第07章 一階電路的時(shí)域分析

動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條件7.1一階電路的階躍響應(yīng)7.7一階電路的零輸入響應(yīng)7.2一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)7.3一階電路的全響應(yīng)7.4首頁(yè)本章內(nèi)容第7章一階電路的時(shí)域分析一階的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)的概念。一階電路的時(shí)間常數(shù)。重點(diǎn)1.動(dòng)態(tài)電路方程的建立及初始條件的確定；返回3.三要素法。含有動(dòng)態(tài)元件(電容,電感)的電路稱動(dòng)態(tài)電路。1.動(dòng)態(tài)電路7.1動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條件當(dāng)動(dòng)態(tài)電路狀態(tài)發(fā)生改變時(shí)（換路）需要經(jīng)歷一個(gè)變化過(guò)程才能達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)。這個(gè)變化過(guò)程稱為電路的過(guò)渡過(guò)程。下頁(yè)上頁(yè)特點(diǎn)返回例0ti過(guò)渡期為零電阻電路下頁(yè)上頁(yè)+-usR1R2（t=0）i返回k接通電源后很長(zhǎng)時(shí)間，電容充電完畢，電路達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)：i=0,uC=Us

k未動(dòng)作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)：i=0,uC=0電容電路下頁(yè)上頁(yè)k+–uCUsRCi

(t=0)+-

(t→

)+–uCUsRCi+-返回下頁(yè)上頁(yè)k+–uCUsRCi

(t=0)+-

(t→

)+–uCUsRCi+-前一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)過(guò)渡狀態(tài)新的穩(wěn)定狀態(tài)t1USuct0?i有一過(guò)渡期返回i=0,uC=0i=0,uC=UsuL=0,i=Us/Ri=0,uL=0k接通電源后很長(zhǎng)時(shí)間，電路達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)，電感視為短路：k未動(dòng)作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)：電感電路下頁(yè)上頁(yè)k+–uLUsRi

(t=0)+-L

(t→

)+–uLUsRi+-前一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)過(guò)渡狀態(tài)新的穩(wěn)定狀態(tài)t1US/Rit0?uL有一過(guò)渡期返回下頁(yè)上頁(yè)

(t→

)+–uLUsRi+-k未動(dòng)作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)：uL=0,i=Us/Rk斷開瞬間i=0,uL=

工程實(shí)際中在切斷電感電路時(shí)會(huì)出現(xiàn)過(guò)電壓現(xiàn)象。注意k

(t→

)+–uLUsRi+-返回電路結(jié)構(gòu)、狀態(tài)發(fā)生變化換路支路接入或斷開電路參數(shù)變化下頁(yè)上頁(yè)返回t=0時(shí)刻換路t=0－

換路前一瞬間

t=0＋

換路后一瞬間0f(t)0－0＋t下頁(yè)上頁(yè)返回過(guò)渡過(guò)程產(chǎn)生的原因電路內(nèi)部含有儲(chǔ)能元件L、C，電路在換路時(shí)能量發(fā)生變化，而能量的儲(chǔ)存和釋放都需要一定的時(shí)間來(lái)完成。應(yīng)用KVL和電容的VCR得：2.動(dòng)態(tài)電路的方程下頁(yè)上頁(yè)

(t>0)+–uCUsRCi+-例RC電路返回應(yīng)用KVL和電感的VCR得：下頁(yè)上頁(yè)

(t>0)+–uLUsRi+-RL電路返回有源電阻電路一個(gè)動(dòng)態(tài)元件一階電路下頁(yè)上頁(yè)結(jié)論含有一個(gè)動(dòng)態(tài)元件電容或電感的線性電路，其電路方程為一階線性常微分方程，稱一階電路。返回二階電路下頁(yè)上頁(yè)

(t>0)+–uLUsRi+-CuC＋－RLC電路應(yīng)用KVL和元件的VCR得：含有二個(gè)動(dòng)態(tài)元件的線性電路，其電路方程為二階線性常微分方程，稱二階電路。返回一階電路一階電路中只有一個(gè)動(dòng)態(tài)元件,描述電路的方程是一階線性微分方程。描述動(dòng)態(tài)電路的電路方程為微分方程；動(dòng)態(tài)電路方程的階數(shù)通常等于電路中動(dòng)態(tài)元件的個(gè)數(shù)。二階電路二階電路中有二個(gè)動(dòng)態(tài)元件,描述電路的方程是二階線性微分方程。下頁(yè)上頁(yè)結(jié)論返回高階電路電路中有多個(gè)動(dòng)態(tài)元件，描述電路的方程是高階微分方程。

初始條件為t=0＋時(shí)uc

，iL

及其n-1階以下導(dǎo)數(shù)的值。在動(dòng)態(tài)電路分析中，初始條件是得到確定解答的必需條件。下頁(yè)上頁(yè)返回3.電路的初始條件q

(0+)=q

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)換路瞬間，若電容電流保持為有限值，則電容電壓（電荷）換路前后保持不變。q

=CuC電荷守恒下頁(yè)上頁(yè)結(jié)論返回電容的初始條件

L

(0＋)=

L

(0－)iL(0＋)=iL(0－)磁鏈?zhǔn)睾銚Q路瞬間，若電感電壓保持為有限值，則電感電流（磁鏈）換路前后保持不變。下頁(yè)上頁(yè)結(jié)論返回電感的初始條件iL(0+)=iL(0－)uC

(0+)=uC

(0－)換路定律電容電流和電感電壓為有限值是換路定律成立的條件。換路定律反映了能量不能躍變。下頁(yè)上頁(yè)注意返回電路初始值的確定(2)由換路定律uC

(0+)=uC

(0－)=8V(1)

由0－電路求

uC(0－)uC(0－)=8V(3)

由0+等效電路求

iC(0+)iC(0－)=0iC(0+)例1求

iC(0+)電容開路下頁(yè)上頁(yè)+-10ViiC+uC-S10k40k+-10V+uC-10k40k+8V-0+等效電路+-10ViiC10k電容用電壓源替代注意返回iL(0+)=iL(0－)=2A例2t=0時(shí)閉合開關(guān)k,求

uL(0+)先求應(yīng)用換路定律:電感用電流源替代解電感短路下頁(yè)上頁(yè)iL+uL-L10VS1

4

+-iL10V1

4

+-由0+等效電路求

uL(0+)2A+uL-10V1

4

+-注意返回求初始值的步驟:1.由換路前電路（穩(wěn)定狀態(tài)）求uC(0－)和iL(0－)；2.由換路定律得uC(0+)和iL(0+)。3.畫0+等效電路。4.由0+電路求所需各變量的0+值。b.電容（電感）用電壓源（電流源）替代。a.換路后的電路（取0+時(shí)刻值，方向與原假定的電容電壓、電感電流方向相同）。下頁(yè)上頁(yè)小結(jié)返回iL(0+)=iL(0－)=iSuC(0+)=uC(0－)=RiSuL(0+)=-RiS求iC(0+),uL(0+)例3解由0－電路得：下頁(yè)上頁(yè)由0+電路得：S(t=0)+–uLiLC+–uCLRiSiCRiS0－電路uL+–iCRiSRiS+–返回例4求k閉合瞬間各支路電流和電感電壓解下頁(yè)上頁(yè)由0－電路得：由0+電路得：iL+uL-LS2

+-48V3

2

CiL2

+-48V3

2

+－uC返回iL+20V-LS10+uC10

10

C－12A24V+-48V3

2

+-iiC+-uL求k閉合瞬間流過(guò)它的電流值解確定0－值給出0＋等效電路下頁(yè)上頁(yè)例5iL+20V-10+uC10

10

－iL+20V-LS10+uC10

10

C－返回1A10V+uL－iC+20V-10+10

10

－7.2一階電路的零輸入響應(yīng)換路后外加激勵(lì)為零，僅由動(dòng)態(tài)元件初始儲(chǔ)能產(chǎn)生的電壓和電流。1.RC電路的零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)下頁(yè)上頁(yè)返回

圖示為電容放電電路，電容原先帶有電壓Uo,求開關(guān)閉合后電容電壓隨時(shí)間的變化。例iS(t=0)+–uRC+–uCR解下頁(yè)上頁(yè)返回iS(t=0)+–uRC+–uCRuC

(0+)=uC(0－)=U0圖示為電容放電電路，電容原先帶有電壓Uo,求開關(guān)閉合后電容電壓隨時(shí)間的變化。例解特征根方程：通解：代入初始條件uC

(0+)=uC(0－)=U0下頁(yè)上頁(yè)返回得：iS(t=0)+–uRC+–uCR或tU0uC0令

=RC,稱

為一階電路的時(shí)間常數(shù)電壓、電流是隨時(shí)間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；連續(xù)函數(shù)I0ti0躍變響應(yīng)與初始狀態(tài)成線性關(guān)系，其衰減快慢與RC有關(guān);下頁(yè)上頁(yè)表明返回時(shí)間常數(shù)

的大小反映了電路過(guò)渡過(guò)程時(shí)間的長(zhǎng)短

=RC

大→過(guò)渡過(guò)程時(shí)間長(zhǎng)

小→過(guò)渡過(guò)程時(shí)間短電壓初值一定：R

大（C一定）

i=u/R

放電電流小放電時(shí)間長(zhǎng)U0tuc0

小

大C

大（R一定）W=Cu2/2

儲(chǔ)能大物理含義下頁(yè)上頁(yè)返回a.

:電容電壓衰減到原來(lái)電壓36.8%所需的時(shí)間。工程上認(rèn)為,經(jīng)過(guò)3

－5

,過(guò)渡過(guò)程結(jié)束。U00.368U00.135U00.05U00.018U0

0.007U0t0

2

3

4

5

U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-4

U0e

-5

下頁(yè)上頁(yè)注意返回

＝

t2－t1

t1時(shí)刻曲線的斜率等于U0tuc0

t1t2次切距的長(zhǎng)度下頁(yè)上頁(yè)返回b.時(shí)間常數(shù)

的幾何意義：能量關(guān)系電容不斷釋放能量被電阻吸收,直到全部消耗完畢.設(shè)

uC(0+)=U0電容的初始儲(chǔ)能電阻吸收（消耗）能量：下頁(yè)上頁(yè)uCR+－C返回例1圖示電路中的電容原充有24V電壓，求k閉合后，電容電壓和各支路電流隨時(shí)間變化的規(guī)律。解這是一個(gè)求一階RC零輸入響應(yīng)問(wèn)題，有：+uC4

5F－i1t>0等效電路下頁(yè)上頁(yè)i3S3+uC2

6

5F－i2i1返回+uC4

5F－i1分流得：下頁(yè)上頁(yè)i3S3+uC2

6

5F－i2i1返回下頁(yè)上頁(yè)例2求:(1)圖示電路k閉合后各元件的電壓和電流隨時(shí)間變化的規(guī)律，(2）電容的初始儲(chǔ)能和最終時(shí)刻的儲(chǔ)能及電阻的耗能。解這是一個(gè)求一階RC零輸入響應(yīng)問(wèn)題，有：u

(0+)=u(0－)=－20V返回u1（0-）=

4VuSC1=5F++---iC2=20Fu2（0-）=

24V250k+下頁(yè)上頁(yè)返回u4Fk+-＿i－20V250k＋下頁(yè)上頁(yè)初始儲(chǔ)能最終儲(chǔ)能電阻耗能返回等效電容的初始儲(chǔ)能2.

RL電路的零輸入響應(yīng)特征方程

Lp+R=0特征根代入初始值A(chǔ)=iL(0+)=I0t>0下頁(yè)上頁(yè)iLS(t=0)USL+–uLRR1+-iL+–uLR返回tI0iL0連續(xù)函數(shù)躍變電壓、電流是隨時(shí)間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；下頁(yè)上頁(yè)表明-RI0uLt0iL+–uLR返回響應(yīng)與初始狀態(tài)成線性關(guān)系，其衰減快慢與L/R有關(guān);下頁(yè)上頁(yè)令

稱為一階RL電路時(shí)間常數(shù)

=L/R時(shí)間常數(shù)

的大小反映了電路過(guò)渡過(guò)程時(shí)間的長(zhǎng)短L大

W=LiL2/2

起始能量大R小

P=Ri2

放電過(guò)程消耗能量小放電慢，

大

大→過(guò)渡過(guò)程時(shí)間長(zhǎng)

小→過(guò)渡過(guò)程時(shí)間短物理含義電流初值iL(0)一定：返回能量關(guān)系電感不斷釋放能量被電阻吸收,直到全部消耗完畢。設(shè)

iL(0+)=I0電感的初始儲(chǔ)能：電阻吸收（消耗）能量：下頁(yè)上頁(yè)iL+–uLR返回iL

(0+)=iL(0－)=1AuV

(0+)=－10000V

造成V損壞。例1t=0時(shí),打開開關(guān)S，求uv。電壓表量程：50V解下頁(yè)上頁(yè)iLS(t=0)+–uVL=4HR=10

VRV10k

10ViLLR10V+-返回例2t=0時(shí),開關(guān)S由1→2，求電感電壓和電流及開關(guān)兩端電壓u12。解下頁(yè)上頁(yè)iLS(t=0)+–24V6H3

4

4

6

+－uL2

12返回iLt=0-+–24V3

4

6

2

1下頁(yè)上頁(yè)i+–uL6

6Ht>0iLS(t=0)+–24V6H3

4

4

6

+－uL2

12返回t>=0+3

4

6

2

2ab一階電路的零輸入響應(yīng)是由儲(chǔ)能元件的初值引起的響應(yīng),都是由初始值衰減為零的指數(shù)衰減函數(shù)。iL(0+)=iL(0－)uC

(0+)=uC

(0－)RC電路RL電路下頁(yè)上頁(yè)小結(jié)返回一階電路的零輸入響應(yīng)和初始值成正比，稱為零輸入線性。衰減快慢取決于時(shí)間常數(shù)

同一電路中所有響應(yīng)具有相同的時(shí)間常數(shù)。下頁(yè)上頁(yè)小結(jié)

=RC

=L/RR為與動(dòng)態(tài)元件相連的一端口電路的等效電阻。RC電路RL電路返回動(dòng)態(tài)元件初始能量為零，由t>0時(shí)電路中外加激勵(lì)作用所產(chǎn)生的響應(yīng)。方程：7.3一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)1.RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)iS(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0－)=0+–非齊次線性常微分方程下頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)上頁(yè)返回與輸入激勵(lì)的變化規(guī)律有關(guān)，為電路的穩(wěn)態(tài)解。（強(qiáng)制分量）變化規(guī)律由電路參數(shù)和結(jié)構(gòu)決定。（自由分量，暫態(tài)分量）的通解通解特解的特解下頁(yè)上頁(yè)返回解答形式為：非齊次方程特解齊次方程通解全解uC(0+)=A+US=0A=－US由初始條件uC(0+)=0定積分常數(shù)A下頁(yè)上頁(yè)從以上式子可以得出：返回-USuC‘uC“USti0tuC0電壓、電流是隨時(shí)間按同一指數(shù)規(guī)律變化的函數(shù)；電容電壓由兩部分構(gòu)成：連續(xù)函數(shù)躍變穩(wěn)態(tài)分量（強(qiáng)制分量）暫態(tài)分量（自由分量）下頁(yè)上頁(yè)表明+返回響應(yīng)變化的快慢，由時(shí)間常數(shù)＝RC決定；

大，充電慢，

小充電就快。響應(yīng)與外加激勵(lì)成線性關(guān)系；能量關(guān)系電容儲(chǔ)存能量：電源提供能量：電阻消耗能量：電源提供的能量一半消耗在電阻上，一半轉(zhuǎn)換成電場(chǎng)能量?jī)?chǔ)存在電容中。下頁(yè)上頁(yè)表明RC+-US返回例t=0時(shí),開關(guān)S閉合，已知

uC(0－)=0，求(1)電容電壓和電流,(2)uC＝80V時(shí)的充電時(shí)間t。解(1)這是一個(gè)RC電路零狀態(tài)響應(yīng)問(wèn)題，有：(2)設(shè)經(jīng)過(guò)t1秒，uC＝80V下頁(yè)上頁(yè)500

10

F+-100VS+－uCi返回2.RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)已知iL(0－)=0，電路方程為：tiL0下頁(yè)上頁(yè)iLS(t=0)US+–uRL+–uLR+—返回uLUSt0下頁(yè)上頁(yè)iLS(t=0)US+–uRL+–uLR+—返回例1t=0時(shí),開關(guān)S打開，求t>0后iL、uL的變化規(guī)律。解這是RL電路零狀態(tài)響應(yīng)問(wèn)題，先化簡(jiǎn)電路，有：t>0下頁(yè)上頁(yè)返回iLS+–uL2HR80

10A200

300

iL+–uL2H10AReq例2t=0開關(guān)k打開，求t>0后iL、uL及電流源的電壓。解這是RL電路零狀態(tài)響應(yīng)問(wèn)題，先化簡(jiǎn)電路，有：下頁(yè)上頁(yè)iL+–uL2HUoReq+－t>0返回iLK+–uL2H10

2A10

5

+–u7.4一階電路的全響應(yīng)電路的初始狀態(tài)不為零，同時(shí)又有外加激勵(lì)源作用時(shí)電路中產(chǎn)生的響應(yīng)。以RC電路為例，電路微分方程：1.全響應(yīng)全響應(yīng)下頁(yè)上頁(yè)iS(t=0)US+–uRC+–uCR解答為：

uC(t)=uC'+uC"特解

uC'=US通解

=RC返回uC

(0－)=U0uC

(0+)=US+A=U0

A=U0

-US由初始值定A下頁(yè)上頁(yè)強(qiáng)制分量(穩(wěn)態(tài)解)自由分量(暫態(tài)解)返回iS(t=0)US+–uRC+–uCR下頁(yè)上頁(yè)返回2.全響應(yīng)的兩種分解方式uC"-USU0暫態(tài)解uC'US穩(wěn)態(tài)解U0uc全解tuc0全響應(yīng)=強(qiáng)制分量(穩(wěn)態(tài)解)+自由分量(暫態(tài)解)著眼于電路的兩種工作狀態(tài)物理概念清晰下頁(yè)上頁(yè)返回iS(t=0)US+–uRC+–uCR全響應(yīng)=零狀態(tài)響應(yīng)+零輸入響應(yīng)著眼于因果關(guān)系便于疊加計(jì)算下頁(yè)上頁(yè)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)S(t=0)USC+–RuC(0－)=U0+S(t=0)USC+–RuC(0－)=U0S(t=0)USC+–RuC(0－)=0返回零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)tuc0US零狀態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)零輸入響應(yīng)U0下頁(yè)上頁(yè)返回S(t=0)USC+–RuC(0－)=U03.三要素法分析一階電路一階電路的數(shù)學(xué)模型是一階線性微分方程：令

t=0+其解答一般形式為：下頁(yè)上頁(yè)特解返回分析一階電路問(wèn)題轉(zhuǎn)為求解電路的三個(gè)要素的問(wèn)題。用0+等效電路求解用t→

的穩(wěn)態(tài)電路求解下頁(yè)上頁(yè)直流激勵(lì)時(shí)：注意返回A例1t=0時(shí),開關(guān)k打開，求t>0后的iL、uL。解這是RL電路全響應(yīng)問(wèn)題，有：零輸入響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)：全響應(yīng)：下頁(yè)上頁(yè)iLS(t=0)+–24V0.6H4

+－uL8

返回全響應(yīng)：下頁(yè)上頁(yè)返回iLS(t=0)+–24V0.6H4

+－uL8

穩(wěn)態(tài)分量為：瞬態(tài)分量為：例2t=0時(shí),開關(guān)K閉合，求t>0后的iC、uC及電流源兩端的電壓。解這是RC電路全響應(yīng)問(wèn)題，有：下頁(yè)上頁(yè)穩(wěn)態(tài)分量：返回+–10V1A1

+－uC1

+－u1

全響應(yīng)：下頁(yè)上頁(yè)返回+–10V1A1

+－uC1

+－u1

例3已知：t=0時(shí)合開關(guān)，求換路后的uC(t)解tuc2(V)0.6670下頁(yè)上頁(yè)1A2

1

3F+-uC返回例4t=0時(shí),開關(guān)閉合，求t>0后的iL、i1、i2解三要素為：下頁(yè)上頁(yè)iL+–20V0.5H5

5

+–10Vi2i1三要素公式返回三要素法：下頁(yè)上頁(yè)0＋等效電路返回+–20V2A5

5

+–10Vi2i1iL+–20V0.5H5

5

+–10Vi2i1例5已知：t=0時(shí)開關(guān)由1→2，求換路后的uC(t)解三要素為：下頁(yè)上頁(yè)4

+－4

i12i1u+－2A4

1

0.1F+uC－+－4

i12i18V+－12返回2A4

0.1F+uC－+－4

i12i12下頁(yè)上頁(yè)例6已知：t=0時(shí)開關(guān)閉合，求換路后的電流i(t)。+–1H0.25F5

2

S10Vi解三要素為：返回下頁(yè)上頁(yè)+–1H0.25F5

2

S10Vi返回已知：電感無(wú)初始儲(chǔ)能t=0

時(shí)合S1

,t=0.2s時(shí)合S2，求兩次換路后的電感電流i(t)。0<t<0.2s解下頁(yè)上頁(yè)例7返回i10V+S1(t=0)S2(t=0.2s)3

2

-1Ht>0.2s下頁(yè)上頁(yè)i10V+S1(t=0)S2(t=0.2s)3

2

-返回(0<t

0.2s)(t

0.2s)下頁(yè)上頁(yè)it(s)0.25(A)1.2620返回i10V+S1(t=0)S2(t=0.2s)3

2

-7.7一階電路的階躍響應(yīng)1.單位階躍函數(shù)定義t

(t)01單位階躍函數(shù)的延遲下頁(yè)上頁(yè)返回t

(t-t0)t001t=0合閘

i(t)=Is在電路中模擬開關(guān)的動(dòng)