第07章 一階電路和二階電路的時(shí)域分析-1

第七章

一階電路和二階電路

的時(shí)域分析7.1動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條件7.2一階電路的零輸入響應(yīng)7.3一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)7.4一階電路的全響應(yīng)7.7一階電路的階躍響應(yīng)7.8一階電路的沖激響應(yīng)7.5二階電路的零輸入響應(yīng)含有動(dòng)態(tài)元件電容和電感的電路稱為動(dòng)態(tài)電路。特點(diǎn)：1.動(dòng)態(tài)電路

7.1動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條件

當(dāng)動(dòng)態(tài)電路狀態(tài)發(fā)生改變時(shí)（換路）需要經(jīng)歷一個(gè)變化過程才能達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)。這個(gè)變化過程稱為電路的過渡過程。例+-USR1R2（t=0）i0ti過渡期為零電阻電路K未動(dòng)作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)i=0,uC

=0i=0,uC=USK+–uCUSRCi

(t=0)K接通電源后很長時(shí)間，電容充電完畢，電路達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)+–uCUSRCi

(t→

)前一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)過渡狀態(tài)新的穩(wěn)定狀態(tài)t1USuCt0?i有一過渡期電容電路K未動(dòng)作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)i=0,uL

=0uL=0,i=US

/RK接通電源后很長時(shí)間，電路達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)，電感視為短路前一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)過渡狀態(tài)新的穩(wěn)定狀態(tài)t1US/Rit0?uL有一過渡期K+–uLUSRLi

(t=0)+–uLUSRLi

(t→

)電感電路過渡過程產(chǎn)生的原因

電路內(nèi)部含有儲(chǔ)能元件L、C，電路在換路時(shí)能量發(fā)生變化，而能量的儲(chǔ)存和釋放都需要一定的時(shí)間來完成。電路結(jié)構(gòu)、狀態(tài)發(fā)生變化換路支路接入或斷開電路參數(shù)變化K+–uCUSRCi

(t=0)應(yīng)用KVL和電容的VCR得：+–uCUS

RCi

(t>0)2.動(dòng)態(tài)電路的方程+–uLUSRLi

(t>0)有源電阻電路一個(gè)動(dòng)態(tài)元件一階電路應(yīng)用KVL和電感的VCR得：+–uLUSRLi

(t>0)CuC＋－＋－二階電路一階電路一階電路中只有一個(gè)動(dòng)態(tài)元件,描述電路的方程是一階線性微分方程。（1）描述動(dòng)態(tài)電路的電路方程為微分方程；結(jié)論：（2）動(dòng)態(tài)電路方程的階數(shù)等于電路中動(dòng)態(tài)元件的個(gè)數(shù)；二階電路二階電路中有二個(gè)動(dòng)態(tài)元件,描述電路的方程是二階線性微分方程。

(1)t=0＋與t=0－的概念認(rèn)為換路在

t=0時(shí)刻進(jìn)行0－

換路前一瞬間

0＋

換路后一瞬間3.電路的初始條件初始條件為t=0＋時(shí)u，i

的值0－0＋0tf(t)K+–uCUSRCi

(t=0)一．動(dòng)態(tài)電路及特點(diǎn)：

1、動(dòng)態(tài)元件：

電容元件和電感元件的電壓和電流的約束關(guān)系是通過導(dǎo)數(shù)（或積分）表達(dá)的，稱為動(dòng)態(tài)元件，同時(shí)也是儲(chǔ)能元件。

2、特點(diǎn)：

a、電路方程是以電流或電壓為變量的微分方程。

b、電路的結(jié)構(gòu)或元件的參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，可能使電路改變?cè)瓉淼墓ぷ鳡顟B(tài)，轉(zhuǎn)變到另一個(gè)工作狀態(tài)，這種轉(zhuǎn)變往往需要經(jīng)歷一個(gè)過程，在工程上稱為過渡過程。 電路由一個(gè)工作狀態(tài)轉(zhuǎn)變到另一個(gè)工作狀態(tài)。三、時(shí)間與時(shí)刻 時(shí)刻為一點(diǎn)。 時(shí)間是兩個(gè)時(shí)刻的間隔。0t四、換路 電路的結(jié)構(gòu)或元件的參數(shù)發(fā)生變化。 換路是由開關(guān)的動(dòng)作實(shí)現(xiàn)的。S(t=0)打開S(t=0)閉合12S(t=0)換動(dòng)二、過渡過程：穩(wěn)態(tài)暫態(tài)舊穩(wěn)態(tài)新穩(wěn)態(tài)

過渡過程:C電路處于舊穩(wěn)態(tài)KRE+_開關(guān)K閉合電路處于新穩(wěn)態(tài)RE+_“穩(wěn)態(tài)”與“暫態(tài)”的概念: uC如何變化？t0uCE

產(chǎn)生過渡過程的電路及原因?無過渡過程I電阻電路t=0ER+_IK電阻是耗能元件，其上電流隨電壓比例變化，不存在過渡過程。Et電容為儲(chǔ)能元件，它儲(chǔ)存的能量為電場(chǎng)能量，其大小為：電容電路儲(chǔ)能元件因?yàn)槟芰康拇鎯?chǔ)和釋放需要一個(gè)過程，所以有電容的電路存在過渡過程。EKR+_CuCt儲(chǔ)能元件電感電路電感為儲(chǔ)能元件，它儲(chǔ)存的能量為磁場(chǎng)能量，其大小為：

因?yàn)槟芰康拇鎯?chǔ)和釋放需要一個(gè)過程，所以有電感的電路存在過渡過程。KRE+_t=0iL五、一階電路電阻： u=Ri

i=Gu動(dòng)態(tài)元件： 電感電容根據(jù)KCL、KVL、VCR建立的方程是以u(píng)和i為變量的微分方程，無源元件均為線性、非時(shí)變。電路方程：線性常微分方程對(duì)于只含一個(gè)儲(chǔ)能元件，電路方程是一階線性常微分方程，相應(yīng)的電路稱為一階電路。六、躍變×七、換路定則√在換路前后，電容上的電壓不發(fā)生躍變。1、電容2、電感在換路前后，電感中的電流不發(fā)生躍變。例1.求

uC

(0+),iC

(0+).t=0時(shí)打開開關(guān)S.由換路定則：uC

(0+)=uC

(0

)=8V0+等效電路：

+10ViiCuCS10k

40k

+

C解：+10Vi(0+)iC(0+)8V10k

+

八、初值的確定例2.t=0時(shí)閉合開關(guān)S.求uL(0+).iL(0+)=iL(0

)=2A0+等效電路：10VS1

4

iLLuL+–解：10V1

4

iL(0+)uL

(0+)+–注意：依據(jù)換路定則和基爾霍夫定律。S(t=0)+-+-+-S(t=0)+-+-+-t0-0+5A10V05A0010V5A10V00-10A-10V15A求初始值的一般方法：(1)由換路前電路求uC(0

)和iL(0

)；(2)由換路定則，確定uC(0+)和iL(0+)；(3)作0+等效電路：(4)由0+電路求所需的u(0+)、i(0+)。電容用電壓為uC(0+)的電壓源替代；電感用電流為iL(0+)的電流源替代?！?.2一階電路的零輸入響應(yīng)零輸入：輸入=0(外電源輸入=0)儲(chǔ)能元件儲(chǔ)存的能量消耗能量的元件終值為01、推導(dǎo)過程：RR一、零輸入響應(yīng)二、RC電路的零輸入響應(yīng)最終能量來源初始：S合上前換路：S合上(t=0)：解一階齊次微分方程：令通解i=-S(t=0)uCuRU0iR特征方程：由初始條件定A：S(t=0)uCuRU0iR解為2、結(jié)論：均按同樣的指數(shù)規(guī)律衰減，最終趨于0。τ的大小反映此一階電路過渡過程的進(jìn)展速度τ?。哼^渡過程短，進(jìn)展快τ大：過渡過程長，進(jìn)展慢3、時(shí)間常數(shù)S(t=0)uCuRU0iR工程上認(rèn)為,經(jīng)過3

－5

,過渡過程結(jié)束。

：電容電壓衰減到原來電壓36.8%所需的時(shí)間。U00.368U00.135U00.05U00.007U0

t0

2

3

5

U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

tU0uC0I0ti0令

=RC,稱

為一階電路的時(shí)間常數(shù)

（1）電壓、電流是隨時(shí)間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；連續(xù)函數(shù)躍變（2）衰減快慢與RC有關(guān)；

=RC

大→

過渡過程時(shí)間長

小→

過渡過程時(shí)間短電壓初值一定：R大（C一定）

i=u/R

放電電流小放電時(shí)間長U0tuC0

小

大C大（R一定）W=Cu2/2

儲(chǔ)能大物理含義4、能量關(guān)系

C放電，C不斷放能，電阻R不斷耗能,直至C上電場(chǎng)能量衰減為0。三、RL電路的零輸入響應(yīng)1、推導(dǎo)過程：換路，K打到2求解一階齊次微分方程：初始，K打到1由初始條件定A：令iL(t)=Aept則(Lp+R)Aept=0特征方程：Lp+R=0得特征根解為：2、結(jié)論：大小均按指數(shù)規(guī)律衰減，最終趨于0。與RC串聯(lián)電路相反R大

小衰減快R小

大

衰減慢3、時(shí)間常數(shù)4、能量關(guān)系：

L不斷把儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量放出，R不斷吸收并轉(zhuǎn)化為熱能，直至L上的磁場(chǎng)能量為0為止。小結(jié)：一階電路的零輸入響應(yīng)是由儲(chǔ)能元件的初值引起的響應(yīng)，都是一個(gè)指數(shù)衰減函數(shù)。2.衰減快慢取決于時(shí)間常數(shù)

.

RC電路：

=RC,RL電路：

=L/R3.同一電路中所有響應(yīng)具有相同的時(shí)間常數(shù)。iL(0+)=iL(0－)uC

(0+)=uC

(0－)RC電路RL電路S(t=0)解：=3Vτ=RCR=2//3τ=RC1Ω2Ω3Ω6V例：求電容兩端電壓。§7.3一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)一、零狀態(tài)響應(yīng)初始狀態(tài)為零外電源輸入直流交流充電與電源變化規(guī)律相同能量來源最終終值零狀態(tài)：二、RC電路1、推導(dǎo)：iUSuRuCRS(t=0)C換路后：求解一階非齊次微分方程非齊次方程的特解齊次方程的通解強(qiáng)制分量(穩(wěn)態(tài)分量)自由分量(暫態(tài)分量)特解：重新達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)的值齊次方程的通解：滿足uC

(0+)=US

+

A

=0

A=

US求全解定常數(shù)強(qiáng)制分量(穩(wěn)態(tài))自由分量(暫態(tài))-USOUStuCiuC,i電阻R消耗的能量：能量關(guān)系：能量關(guān)系：電源提供的能量一部分被電阻消耗，一部分儲(chǔ)存在電容中，且WC=WR充電效率為50%USRC例：USuRuCRS(t=0)iCUS=220V，R=100Ω，C=0.5μF，C未充過電。t=0時(shí)合上開關(guān)S。求： （1）uC、i； （2）最大充電電流； （3）合上S后150μs后uC、i

的值。解:(1)US=220V，R=100Ω，C=0.5μF，C未充過電。t=0時(shí)合上開關(guān)S。求:（1）uC、i；（2）最大充電電流；（3）合上S后150μs后uC、i

的值。USuRuCRS(t=0)iC=209(V)=2.2e-3=0.11(A)（2）最大充電電流；（3）合上開關(guān)S150μs后uC、i

的值。t=0時(shí)閉合開關(guān)S,求uC的零狀態(tài)響應(yīng)。uiCi12i1++2V+1

1

1

0.8FuC

S例.+1.5V+0.25

1

0.8FuC

S戴維寧等效.i12i1++2V+1

1

1

0.8FuC

SuC

(V)t1.5O戴維寧等效:i12i1++2V+1

1

1

0.8FuC

SRL電路的零狀態(tài)響應(yīng)iL(0

)=0USLS(t=0)+–uLR+–uRiL三、RL電路直流電源7.4一階電路的全響應(yīng)一、全響應(yīng)

當(dāng)一個(gè)非零初始狀態(tài)的一階電路受到激勵(lì)時(shí)，電路的響應(yīng)稱為全響應(yīng)。S(t=0)二、RC電路設(shè)電容原有電壓為U01、電路方程初始條件2、方程的解方程的全解特解對(duì)應(yīng)齊次方程的通解得根據(jù)uC(0+)=uC(0-)=U0A=U0-US全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)分量+瞬態(tài)分量上式改寫成三、RL電路

形式上和RC電路一致。初始值f(0+)穩(wěn)態(tài)值f(∞)時(shí)間常數(shù)τ（僅適用直流激勵(lì)）四、三要素法三要素三要素公式：(1)uC(0+)與iL(0+)按換路定則求出

換路前C視作開路iL(0+)