Chapter-9常微分方程數(shù)值解法

第九章常微分方程數(shù)值解法/*NumericalMethodforOrdinaryDifferentialEquations*/本章主要介紹一階常微分方程初值問題的數(shù)值解法。

初值問題及其數(shù)值解的概念§1引言常用的一些解析解法：Lapalace變換等分離變量法、常數(shù)變易法、一階常微分方程初值問題：對于初值問題，如果在下列區(qū)域內(nèi)連續(xù)：（解的存在唯一性）且關(guān)于滿足Lipschitz條件，即存在常數(shù)，使則初值問題存在唯一解，且解是連續(xù)可微的。所謂數(shù)值解是指：在解的存在區(qū)間上取一系列點(diǎn)逐個(gè)求出的近似值等距節(jié)點(diǎn)：步長

初值問題的解析解及其數(shù)值解的幾何意義：初值問題的解表示過點(diǎn)的一條曲線初值問題的數(shù)值解表示一組離散點(diǎn)列可用擬合方法求該組數(shù)據(jù)的近似曲線積分曲線§2Euler方法

Euler方法的導(dǎo)出將在點(diǎn)處進(jìn)行Taylor展開略去項(xiàng)：然后用代替，即得稱上述公式為向前Euler

公式。若將在點(diǎn)處進(jìn)行Taylor展開稱上述公式為向后Euler

公式。向后Euler

公式為隱式格式，一般需要迭代求解略去高階項(xiàng)，即得向前Euler公式：例1：分別用向前和向后Euler方法求解初值問題

（取步長為）向后Euler公式：具體計(jì)算結(jié)果見教材表。解：本題

常微分方程數(shù)值解法的穩(wěn)定性設(shè)一個(gè)數(shù)值方法以定步長求解實(shí)驗(yàn)方程得到線性差分方程的解。當(dāng)時(shí)，若，則稱該方法對步長為絕對穩(wěn)定的；否則稱為不穩(wěn)定的。將數(shù)值方法應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)方程，若對一切都是絕對穩(wěn)定的，則稱區(qū)域?yàn)樵摲椒ǖ慕^對穩(wěn)定域。上述定義表明，若數(shù)值方法可使任何一步產(chǎn)生的誤差在后面的計(jì)算中都能逐步削弱，則該方法為絕對穩(wěn)定。例如，對于向前Euler法：將其應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)方程當(dāng)時(shí)，誤差將逐步減弱，故此時(shí)方法穩(wěn)定。向前Euler法絕對穩(wěn)定區(qū)間：當(dāng)因有誤差變?yōu)闀r(shí)，則有

單步方法的局部誤差和階單步法的一般形式隱式單步法通常稱為增量函數(shù)顯式單步法設(shè)是準(zhǔn)確的，用某種方法計(jì)算時(shí)產(chǎn)生的截稱為某方法在點(diǎn)的整體截?cái)嗾`差。斷誤差，稱為該方法的局部截?cái)嗾`差，即其中為自然數(shù)，則稱該方法是階的或具有階精度。如果給定方法的局部截?cái)嗾`差為如果一個(gè)階單步方法的局部截?cái)嗾`差為則稱為該方法的局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng)。如向前Euler方法的局部截?cái)嗾`差(Taylor展開)一階方法主項(xiàng)

Euler方法的誤差分析對初值問題中的微分方程兩端在區(qū)間上積分如果用左矩形公式計(jì)算右端積分，并令其中上述等式中如果用代替，即得向前Euler格式。其局部截?cái)嗾`差為設(shè)關(guān)于和均滿足Lipschitz條件，即和其中而整體截?cái)嗾`差為注意到對于初值問題，如果關(guān)于滿足（向前Euler方法的整體截?cái)嗾`差）Lipschitz條件，為對應(yīng)的Lipschitz常數(shù)，當(dāng)時(shí)，向前Euler方法的數(shù)值解一致收斂于初值問題的精確解，且整體截?cái)嗾`差滿足估計(jì)式如果，Euler方法的整體截?cái)嗾`差為一、Runge-Kutta方法的根本思想§3龍格-庫塔〔Runge-Kutta〕方法顯式單步法的一般形式：R-K方法是利用一些點(diǎn)的線性組合構(gòu)造增量函數(shù)，使得相應(yīng)方法的局部截?cái)嗾`差的階數(shù)盡可能高。

二階Runge-Kutta方法確定參數(shù)，使得與在點(diǎn)的Taylor展開式有盡可能多的相同項(xiàng)。將在點(diǎn)展開，有從而比較兩式的相同項(xiàng)得方程組有無窮多解另一方面，由Taylor展開若取其一組解那么得到改進(jìn)的Euler公式〔二階方法〕若取其另一組解那么得到二階的Heun〔休恩〕公式〔見教材〕。二、顯式Runge-Kutta方法及其穩(wěn)定性設(shè)是一個(gè)正整數(shù)，代表使用函數(shù)值的個(gè)數(shù)，和是一些待定的權(quán)因子（均為實(shí)數(shù)），則稱下列方法（公式）為初值問題的m級顯式Runge–Kutta公式，其中類似前面的處理方法，可以得到四級方法：m=4局部截?cái)嗾`差最常用的一種四階方法：經(jīng)典顯式Runge-Kutta公式解：例2：用經(jīng)典的四階Runge-Kutta方法求解下列初值問題。經(jīng)典的四階Runge-Kutta公式：注：

對于顯式N級R-K方法，最多只能得到N階方法。

上述構(gòu)造方法的缺陷：計(jì)算非常復(fù)雜。

可通過積分方法確定參數(shù)。例2：確定如下三級三階顯式Runge-Kutta公式中的參數(shù)：解：對微分方程兩邊積分得采用Simpson公式計(jì)算上式右端積分項(xiàng)可設(shè)參數(shù)則有選擇剩余參數(shù)，使得（I）（II）令，則局部截?cái)嗾`差I(lǐng)對（I）式第一項(xiàng)在處Taylor展開，即比較取并將上式第一項(xiàng)在處Taylor展開，得上式中劃線處分別在處Taylor展開Ⅱ=取再利用Taylor展開利用Taylor展開，代入當(dāng)時(shí)，例3：求經(jīng)典四階的R-K方法的絕對穩(wěn)定域。解：其絕對穩(wěn)定域?yàn)橐弧步線性多步法

§4線性多步法與預(yù)估-校正格式/*LinearMutistepMethodandPredictor-CorrectorFormat*/所謂的線性多步法，指的是某一步解的公式不僅與前一步的值有關(guān)，而且與前面假設(shè)干步解的值有關(guān)的方法。對初值問題兩邊積分得將換為節(jié)點(diǎn)取節(jié)點(diǎn)，構(gòu)造的q+1個(gè)點(diǎn)的Lagrange插值多項(xiàng)式：

多步顯式公式其中記若函數(shù)值已知，則得r+1步顯式方法如時(shí)，可得二步顯式阿達(dá)姆斯（Adams）格式

Adams顯式公式的局部截?cái)嗾`差：由Lagrange插值余項(xiàng)知其中〔積分第一中值定理〕q+1階方法令取節(jié)點(diǎn)，構(gòu)造的q+1個(gè)點(diǎn)的Lagrange插值多項(xiàng)式：

多步隱式公式其中記那么得到r+1步q+1階的隱式方法如時(shí)，可得二階隱式阿達(dá)姆斯（Adams）格式梯形公式

常用的一種預(yù)報(bào)-校正公式：四階Adams預(yù)報(bào)-校正公式：（顯式）（隱式）初始迭代值由4階R-K方法計(jì)算例4：用Adams預(yù)報(bào)-校正公式求解下列初值問題。解：Adams預(yù)報(bào)-校正公式：R-K方法Adams預(yù)-校法

精確解

0

11.0000000000

0.11.0954461.0954451153

0.21.1832171.1832159566

0.31.2649121.2649110640

0.41.34164135711.3416407864