山東省濰坊四中高三“十一”假期檢測數(shù)學試題

濰坊第四中學2018級高三“十一”假期檢測試題時間：120分鐘總分：150分2020年10月一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，，，則=（）A． B． C． D．2.命題“”的否定是（）A． B．C． D．3.下列函數(shù)中是偶函數(shù)，且在區(qū)間上是減函數(shù)的是（）A． B． C． D．4.中國古代十進制的算籌計數(shù)法，在數(shù)學史上是一個偉大的創(chuàng)造，算籌實際上是一根根同長短的小木棍．如圖，是利用算籌表示數(shù)1－9的一種方法．例如：3可表示為“≡”，26可表示為“=⊥”，現(xiàn)有6根算籌，據(jù)此表示方法，若算籌不能剩余，則可以用1－9這9個數(shù)字表示兩位數(shù)中，能被3整除的概率是（）A． B． C． D．5.已知，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6.復興號動車組列車，英文代號為CR，是中國標準動車組的中文命名，具有完全自主知識產(chǎn)權(quán)、達到世界先進水平的動車組列車，2019年12月30日，CR400BFC智能復興號動車組在京張高鐵實現(xiàn)時速350公里自動駕駛，高速列車運行時不僅速度比普通列車快而且噪聲更小．我們用聲強I（單位：W/m2）表示聲音在傳播途徑中每1平方米面積上聲能流密度，聲強級L（單位：dB）與聲強I的函數(shù)關系式為：，已知W/m2時，.若要將某列車的聲強級降低30級，則該列車的聲強應變?yōu)樵晱姷腁．倍 B．倍 C．倍 D．倍7.在正方形中，，是中點，將和分別沿若、翻折，使得、兩點重合，則所形成的立體圖形的外接球的表面積是（）A． B． C． D．8.已知函數(shù)，則方程實根的個數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分.9.已知某校高三年級有1000人參加一次數(shù)學模擬考試，現(xiàn)把這次考試的分數(shù)轉(zhuǎn)換為標準分，標準分的分數(shù)轉(zhuǎn)換區(qū)間為，若使標準分X服從正態(tài)分布N，則下列說法正確的有().參考數(shù)據(jù)：①；②；③A．這次考試標準分超過180分的約有450人B．這次考試標準分在內(nèi)的人數(shù)約為997C．甲、乙、丙三人恰有2人的標準分超過180分的概率為D．10.已知，且，則下列命題正確的是A. B.的最小值為16C.的最小值為9 D．的最小值為211若長方體的底面是邊長為2的正方形，高為4，是的中點，則（）A． B．平面平面C．三棱錐的體積為 D．三棱錐的外接球的表面積為12.德國著名數(shù)學家狄利克雷在數(shù)學領域成就顯著，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，以其名命名的函數(shù)成為狄利克雷函數(shù)，則關于，下列說法正確的是A． B．函數(shù)是偶函數(shù)C．任意一個非零有理數(shù)，對任意恒成立D．存在三個點，使得為等邊三角形三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.設函數(shù)．若為奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為.14.若，則函數(shù)的最小值為______.15.若展開式的二項式系數(shù)和為64，則___，展開式中的常數(shù)項是第___項.16.魏晉時期數(shù)學家劉徽在他的著作《九章算術(shù)注》中，稱一個正方體內(nèi)兩個互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”（如圖所示），劉徽通過計算得知正方體的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比應為．若“牟合方蓋”的體積為，則正方體的外接球的表面積為__________．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（本題滿分10分）設函數(shù).（Ⅰ）對于任意實數(shù)，恒成立，求的最大值；（Ⅱ）若方程有且僅有一個實根，求的取值范圍.18.（本題滿分12分）如圖1，已知等邊的邊長為3，點，分別是邊，上的點，且，.如圖2，將沿折起到的位置.（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）給出三個條件：①；②二面角大小為；③.在這三個條件中任選一個，補充在下面問題的條件中，并作答：在線段上是否存在一點，使直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.注：如果多個條件分別解答，按第一個解答給分是否達標性別不達標達標男生女生19.（本題滿分12分）為調(diào)查某校學生的課外閱讀情況，隨機抽取了該校名學生（男生人，女生人），統(tǒng)計了他們的課外閱讀達標情況（一個學期中課外閱讀是否達到規(guī)定時間），結(jié)果如下：（Ⅰ）是否有的把握認為課外閱讀達標與性別有關？附．（Ⅱ）如果用這名學生中男生和女生課外閱讀“達標”的頻率分別代替該校男生和女生課外閱讀“達標”的概率，且每位學生是否“達標”相互獨立．現(xiàn)從該校學生中隨機抽取人（男女），設隨機變量表示“人中課外閱讀達標的人數(shù)”，試求的分布列和數(shù)學期望．20.（本題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，，.（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）若，試判斷棱上是否存在與點不重合的點，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.21.（本題滿分12分）某化工廠從今年一月起若不改善生產(chǎn)環(huán)境，按生產(chǎn)現(xiàn)狀每月收入為75萬元，同時將受到環(huán)保部門的處罰，第一個月罰7萬元，以后每月增加2萬元，如果從今年一月起投資600萬元添加回收凈化設備(改設備時間不計)，一方面可以改善環(huán)境，另一方面可以大大降低原料成本，設添加回收凈化設并投產(chǎn)后n個月的累計收入為，據(jù)測算，當時，(是常數(shù))，且前4個月的累計收入為416萬元，從第6個月開始，每個月的收入都與第5個月相同，同時，該廠不但不受處罰，而且還將得到環(huán)保部門的一次性獎勵200萬元.（Ⅰ）求添加回收凈化設備后前7個月的累計收入；（Ⅱ）從第幾個月起投資開始見效，即投資改造后的純收入（累計收入連同獎勵減去改造設備費）多于不改造的純收入（累計收入減去罰款）？22.（本題滿分12分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）求函數(shù)的極值；（Ⅱ）若實數(shù)為整數(shù)，且對任意的時，都有恒成立，求實數(shù)的最小值.2018級高三“十一”假期檢測試題答案1.【答案】C【解析】,∵，∴∴2.【答案】D【解析】因為全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“，”的否定為“，”.3.【答案】D【解析】A選項，因為，所以是偶函數(shù)；又時，顯然單調(diào)遞增，不滿足題意，排除A；B選項，的定義域為，所以是非奇非偶函數(shù)，排除B；C選項，因為，所以是奇函數(shù)，排除C；D選項，因為，所以是偶函數(shù)；當又時，，單調(diào)遞減，滿足題意，D正確.4.【答案】D【解析】1根算籌只能表示1,2根根算籌可以表示2和6,3根算籌可以表示3和7,4根算籌可以表示4和8,5根算籌可以表示5和9，因此6根算籌表示的兩位數(shù)有15,19,51,91,24,28,64,68,42,82,46,86,37,33,73,77共16個，其中15,51,24,42,33共5個可以被3整除，所以所求概率為．故選：D．5.【答案】D【解析】設函數(shù)，顯然函數(shù)在，上分別單調(diào)遞減和單調(diào)遞增．在時也可能有，反之也可能，∴由得不到成立；由也得不到成立．故選：D．6.【答案】C【解析】由已知W/m2時，，所以，解得.故由已知，設普通列車與高速列車的聲強級為，聲強分別為.則所以，解得7.【答案】B【解析】由題意，作出翻折后的幾何體如圖所示：取中點，記外接圓圓心為，因為在正方形中，，所以翻折后，為等邊三角形，則外接圓圓心即是重心，所以三點共線，且；過點作平面，記所求幾何體外接球球心為，外接球半徑為，則球心在直線上，連接，則又，，所以翻折后，，，所以平面，因此，又，所以是等腰三角形，易得，所以，故所求外接球表面積為.故選B8.【答案】B【解析】由可得或，當時，，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，函數(shù)在處取得極小值，極小值為，繪制函數(shù)的圖象如圖所示，觀察可得，方程的實根個數(shù)為3，故選B9.【答案】BC【解析】選項A；因為正態(tài)分布曲線關于對稱，所以這次考試標準分超過180分的約有人，故本說法不正確；選項B：由正態(tài)分布N，可知：，所以，因此這次考試標準分在內(nèi)的人數(shù)約為人，故本說法正確；選項C：因為正態(tài)分布曲線關于對稱，所以某個人標準分超過180分的概率為，因此甲、乙、丙三人恰有2人的標準分超過180分的概率為，故本說法正確；選項D：由題中所給的公式可知：，，所以由正態(tài)分布的性質(zhì)可知：所以本說法不正確.故選BC10【答案】ACD【解析】A項，由已知得，由已知，所以，解得或，又已知，所以.故該項正確.B項，由已知，故有均值不等式可得（當且僅當，即時等號成立）.所以，即.故該項正確.C項，，當且僅當，即時等號成立.故該項不正確.D項，由已知，又，所以，即，又，所以.又，所以，所以（當且僅當時等號成立）.11【答案】CD【解析】以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，所以，，因為，所以與不垂直，故A錯誤；，設平面的一個法向量為，則由，得，所以，不妨取，則，所以，同理可得設平面的一個法向量為，故不存在實數(shù)使得，故平面與平面不平行，故B錯誤；在長方體中，平面，故是三棱錐的高，所以，故C正確；三棱錐的外接球即為長方體的外接球，故外接球的半徑，所以三棱錐的外接球的表面積，故D正確.故選：CD.12.【答案】ABCD【解析】，正確；，偶函數(shù)，正確；，正確；易知三點構(gòu)成等邊三角形，正確；故選13.【答案】【解析】因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，解得，所以，，所以，所以曲線在點處的切線方程為，化簡可得，14.【答案】【解析】因為，當且僅當，即時，取等號；即函數(shù)為.15.【答案】65【解析】由于二項式展開式的二項式系數(shù)和為，即，所以.二項式展開式的通項公式為，令，解得.所以展開式中的常數(shù)項是第項.故答案為：；16.【答案】【解析】因為“牟合方蓋”的體積為，又正方體的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比應為，所以正方體的內(nèi)切球的體積球，所以內(nèi)切球的半徑，所以正方體的棱長為2，所以正方體的外接球的直徑等于正方體的體對角線即，所以，所以正方體的外接球的表面積為．17.【解析】（1）由題意，因為，，即恒成立，所以，可得，所以的最大值為；（2）因為當或時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；所以當時，取極大值；當時，取極小值；所以當或時，方程僅有一個實根.所以或即或，故的取值范圍為.18.【解析】（1）由已知得，，，，解得，故，∴，∴，，又∵，∴平面，平面，∴平面平面.（2）（?。┤粲脳l件①，由（1）得，和是兩條相交直線，∴平面.以為原點，，，分別為軸建立空間直角坐標系.則，設，其中，則.平面的法向量為.設直線與平面所成角為，則，解得，所以不存在滿足條件.（ⅱ）若用條件②二面角大小為，由（1）得是二面角的平面角，∴.過作，垂足為，則平面.在平面中，作，點在的右側(cè).以為原點，，，分別為軸建立空間直角坐標系.則，設，其中，則.平面的法向量為.設直線與平面所成角為，則，解得或（舍去），所以存在滿足條件，這時.（ⅲ）若用條件③，在中，由余弦定理得：，即，所以，故.過作，垂足為，則平面.同（ⅱ）以為原點，，，分別為軸建立空間直角坐標系.則，設，其中，則.平面的法向量為.設直線與平面所成角為，則，.解得，所以不存在滿足條件.19..【解析】（1）假設課外閱讀達標與性別無關，根據(jù)列聯(lián)表，求得，因為當成立時，的概率約為，所以有以上的把握認為課外閱讀達標與性別有關；（2）記事件為：從該校男生中隨機抽取人，課外閱讀達標；事件為：從該校女生中隨機抽取人，課外閱讀達標．由題意知：，．隨機變量的取值可能為、、、．，，，，所以隨機變量的分布列為：隨機變量的數(shù)學期望為.20.【解析】（1）因為四邊形是平行四邊形，，所以，又，所以，所以，又，且，所以平面，所以平面平面.（2）由（1）知平面，分別以所在直線為軸、軸，平面內(nèi)過點且與直線垂直的直線為軸，建立空間直角坐標系，則，由，，可得，所以，假設棱上存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，設，則，，設平面的法向量為，則,即，令，可得，所以平面的一個法向量為，設直線與平面所成的角為，則:，解得或者（舍）.所