人教版數(shù)學(xué)必修一函數(shù)的奇偶性教案

人教A版《數(shù)學(xué)》必修一教案：1.3.2函數(shù)的奇偶性

§1.3.2函數(shù)的奇偶性

--教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能：

理解函數(shù)的奇偶性及其幾何意義;學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)；學(xué)會(huì)判斷

函數(shù)的奇偶性；

2.過(guò)程與方法：

通過(guò)函數(shù)奇偶性概念的形成過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的能力，滲透數(shù)形結(jié)合的

數(shù)學(xué)思想.

3.情態(tài)與價(jià)值：

通過(guò)函數(shù)的奇偶性教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的概括歸納問(wèn)題的能力.

二.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：

教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性及其幾何意義

教學(xué)難點(diǎn)：判斷函數(shù)的奇偶性的方法與格式

三.學(xué)法與教學(xué)用具

學(xué)法：學(xué)生通過(guò)自己動(dòng)手計(jì)算,獨(dú)立地去經(jīng)歷發(fā)現(xiàn),猜想與證明的全過(guò)程,從而建立奇偶

函數(shù)的概念.

教學(xué)用具：三角板投影儀

四.教學(xué)思路

(一)創(chuàng)設(shè)情景,揭示課題

“對(duì)稱”是大自然的一種美，這種“對(duì)稱美”在數(shù)學(xué)中也有大量的反映，讓我們看看下列

各函數(shù)有什么共性？

觀察下列函數(shù)的圖象，總結(jié)各函數(shù)之間的共性.

,1

/(x)=x/(X)=|x|-1x(x)=—

通過(guò)討論歸納：函數(shù)/(x)=/是定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)的拋物線;函數(shù)/(x)=|x|-1是定

義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)的折線;函數(shù)/(X)=4是定義域?yàn)榉橇銓?shí)數(shù)的兩支曲線，各函數(shù)之間的共

X

性為圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.觀察一對(duì)關(guān)于歹軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么關(guān)系？

歸納：若點(diǎn)(x,7(x))在函數(shù)圖象上,則相應(yīng)的點(diǎn)(-x,/(x))也在函數(shù)圖象上,即函數(shù)圖

象上橫坐標(biāo)互為相反數(shù)的點(diǎn),它們的縱坐標(biāo)一定相等.

I

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(二)研探新知

函數(shù)的奇偶性定義：

1.偶函數(shù)

一般地，對(duì)于函數(shù)/(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)X,都有/(-x)=/(X),那么/,(X)就叫

做偶函數(shù).(學(xué)生活動(dòng))依照偶函數(shù)的定義給出奇函數(shù)的定義.

2.奇函數(shù)

一般地，對(duì)于函數(shù)/(X)的定義域的任意一個(gè)X,都有/(T)=-/■(X)，那么/(X)就叫

做奇函數(shù).

注意：

①函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性,函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；

②由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是,對(duì)于定義域內(nèi)的任意

一個(gè)X,則-X也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱).

3.具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征

偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

(三)質(zhì)疑答辯,排難解惑,發(fā)展思維.

例1.判斷下列函數(shù)是否是偶函數(shù).

⑴/(幻=》2XG[-1,2]

32

x-x

(2)/U)=-~-

x-1

解：函數(shù)/(x)=V,xe[-1,2]不是偶函數(shù),因?yàn)樗亩x域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱.

函數(shù)/(x)=2__也不是偶函數(shù),因?yàn)樗亩x域?yàn)閧xIX€R且XH1},并不關(guān)于原

X—1

點(diǎn)對(duì)稱.

例2.判斷下列函數(shù)的奇偶性

(1)f(x)=x4(2)/(x)=/(3)f(x)=x+_L(4)f(x)=」

XX

解：(略)

小結(jié)：利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：

①首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

②確定了(—X)與戰(zhàn)旗系；

③作出相應(yīng)結(jié)論：

2

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若/(-x)=/(x)或颯囑函儆=0,/(x)；

若/(-x)=-“X)或颯竅陋儆=0,“X)

例3.判斷下列函數(shù)的奇偶性：

①f(x)=/g(4+x)+g(4-x)

12

—x2+1(x>0)

②g(x)=<

1

--x2-1(x<0)

分析：先驗(yàn)證函數(shù)定義域的對(duì)稱性，再考察/(-x)是否等于或r)

解：(D/(x)的定義域是勝+x>0且4-x>0}={x|-4VxV4},它具有對(duì)稱

性.因?yàn)?(—x)=/g(4—x)+/g(4+x)=/(X),所以/(x)是偶函數(shù),不是奇函數(shù).

(2)當(dāng)x>0時(shí)，-XV0,于是

1,1,

g(-x)=-](-x)-_]=_(/+l)=_g(x)

當(dāng)x<0時(shí)，-x>0,于是

g(-x)=；(-x)2+l=^x2+l=-(-^2-l)=_g(x)

綜上可知,在R-UR"上，g(x)是奇函數(shù).

例4.利用函數(shù)的奇偶性補(bǔ)全函數(shù)的圖象.

教材P35思考題：

規(guī)律：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

說(shuō)明：這也可以作為判斷函數(shù)奇偶性的依據(jù).

例5.已知/(%)是奇函數(shù)，在(0,+8)上是增函數(shù).

證明：/,(X)在(一8,0)上也是增函數(shù).

證明：(略)

小結(jié)：偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相反;奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上

單調(diào)性一致.

(四)鞏固深化,反饋矯正.

3

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(1)課本P36練習(xí)1.2P39B組題的1.2.3

(2)判斷下列函數(shù)的奇偶性,并說(shuō)明理由.

①〃x)=O,xe[—6,—2]U[2,6];

②f(x)=|x-2|+|x+2|

③/(x)=|x—2|-|x+2|

④f(x)=lg(&2+1+x)

(五)歸納小結(jié)，整體認(rèn)識(shí).

本節(jié)主要學(xué)習(xí)了函數(shù)的奇偶性,判斷函數(shù)的奇偶性通常有兩種方法,即定義法和圖象法,用

定義法判斷函數(shù)的奇偶性時(shí),必須注意首先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,單調(diào)性與

奇偶性的綜合應(yīng)用是本節(jié)的一個(gè)難點(diǎn)，需要學(xué)生結(jié)合函數(shù)的圖象充分理解好單調(diào)性和奇偶性

這兩個(gè)性質(zhì).

(六)設(shè)置問(wèn)題，留下懸念.

1.書面作業(yè)：課本PM習(xí)題A組1.3.9.10題

2.設(shè)/(x)在止是奇函數(shù)，當(dāng)x>(m,〃x)=x(l-x)

試問(wèn)：當(dāng)X<0時(shí)，/(x)的表達(dá)式是什么？

解：當(dāng)x