第10章 動力學(xué)方法選擇

第10章動力學(xué)問題的分類與求解方法選擇為了能夠把動力學(xué)問題的求解方法規(guī)律化，把常見的剛體動力學(xué)問題分為三類：第一類是必須計算加速度的問題，第二類是不必計算加速度的問題，第三類是不能計算加速度的問題。動力學(xué)中許多問題都與加速度的計算有關(guān)，此類問題都可用動靜法求解，而不必考慮使用動量定理與動量矩定理的微分形式。

在這些問題中，如果加速度是已知量，則直接運用動靜法，列出動力平衡方程即可求解。如果加速度是未知量，則需要在動力平衡方程之外補充運用其它方法確定加速度。通常補充分析加速度有三個途徑：幾何關(guān)系、運動學(xué)關(guān)系與動力學(xué)關(guān)系，下面分別舉例說明。10.1必須計算加速度的問題

建立一定的坐標系，根據(jù)系統(tǒng)內(nèi)各物體的位置，確定各物體的坐標，由幾何關(guān)系可以建立坐標的關(guān)系式；對各坐標計算對時間的導(dǎo)數(shù)可以得到各物體的速度與加速度的關(guān)系。

其中質(zhì)心的坐標計算公式在計算系統(tǒng)主矢時常用，因為慣性力系的主矢由質(zhì)心的加速度計算，如果可以寫出質(zhì)心坐標的表達式，通過對時間求導(dǎo)就可以計算出質(zhì)心的加速度。

利用幾何關(guān)系分析加速度常用在分析一般位置動力學(xué)問題的場合。10.1.1利用幾何關(guān)系分析加速度例10-1

圖示的曲柄滑桿機構(gòu)中，曲柄OA以勻角速度w繞O軸轉(zhuǎn)動，其長度OA=l，質(zhì)量為m1，質(zhì)心在OA中點；滑塊A的質(zhì)量為m2；滑桿BD的質(zhì)量為m3，質(zhì)心在E點。試求作用在軸O的最大水平約束力。解：

1.研究對象：因為求系統(tǒng)的外約束力，所以以機構(gòu)整體為研究對象。

2.運動分析：曲柄定軸轉(zhuǎn)動，滑塊隨曲柄轉(zhuǎn)動同時在滑桿的滑槽中相對滑動，滑桿平移。由于所求是系統(tǒng)的外約束力，它與系統(tǒng)的慣性力系的主矢有關(guān)；所以暫且只考慮系統(tǒng)質(zhì)心的加速度。設(shè)此位置系統(tǒng)質(zhì)心C上的加速度為aCx、aCy。計算質(zhì)心的加速度可以利用質(zhì)心坐標的計算，機構(gòu)質(zhì)心的坐標為設(shè)運動開始時，曲柄OA水平向右，故有由xC坐標可以計算出3.受力分析：分析外力，主動力為重力G1、G2、G3；約束力為軸承O的約束力Fox、Foy和滑桿導(dǎo)軌的約束力FN；慣性力系向質(zhì)心C簡化的等效慣性力為FIx與FIy，慣性力系的主矩不必考慮。作出受力圖如圖所示。4.建立方程：所求的軸O水平約束力是系統(tǒng)唯一的水平外力。由動靜法可知，它只與系統(tǒng)慣性力系主矢的水平分量平衡。所以，作用在軸O的最大水平約束力為即得例10-2

如圖所示，均質(zhì)桿AB長為l，質(zhì)量為m，從直立位置由靜止開始滑動，桿的上端A沿墻壁向下滑，下端B沿地板向右滑，不計摩擦。求桿的任一位置j時的角速度與角加速度，以及A，B處的約束力。1.研究對象：桿AB。

2.運動分析：桿AB在鉛垂面平面運動。為描述其運動建立坐標系Oxy，桿的角度j從x軸開始度量，順時針方向為正。設(shè)質(zhì)心C的加速度為aCx、aCy，桿的角速度與角加速度分別為w與a，w與a的方向假設(shè)與角j的正向一致。應(yīng)注意，實際上桿在倒下的過程中角速度方向為逆時針方向。由幾何關(guān)系確定質(zhì)心C的坐標，如圖所示，有計算對時間的二階導(dǎo)數(shù)，有3.受力分析：主動力慣性力系的等效慣性力等效慣性力偶矩作出受力圖。，約束力FNA、FNB，4.建立方程：作用在桿上的力系為平面力系，列出動力平衡方程代入慣性力及質(zhì)心加速度表達式，即得

(1)

(2)

(3)把式(2)與式(3)代入式(1)，得到(4)式（4）可變?yōu)榉e分上式，并利用初始條件：可得由式（5）知，在任一位置角j時，桿的角速度方向為逆時針方向。(5)由式（4）知，桿的角加速度因把式（4）與式（5）代入式（2）與式（3）可得故其方向為逆時針方向。10.1.2利用運動學(xué)關(guān)系分析加速度

計算慣性力系的主矢與主矩所需的質(zhì)心加速度與剛體的角速度，也可以通過運動分析的方法確定。這里經(jīng)常使用的方法有加速度合成定理，以及平面運動剛體上點的加速度計算的基點法。這種方法應(yīng)用得較多，即可分析特殊位置的問題，也可分析一般位置的問題。例10-3

曲柄滑槽機構(gòu)如圖所示。已知圓輪的半徑為r，對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J，輪上作用上不變的力偶M，滑槽ABD的質(zhì)量為m，不計摩擦。求圓輪的轉(zhuǎn)動微分方程。解：1.研究對象：此題只需求圓輪的轉(zhuǎn)動微分方程，且滑槽的幾何尺寸不明，所以不宜以系統(tǒng)整體為研究對象。分別以圓輪O與滑槽ABD為研究對象。2.運動分析：參見圖，設(shè)輪O的轉(zhuǎn)角為j，角速度與角加速度分別為w與a，進而計算滑槽的加速度。以輪上的銷釘E為動點，動系固連在滑槽上，牽連運動為平移。作出E點的加速度分析圖。由加速度合成定理，有

其中ae為滑槽的加速度，投影到ae方向上，有

(1)3.受力分析：分別作輪O與滑槽ABD的受力圖如圖。其中，F(xiàn)N是滑槽對輪O上的銷釘E的作用力，滑槽的質(zhì)心在點C，其重力平移滑槽的慣性力4.建立方程：對輪O，只用一個力矩方程

(2)對滑槽ABD用一個投影方程(3)由式(2)與式(3)消去FN，得代入式(1)，得所以，圓輪的轉(zhuǎn)動微分方程為對于平面運動物體從靜止開始運動的瞬時，可以確定其加速度瞬心，據(jù)此可以更加方便地分析加速度關(guān)系。例10-4

均質(zhì)桿OA和AB長皆為l，質(zhì)量皆為m，桿OA水平，桿AB與水平成30°角。輪B半徑為r=0.5l，質(zhì)量mB=2m，在粗糙水平面上只能產(chǎn)生純滾動，不計摩擦滾阻。A處懸掛在鉛垂繩子AC上，系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)。求當繩子AC被剪斷的瞬時，作用在O、A、B、D處的力及桿OA、桿AB和輪B的角加速度。解：（1）研究對象：此題求內(nèi)約束A、B的約束力，所以必須拆開。但應(yīng)先從整體進行運動分析，建立運動學(xué)關(guān)系。（2）運動分析：桿OA角加速度aO，質(zhì)心E加速度aE，點A的加速度為aA；桿AB角加速度為aC，質(zhì)心C的加速度為aCx、aCy；輪B的圓心的加速度為aB，角加速度為aB。桿OA，此瞬時角速度為零，所以：桿AB，以B為基點，有

(a)此瞬時式(a)投影到aA方向上，有即式(a)投影到aB方向上:

即以B為基點，C點的加速度為(b)式(b)分別投影到aCx方向與aCy方向，有即即輪B沿直線純滾動時所以（3）受力分析：分別作輪B、桿AB與桿OA的受力圖（4）建立方程：對于輪B對于桿AB對于桿OA與以上各式解得，，例10-5

如圖所示，均質(zhì)細桿AB長為l，質(zhì)量為m1，上端B靠在光滑墻上，下端A以鉸鏈與均質(zhì)圓柱的中心相連。圓柱質(zhì)量為m2，半徑為R，放在粗糙水平面上，自圖示位置由靜止開始滾動而不滑動，桿與水平線的夾角為。求點A在初瞬時的加速度。解：1.研究對象：先以系統(tǒng)整體為研究對象。此問題研究由靜止開始運動的瞬時狀態(tài)，而系統(tǒng)中物體為平面運動，所以在分析加速度關(guān)系時可以用加速度瞬心的方法。2.運動分析：桿AB和圓柱A皆為平面運動。桿AB上兩點的加速度aA與aB的方向可以確定。作aA與aB的垂線相交于桿AB的加速度瞬心點Q，設(shè)桿AB的角加速度為aC，則有桿AB的質(zhì)心C的加速度為圓柱A在直線軌道上純滾動，所以有

3.受力分析：作系統(tǒng)整體的受力圖，如圖所示，為平面任意力系。其中，對系統(tǒng)整體，盡量避免不必要的未知量出現(xiàn)，故只用一個方程化簡為(a)4.建立方程：此方程有兩個未知量，但如果仍用整體的平衡方程則會引入新的未知量，所以再取圓柱A為研究對象，作圓柱A的受力圖，其中增加了鉸鏈A處的兩個未知約束力，但可以不引入方程，有得到

代入式(a)得使用動力學(xué)關(guān)系分析加速度時，較多用動能定理。因為動能定理中不含理想約束力，因此往往可以直接用來計算速度（角速度）與加速度（角加速度）。動能定理的積分形式，一般用于特殊位置問題，補充分析速度關(guān)系。動能定理的微分形式（功率方程），用于分析一般位置的加速度關(guān)系。

對于系統(tǒng)中運動特點不明確的物體，有時可先單獨進行一些動力學(xué)分析確定物體的運動種類，在此基礎(chǔ)上才便于分析加速度等運動量的關(guān)系。10.1.3利用動力學(xué)關(guān)系分析加速度例10-6

如圖所示均質(zhì)細長桿AB長為l，質(zhì)量為m，起初緊靠在鉛垂墻壁上，由于微小干擾，桿繞B點傾倒。不計摩擦，求：B端未脫離墻時AB桿的角速度、角加速度及B處的約束力。解：1.研究對象：以桿AB為研究對象。2.運動分析：在倒下而B端未脫離墻時，桿AB的運動是以B端為軸的定軸轉(zhuǎn)動。與設(shè)在轉(zhuǎn)角為q時，桿AB的角速度為w，角加速度為a，質(zhì)心C的法向加速度與切向加速度分別為3.受力分析：作受力圖如圖所示，為平面任意力系。其中，主動力G=mg，B端約束力Fx、Fy；桿AB的慣性力系向轉(zhuǎn)軸B簡化，其等效慣性力用法向分力與切向分力表示，法向分力為切向分力為等效慣性力偶的力偶矩為4.建立方程：平面任意力系有三個獨立的平衡方程，為由此解得

(a)尚有桿AB的角速度w未知，因已經(jīng)求出角加速度a，可以通過積分求角速度w，也可以通過動力學(xué)的方法補充計算角速度w。初始位置時桿AB靜止，T1=0，在轉(zhuǎn)過q角時，在此過程中只有重力做功，為由積分形式的動能定理解得(b)所以桿AB的角速度為

例10-7

如圖所示，均質(zhì)半圓盤的質(zhì)量為m，半徑為r，可以在水平面上作無滑動的擺動?，F(xiàn)在把半圓盤由直徑AB鉛垂的位置無初速在釋放，求當直徑AB水平時地面對半圓盤的約束力。解：1.研究對象：以半圓盤為研究對象。設(shè)半圓盤的質(zhì)心為C，則對垂直于運動平面的質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為2.運動分析：半圓盤的運動是平面運動，純滾動時速度瞬心為點D。設(shè)當直徑AB水平時，半圓盤的角速度為w，角加速度為a；質(zhì)心的加速度為aCx、aCy。又設(shè)半圓盤圓心O的加速度為aO，

aO始終沿水平方向，而且在純滾動時有在半圓盤中，以O(shè)為基點，則質(zhì)心C的加速度為式中，分別投影到x、y軸上，得到3.受力分析：主動力慣性力系向質(zhì)心C簡化，其等效慣性力的兩個分力為等效慣性力偶的力偶矩受力圖如圖所示，為平面任意力系。約束力FN、FS；和4.建立方程：平面任意力系有三個獨立的平衡方程，為由此可得，因此直徑AB水平時，即半圓盤的角速度w未知，可以通過動能定理的積分形式計算角速度w。初始位置時半圓盤靜止，T1=0，在直徑AB水平時，在此過程中只有重力做功，為由積分形式的動能定理由于所以得到代入FN的表達式，得到在此位置地面的法向約束力為而此時地面的切向約束力為例10-8

如圖所示，均質(zhì)細桿可繞水平軸O轉(zhuǎn)動，另一端鉸接一均質(zhì)圓盤，圓盤可繞鉸A在鉛直面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)。已知桿OA長為l，質(zhì)量為m1；圓盤半徑為R，質(zhì)量為m2。摩擦不計，初始時桿OA水平，桿和圓盤靜止。求桿與水平線成角q的瞬時，鉸鏈A的約束力。解：1.研究對象：系統(tǒng)由兩個物體組成，因為要求計算內(nèi)約束A的約束力，所以必須拆開，先研究圓盤A。2.運動分析：桿OA定軸轉(zhuǎn)動，設(shè)其角速度與角加速度分別為w與a。圓盤A為平面運動，設(shè)其角速度與角加速度分別為wA與aA，質(zhì)心A的加速度3.受力分析：圓盤A的受力圖如圖所示，其中，4.建立方程：先取力矩方程故wA是常量，又圓盤由靜止開始運動，所以wA恒為零，即圓盤是平動。所以(a)所以

(b)由式(a)與式(b)可知，必須先計算出w與a后，才能計算約束力。而確定了圓盤的平移后，可以比較方便地計算系統(tǒng)的動能。初始時系統(tǒng)靜止，有運動后，有在此過程中，重力作功為由動能定理

有

(c)對式(c)

求導(dǎo)，即得

(d)把式(c)與式(d)代入式(a)與式(b)，解得例10-9機構(gòu)在鉛垂面內(nèi)運動，不計OA桿和滑塊的重量，均質(zhì)桿AB的質(zhì)量為m。OA桿長為r，AB桿長為滑塊B可的鉛垂、光滑的導(dǎo)軌DE上滑動。初始時靜止，且OA桿在鉛垂位置，OB連線在水平位置，機構(gòu)無初速地開始運動。當OA桿運動至水平位置時，求（1）AB桿的角速度w1和OA桿的角速度w2；（2）AB桿的角加速度a1和OA桿的角加速度a2；（3）鉸鏈A處的約束力和滑塊B處的約束力。解：（1）研究對象：系統(tǒng)含三個運動物體，只有桿AB有質(zhì)量，因此桿OA與滑塊B只提供運動約束關(guān)系。研究對象主要是桿AB。約束皆為理想約束，主動力只有桿AB的重力。（2）運動分析：三個運動物體，桿OA定軸轉(zhuǎn)動，滑塊B平移，桿AB平面運動。先分析速度關(guān)系設(shè)桿OA的角速度為w2，A點的速度為vA，桿AB的角速度為w1，滑塊B的速度為vB。注意到vA與vB平行且不垂直于AB，所以桿AB瞬時平移。有以下速度關(guān)系：初始系統(tǒng)靜止運動到圖示位置時，在此過程中只有重力作功由積分形式動能定理，有此瞬時桿OA的角速度為進一步由動能定理可以求出vA：設(shè)桿OA的角加速度為a2，A點的加速度為桿AB的角加速度為a1，滑塊B的加速度為aB。在桿AB中以點B為基點，有

(a)再分析加速度式(a)投影到所以，桿AB的角加速度為方向上，有投影到或?qū)憺?/p>

方向上，有式中，

式(b)投影到aCx方向上再分析桿AB的質(zhì)心C的加速度，以點B為基點，有

式(b)投影到aCy方向上

(b)由于桿OA不計質(zhì)量，為二力桿。鉸鏈A的約束力FA在OA連線上。（3）受力分析：再以桿AB與滑塊B為研究對象，平面任意力系。其中，（4）建立方程：此平面任意力系有三個獨立的平衡方程由此解得桿OA的角加速度

，

由以上兩式，可得動力學(xué)中的大多數(shù)問題都必須計算加速度，在解決此類問題的各個步驟中應(yīng)該注意：

1．選取研究對象

對于物體系統(tǒng)的問題，盡量取系統(tǒng)整體為研究對象，以避免了出現(xiàn)不必計算的內(nèi)約束力而增加計算量。但是對于運動情況比較復(fù)雜的系統(tǒng)，或?qū)\動情況不明確的物體，則應(yīng)該拆開單獨進行研究。研究對象的選擇是由解題的需要決定的，往往隨著解題過程的發(fā)展，需要相應(yīng)改變研究對象。在選取研究對象時，對每個物體的基本運動特點和受力特點應(yīng)該有初步認識。2．進行運動分析

對系統(tǒng)內(nèi)有關(guān)物體設(shè)定加速度（角加速度），有時還需設(shè)定速度（角速度）。然后盡可能利用幾何法或運動法找出它們之間的關(guān)系，減少獨立未知量的數(shù)目。在此過程中，往往還不能全部計算出速度、加速度。

3．進行受力分析

進行三類力的分析，即主動力、約束力與慣性力。作出完整的受力圖，判斷力系的類型。按設(shè)定的加速度寫出慣性力的表達式。4．建立平衡方程

動靜法的動力平衡方程是必須使用的基本方程，但在列寫方程時應(yīng)該有所選擇。選擇方程的基本原則是盡量減少每個方程的未知量數(shù)目。解出可以求解的未知量，及時完善對研究對象運動特點的描述，為進一步計算提供幫助。在未知量多于平衡方程時，補充其它的動力學(xué)關(guān)系。常用動能定理的積分形式，或守恒定律補充速度關(guān)系。有些問題中，只要求計算物體在運動過程的兩個不同位置，或兩個不同時刻的速度（角速度）變化，或運動的軌跡。此類問題往往不必再去計算加速度，因此可以不必使用動力平衡方程求解。

求解此類問題時，通常使用積分形式的動量定理、動量矩定理和動能定理，或相應(yīng)的守恒定律。10.2不必計算加速度的問題10.2.1運用積分形式的動力學(xué)普遍定理例10-10

如圖所示，長為l，質(zhì)量為m1的兩均質(zhì)桿AB和BC用鉸鏈B相連，A端為固定鉸支座，C端用鉸鏈與質(zhì)量為m、半徑為r的均質(zhì)圓柱相連。鉛垂力F作用在鉸鏈B處。A、C兩點在同一水平線上。系統(tǒng)從靜止開始運動時，桿AB與水平線夾角為q。求桿AB處于水平位置時的角速度w。設(shè)圓柱在水平面只滾不滑。解：1.研究對象：這是求物體系統(tǒng)在兩個不同位置的速度變化，適宜用動能定理的積分形式求解。約束為理想約束，主動力為F與三個重力。以系統(tǒng)為研究對象。2.運動分析：初始位置為靜止狀態(tài)。桿AB為定軸轉(zhuǎn)動，設(shè)其水平時角速度為w，點B的速度為桿BC為平面運動，點C的速度vC只能在水平方向上，由速度投影定理知，此瞬時必有即點C為速度瞬心；所以桿BC的角速度圓柱C平面運動，且瞬心在點P，由于此瞬時所以有即此瞬時圓柱靜止。3.受力分析：作功的力只有重力和F。4.建立方程：在初始位置，系統(tǒng)的動能

當桿AB處于水平位置時，系統(tǒng)的動能

；在此運動過程中，作用在系統(tǒng)上的力所作的功為由動能定理的積分形式

所以得到即例10-11如圖所示，為求半徑R=0.5m的飛輪對于其質(zhì)心軸A的轉(zhuǎn)動慣量，在飛輪上繞以細繩，繩的末端系一質(zhì)量為m1=8kg的重錘，重錘從高度h=2m處落下，測得落下時間t1=16s。為消除軸承摩擦的影響，再用質(zhì)量為m2=4kg的重錘作第二次試驗，此重錘從同一高度落下的時間為t2=25s。假定摩擦力矩為常數(shù)，且與重錘的重量無關(guān)，求飛輪的轉(zhuǎn)動慣量和軸承的摩擦力矩。解：1.研究對象：以飛輪與重錘為研究對象，設(shè)飛輪對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為J。2.運動分析：飛輪定軸轉(zhuǎn)動，重錘直線平移。3.受力分析：兩者的重力G、G1，A軸承的約束力FAx、FAy及摩擦力矩Mf。4.建立方程：該試驗中，記錄了系統(tǒng)通過距離h的運動變化，以及通過時間間隔t1、t2的運動變化，動力學(xué)普遍定理的積分形式適合解決此類問題。在初始位置，系統(tǒng)靜止。設(shè)重錘落地時飛輪角速度為w；重錘速度為v，兩者有關(guān)系：由動量矩定理，有(a)由動能定理，有

(b)由式(a)和式(b)，可得：

代入式(a)，得到

(c)(d)(e)

兩次試驗的重錘質(zhì)量與時間值代入式(c)，得到兩個方程由式(d)與式(e)，解得用Mf的值代入式(d)或式(e)，得到飛輪對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為10.2.2利用動力學(xué)普遍定理中的守恒定律例10-12

如圖所示，物塊A沿傾角為a的斜面下滑，離開斜面時的速度為v0，其后為自由運動。求物塊的速度方向與水平面夾角為b時速度v的大小，以及達到此時所需的時間。解：1.研究對象：以物塊A為研究對象，問題未涉及物塊的大小，可以視為一個質(zhì)點。2.運動分析：在空中自由運動。3.受力分析：離開斜面后，只受重力作用，水平方向不受力。（在受力分析中，必須充分注意某個方向不受力，或?qū)δ硞€軸的力矩為零的條件；運用相關(guān)的守恒定律。）4.建立方程：首先利用水平方向不受力的條件，此時物塊在水平方向的動量守恒。設(shè)物塊的質(zhì)量為m，則有在y軸方向，物塊受方向向下的重力mg作用，在初位置時物塊的動量為末位置時物塊的動量為設(shè)運動時間為t，由動量定理的積分形式，有代入v的表達式，有例10-13

如圖所示，小球O1半徑不計，質(zhì)量為m1，沿光滑的大半圓柱體表面滑下，初速為零。大半圓柱質(zhì)量為m，半徑為R，放在光滑的水平面上。初始時刻小球位于大半圓柱的頂部，即小球圓心O1與大半圓柱圓心O在同一鉛垂線上。求小球在脫離圓柱前相對地面的運動軌跡。解：1.研究對象：以系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)由小球與大半圓柱兩個物體組成。2.運動分析：大半圓柱體水平平移，小球相對大半圓柱體滑動。相對運動軌跡是圓，但相對地面的絕對運動軌跡未知。3.受力分析：主動力為兩個物體的重力，外約束力是光滑水平面的法向約束力。所有外力都在鉛垂方向，水平方向沒有外力。4.建立方程：首先利用水平方向不受力的條件，此時系統(tǒng)在水平方向的動量守恒。而系統(tǒng)在初始時刻是靜止的，即初始時刻系統(tǒng)動量的水平分量為零，因此系統(tǒng)動量的水平分量始終為零。設(shè)系統(tǒng)的動量為p，質(zhì)心C的速度為vC，則有

即所以，系統(tǒng)的質(zhì)心C在鉛垂線上運動。根據(jù)這個特點，建立描述小球運動的定系為：原點與初始位置的大半圓柱的圓心O重合，y軸通過系統(tǒng)質(zhì)心C，亦即y軸與初始位置的OO1連線重合。在這個坐標系中，設(shè)點O1設(shè)點O大半圓柱的質(zhì)心A的坐標為因此，可以計算得到質(zhì)心C在x軸的坐標由于質(zhì)心C始終在y軸上運動，所以有

即得

(a)，但有小球在脫離圓柱前有點O與點O1的距離為R，因此由式(a)可得

代入上式得小球的軌跡方程或?qū)憺槔?0-14

如圖所示，水平圓板可繞鉛垂軸z轉(zhuǎn)動，圓板上有一質(zhì)點A作圓周運動。已知點A的速度大小為常量v0，質(zhì)量為m，圓的半徑為r，在圓板上的位置由角j確定。圓板對軸z的轉(zhuǎn)動慣量為J，并且當點A在離軸z最遠的點A0時，圓板的角速度為零。軸的摩擦與空氣阻力略去不計，求圓板的角速度與角j的關(guān)系。解：1.研究對象：以系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)由圓板與質(zhì)點兩個物體組成。2.運動分析：圓板定軸轉(zhuǎn)動，質(zhì)點相對圓板作勻速圓周運動。3.受力分析：系統(tǒng)的外力為重力與軸承的約束力，這些力對轉(zhuǎn)軸z的力矩皆為零。4.建立方程：利用外力對軸z的力矩為零的條件，知系統(tǒng)對軸z的動量矩守恒。初時刻系統(tǒng)對軸z的動量矩為A點運動到角j的位置時，設(shè)圓板的角速度為w，正向與j一致。此時A點對軸z的動量矩為

而所以當A點運動到角j的位置時系統(tǒng)對軸z的動量矩為由于系統(tǒng)對軸z的動量矩守恒，即能夠用動力平衡方程解決的動力學(xué)問題，必須可以分析慣性力；而慣性力由加速度確定，所以無法確定加速度的問題自然無法用動力平衡方程的方法求解。

碰撞問題就是這種問題的典型。物體受到其它物體的沖擊，或者運動物體突然受到約束，這些都屬于碰撞現(xiàn)象。它的主要特點是物體速度（大小、方向）在極短的時間內(nèi)發(fā)生突然變化，這種場合是無法確定加速度的。在剛體動力學(xué)中，不能計算加速度的問題主要是碰撞問題。10.3不能計算加速度的問題碰撞現(xiàn)象中，物體在極短的時間內(nèi)受到極大的碰撞力。碰撞力是一種瞬時力，在極短的時間內(nèi)很難確定其規(guī)律，因此用碰撞力在碰撞時間內(nèi)的累積效應(yīng)，即用碰撞沖量來描述碰撞力。同時物體在極短的碰撞時間內(nèi)的運動變化規(guī)律也難以確定，對于一般的工程問題，可以只分析碰撞前后物體運動的變化。因此，根據(jù)碰撞的特點，對碰撞過程作出下述基本假設(shè)。10.3.1碰撞問題的基本假設(shè)1.忽略普通力的假設(shè)

在碰撞過程中，碰撞力的大小是作用在物體上的重力、彈性力等普通力無法比擬的；再者，研究碰撞問題時，是用沖量描述力的作用，所以普通力在極短碰撞時間內(nèi)的沖量接近于零。因此研究碰撞問題時，只考慮碰撞力，其它所有普通力均忽略不計。

2.忽略位移的假設(shè)

由于碰撞只在極短的時間內(nèi)發(fā)生，物體的位置在這極短的時間內(nèi)的變化非常小，完全可以忽略不計。所以對于碰撞過程，忽略物體的位移，只研究其速度的變化。10.3.2恢復(fù)因數(shù)

恢復(fù)因數(shù)e定義為碰撞后兩物體相互脫離的相對速度與碰撞前兩物體相互接近的相對速度之比，即

用兩物體接觸點沿接觸面法線方向的相對速度計算。碰撞前兩物體相互接近而接觸碰撞，碰撞后兩物體相互脫離分開（有時也會不分開），碰撞改變了它們的相對速度。碰撞前后相對速度的改變與物體的材料性質(zhì)有關(guān)，恢復(fù)因數(shù)是表征物體的這種性質(zhì)的材料常數(shù)。當一個物體與一個固定面發(fā)生正碰撞，即接觸點的速度與接觸面的法線重合時，恢復(fù)因數(shù)為當一個物體與一個固定面發(fā)生斜碰撞，即接觸點的速度不與接觸面的法線重合時，恢復(fù)因數(shù)為如果發(fā)生正碰撞時，物體的質(zhì)心也在接觸面的法線上，則稱為對心正碰撞，這是最基本的一種碰撞形式。反之，接觸面的法線不過質(zhì)心的稱為偏心碰撞，發(fā)生偏心碰撞的物體有更復(fù)雜的運動。碰撞沖量主要發(fā)生在接觸面的法線方向，所以恢復(fù)因數(shù)用法向相對速度計算。接觸面切線方向的相對速度的變化比較復(fù)雜，一般按兩種極端情況考慮：接觸面絕對光滑與絕對粗糙。接觸面絕對光滑時，碰撞前后切線方向的相對速度不變。接觸面絕對粗糙時，碰撞后切線方向的相對速度為零?；謴?fù)因數(shù)是因材料而定的物理量，它可以按其定義式通過實驗測定?；謴?fù)因數(shù)也表示物體局部變形恢復(fù)的程度，反映出碰撞過程中物體機械能損失的程度。對于各種材料，均有0<e<1，此時物體發(fā)生的碰撞稱為彈性碰撞。e=1為理想情況，表明碰撞后變形完全恢復(fù)，動能沒有損失，稱為完全彈性碰撞。e=0為極限情況，表明碰撞后變形完全沒有恢復(fù)，稱為非彈性碰撞或塑性碰撞。兩個物體碰撞時，利用恢復(fù)因數(shù)可以計算接觸點局部的速度改變，由此再計算對物體整體運動的影響。在碰撞問題的研究中，除了相應(yīng)的動力方程外，恢復(fù)因數(shù)是不可缺少的個條件。應(yīng)該根據(jù)不同的碰撞類型，明確恢復(fù)因數(shù)的表達式，建立相應(yīng)的方程。10.3.3剛體的碰撞1.平移剛體的碰撞物體在碰撞前后都是平移，可以視為不計半徑的小球。兩個小球的碰撞是對心碰撞，包括正碰撞與斜碰撞。在正碰撞時在斜碰撞時對于平移剛體的碰撞問題，一般使用動量定理的積分形式（沖量定理）或動量守恒定律建立動力學(xué)方程。例10-15

三個質(zhì)量相同的球，半徑均為R，中心距離C1C2＝a，球M3的中心C3在與C1C2線垂直的直線AB上，球M3有一沿著AB方向的速度。如果欲使M3碰到M2后再與M1作對心正碰撞，問AB線的位置應(yīng)在何處？設(shè)碰撞是完全彈性的，且不計小球的轉(zhuǎn)動，不計接觸處的摩擦。解：（1）研究對象：相互碰撞的只是M2和M3兩個小球，小球M1只是一個目標物，因此以小球M2和M3為研究對象。（2）運動分析：不計接觸處的摩擦，小球只產(chǎn)生平移。設(shè)碰撞前小球M3的速度為v3，與M2碰撞后，速度變?yōu)閡3；而小球M2的速度為u2。欲使M3與小球M1正碰撞，必須使u3的方向在C3C1連線上。（3）受力分析：以相互碰撞的小球M3與小球M2為系統(tǒng)，此時沒有外力沖量，所以系統(tǒng)的動量守恒。（4）建立方程：由動量守恒定律有分別投影到x、y軸上由于碰撞是完全彈性的，即e=1；小球M3與小球M2的碰撞為斜碰撞，所以有即由以上三式中消去v3、u2、u3得到即所以，△C1C3C2應(yīng)該是直角三角形，C3為直角的頂點。由直角三角形的性質(zhì)，可知

所以直線AB與C1C2的交點B與C2的距離應(yīng)為例10-16

為了檢驗滾珠的制造質(zhì)量，設(shè)計了圖示的系統(tǒng)。滾珠從漏斗A中自由下落后，與平板B斜碰撞。要求滾珠的恢復(fù)因數(shù)e≥0.8。滾珠若為正品，在碰撞后可越過柵欄C落入其左側(cè)的容器中；若為次品則不能越過。試確定檢驗系統(tǒng)中的尺寸d與h。圖中長度單位為mm。解：（1）研究對象：小球為研究對象，視為質(zhì)點。（2）運動分析：小球從漏斗A的出口到平板B為自由落體運動，與平板在點H碰撞，碰撞反彈后在空中為自由拋體運動，設(shè)在軌跡的最高點越過柵欄C。從點H作水平線與柵欄C相交于點K，延長平板B的上表面與柵欄C相交于點J，則有d=HJ，h=KC+KJ。（3）受力分析：在自由運動部分只受重力作用，在碰撞階段只考慮平板對小球的碰撞沖量作用。（4）建立方程：運動過程分為三個階段，分別計算。從A出口到平板B自由落體運動階段機械能守恒，設(shè)小球從出口落下時初速為零，與平板碰撞前速度為v，則有與平板B碰撞階段為斜碰撞，設(shè)碰撞后小球的速度為有若平板為光滑的，則小球的切向速度在碰撞后沒有變化，即

投影到軸x與軸y上，有小球碰撞反彈后在空中的自由拋體運動階段初速度為由已知e=0.8與已計算出的可得拋體運動的軌跡最高處為到達最高處的時間由此可得，檢驗系統(tǒng)的尺寸由變小，小球不能越過柵欄。到達最高點的水平位移為可見，若小球的恢復(fù)因數(shù)e＜0.8，2.定軸轉(zhuǎn)動剛體的碰撞定軸轉(zhuǎn)動剛體受到外碰撞沖量作用時，角速度會發(fā)生突變，可以用動量矩定理的積分形式（沖量矩定理）或動量矩守恒定律建立動力學(xué)方程，同時按碰撞的類型計算恢復(fù)因數(shù)。在外碰撞沖量作用下，定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承會出現(xiàn)約束碰撞沖量，這對軸承是有害的。因此定軸轉(zhuǎn)動剛體的碰撞問題中，還有分析軸承約束碰撞沖量，并設(shè)法避免的問題。設(shè)剛體有質(zhì)量對稱平面，且轉(zhuǎn)軸垂直于該對稱平面。外碰撞沖量I作用在對稱面內(nèi)，碰撞前剛體靜止，碰撞后產(chǎn)生角速度w。

有方程

如果外碰撞沖量作用在物體的質(zhì)量對稱平面內(nèi)，且與轉(zhuǎn)軸與質(zhì)心的連線垂直，且與轉(zhuǎn)軸的距離為時，軸承不會受到?jīng)_擊。此時外碰撞沖量與轉(zhuǎn)軸質(zhì)心連線的交點O1，稱為撞擊中心。例10-17

馬爾特間隙機械的均質(zhì)撥桿OA長為l，質(zhì)量為m。馬氏輪盤對轉(zhuǎn)軸O1的轉(zhuǎn)動慣量為JO1，半徑為r。在圖示瞬時，OA水平，桿端銷子A撞入輪盤光滑槽的外端，槽與水平線成q角。撞前OA桿的角速度為w0，輪盤靜止。求撞擊后輪盤的角速度w和點A的撞擊沖量I。又，當q為多大時，不出現(xiàn)沖擊力。解：（1）研究對象：把系統(tǒng)拆開，分別研究兩個物體。（2）運動分析：兩個物體皆為定軸轉(zhuǎn)動。碰撞前撥桿角速度為w0，輪盤靜止；碰撞后設(shè)撥桿的角速度為w1，輪盤的角速度為w。以銷子A為動點，動系固連在輪盤上，分析A的絕對速度、相對速度與牽連速度。其中，

可得，由速度合成定理即（3）受力分析：常力不考慮，只考慮碰撞沖量，撥桿與輪盤相撞時，在銷子A處和兩個物體的軸承O與O1處都會產(chǎn)生碰撞沖量。（4）建立方程：兩個物體對各自的轉(zhuǎn)軸用沖量矩定理輪盤O1：撥桿OA：得到點A的碰撞沖量為例10-18

平臺車以速度v沿水平路軌運動，其上放置邊長為a，質(zhì)量為m的均質(zhì)正方形物塊A。為了防止物塊移動，使物塊前方底邊抵在平臺上的一根低矮的壓條B上。當平臺車突然停止時，物塊會產(chǎn)生多大的繞壓條B轉(zhuǎn)動的角速度。（1）研究對象：物塊A，質(zhì)心C，對B點轉(zhuǎn)動慣量為JB。（2）運動分析：車突然停止前物塊A平移，速度為v。車突然停止相當于給行駛的物塊突然加上一個約束。在突加約束B的限制下，物塊A繞點B定軸轉(zhuǎn)動，設(shè)碰撞結(jié)束時它的角速度為w。（3）受力分析：只有約束點B處存在碰撞沖量。解：（4）建立方程：物塊A在碰撞中對點B的動量矩守恒。碰撞前物塊A平移，它對點B的動量矩為：

碰撞后A定軸轉(zhuǎn)動，對軸B的動量矩為：

令得

而

因此3.平面運動剛體的碰撞平面運動可以視為隨質(zhì)心的平移與繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動的合成運動，因而平面運動剛體碰撞后速度的突變，也包含隨質(zhì)心平移速度的突變與繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動的角速度的突變。對于前者，需要使用沖量定理；對于后者，需要使用對質(zhì)心的沖量矩定理。同時必須按碰撞的類型計算接觸點的恢復(fù)因數(shù)。例10-19

乒乓球半徑為r，以速度v落到臺面，v與鉛垂線成q角，此時球有繞過質(zhì)心O的水平軸（與v垂直）的角速度w。若球與臺面相撞后，因瞬時摩擦作功，接觸點水平速度突然變?yōu)榱?。設(shè)恢復(fù)因數(shù)為k，求回彈角b。解：（1）研究對象：乒乓球有轉(zhuǎn)動，不能作為質(zhì)點考慮。（2）運動分析：乒乓球為平面運動，設(shè)與臺面相撞后質(zhì)心O的速度為v′，繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動的角速度為w′。碰撞前球與臺面的接觸點A有向右的水平速度分量；碰撞后水平速度為零，點A的速度指向點O，w′的方向與w相反。碰撞后以A為基點，質(zhì)心O的速度為上式投影到vOA方向上，有

用沖量定理計算球隨質(zhì)心平移的動量改變，即（3）受力分析：不計普通力，只有接觸點A的法向與切向的約束碰撞沖量In與It。因碰撞使球與臺面的接觸點A的向右的水平速度變?yōu)榱?，所以It的方向向左。（4）建立方程：分別投影到?jīng)_量In與It方向上，有即用對質(zhì)心的沖量矩定理計算球繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動量矩改變因為所以上式寫為再由恢復(fù)因數(shù)以上五個方程含五個未知數(shù)可以求解解得例10-20

兩個質(zhì)量為m、長度為l的相同均質(zhì)桿AB、CD可在光滑水平面上自由運動。桿AB繞質(zhì)心O1以角速度w1轉(zhuǎn)動，B端與靜止桿CD的C端碰撞。設(shè)碰撞時兩桿平行，分別計算恢復(fù)因數(shù)為0與1時，兩桿碰撞后的角速度與質(zhì)心的速度。（2）運動分析：碰撞前桿AB定軸轉(zhuǎn)動，點B的速度為vB=lw1/2；桿CD靜止，點C的速度為零。碰撞后兩桿均為平面運動。設(shè)桿ABw1′，v1x′與v1y′；桿CDw2′，v2x′與v2y′。碰撞點法向速度為vBy′與vCy′解：

（1）研究對象：兩個桿分別進行研究。由平面運動剛體上點的速度計算，有（3）受力分析：兩桿的相碰撞點有碰撞沖量。沖量方向與桿的軸線垂直，即y軸方向。（4）建立方程：兩桿為平面運動剛體的碰撞，由沖量定理與對質(zhì)心的沖量矩定理寫出各自的方程。桿AB：

桿CD：又由恢復(fù)因數(shù)

代入速度關(guān)系及vB的計算式，有并有解得解得所以碰撞后桿AB的質(zhì)心速度與角速度為：桿CD的質(zhì)心速度與角速度為：分別令e=0與e=1，可得結(jié)果例10-21

質(zhì)量為m，半徑為r的均質(zhì)實心球從傾角為b的斜面無滑動滾下，當角速度為w時碰到水平面。此后球沿水平面連滾帶滑，最后重新變成只滾不滑。假定碰撞時球沒有從水平面回跳，求重新滾而不滑時球的角速度w1。解：（1）研究對象：均質(zhì)實心球C。（2）運動分析：運動分為三個階段：