中考數(shù)學解題技巧 5將軍飲馬模型與最值問題

將軍飲馬模型與最值問題【模型引入】什么是將軍飲馬？“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩人李頎《古從軍行》里的一句詩。而由此卻引申出一系列非常有趣的數(shù)學問題，通常稱為“將軍飲馬”?！灸Ｐ兔枋觥咳鐖D，將軍在圖中點A處，現(xiàn)在他要帶馬去河邊喝水，之后返回軍營，問：將軍怎么走能使得路程最短？【模型抽象】如圖，在直線上找一點P使得PA+PB最??？這個問題的難點在于PA+PB是一段折線段，通過觀察圖形很難得出結(jié)果，關(guān)于最小值，我們知道“兩點之間，線段最短”、“點到直線的連線中，垂線段最短”等，所以此處，需轉(zhuǎn)化問題，將折線段變?yōu)橹本€段．【模型解析】作點A關(guān)于直線的對稱點A’，連接PA’，則PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB當A’、P、B三點共線的時候，PA’+PB=A’B，此時為最小值（兩點之間線段最短）【模型展示】【模型】一、兩定一動之點點在OA、OB上分別取點M、N，使得△PMN周長最小．此處M、N均為折點，分別作點P關(guān)于OA（折點M所在直線）、OB（折點N所在直線）的對稱點，化折線段PM+MN+NP為P’M+MN+NP’’，當P’、M、N、P’’共線時，△PMN周長最?。揪淅}】如圖，點P是∠AOB內(nèi)任意一點，∠AOB=30°，OP=8，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，則△PMN周長的最小值為___________．【分析】△PMN周長即PM+PN+MN的最小值，此處M、N均為折點，分別作點P關(guān)于OB、OA對稱點P’、P’’，化PM+PN+MN為P’N+MN+P’’M．當P’、N、M、P’’共線時，得△PMN周長的最小值，即線段P’P’’長，連接OP’、OP’’，可得△OP’P’’為等邊三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．【模型】二、兩定兩動之點點在OA、OB上分別取點M、N使得四邊形PMNQ的周長最小。考慮PQ是條定線段，故只需考慮PM+MN+NQ最小值即可，類似，分別作點P、Q關(guān)于OA、OB對稱，化折線段PM+MN+NQ為P’M+MN+NQ’，當P’、M、N、Q’共線時，四邊形PMNQ的周長最小?！灸Ｐ汀咳⒁欢▋蓜又c線在OA、OB上分別取M、N使得PM+MN最小。此處M點為折點，作點P關(guān)于OA對稱的點P’，將折線段PM+MN轉(zhuǎn)化為P’M+MN，即過點P’作OB垂線分別交OA、OB于點M、N，得PM+MN最小值（點到直線的連線中，垂線段最短）題型一將軍飲馬中兩定一動模型與最值問題【專題說明】這類問題的解法主要是通過軸對稱，將動點所在直線同側(cè)的兩定點中的一個映射到直線的另一側(cè)，轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短問題。1、如圖，在中，，是的兩條中線，是上一個動點，則下列線段的長度等于最小值的是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】在中，，AD是的中線，可得點B和點D關(guān)于直線AD對稱，連結(jié)CE，交AD于點P，此時最小，為EC的長，故選B.2、如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，BE＝2，AB＝8，P是AC上一動點，則PB+PE的最小值_____．【答案】10【詳解】解：如圖：連接DE交AC于點P，此時PD＝PB，PB+PE＝PD+PE＝DE為其最小值，∵四邊形ABCD為正方形，且BE＝2，AB＝8，∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝8，AE＝AB-BE＝6，在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理，得DE＝＝＝10．∴PB+PE的最小值為10．故答案為10．3、如圖，在平面直角坐標系中，矩形的邊交軸于點，軸，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，點的坐標為，．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）點為軸上一動點，當?shù)闹底钚r，求出點的坐標．【答案】（1）；（2）【詳解】解：（1）∵是矩形，∴，∵，∴，∴，又∵軸，∴，∴，∵∴，即把點代入的得，∴反比例函數(shù)的解析式為：．答：反比例函數(shù)的解析式為：．（2）過點作垂足為，∵，，∴，∴，∴，則點關(guān)于軸的對稱點，直線與軸的交點就是所求點，此時最小，設(shè)直線AB1的關(guān)系式為，將,，代入得，解得：，，∴直線的關(guān)系式為，當時，，∴點答：點的坐標為．4、如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A（﹣1，0）B（3，0）兩點，與y軸交于點C，點D是該拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式和直線AC的解析式；（2）請在y軸上找一點M，使△BDM的周長最小，求出點M的坐標；（3）試探究：在拋物線上是否存在點P，使以點A，P，C為頂點，AC為直角邊的三角形是直角三角形？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；直線AC的解析式為y=3x+3；（2）點M的坐標為（0，3）；（3）符合條件的點P的坐標為（，）或（，﹣），【詳解】解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；當x=0時，y=﹣x2+2x+3=3，則C（0，3），設(shè)直線AC的解析式為y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，∴直線AC的解析式為y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴頂點D的坐標為（1，4），作B點關(guān)于y軸的對稱點B′，連接DB′交y軸于M，如圖1，則B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此時MB+MD的值最小，而BD的值不變，∴此時△BDM的周長最小，易得直線DB′的解析式為y=x+3，當x=0時，y=x+3=3，∴點M的坐標為（0，3）；（3）存在．過點C作AC的垂線交拋物線于另一點P，如圖2，∵直線AC的解析式為y=3x+3，∴直線PC的解析式可設(shè)為y=﹣x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直線PC的解析式為y=﹣x+3，解方程組，解得或，則此時P點坐標為（，）；過點A作AC的垂線交拋物線于另一點P，直線PC的解析式可設(shè)為y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得+b=0，解得b=﹣，∴直線PC的解析式為y=﹣x﹣，解方程組，解得或，則此時P點坐標為（，﹣）.綜上所述，符合條件的點P的坐標為（，）或（，﹣）.5、如圖1（注：與圖2完全相同），在直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點三點,,．（1）求拋物線的解析式和對稱軸；（2）是拋物線對稱軸上的一點，求滿足的值為最小的點坐標（請在圖1中探索）；（3）在第四象限的拋物線上是否存在點，使四邊形是以為對角線且面積為的平行四邊形？若存在，請求出點坐標，若不存在請說明理由.（請在圖2中探索）【答案】（1），函數(shù)的對稱軸為：；（2）點；（3）存在，點的坐標為或．【詳解】解：根據(jù)點,的坐標設(shè)二次函數(shù)表達式為：，∵拋物線經(jīng)過點，則，解得：，拋物線的表達式為：，函數(shù)的對稱軸為：；連接交對稱軸于點，此時的值為最小，設(shè)BC的解析式為：，將點的坐標代入一次函數(shù)表達式：得：解得：直線的表達式為：，當時，，故點；存在，理由：四邊形是以為對角線且面積為的平行四邊形，則，點在第四象限，故：則，將該坐標代入二次函數(shù)表達式得：，解得：或，故點的坐標為或．題型二將軍飲馬中一定兩動模型與最值問題【專題說明】一定兩動型可轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短和點到直線的垂線段最短問題，進而求最值。關(guān)鍵是作定點（或動點）關(guān)于動折點所在直線的對稱點，通過等量代換轉(zhuǎn)化問題?！灸Ｐ驼故尽俊灸Ｐ汀咳⒁欢▋蓜又c線在OA、OB上分別取M、N使得PM+MN最小。此處M點為折點，作點P關(guān)于OA對稱的點P’，將折線段PM+MN轉(zhuǎn)化為P’M+MN，即過點P’作OB垂線分別交OA、OB于點M、N，得PM+MN最小值（點到直線的連線中，垂線段最短）【精典例題】1、如圖，在邊長為的菱形中，，將沿射線的方向平移得到，分別連接，，則的最小值為____.【答案】【詳解】如圖，過C點作BD的平行線，以為對稱軸作B點的對稱點，連接交直線于點根據(jù)平移和對稱可知，當三點共線時取最小值，即，又，根據(jù)勾股定理得，，故答案為2、點P是定點，在OA、OB上分別取M、N，使得PM+MN最小?！窘夥ā孔鼽cP關(guān)于OA對稱的點P’，將折線段PM+MN轉(zhuǎn)化為P’M+MN，即過點P’作OB垂線分別交OA、OB于點M、N，得PM+MN最小值（垂線段最短）3、點P是定點，在OA、OB上分別取點M、N，使得△PMN周長最?。窘夥ā糠謩e作點P關(guān)于OA（折點M所在直線）、OB（折點N所在直線）的對稱點，化折線段PM+MN+NP為P’M+MN+NP’’，當P’、M、N、P’’共線時，△PMN周長最?。?、如圖，拋物線y=ax2﹣5ax+c與坐標軸分別交于點A，C，E三點，其中A（﹣3，0），C（0，4），點B在x軸上，AC=BC，過點B作BD⊥x軸交拋物線于點D，點M，N分別是線段CO，BC上的動點，且CM=BN，連接MN，AM，AN．（1）求拋物線的解析式及點D的坐標；（2）當△CMN是直角三角形時，求點M的坐標；（3）試求出AM+AN的最小值．【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+x+4；D點坐標為（3，5）；（2）M點的坐標為（0，）或（0，）；（3）AM+AN的最小值為．【詳解】（1）把A（﹣3，0），C（0，4）代入y=ax2﹣5ax+c得，解得，∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+4；∵AC=BC，CO⊥AB，∴OB=OA=3，∴B（3，0），∵BD⊥x軸交拋物線于點D，∴D點的橫坐標為3，當x=3時，y=﹣×9+×3+4=5，∴D點坐標為（3，5）；（2）在Rt△OBC中，BC==5，設(shè)M（0，m），則BN=4﹣m，CN=5﹣（4﹣m）=m+1，∵∠MCN=∠OCB，∴當時，△CMN∽△COB，則∠CMN=∠COB=90°，即，解得m=，此時M點坐標為（0，）；當時，△CMN∽△CBO，則∠CNM=∠COB=90°，即，解得m=，此時M點坐標為（0，）；綜上所述，M點的坐標為（0，）或（0，）；（3）連接DN，AD，如圖，∵AC=BC，CO⊥AB，∴OC平分∠ACB，∴∠ACO=∠BCO，∵BD∥OC，∴∠BCO=∠DBC，∵DB=BC=AC=5，CM=BN，∴△ACM≌△DBN，∴AM=DN，∴AM+AN=DN+AN，而DN+AN≥AD（當且僅當點A、N、D共線時取等號），∴DN+AN的最小值=，∴AM+AN的最小值為．4、如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點，連接DF，過點E作EH⊥DF，垂足為H，EH的延長線交DC于點G．（1）猜想DG與CF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）過點H作MN∥CD，分別交AD，BC于點M，N，若正方形ABCD的邊長為10，點P是MN上一點，求△PDC周長的最小值．【答案】（1）結(jié)論：CF=2DG，理由見解析；（2）△PCD的周長的最小值為10+2．【詳解】（1）結(jié)論：CF=2DG．理由：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，∵DE=AE，∴AD=CD=2DE，∵EG⊥DF，∴∠DHG=90°，∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，∴∠CDF=∠DEG，∴△DEG∽△CDF，∴==，∴CF=2DG．（2）作點C關(guān)于NM的對稱點K，連接DK交MN于點P，連接PC，此時△PDC的周長最短．周長的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．由題意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG=，EG=，DH==，∴EH=2DH=2，∴HM==2，∴DM=CN=NK==1，在Rt△DCK中，DK===2，∴△PCD的周長的最小值為10+2．5、如圖，在正方形ABCD中，AB=9，點E在CD邊上，且DE=2CE，點P是對角線AC上的一個動點，則PE+PD的最小值是（）A． B． C．9 D．【答案】A【詳解】解：如圖，連接BE，設(shè)BE與AC交于點P′，∵四邊形ABCD是正方形，∴點B與D關(guān)于AC對稱，∴P′D=P′B，∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最小．即P在AC與BE的交點上時，PD+PE最小，為BE的長度．∵直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=9，CE=CD=3，∴BE==．故選A．6、如圖，∠AOB的邊OB與x軸正半軸重合，點P是OA上的一動點，點N（3，0）是OB上的一定點，點M是ON的中點，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，則點P的坐標為______．【答案】（，）．【詳解】解：作N關(guān)于OA的對稱點N′，連接N′M交OA于P，則此時，PM+PN最小，∵OA垂直平分NN′，∴ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，∴△NON′是等邊三角形，∵點M是ON的中點，∴N′M⊥ON，∵點N（3，0），∴ON=3，∵點M是ON的中點，∴OM=1.5，∴PM=，∴P（，）．故答案為：（，）．題型三將軍飲馬中兩定兩動模型與最值問題【專題說明】運用平移變換，把保持平移后的線段與原來線段平行且相等的特性下，把無公共端點的兩線段移動到具有公共端點的新位置，從而轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短問題求解最值。【模型展示】【模型】二、兩定兩動之點點在OA、OB上分別取點M、N使得四邊形PMNQ的周長最小?？紤]PQ是條定線段，故只需考慮PM+MN+NQ最小值即可，類似，分別作點P、Q關(guān)于OA、OB對稱，化折線段PM+MN+NQ為P’M+MN+NQ’，當P’、M、N、Q’共線時，四邊形PMNQ的周長最小。【精典例題】1、如圖所示拋物線過點，點，且（1）求拋物線的解析式及其對稱軸；（2）點在直線上的兩個動點，且，點在點的上方，求四邊形的周長的最小值；（3）點為拋物線上一點，連接，直線把四邊形的面積分為3∶5兩部分，求點的坐標.【答案】（1），對稱軸為直線；（2）四邊形的周長最小值為；（3）【詳解】（1）∵OB=OC，∴點B（3，0），則拋物線的表達式為：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，故-3a=3，解得：a=-1，故拋物線的表達式為：y=-x2+2x+3…①；對稱軸為：直線（2）ACDE的周長=AC+DE+CD+AE，其中AC=、DE=1是常數(shù)，故CD+AE最小時，周長最小，取點C關(guān)于函數(shù)對稱點C（2，3），則CD=C′D，取點A′（-1，1），則A′D=AE，故：CD+AE=A′D+DC′，則當A′、D、C′三點共線時，CD+AE=A′D+DC′最小，周長也最小，四邊形ACDE的周長的最小值=AC+DE+CD+AE=+1+A′D+DC′=+1+A′C′=+1+；（3）如圖，設(shè)直線CP交x軸于點E，直線CP把四邊形CBPA的面積分為3：5兩部分，又∵S△PCB：S△PCA=EB×（yC-yP）：AE×（yC-yP）=BE：AE，則BE：AE，=3：5或5：3，則AE=或，即：點E的坐標為（，0）或（，0），將點E、C的坐標代入一次函數(shù)表達式：y=kx+3，解得：k=-6或-2，故直線CP的表達式為：y=-2x+3或y=-6x+3…②聯(lián)立①②并解得：x=4或8（不合題意值已舍去），故點P的坐標為（4，-5）或（8，-45）．2、如圖，在矩形中，，，為的中點，若為邊上的兩個動點，且，若想使得四邊形的周長最小，則的長度應(yīng)為__________.【答案】【詳解】解：如圖，在AD上截取線段AF=DE=2，作F點關(guān)于BC的對稱點G，連接EG與BC交于一點即為Q點，過A點作FQ的平行線交BC于一點，即為P點，過G點作BC的平行線交DC的延長線于H點．

∵E為CD的中點，∴CE=