2021-2022學年浙江省重點高中提前招生考試數(shù)學沖刺卷6

第1頁（共1頁）2021-2022學年浙江省重點高中提前招生考試數(shù)學沖刺卷6（考試時間：60分鐘試卷滿分：60分）一．選擇題（共4小題，滿分12分，每小題3分）1．（3分）已知正數(shù)a，b滿足a3b+ab3﹣2a2b+2ab2＝7ab﹣8，則a2﹣b2＝（）A．1 B．3 C．5 D．不能確定2．（3分）如果不等式組的整數(shù)解僅為1，2，3，那么適合這個不等式組的整數(shù)a、b的有序數(shù)對（a、b）共有（）A．17個 B．64個 C．72個 D．81個3．（3分）如圖，設(shè)AD，BE，CF為三角形ABC的三條高，若AB＝6，BC＝5，EF＝3，則線段BE的長為（）A． B．4 C． D．4．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以C為圓心，6為半徑的圓上有一動點D，連接AD、BD、CD，則AD+BD的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．6二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）5．（3分）若|a|＝5，|b|＝3，|c|＝6，且|a+b|＝﹣（a+b），|a+c|＝a+c，則a﹣b+c＝．6．（3分）已知實數(shù)x、y、z滿足x+y＝5及z2＝xy+y﹣9，則x+2y+3z＝．7．（3分）若方程x2﹣2x+＝0的兩個根為α、β，它也是方程x4+px2+q＝0的兩個根，則p＝．8．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣x+1分別交x軸、y軸于A，B兩點，點P（a，b）是反比例函數(shù)y＝在第一象限內(nèi)的任意一點，過點P分別作PM⊥x軸于點M，PN⊥y軸于點N，PM，PN分別交直線AB于E，F(xiàn)，有下列結(jié)論：①AF＝BE；②圖中的等腰直角三角形有4個；③S△OEF＝（a+b﹣1）；④∠EOF＝45°．其中結(jié)論正確的序號是．9．（3分）如圖，在△ABC中，CD是高，CE為∠ACB的平分線．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，則CE的長等于．10．（3分）已知y＝x2+mx﹣6，當1≤m≤3時，y＜0恒成立，那么實數(shù)x的取值范圍是．三．解答題（共4小題，滿分30分）11．（6分）若x≥0，則[x]＝x﹣2；若x＜0，則[x]＝x+2．例：[3]＝3﹣2＝1，[﹣3]＝﹣3+2＝﹣1．（1）求[]×[﹣4]的值；（2）已知有理數(shù)m＞0，n＜0，且滿足[m]＝[n]，試求代數(shù)式2m﹣2n﹣3（n﹣m）2的值；（3）解方程：[2x﹣1]+[x+4]＝6．12．（8分）如圖，四邊形ABCD為正方形，⊙O過正方形的頂點A和對角線的交點P，分別交AB、AD于點F、E．（1）求證：DE＝AF；（2）若⊙O的半徑為，AB＝，求的值．13．（8分）梅涅勞斯定理是古希臘數(shù)學家梅涅勞斯首先證明的．它指出，如果一條直線與△ABC的三條邊AB、BC、CA（或其延長線）分別交于F、D、E，則有＝1．解答以下兩個問題：（1）如圖1所示，AB＝AC＝6，D為BC中點，點E在AC上，CE＝2，點F在AB的延長線上，求FB的長．（2）如圖2所示，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是BC中點，E在AB上，AE＝2EB，連接AD、CE，求證：AD⊥CE．14．（8分）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C（0，﹣2），點A的坐標是（2，0），P為拋物線上的一個動點，過點P作PD⊥x軸于點D，交直線BC于點E，拋物線的對稱軸是直線x＝﹣1．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）若點P在第二象限內(nèi)，且PE＝OD，求△PBE的面積．（3）在（2）的條件下，若M為直線BC上一點，在x軸的上方，是否存在點M，使△BDM是以BD為腰的等腰三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

一．選擇題（共4小題，滿分12分，每小題3分）1．【解答】解：∵a3b+ab3﹣2a2b+2ab2＝7ab﹣8，?ab（a2+b2）﹣2ab（a﹣b）＝7ab﹣8，?ab（a2﹣2ab+b2）﹣2ab（a﹣b）+2a2b2﹣7ab+8＝0，?ab（a﹣b）2﹣2ab（a﹣b）+2a2b2﹣7ab+8＝0，?ab[（a﹣b）2﹣2（a﹣b）+1]+2（a2b2﹣4ab+4）＝0，?ab（a﹣b﹣1）2+2（ab﹣2）2＝0，∵a、b均為正數(shù)，∴ab＞0，∴a﹣b﹣1＝0，ab﹣2＝0，即a﹣b＝1，ab＝2，解方程，解得a＝2、b＝1，a＝﹣1、b＝﹣2（不合題意，舍去），∴a2﹣b2＝4﹣1＝3．故選：B．2．【解答】解：由原不等式組可得：≤x＜．在數(shù)軸上畫出這個不等式組解集的可能區(qū)間，如下圖根據(jù)數(shù)軸可得：0＜≤1，3＜≤4．由0＜≤1，得0＜a≤9，∴a＝1，2，3…9，共9個．由3≤＜4得3×8＜b≤4×8，∴b＝3×8，3×8+1，3×8+2，3×8+3，…，3×8+7．共8個．9×8＝72（個）．故選：C．3．【解答】解：∵AD，BE，CF為△ABC的三條高，易知B，C，E，F(xiàn)四點共圓∴△AEF∽△ABC∴，即cos∠BAC＝∴sin∠BAC＝∴在Rt△ABE中，BE＝AB?sin∠BAC＝6＝．故選：D．4．【解答】解：在CA上截取CM，使得CM＝4，連接DM，BM．∵CD＝6，CM＝4，CA＝9，∴CD2＝CM?CA，∴＝，∵∠DCM＝∠ACD，∴△DCM∽△ACD，∴＝＝，∴DM＝AD，∴AD+BD＝DM+BD，∵DM+BD≥BM，在Rt△CBM中，∵∠BCM＝90°，CM＝4，BC＝12，∴BM＝＝4，∴AD+BD≥4，∴AD+BD的最小值為4．故選：B．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）5．【解答】解：∵|a|＝5，|b|＝3，|c|＝6，且|a+b|＝﹣（a+b），|a+c|＝a+c，∴a＝﹣5，b＝±3，c＝6，∴a﹣b+c＝4或﹣2．故答案為：4或﹣2．6．【解答】解：∵x+y＝5，z2＝xy+y﹣9，∴x＝5﹣y，代入z2＝xy+y﹣9得：z2＝（5﹣y）y+y﹣9，z2+（y﹣3）2＝0，z＝0，y﹣3＝0，∴y＝3，x＝5﹣3＝2，x+2y+3z＝2+2×3+3×0＝8，故答案為8．7．【解答】解：∵方程x2﹣2x+＝0的兩個根為α、β，∴α+β＝2，α?β＝，∴α2+β2＝（α+β）2﹣2α?β＝4﹣，即α2+β2＝4﹣，①又α、β也是方程x4+px2+q＝0的兩個根，∴α2+β2＝﹣p，②由①②，解得p＝﹣4；故答案為﹣4．8．【解答】解：∵P（a，b），∴OM＝a，PM＝b，∴點E的橫坐標為a，F(xiàn)的縱坐標為b，又E和F都在直線y＝﹣x+1上，∴點E（a，1﹣a），點F（1﹣b，b），即OM＝a，EM＝1﹣a，ON＝b，NF＝1﹣b，∴PE＝PM﹣EM＝b﹣（1﹣a）＝a+b﹣1，PF＝PN﹣NF＝a﹣（1﹣b）＝a+b﹣1，∴S△EOF＝S矩形MONP﹣S△EMO﹣S△FNO﹣S△EPF，＝ab﹣a（1﹣a）﹣b（1﹣b）﹣（a+b﹣1）2＝（a+b﹣1），選項③正確；∵BE＝＝a，AF＝＝b，∴BE與AF不一定相等，選項①錯誤；∵直線y＝﹣x+1分別交x軸、y軸于A，B兩點，∴令x＝0，求出y＝1，即B（0，1）；令y＝0，求出x＝1，即A（1，0），∵OA＝OB＝1，且∠AOB＝90°，即△AOB為等腰直角三角形，又∠BNF＝90°，∠NBF＝45°，∴△BNF為等腰直角三角形，同理△PEF和△AEM都為等腰直角三角形，則圖中等腰三角形有4個，選項②正確；∵△AOB為等腰直角三角形，∴∠FAO＝∠EBO＝45°，∵點P（a，b）是曲線y＝上一點，∴2ab＝1，即AF?BE＝a?b＝2ab＝1，又∵OA?OB＝1，∴＝，∴△AOF∽△BEO，∴∠AFO＝∠BOE，又∠BOE＝∠BOF+∠FOE，且∠AFO＝∠OBF+∠BOF，∴∠FOE＝∠OBE，又∠OBE＝45°，則∠FOE＝45°，選項④正確，綜上，正確選項的序號有：②③④．故答案為：②③④．9．【解答】解：如圖，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，所以AB＝AD+BD＝25．故由勾股定理逆定理知△ACB為直角三角形，且∠ACB＝90°．作EF⊥BC，垂足為F．設(shè)EF＝x，由，得CF＝x，于是BF＝20﹣x．由于EF∥AC，所以，即，解得．所以．故答案為：．10．【解答】解：∵1≤m≤3，y＜0，∴當m＝3時，x2+3x﹣6＜0，由y＝x2+3x﹣6＜0，得＜x＜；當m＝1時，x2+x﹣6＜0，由y＝x2+x﹣6＜0，得﹣3＜x＜2．∴實數(shù)x的取值范圍為：﹣3＜x＜．故答案為：﹣3＜x＜．三．解答題（共4小題，滿分30分）11．【解答】解：（1）∵[]＝﹣2＝，[﹣4]＝﹣4+2＝﹣2；∴[]×[﹣4]＝3；（2）m＞0，n＜0，[m]＝[n]，即m﹣2＝n+2，解得：m﹣n＝4，故2m﹣2n﹣3（n﹣m）2＝2（m﹣n）﹣3（n﹣m）2＝2×4﹣3×（﹣4）2＝﹣40；（3）①當2x﹣1≥0，即x≥時，方程為：（2x﹣1﹣2）+（x+4﹣2）＝6，解得：x＝；②當2x﹣1＜0，≥0，即﹣≤x＜時，方程為：（2x﹣1+2）+（x+4﹣2）＝6，解得：x＝（舍棄）；③當，＜0，x＜﹣時，方程為：（2x﹣1+2）+（x+4+2）＝6，解得：x＝﹣（舍棄）．故方程的解為：x＝．12．【解答】（1）證明：連接EP、FP，如圖，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAD＝90°，∠BPA＝90°∴∠FPE＝90°，∴∠BPF＝∠APE，又∵∠FBP＝∠PAE＝45°，∴△BPF≌△APE，∴BF＝AE，而AB＝AD，∴DE＝AF；（2）解：連EF，∵∠BAD＝90°，∴EF為⊙O的直徑，而⊙O的半徑為，∴EF＝，∴AF2+AE2＝EF2＝（）2＝3①，而DE＝AF，DE2+AE2＝3；又∵AD＝AE+ED＝AB，∴AE+ED＝②，由①②聯(lián)立起來組成方程組，解之得：AE＝1，ED＝或AE＝，ED＝1，所以：或．提示：（1）連接EF、EP、FP，可證明△AEP≌△BFP（2）設(shè)：AE＝x，ED＝AF＝y(tǒng)可得：和x2+y2＝3，解得x＝，y＝1或x＝1，y＝，所以：或．13．【解答】解：（1）∵AC＝6，CE＝2，∴AE＝AC﹣CE＝4，∵點D是BC的中點，∴BD＝CD，∵AB＝6，∴AF＝AB+FB，根據(jù)梅涅勞斯定理得，＝1，∴，∴FB＝6；（2）如圖，過點B作BF⊥BC交CE的延長線于F，∴∠CBF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB+∠CBF＝180°，∴BF∥AC，∴∠ACE＝∠F，∠CAE＝∠FBE，∴△ACE∽△BFE，∴＝2，∴AC＝2BF，∵點D是BC的中點，∴BC＝2CD，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，∴BF＝CD，在△ACD和△CBF中，，∴△ACD≌△CBF，∴∠CAD＝∠BCF，∴∠ACE+∠CAD＝∠ACE+∠BCE＝∠ACB＝90°，∴∠AGC＝90°，∴AD⊥CE．14．【解答】解：（1）點A的坐標是（2，0），拋物線的對稱軸是直線x＝﹣1，則點B（﹣4，0），則函數(shù)的表達式為：y＝a（x﹣2）（x+4）＝a（x2+2x﹣8），即：﹣8a＝﹣2，解得：a＝，故拋物線的表達式為：y＝x2+x﹣2；（2）將點B、C的坐標代入一次函數(shù)表達式：y＝mx+n并解得：直線BC的表達式為：y＝﹣x﹣2，則tan∠ABC＝，則sin∠ABC＝，設(shè)點D（x，0），則點P（x，x2+x﹣2），點E（x，﹣x﹣2），∵PE＝OD，∴PE＝（x2+x﹣2+x+2）＝（﹣x），解得：x＝0或﹣5（舍去x＝0），即點D