數(shù)列概念及通項(xiàng)公式-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義與練習(xí)（新高考）解析版

考點(diǎn)13數(shù)列概念及通項(xiàng)公式（核心考點(diǎn)講與練）

一、數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法

1.數(shù)列的定義

按照一定次序排列起來(lái)的一列數(shù)叫做數(shù)列,數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).

2.數(shù)列的分類

分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件

有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限

項(xiàng)數(shù)

無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限

遞增數(shù)列a"+1

項(xiàng)與項(xiàng)遞減數(shù)列a”+1〈a”其中∏∈N+

間的大常數(shù)列Cln+1

小關(guān)系從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)

擺動(dòng)數(shù)列

小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列

3.數(shù)列的表示法

數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法.

4.數(shù)列的通項(xiàng)公式

（1）通項(xiàng)公式：如果數(shù)列｛內(nèi)｝的第〃項(xiàng)斯與2之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子α,,=A〃）來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫

做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（2）遞推公式：如果已知數(shù)列｛”“｝的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且從第二項(xiàng)（或某一項(xiàng)）開(kāi)始的任一項(xiàng)斯與它的前一

項(xiàng)ɑ,?（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.

5.數(shù)列求和的幾種常用方法

（1）分組轉(zhuǎn)化法

把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解.

（2）裂項(xiàng)相消法

把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和.

(3)錯(cuò)位相減法

如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用

錯(cuò)位相減法求解.

(4)倒序相加法

如果一個(gè)數(shù)列｛?。那皀項(xiàng)中與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù),那么求這個(gè)數(shù)列

的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解.

S]91,

1.若數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S”通項(xiàng)公式為則圓=。。。

Sn~Sn-?92.

2.數(shù)列是按一定“次序”排列的一列數(shù)，一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成它的“數(shù)”有關(guān)，而且還與這些

“數(shù)”的排列順序有關(guān).

3.易混項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的概念，數(shù)列的項(xiàng)是指數(shù)列中某一確定的數(shù)，而項(xiàng)數(shù)是指數(shù)列的項(xiàng)對(duì)應(yīng)的位置

序號(hào).

4.S“與”■關(guān)系問(wèn)題的求解思路

根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問(wèn)題向兩個(gè)不同的方向轉(zhuǎn)化.

①利用α,,=S"—S,τ("N2)轉(zhuǎn)化為只含S”SLl的關(guān)系式，再求解；

②利用SLsLl=出(論2)轉(zhuǎn)化為只含外，MT的關(guān)系式，再求解.

5.由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式的常用方法

(1)已知且。"一。"-1=l/("),可用"累加法''求",即“"=(""一+m-2)+…+(a3—”2)+(42—。1)+

a?.

OΛ_41B口,-ICf?

(2)已知0且---=Λ"),可用"累乘法''求0”即如=-------?...?-?^-?6Z∣.

a__I￡(--■匿，G

(3)已知的且4〃+]=伙7〃+兒則4〃+1+攵=q3〃+Z)(其中％可由待定系數(shù)法確定)，可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)歹1」｛4〃+攵｝.

(4)形如斯+|=[0?,,(4B,C為常數(shù))的數(shù)列，可通過(guò)兩邊同時(shí)取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解.

6.在利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)應(yīng)注意：

(1)在把通項(xiàng)裂開(kāi)后，是否恰好等于相應(yīng)的兩項(xiàng)之差；

(2)要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫(xiě)未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)

稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的.

7.用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意

（1）要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形;

⑵在寫(xiě)出"S,”與"gSJ的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意

S“與4的關(guān)系

I.（2022湖北省新高考）已知數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)4=2,其前〃項(xiàng)和為S“，若5,川=25,,+1,則

aI=-------------------?

【答案】96

【分析】由題意易得S,,=2S,ι+l5≥2）,兩式相減可得數(shù)列｛%｝從第二項(xiàng)開(kāi)始成等比數(shù)列，進(jìn)而可得

結(jié)果.

【詳解】因?yàn)镾,,+i=2S,,+1,所以S“=2S,ι+1522）,

兩式相減得/+ι=2a”,

又因?yàn)?=2,S2=α1+tz2=2a1+1,得%=3,

所以數(shù)列｛??｝從第二項(xiàng)開(kāi)始成等比數(shù)列，

2,n=1,

因此其通項(xiàng)公式為4=K.?_”，

??Z2,nNZ,

所以%=3x25=96,

故答案為：96.

由遞推公式求通項(xiàng)

1.（2022河南省頂級(jí)名校9月開(kāi)學(xué)聯(lián)考）若數(shù)列也J滿足：偽+3?+7?++（2"—1）包=2〃，則數(shù)列也｝

的通項(xiàng)公式為（）

,

A.bn=2n-1B.bn=2'-1

,1,2

C.b=-------D.b=-------

nll2n-ln2"-1

【答案】D

分析】利用整體相減的方法即可計(jì)算出數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式

【詳解】由偽+34+74++(2"—1)"=2〃①得，當(dāng)〃>1時(shí)偽+3仇+74+.+(2"TT)%=2〃—2②

2

由①一②得(2"—l)"=2nd=kr

Z—1

當(dāng)〃=1時(shí)4=2x1=2也滿足上式

故選：D

2.(2022遼寧省盤(pán)錦市高級(jí)中學(xué)9月月考)已知數(shù)列｛αj滿足4=1,4=g，且

2an+lanatl,i=an+ial,+anal^-2an+lα,,.l(n>2),則數(shù)列｛a,,｝的通項(xiàng)公式為.

……1

""一〃+1

一，,「f1I)(I1)、，-11

【分析】化簡(jiǎn)題設(shè)條件z得到--------------------=2,得HI數(shù)列，------工〔是以2為首項(xiàng)，2為公差

<4+1)?Qn^n-?)、?！?14J

11C

的等差數(shù)列，求得則--------=2〃，再利用疊加法，即可求解，得到答案

an+?an

【詳解】由題意，數(shù)列｛4｝滿足2%+q/,1=%4川+%%_|-24+|41_1(n≥2),

C112(11W11-)=2,

兩側(cè)同除,UJ得2=----+-----------，BP------------------------

%%+ι%I4+1an)｛allan

所以數(shù)列——Ll是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，

l‰4J

則—-----=2+(n-1)×2=2n,

aa

'n+ln

11fl1W111(11)

=l+[2+4+(2π-2)]

an%(%1%%JI。”an-?)

(2+2∕7-2)(H-1)2C

=1+^-------------------=n^-n+?("≥2),

2

當(dāng)n=1時(shí)?，q=l適合上式，

所以J="2-〃+1,所以數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為=]

H2-H+1

故答案為：Cl=-------

nn^^-n+l

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了等差數(shù)列定義及通項(xiàng)公式，以及“疊加法”的應(yīng)用，其中解答中熟記

等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，合理利用“疊加法”求解是解答的關(guān)鍵.

分組求和

L（2022湖北省武漢市部分學(xué)校9月質(zhì)量檢測(cè)）設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,，滿足S,,=l-w,,（"∈N*）.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

1（T）I

（2）設(shè)數(shù)列〈二j-＞的前〃項(xiàng)和為T(mén).,求第“的表達(dá)式.

an

1

【答案】（1〉a=.（2）2n2+2n

n77（〃+

￡,〃=1

【分析】（1）根據(jù)4_即可求出數(shù)列｛0,,｝的通項(xiàng)公式;

3〃—3,1，n≥2

（2）利用分組求和法以及等差數(shù)列的前〃和公式即可求出結(jié)果.

【詳解】（1）當(dāng)”=1時(shí)，4=S∣=l-α∣,即“∣=g,

當(dāng)“≥2時(shí)，cιn=Sn—Sn_1—?-nan—1+（H-l）απ-1,

/?-1

即("+1)%=(α-l)α,τ,因此一匚

n+1

aa.a凡n-?n-2/7-311

所以4=工n?an?an9?9=--×——X--××-×-

4.lan-2an-31^+?〃〃一132

〃A∕(n+1),

1

經(jīng)檢驗(yàn)，〃=1時(shí)成立，所以an-一^7λ；

(2)(O=(一1)〃+=(-1)"(〃2+〃)，

所以Q=-(『+1)+(22+2)-(3?+3)+(42+4)-…-[(2〃-1)2+(2〃-1)卜[伽)2+2〃]

=-l2+22-32+42--(2n-l)2+(2n)2-1+2-3+4--(2n-l)+2n

=3+7++(4〃—1)+〃

一~+n

-2n2+2n

2.(2022安徽省江淮十校高三上學(xué)期第一次聯(lián)考)已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，滿足q=l,

+(f為常數(shù)).

(1)求｛凡｝的通項(xiàng)公式；

(2)若么=(一D"lg(4?4+J,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為刀,.

【答案】(I)an=n.(2)],=(T)"lg("+l)?

【分析】(1)令〃=1,解得：r=；,再由4=Sa-SnA,即可求出an,

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論,再利用并項(xiàng)求和,即可求解.

【詳解】解：(1)令〃=1,S∣=4=(；+',可得.=所以5“

時(shí)，Ri=?(o-l)+-^(?-1),可得a,=g[〃2_(〃_i)2]+g=“

所以(力≥2),又因?yàn)閝=l滿足上式，所以?！?〃

n

(2)因?yàn)?=(-l)lg(ɑ,,?an+i)=(-1)"(lgan+Igall+l)

,"

Tn=-(lgtz1+lg02)+(lg<z2+lg03)-(lgt?+lgα4)++(-l)(lgfl,,+lg?+1)

nn

=(-l)Igαn+1-lgal=(-l)lg(w+l)

所以7；=(T)UgS+1)

裂項(xiàng)相消法求和

2S,,+3

1.（2022河南省部分名校高三上學(xué)期8月份摸底）已知數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S,,,且％

3

（I）求證：數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列;

1

（2）求數(shù)列《，的前〃項(xiàng)和7“.

Iog3a,,?Iog3??+2

32〃+3

答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）T=-

n2(〃+1)(〃+2)

【分析】（1）根據(jù)數(shù)列4與S”的關(guān)系，消去S,，即可證明數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列；

11

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，知■;-------;-------=—~~再利用裂項(xiàng)相消法求和.

Iog30,,?Iog3α,l+2n（n+2）

2V+3

【詳解】解：（D由%=上廣，得3α,,=2S,,+3,①

于是得34+∣=2S,用+3,②

②-①得3?+∣-3?=2?+1,

即an+ι=3a”,

當(dāng)九二I時(shí)?，3q=2S]+3=2α∣÷3,即q=3,

所以數(shù)列｛4｝是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.

(2)由(1)知％=3",

所以log.3。,,=1og33"=〃,

111

以----------------?---------=------------

'Iog3αn?Iog30n+2〃(〃+2)2("n+2

所以

If111111111

T=1+-------------1-------------

112132435H-In+1nn+2

=i1+1-J---L=3一―2〃+3

212n+↑n+2)42(〃+1)(〃+2)

皆可寶＞錯(cuò)位相減求和

1.（2021高三數(shù)學(xué)沖刺原創(chuàng)卷）已知｛4｝是首項(xiàng)為1的單調(diào)遞增的等差數(shù)列，其中4+1，七幺，生成

等比數(shù)列?｛〃｝的前〃項(xiàng)和為s“，且々=4，。,用=S,,+1("∈N)

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛4,,?4｝的前〃項(xiàng)和刀,.

【答案](1)%=2〃—1；(2)￡=7+(2“_3)x2叫

【分析】(1)根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)及已知條件，求出等差數(shù)列的公差d，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求

解；(2)根據(jù)數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列｛2｝的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法及等比數(shù)列的求和公式即可求解.

【詳解】(1)因?yàn)椋?｝是首項(xiàng)為1的單調(diào)遞增的等差數(shù)列，所以4=1，

設(shè)數(shù)列｛?｝的公差為d且d>O，

則“2+1=2+4,4+"4=1+』d,

22

%=1+4d.

因?yàn)椤?1,2|生，的成等比數(shù)列，

所以(安4=3+1)6,

即(l+∣d)=(2+d)(l+4d),

2

解得d=2或d=-(舍負(fù))，

797

所以=2n-l.

⑵因?yàn)槌?1=S“+1,①

所以2=S“_]+1("≥2),②

由①-②得bn+i-bn=(5n+l)-(?-1+l)=?(n≥2),

所以2+∣=2Λ,5≥2).

因?yàn)?=4=3,4=S+1=4+1=4,

所以｛〃｝是從第二項(xiàng)開(kāi)始的等比數(shù)列，

則數(shù)列｛d｝的通項(xiàng)公式為[3n=1

h-=Un≥i

由（I）知-

0-fc-=U（-lΓ?1≥2.

則7；=1x3+3x22+5x2'++（2n-3）×2,,^l+（2n-l）×2?③

34H,,+

2^I=2×3+3×2+5×2++（2∕7-3）×2+（2Π-1）×2,,④

③-④得

34n,,+l

-T11=9+2×（2+2++2）-（2n-l）×2

??_?/?+1

=9+2×--—（2H-1）×2,,+,,

所以7；=7+（2〃—3）X2叫

2.（2022河南省頂級(jí)名校高三上學(xué)期9月聯(lián)考）已知數(shù)列｛《,｝、也｝滿足：α,向=2%+l且4=1,

?=log2（αn+l）.

（1）求數(shù)列｛叫和也｝的通項(xiàng)公式；

11a

（2）數(shù)列｛q,｝滿足：—=√l,其中〃∈N*,若數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為乩，求凡.

0”Dn

/1+2

【答案】（I）an=T-l;bfl=∏;（2）Hn=2--^-.

【分析】（1）由遞推關(guān)系可構(gòu)造等比數(shù)列｛4+l｝,即可求出4,代入〃=log2（a.+l）化簡(jiǎn)即可得"；

bn

（2）由（1）可得c,,=-l?l=—,利用錯(cuò)位相減法求解即可.

an+?2

【詳解】（1）由4+1=24+1,令α,,+]+c=2（%+c）,得C=1,

???｛α,,+l｝是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列.

n

.?.απ+l=2?2^',即?！?2"-1.

.?也=IOg2（a“+l）=〃.

bn

(2)由題意知%=-~n,

?123n

-H'<=2+Ψ+^++Fφ

1?_123n-1n…

+++H-----------1-------T②

ΞH^2T2TFT2π+,*

C?Dl1111n〃+2

rr+++

①-②得'2H'^2Ψ^+談-Fr=I-k

.-.H=2--.

n12〃

1.(2020年新課標(biāo)I)數(shù)列｛4｝滿足4+2+(-IyU=3〃-1,前16項(xiàng)和為540,則％=.

【答案】7

【分析】對(duì)〃為奇偶數(shù)分類討論，分別得出奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)系，由奇數(shù)項(xiàng)遞推公式將奇數(shù)項(xiàng)用生表

示，由偶數(shù)項(xiàng)遞推公式得出偶數(shù)項(xiàng)的和，建立《方程，求解即可得出結(jié)論.

【詳解】*+(T)Z=3〃-1，

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，an+2=an+3n-l-,當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，an+2+a,l=3n-?.

設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”，

、6=+〃2+〃3+〃4++a?6

=%+Q3+Q5+Q∣5+(a)+〃4)+(Q|4+Q|6)

=4+(tz∣+2)+(%+10)+(4+24)+(4+44)+(4÷70)

+(%+102)+(4+140)+(5+17+29+41)

=8q+392+92=84+484=540,

.**6=7.

故答案為：7.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，以及數(shù)列的并項(xiàng)求和，考查分類討論思想和數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬

于較難題.

2.（2020年新課標(biāo)I）設(shè)｛a,｝是公比不為1的等比數(shù)列，/為與，%的等差中項(xiàng).

（1）求｛《,｝的公比；

（2）若α∣=l,求數(shù)列｛〃%｝的前〃項(xiàng)和.

1一(1+3〃)(—2)"

【答案】（1）-2；(2)S

n9

【分析】（1）由已知結(jié)合等差中項(xiàng)關(guān)系，建立公比夕的方程，求解即可得出結(jié)論;

（2）由（1）結(jié)合條件得出｛4｝的通項(xiàng)，根據(jù)｛〃4｝的通項(xiàng)公式特征，用錯(cuò)位相減法，即可求出結(jié)論.

【詳解】（1）設(shè)｛α,J的公比為q,%為生，%的等差中項(xiàng)，

2

?,?2ai=a2+ai,al≠0,.?.q+q-2=0,

q≠?,.?.q=-2?

l

(2)設(shè)｛〃區(qū)J的前〃項(xiàng)和為S,,,=l,aπ=(-2Γ,

5?=l×l+2×(-2)+3×(-2)2++n(-2)n-',①

n-n

-2Sn=1×(-2)+2×(-2)2+3×(-2)3+(π-l)(-2)'+n(-2),②

①一②得，3ξ,=1+(-2)+(-2)2++(-2)n^l-rt(-2)n

1-(-2)"1-(1+3〃)(-2)”

-n(-2)"=

1-(-2)3

l-（l+3∕ι）（-2Γ

n~9

【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算、等差中項(xiàng)的性質(zhì)，以及錯(cuò)位相減法求和，考查計(jì)算求

解能力，屬于基礎(chǔ)題.

21

3.（2021年全國(guó)高考乙卷）記S“為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，包為數(shù)列｛S,,｝的前“項(xiàng)積，已知不+丁=2.

（I）證明：數(shù)列｛d｝是等差數(shù)列;

（2）求｛%｝的通項(xiàng)公式.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）%=J?

--7——Λ^,九≥2

2ICC2〃3

【分析】（1）由已知—+—=2得Sn=—?-,且勿≠0,取〃=1.得?=；,由題意得

S.,b,,2b,-12

2h,2b,2b,2b,b.（、

llJLπ+n+

力7?與號(hào)■…T--=bn,消積得到項(xiàng)的遞推關(guān)系C-向［=-f±L,進(jìn)而證明數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列；

24-12?-l2bn-?2?n+l-lbllI"J

'3,

—,π=1

2

（2）由（I）M得勿的表達(dá)式，由此得到5〃的表達(dá)式,然后利用和與項(xiàng)的關(guān)系求得?！???

--1~~7\^≥2

n（n+l）

【詳解】（1）［方法一］：

2I2b］

由已知三-+丁=2得S“="且2≠0,bn≠-,

?nDnZP,-1n/J

3

取〃=1,由H=偽得4=;,

由于公為數(shù)列｛s,｝的前〃項(xiàng)積,

2b.242b,

所以2仿一「22一1--------=b,

24一1

2b?242bn*ι

~b“+i,

2VT-2ξ≡i'"2?,,+l-l

2?÷1_?÷

所以l

2%-廣bn'

由于d+∣#0

2I1

所以溫1T=五，即"+「么=于其中〃GN*

O1

所以數(shù)列｛2｝是以4=1為苜項(xiàng)，以d=/為公差等差數(shù)列;

［方法二］【最優(yōu)解】:

由已知條件知％=S∣?52.5l3??sn-l-sn①

于是“τ=S∣?S2?S3??S,,τ("≥2).②

由①②得工=S,.③

Dn-I

21C

又T+T-=2,④

Snbn

由③④得2-AT=；.

令〃=1,由S］=b∣,得么=］.

31

所以數(shù)列｛2｝是以：為首項(xiàng)，?為公差的等差數(shù)列.

［方法三］:

2］s

山不+丁=2，得2=”"O,且S,,≠0,bn≠0,S"≠l.

,b1

又因?yàn)閍=SjS,ι?S?=S”也4所以仇一=方=k?,所以

〉〃八〃一，

b-b

ltnl=1---------1—=4一［=1(〃≥2)

""T2S,,-22Sπ-22(5n-1)2

2IC3

在不+丁=2中，當(dāng)”=I時(shí)，4=S∣=［.

故數(shù)列｛〃｝是以;為首項(xiàng)，?為公差的等差數(shù)列.

［方法四］:數(shù)學(xué)歸納法

2ICC2”35,、31

由已知不+初=2,得S”=醞=，bl=~,么=2,bi=-,猜想數(shù)列也｝是以!■為首項(xiàng)，5為

公差的等差數(shù)列，且a=g"+l.

卜面用數(shù)學(xué)歸納法證明.

當(dāng)”=1時(shí)顯然成立.

I%+2

假設(shè)當(dāng)〃=女時(shí)成立，即仇=一攵+1,&=——.

2Z+1

攵+3k+31..

那么當(dāng)〃=Z+1時(shí)，4+∣W,=?+ιj?=-(^+1)+1.

k+22

綜上，猜想對(duì)任意的"∈N都成立?

31

即數(shù)列｛〃｝是以彳為首項(xiàng)，;為公差的等差數(shù)列.

22

(2)

?1

由（I）可得，數(shù)列｛2｝是以4=1為首項(xiàng)，以d=一為公差的等差數(shù)列,

,3(-I)XL[n

=萬(wàn)+(〃=+

)22,

S、2.一2+〃

"2bn-l1+〃'

3

當(dāng)〃=1時(shí)，a.=S.=—

2

2+〃l÷n

當(dāng)”22時(shí)，a=S-S,-而可,顯然對(duì)于"=1不成立,

n111+πn

3,

—,71=1

2

八,〃22

∕zJ(∕ι+l)

2ICC、

【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一從不+[=2得S,,=五十?,然后利用h的定義，得到數(shù)列｛2｝的遞推關(guān)系,

進(jìn)而替換相除消項(xiàng)得到相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，從而證得結(jié)論;

方法二先從久的定義，替換相除得到裊=5”，再結(jié)合G2+i12得到2-b,τ=g,從而證得結(jié)論，為

Snbn

最優(yōu)解;

21sb1

方法三由屐+7=2,得"=不亡5,由”的定義得。一TL=-~~進(jìn)而作差證得結(jié)論；方法四

3〃一2

利用歸納猜想得到數(shù)列a=L〃+1,然后利用數(shù)學(xué)歸納法證得結(jié)論.

2

（2）由（I）的結(jié)論得到母=；〃+1,求得S,的表達(dá)式,然后利用和與項(xiàng)的關(guān)系求得｛4｝的通項(xiàng)公式;

一、單選題

1.（2022?浙江嘉興?二模）已知數(shù)歹∣j{q,}滿足4=1,α,,=%τ+4HEN?n≥2）,S“為數(shù)歹

的前”項(xiàng)和，則（)

?*∣?<S22<g

207

B.2<S2022<—C?§<?22<2D.1<S2022<~

【答案】D

【分析】先判斷出4>α,ι,通過(guò)放縮得到,<11-∕=-?=,再通過(guò)分析法證得

a,,√%-

125

（M-K結(jié)合裂項(xiàng)相消即可證得Szm

又由4>%證得$2022>—=1即可.

a?

【詳解】當(dāng)”eN*,“≥2時(shí)，因?yàn)?,->0,所以q,>q7-1?

又因?yàn)?L=

且…

(7?-√?7)?(7?+7?7)4(α,ι+ι)?

2

下證<3,

(√?-√?7)4(?-ι+1)

即證<外^h+g，

印證3弧<5y∣a^+-7==

64C

即證9。〃<25。T+-----+80,

ZIan-?

即證Mτ+<25%+—+80,

an-?

、

印證91Jql+)

—16+”20

an-?

12

令，=向^即證%<4/+12+當(dāng)/22,4τ≥l時(shí)，不等式恒成立.

%

、/、

11Ji_____L

M)M3l7?7

所以

5215

一,<—

33?∣a2Q223

QIll11,

又因?yàn)?22=-+-+-+--+------>一=1,

a?a2”3"2022a?

故選：D.

2

<―

【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于分析法的應(yīng)用,通過(guò)分析法證得(7?-√?7)3又由放縮得到

進(jìn)而通過(guò)裂項(xiàng)相消證得52022<|,最后由證得

2.(2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛q｝滿足”“=(〃+I)I,則當(dāng)%取得最大值時(shí)W的值為()

A.2020B.2024C.2022D.2023

【答案】A

a..2020-n

【分析】利用作商法可得才lti=1+礪而可，討論〃的取值判斷與1的大小關(guān)系，即可得”“最大時(shí)”

的值.

【詳解】

..凡“=2021(〃+2)]∣2020-〃

'an2022(n+l)2022(〃+1)'

二當(dāng)”2()20時(shí)，—<1；當(dāng)“<2020時(shí)，—>h"=2020n%止=1,

，根據(jù)選項(xiàng)，當(dāng)〃=2020時(shí)，％取得最大值.

故選：A.

二、多選題

3.(2022?湖北?黃岡中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S“，且S“+%=1對(duì)于恒成立，若定

義Sj=SS尸=力Eg>(Z≥2),則以下說(shuō)法正確的是()

/=I

A.｛α,｝是等差數(shù)列B.SF)=一尸2

A&+Iχ)2i

C.SIr)-S產(chǎn)=正罰D.存在〃使得SF叫=瓢

【答案】BC

【分析】利用退位相減法可得數(shù)列的通項(xiàng)及5“即可判斷A選項(xiàng)，按照給出的定義求出SF)即可判斷B選項(xiàng),

數(shù)學(xué)歸納法和累加法即可判斷C、D選項(xiàng).

【詳解】當(dāng)"=1時(shí)，"∣=S∣=g,

1

當(dāng)時(shí)，由得故即，

"≥2S“+a“=l,Sllτ+%τ=1,In=54Ll，

所以數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，首項(xiàng)％=；,公比4=；，故4,=(g),

A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

ιLmπ^

則IFLu所以即=s,=ι-C),

1^2

11

Sf).邸T)+s?+÷?=ι-→-(∣p÷1-?J^-1-出

#3機(jī)嗚+M++E+UT+GW--??B≡≡;

2A)

當(dāng)Z=I時(shí)，Sf)Y)=F今，

A∞+∣

,m+2

假設(shè)當(dāng)女=加時(shí)，5n>-SF)=產(chǎn)之=C；：k成立，

(m+1J!

當(dāng)A:=m+1時(shí)，由SF)=SFT)+SFT)++S"產(chǎn)+SFT=S,T?+S,(J)可得

S(m+3)_S(m+l)=S(m+3)+S(m+2)_(S(w+l)Q(m)\CW+3)_S(，〃+l)+s('"+

+=)-s*=SF)-S“F“)+C震T,則

i"u,∕j-1kjnIi^,∕ι-1k-,∕tIt^,n-?kjn-lt~fn

S(wt+3)o(w+l)-S(wj+3)S(∕M+1)「,“+Io(∕w+3)S(wt+l)—S(∕w+3)l

?w-l—?w-?=0∕t-2—dn-2+^rt+m-2,d∕ι-2—d∕t-2=%-3^W+c;:*,，

Sjs+3)_SM+1)=$2"")-S?")+C黑,Sj"")-SjD=Slg3)-EE)+C：；：；,將上式相加可得

S"("3)-s,")=SF3)/(")+《：：+9：：++C+C&T，又SF)=SFT)=SF),貝IJSF*3)-S產(chǎn)砌=O,故

Q(∕∏+3)_S(∕n+l)_z~ι∕n+l,「/“+]../~ι∕π+l.z~,∕π+l_Z-^/H+2.z~ι∕π+l.,/^I∕H+I.^>tn+?

?n-%='"+I十J+2+十ew+∕n-2十=^m+2十5+2十十'^n+w-2+^n+m-?

AEA""*>?

=C露+c:;++CJ+c震T=C小戲亦=[渭謂聯(lián)即左=〃2+1時(shí)也成立，

故S,*2)-5“(*)=磊j,C選項(xiàng)正確；

D選項(xiàng)，當(dāng)”=1時(shí)，由s*=SfT)=S⑴=_!_>_!—知不成立，

22022!

當(dāng)“≥2時(shí)，由C選項(xiàng)知：S嚴(yán))_5F)=*rc:L=C;力，則Sj*+')-SFT)=Cj=ML,

IK十I).

SF)_鏟)=c*-∣3=CXL3，L,SF)-S,⑶=c≈t,=c：;3SF)-Sj)=C=C廠,上式相加得

鏟)+sF")=s,M)+sN+c；r+c：：：+C：;L+C：;3,又由上知，s,⑵+sF)="i+("'+i-(；J=”,則

SFM+S,*"="+cr+c;:;"c：京z+c;之=c：;-'+c：-2+c;;;?+CtL+c?3

=c：;；+c：；+C：;L+G;；T=C：J可得S,y)+S*)=G420=C%°=("+2°20&*019)〃,又由

(n+2020)(/?+2019)

SF)=Sj+SFT),s,?>0可得SF)>SFT),S產(chǎn))+S嚴(yán))=<25,產(chǎn)），即

5l2022>>（佇2020）（"+239）/>nrm'>=,D選項(xiàng)錯(cuò)誤：

“2×2021!2×202l!2022x2021!2022!

故選：BC.

【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵在于C、D選項(xiàng)的判斷，C選項(xiàng)通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法和累加法以及組合數(shù)的性質(zhì)即可求解；D

選項(xiàng)借助C選項(xiàng)的結(jié)論，通過(guò)累加法以及組合數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

三、填空題

4.（2022?遼寧葫蘆島?一模）已知數(shù)列m},4=1,對(duì)于任意正整數(shù)gn,都滿足勺+“=4“+4+，”〃，則

+—+???+---=

2021

【答案】

1011

12

【分析】令m=1,得《川-?！?"+1，用累加法求出一=-/二二2,由此利用裂項(xiàng)相消求和求出

nn+?

q

【詳解】令〃?=1,得=4+々〃+〃=1+4+〃，所以-〃”=〃+1,則

〃〃一%-1=〃，an-?~an-2=^-1,.......，/一〃2=3，出一=2，

所以當(dāng)〃≥2時(shí),

〃（九+1）

=4+（%-4）+（%一生）++（α〃一4T）=I+2+3++〃=

2

又4=1滿足上式，所以為=吟W

所以L=^-=2f?L--M

?+?nn+Iy

+募-康片?卜制

2021

故答案為:

1011

5.（2022?江西景德鎮(zhèn)?三模（理））已知數(shù)列｛為｝和正項(xiàng)數(shù)列也｝,其中a“epπ且滿足"cos%=b：-l,

數(shù)列｛々,sin%｝的前〃項(xiàng)和為S“，記J=｝，滿足4c向-2q=l.對(duì)于某個(gè)給定q或々的值，則下列結(jié)論中:

①偽e［存?,l］；②E=冬③若4e??,?l則數(shù)列匕｝單調(diào)遞增;④若Cle\,1,則數(shù)列｛bnSinal,｝

從第二項(xiàng)起單調(diào)遞增.其中正確命題的序號(hào)為

【答案】①②③

【分析】求得向的范圍判斷①；求得打的值判斷②；判定出數(shù)列｛%｝單調(diào)性判斷③：由數(shù)列｛2sin4｝第三

項(xiàng)小于第二項(xiàng)否定④.

【詳解】由"cosα,,=配-1,可知d-dcosα,,-l=0,則CoSa“=與二，又a“e?π

b.L2

則—14與二l≤0,解之得

,1.則①判斷正確:

11

由4%+∣-2q,=l,可得4cz-2q=l,則邑一，=Hsm/=力，則Sma2=彳

2乙。，

又由〃COSa“=〃；-1,∏J?∏?2-?1cosa2-1=0,則COSa,=?^r^?

b2

22則后=T或&=|（舍）

則由cosa2÷sina1

則H=也或么=-也(舍).則②判斷正確;

2222

?2-l,1

ll

由“cosq,=6