，在中，，得，在中，，得，故，而，，所以，由題意知，，故，即的取值范圍為.【例5】（2023上·湖北·高三湖北省仙桃中學校聯(lián)考階段練習）在銳角中，為角所對的邊，.(1)求角；(2)若，求周長的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題得，即，由于，則有，即，即，由于，則有，即，又，故．（2）設外接圓半徑為，則的周長為，由于為銳角三角形，所以，所以，即周長的取值范圍是.鞏固訓練1．（2023下·江蘇連云港·高一校考階段練習）在中，，，則銳角周長的范圍是.【答案】【詳解】依題意，由正弦定理得，則，則，由于三角形是銳角三角形，所以，即，所以三角形的周長為，，，所以，所以.故答案為：2．（2023下·四川遂寧·高一四川省蓬溪中學校?？茧A段練習）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足，，則的取值范圍是.【答案】【詳解】由余弦定理得，又，所以，所以，．由正弦定理可知，（R為外接圓的半徑），所以．又，所以，由所以．故答案為：．3．（2023上·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學?？茧A段練習）已知函數(shù)的最小正周期為．(1)求的值；(2)已知分別為中角的對邊，且滿足，求的周長的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為最小正周期為，所以，解得，所以，所以．（2）由得，由余弦定理有，即（當且僅當時取“=”），故，即為等邊三角形時，周長有最大值4．（2023上·黑龍江牡丹江·高三校聯(lián)考階段練習）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.(1)求；(2)若為的內(nèi)心，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由及正弦定理，得：即：，所以：，又：，所以：，又：，所以：，所以：.（2）因為，所以，如圖，連接，因為為的內(nèi)心，所以：，所以：，設，則.在中，由正弦定理得:，所以：，所以：，其中：，因為，所以不妨取，又，所以，其中，當時，取得最大值.因為，所以，又，所以，綜上，的取值范圍是.5．（2023上·湖南長沙·高三長郡中學?？茧A段練習）在銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)求；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）根據(jù)題意，由正弦定理得，又在銳角中，有，所以，所以，所以；（2）結(jié)合（1）可得，由，則根據(jù)正弦定理有，得，根據(jù)余弦定理有，得，所以，又為銳角三角形，則有，得，所以，所以，故.題型十四：求三角形（四邊形）面積（含定值，最值，范圍）【例1】（2023下·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·高二校聯(lián)考期末）如圖為矩形與半圓的組合圖形，其中，為半圓弧上一點，，垂足為，點在線段上，且，設，則的面積的最大值為．【答案】【詳解】如圖，設與的交點為，則，所以，，所以，令，則，且，所以，顯然在上單調(diào)遞增，所以當，即時，取得最大值，其最大值為．故答案為：【例2】（2023下·河北保定·高一統(tǒng)考期中）如圖，某公園內(nèi)有一個邊長為的正方形區(qū)域，點處有一個路燈，，，現(xiàn)過點建一條直路分別交正方形區(qū)域兩邊，于點和點，若對五邊形區(qū)域進行綠化，則此綠化區(qū)域面積的最大值為．【答案】【詳解】設，，（，），∵，，∴，∴的面積為，的面積為，∵的面積，∴，即∵，，∴由基本不等式得，解得，即，當且僅當，即，時，等號成立，∴的面積的最小值為，∴五邊形面積的最大值．故答案為：.【例3】（2023上·河北秦皇島·高二?？奸_學考試）在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，．(1)求角B的大小和邊長b的值；(2)求面積的取值范圍．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）∵，∴，∴，∴，∵B為銳角，∴，∵，由正余弦定理可得：，整理可得，解得．（2）∵，∴，，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴【例4】（2023上·重慶九龍坡·高三重慶市楊家坪中學校考階段練習）彩云湖畔擬建造一個四邊形的露營基地，如圖所示.為考慮露營客人娛樂休閑的需求，在四邊形區(qū)域中，將三角形區(qū)域設立成花卉觀賞區(qū)，三角形區(qū)域設立成燒烤區(qū)，邊、、、修建觀賞步道，邊修建隔離防護欄，其中米，米，.(1)如果燒烤區(qū)是一個占地面積為9600平方米的鈍角三角形，那么需要修建多長的屬離防護欄（用根號表示）？(2)考慮到燒烤區(qū)的安全性，在規(guī)劃四邊形區(qū)域時，首先保證燒烤區(qū)的占地面積最大時，再使得花卉觀賞區(qū)的面積盡可能大，則應如何設計觀賞步道？【答案】(1)m(2)修建觀賞步道時應使得，【詳解】（1）因為，解得：，又因為C是鈍角，所以，由余弦定理得：，故需要修建m的隔離防護欄.（2）因為，當且僅當時取到等號，此時m，設，，在中，，解得：，故，因為，所以，故當，即時，取的最大值為1，可得，當且僅當時取到等號，此時m，所以修建觀賞步道時應使得，.鞏固訓練1．（2023下·遼寧錦州·高一統(tǒng)考期末）為滿足群眾就近健身和休閑的需求，很多城市開始規(guī)劃建設“口袋公園”.如圖，在扇形“口袋公園”O(jiān)PQ中，準備修一條三角形健身步道OAB，已知扇形的半徑，圓心角，A是扇形弧上的動點，B是半徑OQ上的動點，，則面積的最大值為.【答案】/【詳解】因為，，故，故，故，由基本不等式可得，故，當且僅當?shù)臅r等號成立，故，故面積的最大值為，故答案為：.2．（2022上·安徽·高三合肥一六八中學校聯(lián)考階段練習）在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足．若的外接圓的面積為，則三角形面積的取值范圍是．【答案】【詳解】由∴得，所以，因為所以，所以，而，所以．又由的外接圓的面積為，所以外接圓直徑，所以，因為為銳角三角形，所以，的面積取值范圍為．故答案為：.3．（2023上·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習）的內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，點O為的內(nèi)心，記，，的面積分別為，，，已知，.(1)在①；②；③中選一個作為條件，判斷是否存在，若存在，求出的周長，若不存在，說明理由.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.）(2)若為銳角三角形，求面積的取值范圍.【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）設的內(nèi)切圓半徑為r，因為，所以，化簡得：，所以，因為，所以，選擇①，因為，所以，因為，，所以，整理得，方程無實數(shù)解，所以不存在．選擇②，因為，所以，因為，所以，所以，因為，，所以，整理得，方程無實數(shù)解，所以不存在．選擇③，由得：，所以，即，所以，因為以，，所以，所以，解得，所以存在且唯一，的周長為．（2）由（1）知，，面積，因為，所以，因為為銳角三角形，所以，，解得：，所以，所以，，，所以的取值范圍為，而面積.4．（2023下·陜西咸陽·高一?？计谥校┤鐖D所示，某公路AB一側(cè)有一塊空地△OAB，其中OA=3km，OB=km，，∠AOB=，當?shù)卣當M在中間開挖一個人工湖△OMN，其中M，N都在邊AB上(M，N不與A，B重合，M在A，N之間)，且．(1)若M在距離A點2km處，求點M，N之間的距離；(2)為節(jié)省投入資金，人工湖△OMN的面積要盡可能小，設∠AOM=，，試確定，當θ為多大時△OMN的面積最小，并求出最小面積值．【答案】(1)km(2)時面積最小，最小值為【詳解】（1）依題意，，在中，由余弦定理得，，則,，在中，，所以在中，由正弦定理，，得，即點M，N之間的距離為km.（2），在中，由正弦定理得，，所以，在中，由正弦定理得，，所以，，因為，所以，所