2024年高考數(shù)學(xué)摸底考試卷（解析版）

2024年高考數(shù)學(xué)摸底考試卷

高三數(shù)學(xué)

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求.

1.設(shè)集合A={-3,-2,—1,0,1,2,3},B={X|X2-X<0),則AB=()

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{0,1,2}D.0

【答案】B

【分析】解不等式V-xWO得集合&再求A與5的交集即可得解.

【詳解】解不等式d-X40得0X1,

于是得8={x|0Wl},

而4={-3,-2-1,0,1,2,3},

所以43={0,1}.

故選：B

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z(l+2i)=3-；則|z|=

A.2B.GC.應(yīng)D.1

【答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算可求得z,根據(jù)模長運算可求得結(jié)果.

3-Z(3-z)(l-2z)=17.

【詳解】l+2z-(1+20(1-2/)-5-5Z

本題正確選項：C

【點睛】本題考查復(fù)數(shù)模長的求解，關(guān)鍵是能夠通過復(fù)數(shù)除法運算求得復(fù)數(shù).

3.3.已知向量”，6滿足同=2忖=2,（d-6）儂+6）=8,貝ijd與的夾角為（）

A.空B.工C.工D.運

3366

【答案】A

【分析】由（4-匕卜（2。+匕）=2回2-4為-時=8求得4心=-1，再根據(jù)向量夾角公式即可求解.

【詳解】因為（。-孫（24+匕）=2,一一時=8.又同=2忖=2,所以。/=一1.

所以力日T，

因為04卜,。）與兀，所以“與人的夾角為年.

故選：A

4.已知隨機變量X8（2,p）,隨機變量丫N（2,〃），若P（X<l）=0.36,P（Y<4）=p,則尸（0<y<2）=

（）

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

【答案】C

【分析】由P（X41）=0.36求出p=0.8,進而P（Y<4）=p=0.8,由此求出尸（0<丫<2）.

【詳解】因為X3(2,p),XN(2,/),尸(XVl)=0.36,

所以P(X41)=(l_p)2+2p(l_p)=0.36,

解得P=O-8或。=-0.8(舍)，

由P(Y<4)=p=0.8,貝(］尸(丫24)=1-0.8=0.2,

所以P(0<y<2)=；(l-0.2x2)=0.3.

故選：C.

5.若函數(shù)=在口，2］單調(diào)遞減，則)a的取值范圍（

A.a>-2B.a<-2C.a<-4D.a>-4

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性來求得。的取值范圍.

【詳解】依題意函數(shù)/")=在62］單調(diào)遞減,

y=［在R上遞減，

5

y=x2+ax的開口向上，對稱軸為X=-^,

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知，-晟41=。*-2.

故選：A

?>2

6.已知點R、F2分別是橢圓「+］=l(a>b>0)的左、右焦點，過B且垂直于x軸的直線與橢圓交于A、

ab

B兩點，若AABF2為正三角形，則橢圓的離心率是

A.2B.J2C.3D.且

3

【答案】D

b2

【分析】先求出A耳的長，直角三角形4￡鳥中，由邊角關(guān)系得tan30。=也=五建立關(guān)于離心率的方程，

'KK2c

解方程求出離心率的值.

【詳解】由已知可得，4G=工，

a

b2

tan30°==-^-=a=—>?二C『+2e-6=0,

FiF22c2ac2e3

Q0<e<l,.'=今

故選D.

【點睛】本題考查橢圓的離心率，求解時要會利用直角三角形中的邊角關(guān)系，得到關(guān)于“，c?的方程，從而求

得離心率的值.

7.已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項和為S”，命題?：“%>。，4>0”，命題《：“S7>0”，則命題。是命題夕的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合充分、必要條件分析判斷.

【詳解】由%不能推出$>0,

例如“"="一4,則4=0,。5=1>°，“6=2>0,所以57=7%=0,

故命題P是命題<?的不充分條件；

由S7〉。，不能推出1>°，%>°，例如4=9-2",則為=1,。5=-1，4=-3,

所以S?=7%>0,為<0,4v0，故命題P是命題4的不必要條件；

綜上所述：命題P是命題4的既不充分也不必要條件.故選：D.

8.在邊長為6的菱形中，ZBAD=^,現(xiàn)將菱形A8c。沿對角線BD折起，當(dāng)AC=3n時，三棱錐

A-BCD外接球的表面積為（）

A.24兀B.48兀C.60兀D.727t

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)求出相關(guān)線段的長，根據(jù)球的幾何性質(zhì)確定三棱錐外接球的球心

位置，求得外接球半徑，即可求得答案.

【詳解】由題意在邊長為6的菱形A8C。中，乙=m知，

和△88為等邊三角形，如圖所示，

取BD中點E,連接AE,CE,則/正，AE=y/AD2-DE2=762-32=3^>

同理可得CE=36，又AC=3底,貝！IAE2+CE2=AC?,則AEJ_CE,

又BD?！?28￡）（后<=平面。80,故在，平面。3。，

而CEu平面CBD,故AE1.CE，

由于△88為等邊三角形，故三棱錐A-38外接球球心O在平面88內(nèi)的投影為△88的外心0一即

。。，平面。友），故OO1〃AE,

過。作OHLAE于H,則H為△4?。的外心，則。O/HE,即00，”,E共面，

則OH//O{E,則四邊形OOFH為矩形，

則在RIZXO/M中，OH=01E=；CE=6,AH=^AE=2y/3,

22

所以外接球半徑R=y/0H+AH=715，則外接球表面積為S=4證2=60k,

故選：C

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.有一組樣本甲的數(shù)據(jù)占，一組樣本乙的數(shù)據(jù)2x,+l,其中%（i=1,2,3,4,5,6,7,8）為不完全相等的正數(shù)，則

下列說法正確的是（）

A.樣本甲的極差一定小于樣本乙的極差

B.樣本甲的方差一定大于樣本乙的方差

C.若樣本甲的中位數(shù)是機，則樣本乙的中位數(shù)是2m+1

D.若樣本甲的平均數(shù)是〃，則樣本乙的平均數(shù)是2〃+1

【答案】ACD

【分析】根據(jù)統(tǒng)計中的相關(guān)概念和性質(zhì)運算求解.

【詳解】不妨設(shè)樣本甲的數(shù)據(jù)為0＜與…＜不，且為＜/，

則樣本乙的數(shù)據(jù)為2%+142々+"…42為+1,且2西+1＜2玉+1,

對于選項A：樣本甲的極差為甚-西＞。，樣本乙的極差（2為+1）-（2玉+1）=2（毛-玉），

因為2（鼻一玉）一（不一百）=/一X＞0,即2（毛一百）＞網(wǎng)一玉，

所以樣本甲的極差一定小于樣本乙的極差，故A正確；

對于選項B：記樣本甲的方差為總＞0,則樣本乙的方差為4s3

因為4s；,-4=3*＞0,即4s1＞4，

所以樣本甲的方差一定小于樣本乙的方差，故B錯誤；

對于選項C：因為樣本甲的中位數(shù)是機=巴詈，

則樣本乙的中位數(shù)是n=（2%+1）；（2、+1）=匕+$+1=2根+1,故C正確；

對于選項D：若樣本甲的平均數(shù)是〃，則樣本乙的平均數(shù)是2”+1,故D正確；

故選：ACD.

10.已知正方體ABCD-A4GR,則（）

A.直線8G與。4所成的角為90°B.直線BC與CA所成的角為90°

C.直線BG與平面BBQQ所成的角為45°D.直線8G與平面ABC。所成的角為45°

【答案】ABD

【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對所給選項進行判斷即可.

【詳解】如圖，連接B。、BG，因為DAJ/BQ,所以直線8c與所成的角即為直線BC與。A所成的

角，

因為四邊形8與GC為正方形，則qCLBC，故直線8孰與。A所成的角為90。，A正確；

連接AC，因為44,平面BBgC,86<=平面88a。，則A百，8G，

因為B,C，BG，A4B￡=B',所以BQ，平面AGC,

又ACu平面ABC,所以8G，CA，故B正確；

連接AC,設(shè)AGBR=O,連接80,

因為8片，平面44GR,C0U平面AAC。，則C0J_8|B,

因為CQLgA，=所以G。，平面B8QQ,

所以NG8。為直線BG與平面BBQ/）所成的角,

設(shè)正方體棱長為1,則CI0=4，BCt=5/2,sinNC|BO=第=；,

所以，直線Bq與平面88QO所成的角為30,故C錯誤；

因為平面ABC0,所以NGBC為直線8G與平面ABC。所成的角，易得NC|BC=45,故D正確.

故選：ABD

11.已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(x+2)+〃x)=0,且y=/(2-x)為偶函數(shù)，則下列說法一定正確

的是()

A.函數(shù)/(x)的周期為2B.函數(shù)〃x)的圖象關(guān)于(1,0)對稱

C.函數(shù)〃x)為偶函數(shù)D.函數(shù)〃x)的圖象關(guān)于x=3對稱

【答案】BC

【分析】根據(jù)給定的信息，推理論證周期性、對稱性判斷AB；借助變量替換的方法，結(jié)合偶函數(shù)的定義及

對稱性意義判斷CD作答.

【詳解】依題意，R上的函數(shù)”司，f(x+2)=-f(x),貝!|/(x+4)=一/(x+2)=f(x),函數(shù)〃x)的周期

為4,A錯誤；

因為函數(shù)?=〃2-可是偶函數(shù)，則〃2-力=/(2+可，函數(shù)〃x)的圖象關(guān)于x=2對稱，

且f(2-x)=-〃x),即〃2-x)+f(x)=0,函數(shù)〃x)圖象關(guān)于(1,0)對稱，B正確；

由“2-力=〃2+力得"—x)=/(4+x)=〃x),則函數(shù)〃x)為偶函數(shù)，C正確;

由〃x+2)+f(x)=0得f(x+3)+f(l+x)=0,由〃2—x)=〃2+x)得〃3—x)=/(l+x),

因此〃x+3)+43-x)=0,函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于(3,0)對稱，D錯誤.故選：BC

12.拋物線<7:r=2刀(0>0)的準線方程為卜=-1,過焦點產(chǎn)的直線/交拋物線C于A,B兩點,則()

A.C的方程為r=2y

B.|明+2忸尸|的最小值為4+24

C.過點〃(4,2)且與拋物線僅有一個公共點的直線有且僅有2條

/XZ211

D.過點A3分別作C的切線，交于點「(%,%)(/#0),則直線尸￡尸4尸5的斜率滿足廠二1+廠

KpFKPAKPB

【答案】BD

【分析】求出拋物線方程判斷A；設(shè)出直線/的方程并與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合拋物線定義及均值不等式計

算判斷B；設(shè)出過點M的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立求解判斷C;求導(dǎo)并結(jié)合選項B的信息求解判斷D

作答.

【詳解】對于A；依題意，-導(dǎo)-l,解得P=2,C的方程為/二分，A錯誤；

對于B,由選項A知，尸(0,1),設(shè)直線/的方程為y="+l,由+1消去y得』-4日-4=0,

[x=4y

設(shè)4(士,y),磯孫必)，則有工內(nèi)=-4,\AB\+2\BF\=\AF\+3\BF|=y+1+3(%+D=*'[應(yīng)+4

N他邑+4=26+4,當(dāng)且僅當(dāng)王=-6々時取等號，B正確；

4

對于C,過點知(4,2)且與拋物線僅有一個公共點的直線不垂直于y軸，設(shè)此直線方程為x-4=?.y-2),

由[[4：’"一2)消去y得：^-x2-x-2t+4=0,當(dāng)r=0時，x=4,直線與拋物線僅只一個交點，

當(dāng),#0時，△=1-《-2/+4)=2/-力+1=0,解得f=l土也，即過點"(4,2)且與拋物線相切的直線有2條，

2

所以過點加(4,2)且與拋物線僅有一個公共點的直線有3條，C錯誤；

對于D,由求導(dǎo)得y=B，由選項B知，%==%=*，:4,

4L，2[X,X^)――4

y吟(》一陽)+%

1,12,22（玉+乙）c,,

—+—=—+—=—!~=-2k,由〈；兩式相減得:

kpAkpB為x2xIx2

-xl）+yt-y2=0,即=-x；）,則x=、,愛=2k,

于是x（）=2Z,%=5（2A-xJ+y=伙-y=3-（g+l）=T,即點P（2人,-l）,

,D正確.故選：BD

第n卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.現(xiàn)從4名男志愿者和3名女志愿者中，選派2人分別去甲、乙兩地擔(dān)任服務(wù)工作，若被選派的人中至

少有一名男志愿者，則不同的選派方法共有種.（用數(shù)字作答）

【答案】36

【分析】依題意分兩種情況討論，①選一名男志愿者與一名女志愿者，②選兩名男志愿者，按照分步乘法

計數(shù)原理與分類加法計數(shù)原理計算可得；

【詳解】解：依題意分兩種情況討論，①選一名男志愿者與一名女志愿者，則有以C；度=24種選派方法;

②選兩名男志愿者，則有C：照=12種選派方法；

綜上可得一共有24+12=36種選派方法；

故答案為：36

14.已知正四棱臺的側(cè)棱長為3,兩底面邊長分別為2和4,則該四棱臺的體積為

【答案】竺五

3

【分析】根據(jù)正四棱臺的性質(zhì)求出高，即可由體積公式求出.

【詳解】如圖，正四棱臺A88-AAG"中，設(shè)下底面中心為。，上底面中心為。

則。。即為四棱臺的高，過用作則

在RtABEB］中，3闿=3,3E=20-0=則用《=#41/=J7,

又^ABCD=42=16,Sq耳Gq=22=4,

所以該四棱臺的體積為丫=；（16+&審+4卜五=軍.

故答案為：竺6.

3

15.己知直線/：x-陽+1=（）與：C:（x-1o）-+V=4交于A,B兩點，寫出滿足“面積為8］''的m的一

個值.

【答案】2（2,-2，,-g中任意一個皆可以）

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求出弦長|43|,以及點C到直線A3的距離，結(jié)合面積公式即可解出.

【詳解】設(shè)點C到直線AB的距離為d,由弦長公式得|AB|=2"-屋,

所以區(qū)"c=：xdx26^=［,解得：］=生5或“=也，

2355

由”=4±=了三，所以-=華或=半，解得：旭=±2或機=±

Jl+蘇Jl+加V1W5J1+—52

故答案為：2（2,-2,；,-；中任意一個皆可以）.

16.設(shè)函數(shù)/（x）=sin（0x+m）在區(qū)間（0,兀）恰有三個極值點、兩個零點，則。的取值范圍是.

【答案】（―,-1

o3

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解.

【詳解】由題意，當(dāng)0<0時，不能滿足在（0,兀）上極值點比零點多，

當(dāng)69>（）時，因為X￡（0,兀），所以+§W（］,6M+§）,

要使函數(shù)"力=sin（8+在區(qū)間（0,兀）恰有三個極值點、兩個零點，

由y=sinx的部分圖象如下圖所示：

O3nx

n,.5K兀皿313/8138,

則—<麗+k43兀，解得—<?）<—,a即nz（―,—],

236363

故答案為：吟,白.

四、解答題：本小題共6小題，共70分，其中第17題10分，18~22題12分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明

過程或演算步驟.

17.臬為數(shù)列｛叫的前“項和，已知％>0,a：+2a“=4S”+3.

（1）求證：數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列；

⑵設(shè)"=」一，求數(shù)列也｝的前n項和卻

anan+\

【答案】（1）證明見解析

⑵=3（2〃+3）

S,,7?—1v

【分析】（1）利用4,=二°、.，作差得到（4,是首項為3,公差4=2的等差數(shù)列，從而求出其通項

公式；

（2）由（1）可得（丁二-丁二〕，利用裂項相消法計算可得.

2v2/z+12/1+3）

【詳解】（D由d+2a”=4S“+3,可知.3+20向=45向+3

兩式相減得a；+i-a；+2（??+）-o?）=4a?+,,

即2（??+|+??）=<,-?Xa?+l+%）（。,用-%），

.a“>0，??。”+1-a“=2,

2

“當(dāng)”=1時，a,+2a,=4a,+3,/.ax=-1（舍）或q=3,

則｛《J是首項為3,公差d=2的等差數(shù)列，

｛叫的通項公式a.=3+2（〃-1）=2〃+1；

（2）'：a?=2n+\,

.k_L_=___J___________

‘*"a”a,,+i（2〃+l）（2w+3）2（2"+l2n+3）'

???數(shù)列｛〃｝的前”項和

7

Hd+H+…+*-*-熹卜

18.在銳角三角形中，角A,B,C的對邊分別為a,〃,c,且＞/5(h-acosC)=csinA.

(1)求角A的大小;

(2)若4=2,求45C周長的取值范圍.

【答案】(1)A=]

⑵(2+236]

【分析】(D對已知條件的邊換成角，結(jié)合三角公式求出tanA,根據(jù)A的范圍得出角的度數(shù);

(2)根據(jù)正弦定理，將邊6+c用角來表示，轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的值域問題的求解.

【詳解】(1)由正弦定理得石(sinB-sinAcosC)=sinCsinA,

又A+8+C=7t,sin(A+C)=sin(兀-8)=sinB,

則[sin(A+C)-sin/4cosC]=sinCsinA,

化簡得GeosAsinC=sinCsinA,

又sinC>0,所以GcosA=sin4,則G=tanA,

因為Ae(0，S，

所以A?

a_b_c_2_4G

(2)由正弦定理得：sin/1-sinB-sinC~-，

sin—

3

??b=-----smB,c=------sine,

33

.一—4g?RJG,「

..a+b+c=2+-----sin8+------sinC=2d-------

333

=2+—f-sinfi+—cosB

=2+4sinlS+-I；

3”2

為銳角三角形,

7T

0<B<-

2,

八-2兀八兀

0<C=------B<—

32

解得：<B<

7672'

.兀門兀2兀

??一<8+-<—,

363

<sin[8+W1,

26<4sin(B+印4,

??2+2\/3<a+Z?+cW6,

即^ABC的取值范圍為(2+26,6].

19.如圖，在四棱錐P-A3c。中，PCI底面ABCO,四邊形ABCD是直角梯形，AOLOC,AB//DC,

PC=AB=2AD=2CD=2,點E在棱PB上.

P

⑴證明：平面E4C_L平面PBC；

(2)當(dāng)BE=2EP時，求二面角「一AC-E的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵述

3

【分析】(D由線面垂直得到線線垂直，求出各邊長，由勾股定理逆定理得到AC/BC,從而證明出線面

垂直，面面垂直；

(2)解法一：以C為原點，CB,CA,CP所在直線分別為x軸，、軸，z軸，建系，寫出點的坐標(biāo)及平面

的法向量，求出二面角的余弦值；

解法二：取AB的中點G,連接CG,以點C為原點，CG,CD,CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，

建系，寫出點的坐標(biāo)及平面的法向量，求出二面角的余弦值；

【詳解】(1)因為PC,底面ABC。，ACu平面A8CQ,

所以PCJ_AC.

因為他=2,AD=CD=l,所以4C=BC=VL

所以AC'+BC?=A4,所以AC13C.

又因為PCc3C=C,PCu平面PBC,3Cu平面PBC,

所以ACJ_平面PBC.

又ACu平面EAC,

所以平面E4CJ_平面PBC.

(2)解法一：

以點C為原點,CB,CA,CP所在直線分別為x軸,y軸,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C（0,0,0）,

B（A/2,0,0）,A（0,V2,0）,P（0,0,2）.

設(shè)點E的坐標(biāo)為(x,y,z),因為BE=2EP，所以(x-a,y,z)=2(-x,-y,2-z),

即.gy=0,z=i,所以小坐,0,工

33(33)

所以C4=(0,&,0),山=(4,0,：.

▲/、n-CA=0

設(shè)平面ACE的一個法向量為”=(x,y,z),貝叫.

n-CE=0

V2y=0

所以“五4，取x=2亞,則y=°,z=—1.

--X4---Z=0

I33

所以平面ACE的一個法向量為"=（2五,0,-1）.

又因為BC工平面PAC,所以平面PAC的一個法向量為CB=（四,0,0卜

設(shè)平面PAC與平面ACE的夾角為6,

貝〃，-----==華.

Ucose=1|cos(,CB1=#一+P(?-閩＞畫3

所以，平面PAC與平面ACE夾角的余弦值為2也.

3

解法二：

取AB的中點G,連接CG,以點C為原點，CG,CD,CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖

所示

的空間直角坐標(biāo)系，則”0,0,0),3(1,TO),A(l,l,0),P(OA2).

設(shè)點E的坐標(biāo)為(x,y,z),因為8E=2￡P(guān)，所以(x—l,y+l,z)=2(-x,-y,2-z),

即x=：,y=-；,z=g,所以

JJJ

所以C4=(l,l,0),CE=G，-g).

n-CA=0

設(shè)平面ACE的一個法向量為〃=(x,y,z),則｛.

n-CE=0

x+y=0

所以“114八，取x=3,貝!|'二一3,z=--|

-x——y+-z=O2

、333

所以，平面ACE的一個法向量為〃=(3,-3,-|

又因為3cl平面PAC,所以平面PAC的一個法向量為CB=(1,-1,0).

設(shè)平面PAC與平面ACE的夾角為巴

cos”辰s(“,C昨一|3xl+(-3)x(—l)|----------=逑

則?(力3

所以，平面PAC與平面ACE夾角的余弦值為半

20.為了宣傳航空科普知識，某校組織了航空知識競賽活動.活動規(guī)定初賽需要從8道備選題中隨機抽取4

道題目進行作答.假設(shè)在8道備選題中，小明正確完成每道題的概率都是［且每道題正確完成與否互不影

響，小宇能正確完成其中6道題且另外2道題不能完成.

(1)求小明至少正確完成其中3道題的概率：

(2)設(shè)隨機變量X表示小宇正確完成題目的個數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(3)現(xiàn)規(guī)定至少完成其中3道題才能進入決賽，請你根據(jù)所學(xué)概率知識，判斷小明和小宇兩人中選擇誰去參

加市級比賽(活動規(guī)則不變)會更好，并說明理由.

_189

【答案】(1)一

(2)分布列見解析，3

(3)選擇小宇，理由見解析

【分析】(1)小明至少正確完成其中3道題包含兩種情況：一是小明正確完成3道題，二是小明正確完成4

道題，然后由互斥事件的概率公式求解即可；

(2)由題意得X的可能取值為2,3,4,然后求各自對應(yīng)的概率，從而可求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(3)分別計算出他們兩人至少完成其中3道題的概率，通過比較概率的大小可得答案.

【詳解】(1)記“小明至少正確完成其中3道題”為事件A,則

3嗚.+嗚4嘮.

(2)X的可能取值為2,3,4

吵=2)=警=*得，

（'）C：7071

'8

d1S3

尸（X=4）=5^=D=±,

\，C：7014

X的分布列為;

X234

343

P

14714

443

數(shù)學(xué)期望E(X)=2XK+3X1+4X/=3.

12Q

(3)由(1)知，小明進入決賽的概率為P(A)=黑；

記，，小宇至少正確完成其中3道題”為事件B,貝IJ尸⑻=14+亮4弋11；

因為P(B)>P(A),故小宇進決賽的可能性更大，

所以應(yīng)選擇小宇去參加比賽.

21.已知函數(shù)/(x)=xe'-41nx在x=l處的切線方程為y=(2e+l)x-/?(a,beR)

(1)求實數(shù)a，b的值；

⑵設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)-2e*-x+3,當(dāng)xe時，g[x)<m(%eZ)恒成立，求加的最小值.

【答案】(l)a=T,/>=e+l

(2)0

【分析】(D求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；

(2)當(dāng)xepl時，g{x)<m(meZ)恒成立，只要加>8(62即可，利用導(dǎo)數(shù)求出xe1,1上g(x)的

最大值即可得出答案.

【詳解】(D定義域為(0,+8),r(x)=(x+l)e，-f,

,

由題意-知匕f/(l、)=…2e-一a=2e+l，

"⑴=2e+l-b=e

解得。二-1,Z?=e+1；

(2)g(x)=/(x)-2eA-x+3=(x-2)eA+lnx-x+3,

則8'(力=(尤―1卜'+^_1=(工_1)卜-/}

令力(x)=e*-L其中xe,貝|j〃'(x)=e，+3>0,

所以函數(shù)Mx)=e'-1在上單調(diào)遞增，

因為唱卜庭-2<0,/z(l)=e-l>0,所以存在唯一與€(；」)，

使得〃a,)=e&-」=0,即留=工，可得%=-始飛,

"o/

當(dāng);<X<X°時，g'(x)>(),此時函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)不<X<1時，g'(x)<0,此時函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.

所以當(dāng)xe1,1時，8⑴皿=g(xO)=伍一2)e&+ln%_x()+3,

i(iAI