江蘇省蘇州市常熟中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期一月學(xué)業(yè)質(zhì)量校內(nèi)調(diào)研數(shù)學(xué)試題(學(xué)生版+解析)

2022~2023學(xué)年度第一學(xué)期高二年級一月份學(xué)業(yè)質(zhì)量校內(nèi)調(diào)研高二(1)~(14)班數(shù)學(xué)試題一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{}，=5，=10，則=A. B.7 C.6 D.2.拋物線上一點到其對稱軸的距離為()A.4 B.2 C. D.13.直線x+y﹣1＝0被圓(x+1)2+y2＝3截得的弦長等于()A. B.2 C.2 D.44.圓C為過點的圓中最小的圓，則圓C上的任意一點M到原點O距離的取值范圍為()A. B. C. D.5.“天問一號”推開了我國行星探測的大門，通過一次發(fā)射，將實現(xiàn)火星環(huán)繞?著陸?巡視，是世界首創(chuàng)，也是我國真正意義上的首次深空探測．2021年2月10日，天問一號探測器順利進入火星的橢圓環(huán)火軌道(將火星近似看成一個球體，球心為橢圓的一個焦點).2月15日17時，天問一號探測器成功實施捕獲軌道“遠火點(橢圓軌跡上距離火星表面最遠的一點)平面機動”，同時將近火點高度調(diào)整至約265公里．若此時遠火點距離約為11945公里，火星半徑約為3395公里，則調(diào)整后“天問一號”的運行軌跡(環(huán)火軌道曲線)的離心率約為()A. B. C. D.6.直三棱柱中，，，點為線段的中點，若點在線段上，則直線與平面所成角的正弦值的取值范圍是()A. B. C. D.7.已知是雙曲線的左，右焦點，點在上，是線段上點，若，則當面積最大時，雙曲線的方程是()A. B.C. D.8.已知數(shù)列滿足，且前項和為，若，，則的取值范圍為()A. B. C. D.二?多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.在等差數(shù)列中，已知，，是其前項和，則()．A. B. C. D.10.下列結(jié)論錯誤的是()A.過點，的直線的傾斜角為30°B.若直線與直線垂直，則C.直線與直線之間的距離是D.已知，，點P在x軸上，則的最小值是511.已知橢圓的左，右焦點分別為，過點的直線交橢圓于和兩點，若的最大值為5，則下列說法中正確的是()A.橢圓的短軸長為B.當最大時，C.橢圓的離心率為D.的最小值為312.如圖直角梯形，，，．E為的中點，以為折痕把折起，使點A到達點P的位置，且，則()A.平面平面B.C.二面角的大小D.與平面所成角的正切值為三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若，則與向量反方向的單位向量的坐標為__________.14.已知拋物線，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于、兩點，若線段的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為_____________．15.已知數(shù)列滿足，且，則的值為__________.16.已知直線與橢圓相交于，兩點，且(為坐標原點)，若橢圓的離心率，則的最大值為___________．四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知圓C的方程為.(1)直線l1過點P(3，1)，傾斜角為45°，且與圓C交于A，B兩點，求AB的長；(2)求過點P(3，1)且與圓C相切直線l2的方程.18.已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.19.已知四棱錐，底面ABCD為菱形，，H為PC上的點，過AH的平面分別交PB，PD于點M，N，且平面AMHN．(1)證明；；(2)若H為PC的中點，，PA與平面ABCD所成的角為60°，求AD與平面AMHN所成角的余弦值．20.已知橢圓的下焦點為、上焦點為，其離心率．過焦點且與x軸不垂直的直線l交橢圓于A、B兩點．(1)求實數(shù)m的值；(2)求△ABO(O為原點)面積的最大值．21.已知數(shù)列滿足(1)求數(shù)列的通項公式；(2)是否存在正實數(shù)a，使得不等式對一切正整數(shù)n都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由.22.已知，分別是雙曲線的左，右頂點，直線(不與坐標軸垂直)過點，且與雙曲線交于，兩點.(1)若，求直線的方程；(2)若直線與相交于點，求證：點在定直線上.2023學(xué)年度第一學(xué)期高二年級一月份學(xué)業(yè)質(zhì)量校內(nèi)調(diào)研高二(15)班數(shù)學(xué)試題2023.01.11一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.23.已知函數(shù)，則()A. B. C. D.24.已知等差數(shù)列滿足，則的值為()A.－3 B.3 C.－12 D.1225.已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)在處有極值”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件26.如圖，正方形數(shù)表中對角線一列數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則()A. B.C. D.27.設(shè)函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，且，則不等式的解集為()A. B. C. D.28.若函數(shù)在區(qū)間上既有極大值又有極小值，則的取值范圍為()A. B. C. D.29.已知函數(shù)滿足，當時，，若在上，方程有三個不同的實根，則實數(shù)k的取值范圍是()A. B.C. D.30已知，，，則()A. B. C. D.二?多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.31.若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實數(shù)的值可能是()A.2 B.3 C. D.432.已知，則下列說法正確的有()A.B.C.D.33.已知數(shù)列中，成等差數(shù)列，且.若，則下列說法正確是()A. B.C. D.34.已知函數(shù)，則下列說法正確的是()A.當時，函數(shù)恰有兩個零點B.當時，不等式對任意恒成立C.若函數(shù)有兩個零點，則D.當時，若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍為三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.35.已知函數(shù)，則過(1,1)的切線方程為__________．36.已知函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù).當實數(shù)取最大值時，若存在點，使得過點的直線與曲線圍成兩個封閉圖形，且這兩個封閉圖形的面積總相等，則點的坐標為__________.37.“牛頓迭代法”是牛頓在17世紀提出的一種近似求方程根的方法.如圖，設(shè)是的根，選取作為初始近似值，過點作的切線與軸的交點橫坐標為，稱是的一次近似值；過點作的切線，則該切線與軸的交點的橫坐標為，稱是的二次近似值；重復(fù)以上過程，得到的近似值序列為“牛頓數(shù)列”，即.已知函數(shù)，數(shù)列為“牛頓數(shù)列”，設(shè)，且.數(shù)列的前項和__________.38.已知函數(shù)存在三個零點、、，且滿足，則的值為__________.四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.39.已知函數(shù)的所有正數(shù)零點構(gòu)成遞增數(shù)列.(1)求數(shù)列通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.40.甲、乙兩人進行下象棋比賽(沒有平局)．采用“五局三勝”制．已知在每局比賽中，甲獲勝的概率為，．(1)設(shè)甲以3：1獲勝的概率為，求的最大值；(2)記(1)中，取得最大值時的值為，以作為的值，用表示甲、乙兩人比賽的局數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．41.如圖，有一景區(qū)的平面圖是一半圓形，其中直徑長為和兩點在半圓弧上，滿足.設(shè).(1)現(xiàn)要在景區(qū)內(nèi)鋪設(shè)一條觀光道路，由線段和組成，則當為何值時，觀光道路的總長最長，并求的最大值；(2)若要在景區(qū)內(nèi)種植鮮花，其中在和內(nèi)種滿鮮花，在扇形內(nèi)種一半面積的鮮花，則當為何值時，鮮花種植面積最大？42.已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若對任意的，不等式恒成立，求a的取值范圍.43.如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，且與橢圓交于兩點，線段的中點恰在拋物線上.(1)求的取值范圍；(2)設(shè)是拋物線上一點，求的取值范圍，使得的面積存在最大值.44.已知函數(shù).(1)求函數(shù)在上的零點個數(shù)；(2)當時，求證：.(參考數(shù)據(jù)：)2022~2023學(xué)年度第一學(xué)期高二年級一月份學(xué)業(yè)質(zhì)量校內(nèi)調(diào)研高二(1)~(14)班數(shù)學(xué)試題一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{}，=5，=10，則=A. B.7 C.6 D.【答案】A【解析】【詳解】試題分析：由等比數(shù)列的性質(zhì)知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比數(shù)列，所以a4a5a6＝故答案為考點：等比數(shù)列的性質(zhì)、指數(shù)冪的運算、根式與指數(shù)式的互化等知識，轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想．2.拋物線上一點到其對稱軸的距離為()A.4 B.2 C. D.1【答案】A【解析】【分析】利用代入法進行求解即可.【詳解】把代入拋物線方程中，得，因為該拋物線的對稱軸為縱軸，所以拋物線上一點到其對稱軸的距離為4，故選：A3.直線x+y﹣1＝0被圓(x+1)2+y2＝3截得的弦長等于()A. B.2 C.2 D.4【答案】B【解析】【詳解】如圖,圓(x＋1)2＋y2＝3的圓心為M(?1,0)，圓半徑|AM|=，圓心M(?1,0)到直線x+y?1=0的距離：|，∴直線x+y?1=0被圓(x+1)2+y2=3截得的弦長：.故選B.點睛:本題考查圓的標準方程以及直線和圓的位置關(guān)系.判斷直線與圓的位置關(guān)系一般有兩種方法：1．代數(shù)法：將直線方程與圓方程聯(lián)立方程組，再將二元方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，該方程解的情況即對應(yīng)直線與圓的位置關(guān)系．這種方法具有一般性，適合于判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，但是計算量較大．2．幾何法：圓心到直線的距離與圓半徑比較大小，即可判斷直線與圓的位置關(guān)系．這種方法的特點是計算量較?。斨本€與圓相交時,可利用垂徑定理得出圓心到直線的距離,弦長和半徑的勾股關(guān)系.4.圓C為過點的圓中最小的圓，則圓C上的任意一點M到原點O距離的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】要使圓最小則圓心為P、Q的中點，求出圓心坐標及其半徑，由圓心到原點的距離結(jié)合圓的性質(zhì)即可確定圓C上的任意一點M到原點O距離的范圍.【詳解】以PQ為直徑的圓最小，則圓心為，半徑為，圓心到原點的距離為5，∴M到原點O距離的最小值為.故選：D．5.“天問一號”推開了我國行星探測的大門，通過一次發(fā)射，將實現(xiàn)火星環(huán)繞?著陸?巡視，是世界首創(chuàng)，也是我國真正意義上的首次深空探測．2021年2月10日，天問一號探測器順利進入火星的橢圓環(huán)火軌道(將火星近似看成一個球體，球心為橢圓的一個焦點).2月15日17時，天問一號探測器成功實施捕獲軌道“遠火點(橢圓軌跡上距離火星表面最遠的一點)平面機動”，同時將近火點高度調(diào)整至約265公里．若此時遠火點距離約為11945公里，火星半徑約為3395公里，則調(diào)整后“天問一號”的運行軌跡(環(huán)火軌道曲線)的離心率約為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題中的信息列出關(guān)于的方程，然后解方程并求離心率即可．【詳解】設(shè)橢圓的方程為()，由橢圓的性質(zhì)可得橢圓上的點到焦點的距離的最小值為，最大值為，根據(jù)題意可得近火點滿足，，解得，，所以橢圓的離心率為，故選：A．6.直三棱柱中，，，點為線段的中點，若點在線段上，則直線與平面所成角的正弦值的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】如圖所示：以為軸建立空間直角坐標系，計算平面的法向量為，根據(jù)向量夾角公式得到正弦值為，設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到最值.【詳解】如圖所示：以為軸建立空間直角坐標系，設(shè)，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取得到，，直線與平面所成角的正弦值為，設(shè)，則，，當時，有最大值為，當時有最小值為.故選：A.7.已知是雙曲線的左，右焦點，點在上，是線段上點，若，則當面積最大時，雙曲線的方程是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】在和分別利用余弦定理得，再在利用余弦定理，消去，根據(jù)均值不等式求面積最大時的關(guān)系，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)即可求解.【詳解】如圖所示設(shè)，，，，則，，在中由余弦定理得①，在中由余弦定理得②，得③，在中由余弦定理得④，③④聯(lián)立消去得，因為，當面積最大時即最大，由均值不等式可得，當且僅當即時等號成立，取得最大值，此時由④解得，所以，所以，即直角三角形，且，所以在中，解得，由雙曲線的性質(zhì)可得，解得，所以雙曲線的方程為，故選：C8.已知數(shù)列滿足，且前項和為，若，，則的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用遞推關(guān)系可得，即數(shù)列是等差數(shù)列，結(jié)合條件得，再利用等差數(shù)列求和公式即得.【詳解】∵，當時，，又①，∴②，由①－②，得，即，∴數(shù)列是等差數(shù)列.由，設(shè)為公差，則，解得，則.故選：A.二?多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.在等差數(shù)列中，已知，，是其前項和，則()．A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)已知條件得出、的方程組，解出這兩個量的值，利用等差數(shù)列的通項公式與求和公式可判斷各選項的正誤.【詳解】由已知條件得，解得.對于A選項，，A選項正確；對于B選項，，B選項錯誤；對于C選項，，C選項正確；對于D選項，，，所以，，D選項正確.故選：ACD.10.下列結(jié)論錯誤的是()A.過點，的直線的傾斜角為30°B.若直線與直線垂直，則C.直線與直線之間的距離是D.已知，，點P在x軸上，則的最小值是5【答案】ABC【解析】【分析】由斜率公式求出直線AB的斜率即可判斷A，根據(jù)兩條直線垂直求出a，進而判斷B，利用平行線間的距離公式即可求出答案，進而判斷C，作B關(guān)于x軸的對稱點C，進而利用對稱性得到答案，進而判斷D.【詳解】對A，，故A錯誤；對B，若兩條直線垂直，則2a-3=0，得，故錯誤；對C，直線可化為，則兩條直線間的距離，故C錯誤；對D，如圖，設(shè)點B關(guān)于x軸的對稱點為C(-1，-1)，則，當且僅當A,P,C三點共線時取“=”，故D正確.故選：ABC.11.已知橢圓的左，右焦點分別為，過點的直線交橢圓于和兩點，若的最大值為5，則下列說法中正確的是()A.橢圓的短軸長為B.當最大時，C.橢圓的離心率為D.的最小值為3【答案】BCD【解析】【分析】通過橢圓的定義得到，即，進而判段當軸時，最小，此時最大，求出，，即可對選項一一進行判定得出答案.【詳解】由題意可得：，根據(jù)橢圓定義可得，的最大值為5，的最大值為5，根據(jù)橢圓性質(zhì)，當軸時，最小，此時最大，此時直線的方程為，將代入橢圓方程得：，即，則，則，，則對于選項A：短軸長為，故選項A錯誤；對于選項B：當最大時，，故選項B正確；對于選項C：，故選項C正確；對于選項D：最大值為5，則的最小值為3，故選項D正確；綜上所述，選項BCD正確，故選：BCD.12.如圖直角梯形，，，．E為的中點，以為折痕把折起，使點A到達點P的位置，且，則()A.平面平面B.C.二面角的大小D.與平面所成角的正切值為【答案】AC【解析】【分析】A選項中，利用折前折后不變的量及勾股定理的逆定理，可證線線垂直，從而證得線面垂直，進而證明面面垂直；B選項中,先假設(shè)，從而證得,再根據(jù)不是直角即可推出矛盾，從而得出結(jié)論；C選項中，利用定義找出二面角的平面角,從而求其值，即可得出結(jié)論；D選項中,利用線面所成角的定義得出與平面所成角為,計算其正切值即可.【詳解】A選項中，,在中,,，易知,且,

平面,平面,平面平面,故A選項正確；B選項中,先假設(shè)，易知,,可得平面,則，而,顯然矛盾，故B選項錯誤；C選項中，易知二面角的平面角為,根據(jù)折疊前后位于同一平面上的線線位置關(guān)系不變知,故C選項正確；D選項中,由上面的分析知，為與平面所成角，在中，,故D選項錯誤；故選:AC三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若，則與向量反方向的單位向量的坐標為__________.【答案】【解析】【分析】先求出與向量同向的單位向量，在反方向的單位向量即可.【詳解】，則與向量反方向的單位向量的坐標為.故答案為：.14.已知拋物線，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于、兩點，若線段的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為_____________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：由，準線考點：拋物線方程及性質(zhì)15.已知數(shù)列滿足，且，則的值為__________.【答案】2【解析】【分析】首先判斷數(shù)列的周期，再根據(jù)周期求.【詳解】由題意得，，，，，，∴數(shù)列是周期為6的周期數(shù)列，∴.故答案為：．16.已知直線與橢圓相交于，兩點，且(為坐標原點)，若橢圓的離心率，則的最大值為___________．【答案】【解析】【分析】將直線方程代入橢圓方程，由韋達定理，向量數(shù)量積的坐標運算，求得，由離心率的取值范圍，即可求得的最大值.【詳解】解：設(shè)，

由，消去y，可得，

∴則，

由，整理得.

.

(其中為坐標原點)，可得，

，即，化簡得.

.整理得.

，

∴代入上式，化簡得，

.

，平方得，

，可得

，

因此，可得的最大值為，

滿足條件，

∴當橢圓的離心率時，的最大值為.

故答案為：.【點睛】本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達定理，向量數(shù)量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題.四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知圓C的方程為.(1)直線l1過點P(3，1)，傾斜角為45°，且與圓C交于A，B兩點，求AB的長；(2)求過點P(3，1)且與圓C相切的直線l2的方程.【答案】(1)(2)x=3或【解析】【分析】(1)首先利用點斜式求出直線的方程，再利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，最后利用垂直定理、勾股定理計算可得；(2)依題意可得點在圓外，分直線的斜率存在與不存在兩種情況討論，當直線的斜率不存在直線得到直線方程，但直線的斜率存在時設(shè)直線方程為，利用點到直線的距離公式得到方程，解得，即可得解；【小問1詳解】解：根據(jù)題意，直線的方程為，即，則圓心到直線的距離為故；【小問2詳解】解：根據(jù)題意，點在圓外，分兩種情況討論：當直線的斜率不存在時，過點的直線方程是，此時與圓C：相切，滿足題意；當直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，即，直線與圓相切時，圓心到直線的距離為解得此時，直線的方程為，所以滿足條件的直線的方程是或.18.已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)與的關(guān)系可得，從而確定數(shù)列為等比數(shù)列，即可求通項公式；(2)根據(jù)錯位相減法求和.【小問1詳解】由得即，所以，因為，所以，即，所以，所以數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以.【小問2詳解】由(1)得，前項和，，兩式相減得，即，所以.19.已知四棱錐，底面ABCD為菱形，，H為PC上的點，過AH的平面分別交PB，PD于點M，N，且平面AMHN．(1)證明；；(2)若H為PC的中點，，PA與平面ABCD所成的角為60°，求AD與平面AMHN所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】【分析】(1)令，連接，利用線面平行的性質(zhì)證得，再由已知證得平面即可推理作答.(2)證明兩兩垂直，再建立空間直角坐標系，借助空間向量求解作答.【小問1詳解】連接MN，令，連接，如圖，因平面AMHN，平面平面，而平面，則，菱形中，，O為BD的中點，而，則，平面，則平面，又平面，有，所以.【小問2詳解】令，則，由(1)知，O為AC的中點，有，而平面，即平面，因PA與平面ABCD所成的角為60°，則，是正三角形，，顯然射線兩兩垂直，以點O為原點，射線分別為軸非負半軸建立空間直角坐標系，令，因H為PC的中點，則點G是的重心，，，，令平面的一個法向量，則，令，得，而，設(shè)AD與平面AMHN所成的角為，，所以AD與平面AMHN所成角的余弦值.20.已知橢圓的下焦點為、上焦點為，其離心率．過焦點且與x軸不垂直的直線l交橢圓于A、B兩點．(1)求實數(shù)m的值；(2)求△ABO(O為原點)面積的最大值．【答案】(1)2；(2)﹒【解析】【分析】(1)根據(jù)已知條件得，，結(jié)合離心率，即可解得答案．(2)設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式以及三角形的面積公式，基本不等式即可得出答案．【小問1詳解】由題意可得，，，∵離心率，∴，∵，∴，解得．【小問2詳解】由(1)知，橢圓，上焦點，設(shè)，，，，直線的方程為：，聯(lián)立，得，∴，，∴，∴，∴，當且僅當，即時等號成立，∴為原點)面積的最大值為．21.已知數(shù)列滿足(1)求數(shù)列的通項公式；(2)是否存在正實數(shù)a，使得不等式對一切正整數(shù)n都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)通過構(gòu)造新數(shù)列求解；(2)由(1)得，再研究其單調(diào)性，從而得到最值，再解不等式即可求解.【小問1詳解】由，假設(shè)其變形為，則有，所以，又.所以，即.【小問2詳解】由(1)，所以，令，則，所以，所以是遞減數(shù)列，所以，所以使得不等式對一切正整數(shù)n都成立，則，即，因為為正實數(shù)，所以.22.已知，分別是雙曲線的左，右頂點，直線(不與坐標軸垂直)過點，且與雙曲線交于，兩點.(1)若，求直線的方程；(2)若直線與相交于點，求證：點在定直線上.【答案】(1)或；(2)證明見解析.【解析】【分析】(1)設(shè)直線的方程為并聯(lián)立雙曲線根據(jù)韋達定理可得與關(guān)系，結(jié)合可得，從而求得值得直線方程；(2)列出直線與方程，并求點坐標得，故得證.【詳解】解：設(shè)直線的方程為，設(shè)，，把直線與雙曲線聯(lián)立方程組，，可得，則，(1)，，由，可得，即①，②，把①式代入②式，可得，解得，，即直線的方程為或．(2)直線的方程為，直線的方程為，直線與的交點為，故，即，進而得到，又，故，解得故點在定直線上．【點晴】方法點晴：直線與圓錐曲線綜合問題，通常采用設(shè)而不求，結(jié)合韋達定理求解.2023學(xué)年度第一學(xué)期高二年級一月份學(xué)業(yè)質(zhì)量校內(nèi)調(diào)研高二(15)班數(shù)學(xué)試題2023.01.11一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.23.已知函數(shù)，則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式進行求解即可.【詳解】由，故選：C24.已知等差數(shù)列滿足，則的值為()A.－3 B.3 C.－12 D.12【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)若則可得.【詳解】由等差中項的性質(zhì)可得，，解得，∵，∴．故選：B25.已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)在處有極值”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可得到方程組，解得、再檢驗，最后根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】解：因為，所以，所以，解得或；當時，，即函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，無極值點，故舍去；當時，，當或時，當時，滿足函數(shù)在處取得極值，所以，所以由推不出函數(shù)在處有極值，即充分性不成立；由函數(shù)在處有極值推得出，即必要性成立；故“”是“函數(shù)在處有極值”的必要不充分條件；故選：B26.如圖，正方形數(shù)表中對角線的一列數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意得出數(shù)列的遞推公式，再通過累加法得出數(shù)列的通項，即可得出答案.【詳解】由題意得數(shù)列的遞推公式為：，則，，……，累加得：，則，n=1成立則，故選：D.27.設(shè)函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，且，則不等式的解集為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)得到的單調(diào)性，再變形不等式由單調(diào)性求解即可.【詳解】由題知，函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且有，即，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以，所以，解得，所以不等式的解集為，故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵.28.若函數(shù)在區(qū)間上既有極大值又有極小值，則的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求函數(shù)的極值點，由條件列不等式，求的取值范圍.【詳解】因為，所以當時，即時函數(shù)取最大值，當時，即時函數(shù)取最小值，故函數(shù)的極大值點為，極小值點為，因為函數(shù)在區(qū)間上既有極大值又有極小值，所以，故，所以取值范圍為.故選：A.29.已知函數(shù)滿足，當時，，若在上，方程有三個不同的實根，則實數(shù)k的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意求出的解析式，再畫出圖形，轉(zhuǎn)化成與的交點問題即可得出答案.【詳解】由題意得，當時，當時，，所以即在上，方程有三個不同的實根等價與函數(shù)與函數(shù)的圖像有三個交點，函數(shù)圖像如下由圖像可得，當直線過點M時，直線與恰有兩個交點，此時當直線與相切時，設(shè)切點為則切線斜率為，所以切線方程為因為該切線過原點，所以此時所以當時，直線與恰有兩個交點,又當直線過點時，即直線與恰有交點時，必與有交點，綜上.故選:D.30.已知，，，則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題可得，，，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即得.【詳解】∵，，，∴，對于函數(shù)，，令，，則，∴在上單調(diào)遞減，∴，即，在上單調(diào)遞減，∴，即，∴，∴.故選：B.二?多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.31.若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實數(shù)的值可能是()A.2 B.3 C. D.4【答案】BC【解析】【分析】利用導(dǎo)函數(shù)判斷的單調(diào)區(qū)間進行求解即可.【詳解】的定義域為，所以，A錯誤；由題意可得，令解得，所以當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，因為在區(qū)間上不單調(diào)，所以，即，選項B：當時，，正確；選項C：當時，，所以，正確；選項D：當時，，錯誤；故選：BC32.已知，則下列說法正確的有()A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】由賦值法以及求導(dǎo)運算依次判斷即可.【詳解】對于A，令可得，A正確；對于B，對兩邊求導(dǎo)得，令可得，B錯誤；對于C，令得，令得，兩式相加得，則，C正確；對于D，令可得，D正確.故選：ACD.33.已知數(shù)列中，成等差數(shù)列，且.若，則下列說法正確的是()A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】首先設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出，從而得到在上恒成立，即可得到，化簡得到，，再依次判斷選項即可得到答案.【詳解】設(shè)，則，令，解得.當時，，為減函數(shù)，當時，，為增函數(shù).所以，即在上恒成立.所以，即.所以，即，.因為，所以，.若，則.根據(jù)得到因為，當且僅當時等號成立.當時，，與已知條件矛盾，不成立.所以，，又因，所以，故A正確，B錯誤.因為，，，所以，即，故C錯誤，D正確.故選：AD34.已知函數(shù)，則下列說法正確的是()A.當時，函數(shù)恰有兩個零點B.當時，不等式對任意恒成立C.若函數(shù)有兩個零點，則D.當時，若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍為【答案】BCD【解析】【分析】選項A分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，結(jié)合題意判斷即可，選項B由選項A可知，當時，由，整理可得，對任意恒成立，選項C利用對數(shù)運算，換元，構(gòu)造新函數(shù)，對新函數(shù)求導(dǎo)，利用分析法證明即可，選項D，不等式變形得到，令，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求的最小值即可.【詳解】選項A，由，令，設(shè)，則，令，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當時，，所以當，，當，，所以的圖形如圖所示：由圖可知，函數(shù)恰有兩個零點時，即與有兩個不同的交點，此時，故A不正確，選項B，由選項A，，當時，，即對任意恒成立，故B正確，選項C，由函數(shù)有兩個零點，即為方程的兩根，即，所以，令且，則，所以，欲證，即證，即證明，只需證明，只需證明，即，設(shè)，則，令，所以，所以在上為增函數(shù)，又，所以，綜上所述，原不等式成立，故，故C正確，選項D，當時，，則不等式對恒成立，即，即，即，令，當時，單調(diào)遞增，所以，所以對任意恒成立，即求在上的最小值，由，當時，，當在時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，由，得，而，所以，所以的取值范圍是：，故選：BCD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.35.已知函數(shù)，則過(1,1)的切線方程為__________．【答案】【解析】【詳解】由函數(shù)，則，當點為切點時，則，即切線的斜率，所以切線的方程為，即，當點不是切點時，設(shè)切點，則，即，解得或(舍去)，所以所以切線的方程為，即.36.已知函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù).當實數(shù)取最大值時，若存在點，使得過點的直線與曲線圍成兩個封閉圖形，且這兩個封閉圖形的面積總相等，則點的坐標為__________.【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出的最大值，結(jié)合過點的直線與曲線圍成兩個封閉圖形，且這兩個封閉圖形的面積總相等，判斷函數(shù)的對稱性進行求解即可.【詳解】由，得，是上的增函數(shù)，在上恒成立，即：在上恒成立.設(shè)，，，設(shè)，，，函數(shù)在單調(diào)遞增，.即，，又，.的最大值為3.故得.將函數(shù)的圖像向上平移3個長度單位，所得圖像相應(yīng)的函數(shù)解析式為：，由于，為奇函數(shù)，故的圖像關(guān)于原點對稱，由此即得函數(shù)的圖像關(guān)于成中心對稱.這表明存在點，使得過點的直線與曲線圍成兩個封閉圖形，且這兩個封閉圖形的面積總相等.故答案為：.37.“牛頓迭代法”是牛頓在17世紀提出的一種近似求方程根的方法.如圖，設(shè)是的根，選取作為初始近似值，過點作的切線與軸的交點橫坐標為，稱是的一次近似值；過點作的切線，則該切線與軸的交點的橫坐標為，稱是的二次近似值；重復(fù)以上過程，得到的近似值序列為“牛頓數(shù)列”，即.已知函數(shù)，數(shù)列為“牛頓數(shù)列”，設(shè)，且.數(shù)列的前項和__________.【答案】##【解析】【分析】求出代入計算，再計算得，左右兩邊同時取對數(shù)得到，即是等比數(shù)列，進而求得的前n項和.【詳解】∵，∴，∴，∴又∵∴又∵，∴，又∵，∴是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，∴的前n項和，故答案為：.38.已知函數(shù)存在三個零點、、，且滿足，則的值為__________.【答案】【解析】【分析】由可得，令，可得出，構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可知關(guān)于的方程有兩個不等的實根、，設(shè)，且有，，利用韋達定理可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】函數(shù)的定義域為，由可得，令，可得，即，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，當時，，且，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：若使得方程由三個不等的實根、、，且滿足，則關(guān)于的方程有兩個不等的實根、，設(shè)，由韋達定理可得，則，由圖可知，，因此，.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用函數(shù)的零點求代數(shù)式的值，解題的關(guān)鍵在于通過換元，通過分析函數(shù)的單調(diào)性，利用數(shù)形結(jié)合思想將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進行求解.四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.39.已知函數(shù)的所有正數(shù)零點構(gòu)成遞增數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用輔助角公式化簡得到，從而得到正數(shù)零點，從而得到為等差數(shù)列，公差為1，首項為，得到通項公式；(2)利用錯位相減法求和.【小問1詳解】，令，解得：，故當時，為數(shù)列的首項，由于，故為等差數(shù)列，公差為1，故；【小問2詳解】，故①，則②，①-②得：，則.40.甲、乙兩人進行下象棋比賽(沒有平局)．采用“五局三勝”制．已知在每局比賽中，甲獲勝的概率為，．(1)設(shè)甲以3：1獲勝的概率為，求的最大值；(2)記(1)中，取得最大值時的值為，以作為的值，用表示甲、乙兩人比賽的局數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【解析】【分析】(1)根據(jù)題意列出的解析式，通過求導(dǎo)即可得到的最大值.(2)由(1)得到的值，再根據(jù)的可能取值為3,4,5，分別求出其所對應(yīng)概率即可得出分布列，再由公式求得期望即可.【小問1詳解】甲以3：1獲勝，則前三局中甲勝兩局敗一局，第四局甲必須獲勝，所以，，，令，得；令，得；令，得．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值為．【小問2詳解】由(1)知，由題意，知X的所有可能取值為3、4、5，相應(yīng)的概率為，，，所以X的分布列為X345PX的數(shù)學(xué)期望．41.如圖，有一景區(qū)的平面圖是一半圓形，其中直徑長為和兩點在半圓弧上，滿足.設(shè).(1)現(xiàn)要在景