（福建專用）高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第三章第7課時(shí) 正弦定理和余弦定理課時(shí)闖關(guān)（含解析）

一、選擇題1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，則cosB＝()A．－eq\f(2\r(2),3) B.eq\f(2\r(2),3)C．－eq\f(\r(6),3) D.eq\f(\r(6),3)解析：選D.由正弦定理得eq\f(15,sin60°)＝eq\f(10,sinB)，∴sinB＝eq\f(10·sin60°,15)＝eq\f(10×\f(\r(3),2),15)＝eq\f(\r(3),3).∵a>b，A＝60°，∴B為銳角．∴cosB＝eq\r(1－sin2B)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(6),3).2．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，則△ABC是()A．鈍角三角形 B．直角三角形C．銳角三角形 D．等邊三角形解析：選A.∵2c2＝2a2＋2b2＋ab，∴a2＋b2－c2＝－eq\f(1,2)ab，∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝－eq\f(1,4)<0，即90°<C<180°.∴△ABC是鈍角三角形．故選A.3．(2012·福州調(diào)研)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝eq\r(2)a，則eq\f(b,a)＝()A．2eq\r(3) B．2eq\r(2)C.eq\r(3) D.eq\r(2)解析：選D.sin2AsinB＋sinBcos2A＝eq\r(2)sinA，即sinB(sin2A＋cos2A)＝eq\r(2)sinA，故sinB＝eq\r(2)sinA，所以eq\f(b,a)＝eq\r(2).4．在△ABC中，a＝x，b＝2，∠B＝45°.若該三角形有兩個(gè)解，則x的取值范圍是()A．x>2 B．x<2C．2<x<2eq\r(2) D．2<x<2eq\r(3)解析：選C.由題意得b<a，且b>asinB，所以2<x<2eq\r(2).5．在△ABC中，若∠A＝60°，b＝1，S△ABC＝eq\r(3)，則eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)的值為()A.eq\f(26\r(3),3) B.eq\f(2\r(39),3)C.eq\f(\r(39),3) D.eq\f(13\r(3),3)解析：選B.由S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA，得eq\r(3)＝eq\f(1,2)csin60°，所以c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，即a2＝1＋16－2×1×4cos60°＝13，所以a＝eq\r(13)，所以eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(2\r(13),\r(3))＝eq\f(2\r(39),3).二、填空題6．(2012·廈門質(zhì)檢)在△ABC中，若b＝1，c＝eq\r(3)，∠C＝eq\f(2π,3)，則a＝________.解析：由正弦定理，有eq\f(\r(3),sin\f(2π,3))＝eq\f(1,sinB)，∴sinB＝eq\f(1,2).∵∠C為鈍角，∴∠B必為銳角，∴∠B＝eq\f(π,6)，∴∠A＝eq\f(π,6).∴a＝b＝1.答案：17．a(chǎn)，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，S為△ABC的面積，且S＝c2－(a－b)2，則tanC＝________.解析：由余弦定理得S＝c2－(a2＋b2)＋2ab＝－2abcosC＋2ab＝2ab(1－cosC)＝eq\f(1,2)absinC，∴eq\f(1－cosC,sinC)＝eq\f(1,4)，即taneq\f(C,2)＝eq\f(1,4)，tanC＝eq\f(8,15).答案：eq\f(8,15)8．在△ABC中，給出下列結(jié)論：其中正確結(jié)論的序號(hào)為________．①若a2>b2＋c2，則△ABC為鈍角三角形；②若a2＝b2＋c2＋bc，則角A為60°；③若a2＋b2>c2，則△ABC為銳角三角形；④若A∶B∶C＝1∶2∶3，則a∶b∶c＝1∶2∶3.解析：在①中，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)<0，所以A為鈍角，所以△ABC為鈍角三角形，故①正確；在②中，b2＋c2－a2＝－bc，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(bc,2bc)＝－eq\f(1,2)，所以A＝120°，故②不正確；在③中，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)>0，故C為銳角，但△ABC不一定是銳角三角形，故③不正確；在④中A∶B∶C＝1∶2∶3，故A＝30°，B＝60°，C＝90°，所以a∶b∶c＝1∶eq\r(3)∶2，故④不正確．答案：①三、解答題9．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且b2＋c2＝a2＋bc.(1)求角A的大?。?2)若sinB·sinC＝sin2A，試判斷△ABC的形狀．解：(1)由已知得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2)，又∠A是△ABC的內(nèi)角，∴A＝eq\f(π,3).(2)由正弦定理，得bc＝a2，又b2＋c2＝a2＋bc，∴b2＋c2＝2bc.∴(b－c)2＝0，即b＝c.∴△ABC是等邊三角形．10．△ABC中，a，b，c是A，B，C所對(duì)的邊，S是該三角形的面積，且eq\f(cosB,cosC)＝－eq\f(b,2a＋c).(1)求∠B的大??；(2)若a＝4，S＝5eq\r(3)，求b的值．解：(1)由eq\f(cosB,cosC)＝－eq\f(b,2a＋c)?eq\f(cosB,cosC)＝－eq\f(sinB,2sinA＋sinC)?2sinAcosB＋cosBsinC＝－sinBcosC?2sinAcosB＝－sinBcosC－cosBsinC.∴2sinAcosB＝－sin(B＋C)?2sinAcosB＝－sinA?cosB＝－eq\f(1,2)，又0＜B＜π，∴B＝eq\f(2,3)π.(2)由a＝4，S＝5eq\r(3)有S＝eq\f(1,2)×4acsinB＝eq\f(1,2)×c×eq\f(\r(3),2)?c＝5，b2＝a2＋c2－2accosB?b2＝16＋25＋2×4×5×eq\f(1,2)?b＝eq\r(61).一、選擇題1．已知△ABC為銳角三角形，且B＝2A，求eq\f(b,a)的取值范圍()A．(eq\r(2)，eq\r(3)) B．(eq\r(2)，eq\r(3)]C．(eq\r(2)，2) D．(eq\r(2)，2]解析：選A.在△ABC中，B＝2A，A＋B＋C＝180°，所以C＝180°－A－B＝180°－3A<90°，A>30°.又2A<90°，即A<45°.所以30°<A<45°.所以eq\f(\r(2),2)<cosA<eq\f(\r(3),2).由正弦定理得eq\f(b,a)＝eq\f(sinB,sinA)＝eq\f(sin2A,sinA)＝2cosA，所以eq\r(2)<eq\f(b,a)<eq\r(3).2．若鈍角三角形三內(nèi)角成等差數(shù)列，且最大邊長(zhǎng)與最小邊長(zhǎng)的比值為m，則m的范圍是()A．(1,2) B．(2，＋∞)C．[3，＋∞) D．(3，＋∞)解析：選B.設(shè)△ABC三內(nèi)角為A、B、C，其對(duì)邊為a、b、c，且A<B<C，由2B＝A＋C，且A＋B＋C＝180°，可得B＝60°，由已知A<30°，m＝eq\f(c,a)＝eq\f(sinC,sinA)＝eq\f(sin60°＋A,sinA)＝eq\f(\r(3),2)·eq\f(1,tanA)＋eq\f(1,2)＞2.另解：(幾何法)如右圖，B＝60°，設(shè)AB＝2，角C1＝90°，則BC1＝1，要使角C為鈍角，只須BC<BC1＝1，即m＝eq\f(c,a)＞2.二、填空題3．(2011·高考天津卷改編)如圖，在△ABC中，D是邊AC上的點(diǎn)，且AB＝AD,2AB＝eq\r(3)BD，BC＝2BD，則sinC的值為________．解析：設(shè)BD＝2，則AB＝AD＝eq\r(3)，BC＝4.在△ABD中，cos∠ADB＝eq\f(AD2＋BD2－AB2,2×AD×BD)＝eq\f(3＋4－3,2×\r(3)×2)＝eq\f(\r(3),3)，∴sin∠BDC＝eq\r(1－cos2∠BDC)＝eq\r(1－\f(1,3))＝eq\f(\r(6),3).在△BDC中，由正弦定理得eq\f(4,sin∠BDC)＝eq\f(2,sinC)，即sinC＝eq\f(1,2)sin∠BDC＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(\r(6),6).答案：eq\f(\r(6),6)4．在△ABC中，eq\f(tanA,tanB)＝eq\f(\r(2)c－b,b)，則∠A＝________.解析：eq\f(tanA,tanB)＝eq\f(\r(2)c－b,b)，有eq\f(sinA,cosA)·eq\f(cosB,sinB)＝eq\f(\r(2)sinC－sinB,sinB)，又∵sinB≠0，∴sinAcosB＝eq\r(2)sinCcosA－sinBcosA，∴sin(A＋B)＝eq\r(2)sinCcosA，即sinC＝eq\r(2)sinCcosA.又∵sinC≠0，∴cosA＝eq\f(\r(2),2).∴∠A＝45°.答案：45°三、解答題5．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a2＋c2－b2＝eq\f(2\r(3),3)acsinB.(1)求角B的大?。?2)若b＝eq\r(3)且A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))，求邊長(zhǎng)c的取值范圍．解：(1)在△ABC中，根據(jù)余弦定理a2＋c2－b2＝2accosB，∵a2＋c2－b2＝eq\f(2\r(3),3)acsinB，∴2accosB＝eq\f(2\r(3),3)acsinB，∴tanB＝eq\r(3).又∵0＜B＜π，∴B＝eq\f(π,3).(2)∵A＋B＋C＝π，∴C＝π－A－B＝eq\f(2π,3)－A.由正弦定理，得：eq\f(c,sinC)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(\r(3),sin\f(π,3))＝2.∴c＝2sinC＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A)).∵eq\f(π,6)＜A＜eq\f(π,2)，∴eq\f(π,6)＜eq\f(2π,3)－A＜eq\f(π,2)，∴eq\f(1,2)＜sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A))＜1，∴1＜c＜2.6．在△ABC中，已知內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2sinB，－\r(3)))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2B，2cos2\f(B,2)－1))，且m∥n.(1)求銳角B的大??；(2)如果b＝2，求△ABC的面積S△ABC的最大值．解：(1)m∥n?2sinBeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(B,2)－1))＝－eq\r(3)cos2B?2sinBcosB＝－eq\r(3)cos2B?tan2B＝－eq\r(3).∵0＜2B＜π，∴2B＝eq\f(2π,3)，∴銳角B＝eq\f(π,3).(2)由tan2B＝－eq\r(3)?B＝eq\f(π,3)或eq\f(5π,6).①當(dāng)B＝eq\f(π,3)時(shí)，已知b＝2，由余弦定理，得：4＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac(當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝2時(shí)等號(hào)成立)，∵△ABC的面積S△ABC＝eq