2022-2023學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市天心區(qū)明德中學(xué)高二（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷

2022-2023學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市天心區(qū)明德中學(xué)高二（上）入學(xué)數(shù)

學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.（5分）已知集合A={x∣y=∕g（1-χ）},8={x∣x2-2x<0},則AUB=（）

A.（0,+8）B.（-8,1）C.（0,2）D.（-8,2）

2.（5分）復(fù)數(shù)rL的值為（）

3+4l

A.?+iB.1-ZC.-1+zD.-I-Z

3.（5分）從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的袋子內(nèi)任取2個(gè)球，下列選項(xiàng)中是互斥而不對(duì)立的

兩個(gè)事件的是（）

A.“至少有1個(gè)紅球”與“都是黑球”

B.“恰好有1個(gè)紅球”與“恰好有1個(gè)黑球”

C.“至少有1個(gè)黑球”與“至少有1個(gè)紅球”

D.“都是紅球”與“都是黑球”

4.（5分）函數(shù)y=x2+∕"lx∣的圖象大致為（）

5.（5分）已知，”，，?為兩條不同直線，ɑ,β為兩個(gè)不同平面，給出下列命題:

■mc∑a

=SIla④nu∕?=ZnIIn,

,aHβ

其中的正確命題序是（

A.②③B.③④C.①②D.①②③④

6?（5分）一個(gè)電路如圖所示，48,C,D,E,F為6個(gè)開關(guān)，其閉合的概率都弓旦

是相互獨(dú)立的，則燈亮的概率是（）

7.（5分）在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為4,b,c,若尻=4百，sinΛ+2sinBcosC

=0,則AABC面積的最大值為（）

B.√3D.2√3

8.（5分）己知函數(shù)/^（x）=log2**+1）+kx,g（x）=∕0g2（α,2*-gα）（4>0）,若f（x）

是偶函數(shù)且滿足函數(shù)y=∕（x）-g（%）有一個(gè)零點(diǎn)，則α的取值范圍是（）

A.0<a<lB.0<a≤lC.a>lD.心1

二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）

（多選）9.（5分）下列命題中正確的是（）

A.若ab>序,貝!]a>b

B.已知”>0,b>0,若α+6=4,則αb≤4

11

C.已知q>0,b>0,若必=4,則-+一≥1

1111

命題"b,都有展≤辟立”的否定是命°。，使FV發(fā)成立"

(多選)10.(5分)已知向量a=(2,1),b=(-3,1),則()

TT→

A.(a+e)1a

B.與向量α共線的單位向量是（拳，Y）

→T

C.∣α+26|=5

D.向量；在向量。上的投影向量是-孚》

（多選）11.（5分）對(duì)于AABC,有如下命題，其中正確的有（）

A.若sin2A=sin2B,則4ABC是等腰三角形

B.若AABC是銳角三角形，則不等式SinA>cosB恒成立

C.若si∏2A+sin2B+cos2c<1,則AABC為鈍角三角形

一√3√3

D.若AB=6,AC=!,8=30°,則AABC的面積為一或一

42

（多選）12.（5分）正方體ABa）-AIBlCIQl的棱長(zhǎng)為2,E,F,G分別為BC,CC∣,BBI

的中點(diǎn).則（）

A.直線。與直線A尸垂直

B.直線AIG與平面AEF平行

9

C.平面AEF截正方體所得的截面面積為5

D.點(diǎn)4和點(diǎn)O到平面AE尸的距離相等

三、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)

位置上.）

13.（5分）不等式33F>'的解集是.

14.（5分）如圖，在aABC中，2%=P是線段BN上的一點(diǎn)，^AP=mAB+^AC,

則實(shí)數(shù)W=.

BC

15.(5分)從1,2,3,4,5中任取兩個(gè)不同的數(shù)，其中一個(gè)作為對(duì)數(shù)的底數(shù)0,另一個(gè)作

為對(duì)數(shù)的真數(shù)6.則log/e(0,1)的概率為.

16.(5分)如圖，四棱臺(tái)ABCQ-AlBlelQl上下底面都為正方形且側(cè)棱長(zhǎng)都相等，且竽1=

AB

1

設(shè)￡、F、G分別是棱A3、BC、CIOl的中點(diǎn)，過￡F、G的平面與AAl交于點(diǎn)”,

則K-值為____________________；若四棱臺(tái)ABCQ-AIBiCiOi的高2,體積為14,則

AA1

該四棱臺(tái)外接球的表面積為.

A

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過程及演算步

驟.)

TTTTi

17.(IO分)已知向量Q=(遮，sin2x),b=(sInxcosx,—1),函數(shù)f(x)=Q?b+才

(1)求/G)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)設(shè)α∈(0,裝)，若/?)=會(huì)求/(α)的值.

18.(12分)如圖，在正方體ABC。-AIBIClDI中，棱長(zhǎng)為1,E為小。的中點(diǎn)，ACHBD

=O.

(1)求證：AC，平面

(2)求證：DE〃平面4CBi；

(3)求三棱錐E-ACBl的體積.

19.(12分)為了普及垃圾分類知識(shí)，某校舉行了垃圾分類知識(shí)考試，試卷中只有兩道題目，

已知甲同學(xué)答對(duì)每題的概率都為p,乙同學(xué)答對(duì)每題的概率都為q(p>q),且在考試中

每人各題答題結(jié)果互不影響，己知每題甲、乙兩人同時(shí)答對(duì)的概率為>恰有一人答對(duì)的

2

概率為卷.

（1）求P和q的值；

（2）求甲、乙兩人共答3對(duì)道題的概率.

20.（12分）如圖，為了檢測(cè)某工業(yè)園區(qū)的空氣質(zhì)量，在點(diǎn)A處設(shè)立一個(gè)空氣監(jiān)測(cè)中心（大

小忽略不計(jì)），在點(diǎn)8處安裝一套監(jiān)測(cè)設(shè)備.為了使監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)更加準(zhǔn)確，在點(diǎn)C和點(diǎn)。

處，再分別安裝一套監(jiān)測(cè)設(shè)備，且滿足A8=2k72,BC=4km,且aACO為正三角形.

（1）若/BAC=*求4ABO面積；

（2）設(shè)NABC=α,試用a表示aABO的面積，并求最大值.

21.（12分）如圖，已知SA垂直于梯形A3CZ）所在的平面，矩形SA。E的對(duì)角線交于點(diǎn)凡

G為SB的中點(diǎn)，ZABC=ZBAD=≡,SA=AB=BC=^AD=\.

（1）求鈍二面角CrE>-￡的余弦值；

Tl

（2）在線段EG上是否存在一點(diǎn)H,使得與平面SCD所成角的大小為三？若存在,

6

求出G”的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.

22.（12分）定義在（-1,1）上的函數(shù)f（x）滿足對(duì)任意的X,再（-1,1）,都有/（x）

t∕(y)=∕(77?)'且當(dāng)尤(°，1)時(shí)，f(X)<θ?

(1)求證：函數(shù)/Cr)是奇函數(shù)；

(2)求證：/(x)在(-1,1)上是減函數(shù)；

1r11

(3)若/(-)=-1,f(X)≤r-2at-1對(duì)任意XeI―亍一］,-1,1］恒成立，求實(shí)

2z2

數(shù)r的取值范圍.

2022-2023學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市天心區(qū)明德中學(xué)高二(上)入學(xué)數(shù)

學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、單選題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.)

I.(5分)已知集合A={巾=∕g(1-χ)},β={x∣x2-2x<0},則AUB=()

A.(0,+8)B.(-8,DC.(0,2)D.(-8,2)

【解答】解：根據(jù)題意，集合A={x∣x<l},

XΛ

又8={∣2-2x<0},則B={x∣0<x<2},

則AlJB={χ∣χV2},

故選：D.

7+1

2.(5分)復(fù)數(shù)：的值為()

3ζ+4ι

A.1+ZB.1-/C?-1+iD.-l-z

……F7+i(7+i)(3-4i)21+4+3i-28i25-25i

【解答】解：氤=(3+4i)(l4i)=一32一癡齊=k=lT

故選：B.

3?(5分)從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的袋子內(nèi)任取2個(gè)球，下列選項(xiàng)中是互斥而不對(duì)立的

兩個(gè)事件的是()

A.“至少有1個(gè)紅球”與“都是黑球”

B.“恰好有1個(gè)紅球”與“恰好有1個(gè)黑球”

C.“至少有1個(gè)黑球”與“至少有1個(gè)紅球”

D.“都是紅球”與“都是黑球”

【解答】解：從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的袋子內(nèi)任取2個(gè)球，

對(duì)于A,“至少有1個(gè)紅球”與“都是黑球”是對(duì)立事件，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,恰好有1個(gè)紅球”與“恰好有1個(gè)黑球”能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故B錯(cuò)

誤；

對(duì)于C,“至少有1個(gè)黑球”與“至少有1個(gè)紅球”，能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故C

錯(cuò)誤；

對(duì)于。，“都是紅球”與“都是黑球”不能同時(shí)發(fā)生，但能同時(shí)不發(fā)生，是互斥而不對(duì)立

的兩個(gè)事件，故。正確.

故選：D.

4.（5分）函數(shù)y=/+/〃團(tuán)的圖象大致為（）

【解答】解：（-x）=x2+∕"∣x∣=f（X）,

.?.y=∕?（x）為偶函數(shù)，

.?.y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故排除8,C,

當(dāng)XfO時(shí)，y--8,故排除D,

或者根據(jù)，當(dāng)x>O時(shí)，y=x2+∕nx為增函數(shù)，故排除D,

故選：A.

5.（5分）已知,〃，"為兩條不同直線，ɑ,0為兩個(gè)不同平面，給出下列命題：

rmaa

；：nnIlɑ②I：j/=n∣∣M③篇；?=0"a?nuβ=>m??n,

、aIlβ

其中的正確命題序是（）

A.②③B.③④C.①②D.①@@④

【解答】解：由，〃為兩條不同直線，式,。為兩個(gè)不同平面，知：

對(duì)于①可得到〃〃a或〃ua,故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②可得到n∕∕m,由直線與平面垂直的性質(zhì)定理得②正確；

對(duì)于③可得到B〃a,由面面平行的判定定理得③正確；

對(duì)于④機(jī)〃“或，”，〃異面，故④錯(cuò)誤.，

故選:B.

E,尸為6個(gè)開關(guān)，其閉合的概率都是右且

6.（5分）一個(gè)電路如圖所示，Λ,B,C,D,

是相互獨(dú)立的，則燈亮的概率是（）

1

D.

16

11

【解答】解：開關(guān)C斷開的概率為開關(guān)。斷開的概率為5,開關(guān)4B至少一個(gè)斷開

的概率為1—×?=

開關(guān)人尸至少一個(gè)斷開的概率為1—T，

zZzr

11339

故燈不亮的概率為-x-x-x-=一,

224464

故燈亮的概率為1-磊=

故選:B.

（5分）在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為4,b,c,若be=4√5,SinA+2SinBeoSC

=0,則AABC面積的最大值為（）

A.1B.√3C.2D.2√3

【解答】解：VsinA+2si∏βcosC=0>

.?a+2b×a2+J,2~c2=0,化簡(jiǎn)得2/+y-c2=0,即J=匕L,

ZabL

h2÷c2-α2_b2+c2+?-^_孝+*2J?-×T_√3

由余弦定理知，COSi4=

-2bc--2bc-2bc-—2bc--T,

TT

.?0<A≤^

o

1

?"?sIirAE(0引，

1-1

∕?ABC的面積S=^bcsinA≤3bc=用.

L4

故選：B.

A.

x-

8.(5分)已知函數(shù)f(x)=Iog2(4*+1)+kx，ιg(x)=log2(a?2?ɑ)(?>0),若/(x)

是偶函數(shù)且滿足函數(shù)y=/(x)-g(x)有一個(gè)零點(diǎn)，則Q的取值范圍是()

A.OVaVlB.OVQWlC.a>?D.Qel

【解答】解：因?yàn)?G)是偶函數(shù)，所以/(-1)=/(1),

即log2(4-1+l)-?=log2(4+1)+k,

解得：k=-1,

:函數(shù)y=∕(x)-g(x)有一個(gè)零點(diǎn),

x4

二方程log2(4+l)-X=Iog2(“X2XVa)只有一解，

4x+lΛ

即：方程2%=6f?2v-?α,只有一解，

4C44

令，=2'>5，因而等價(jià)于〃(r)=(a-1)t2-^at-1,在(-，+o°)上只有一解，

①當(dāng)。=1時(shí)，解得/=一,金($+8),不合題意；

2

②當(dāng)0<α<l時(shí)，力⑺=(α-l)i--iat-1,其圖象的對(duì)稱軸f=∕?v<0,

47?

.?.函數(shù)〃⑺在(0,+8)上遞減，而力(-)=一等<0,

44

：.h(x)=0,在(-,+8)上恒小于0,即/?(力=0在(-,+8)上無(wú)解；

33

③當(dāng)α>l時(shí)，記力⑺=(a-1)r2-?-1,其圖象的對(duì)稱軸U>0,

4161A

所以，只需〃(一)<0,即一Ca-1)—■g-α-1<0恒成立，

399

此時(shí)”的范圍為α>l,

綜上所述，”的取值范圍為a>l?

故選：C.

二、多選題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.)

(多選)9.(5分)下列命題中正確的是()

A.若ab>序,則4>b

B.已知α>0,b>0,若α+∕>=4,貝∣J"W4

C.已知4>0,?>0,若ab=4,則%+工≥1

ab

D.命題都有三≤土成立"的否定是匕“<b,使工VV成立”

【解答】解：對(duì)于A,當(dāng)必>必時(shí)，若〃<0,則aV8,所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,α>0,b>0時(shí)，若α+6=4,則αi>≤（與@）2=4,當(dāng)且僅當(dāng)α=8時(shí)"="成立，

選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C,a>0,b>0時(shí)，若ab—4,則一+—=（—+—）,—=—（24Fr）≥7（2+2--

abab44ab4y∣ab

=1,當(dāng)且僅當(dāng)α=b時(shí)”=”成立，選項(xiàng)C正確；

1111

對(duì)于D,命題“Vgb,都有一≤;成立”的否定是使一?:成立”，所以選項(xiàng)

abab

。錯(cuò)誤?

故選：BC.

（多選）10.（5分）已知向量之=（2,1）,h=（-3,1）,則（）

TTT

A.（Q+b）_LQ

B.與向量或共線的單位向量是（誓，y）

C.?a+2b?=5

D.向量標(biāo)在向量Z上的投影向量是一孚I

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A,α+b=（-1,2）,則有（α+b）?α=-2+2=0,故（α+b）JLq,A正確；

對(duì)于B,向量；=（2,1）,∣α∣=√5,則與向量：共線的單位向量是（竺，,）或（一羋，

55?

一絡(luò)），3錯(cuò)誤；

對(duì)于C,α÷2h=（-4,3）,則向+2]∣=√16+9=5,C正確；

TTT

→→→ba`b→1→

對(duì)于D,向量α在I可量b上的投影向量IalCoSe?=r=——b=——b,D錯(cuò)誤；

?b??b?22

故選：AC.

（多選）11.（5分）對(duì)于AABC,有如下命題，其中正確的有（）

A.若Sinz4=sin28,則4ABC是等腰三角形

B.若aABC是銳角三角形，則不等式SinA>cosB恒成立

C.若si∏2A+sin2B+cos2c<1,則AABC為鈍角三角形

D.若AB=代,AC=I,B=30o,則4ABC的面積為一或一

42

【解答】解：對(duì)于aABC.

A.Vsin2A=sin2B,Λ2A=2B,或2A+28=n,解得：A=B,或A+B=*則AABC是

等腰三角形或直角三角形，因此不正確；

B.「AABC是銳角三角形，；.工.?.sinA>sin（上-B）,化為SinA>cosB

222

恒成立，因此正確；

C."."sin2A+sin2B+cos2C<1??sin2A+sin2B<1-cos2C=sin2C>由正弦定理可得：a2+b~

Vc1,.?.cosC=吆亳C<0,,C為鈍角，則AABC為鈍角三角形，因此正確；

O.：AB=次,AC=1,8=30°,設(shè)BC=”,由余弦定理可得：正=/+（遮）2一2后cos30°,

化為：Λ2-3X+2=0,解得X=I或2.則AABC的面積=Jx√5XlXsin30°=華,或4

L4

43C的面積=4Xv^X2Xsin30°=坐，因此正確.

綜上可得：只有3。正確.

故選：BCD.

（多選）12.（5分）正方體ABCQ-AIBICIQl的棱長(zhǎng)為2,E,F,G分別為BC,CCi，BBI

A.直線。1。與直線AF垂直

B.直線AIG與平面AEF平行

9

C.平面AEF截正方體所得的截面面積為5

D.點(diǎn)Al和點(diǎn)。到平面AEF的距離相等

【解答】解：假設(shè)GOLAF,

?'DiDLAE,且AECAF=A,AE,AFU平面AER

J.D?DLAEF,

.?DDi±EF,

：.CC\±EF,顯然不成立，故A錯(cuò)誤，

取BiCi的中點(diǎn)Q,連接4Q,GQ,如圖所示:

由已知條件可得，GQ//EF,AιQ∕∕AE,SGQQAiQ=Q,EF∏AE=E,

二平面AlGQ〃平面AE尸，

YAiGu平面AiGQ,

.?.A1G〃平面AEF,

連接￡>1F,D∣A,如圖所示：

"

..EF∕∕AD?,EF=^AD1,

.?.A,E,F,Di四點(diǎn)共面,

.?.截面即為梯形AEFQi,延長(zhǎng)。C,DiF,AE交于點(diǎn)S,

易知OIS=AS=√42+22=2√5,AD?=2√2,

（遮）（孥）

???5Δ4D1S=∣×2√2×J22—2=6,

3Q

,S梯形AEFD、=6XA=2故C正確，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

可求得平面AEF的法向量為￡=(2,1,2),AA1=(0,0,2),DA=(-2,0,0),

TTTT

.?.點(diǎn)AI到平面AEF的距離為di=以誓=*點(diǎn)。到平面AEF的距離為d2=隼｝=*

點(diǎn)Al和點(diǎn)D到平面AEF的距離相等，故O正確.

故選：BCD.

三、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)

位置上.）

13.（5分）不等式33F>9'?的解集是（-8,1）.

【解答】解：不等式33-X>9'=33-X>32Λ,

：.3-x>2x,解得x∈（-8,1）.

故答案為：（-8,1）.

14.（5分）如圖，在448C中，AN=^NC,P是線段BN上的一點(diǎn)，^AP=mAB+^AC,

則實(shí)數(shù)m=?.

A

N

BC

【解答】解：因?yàn)閹?±Λ?,則屆=3幾，

所以筋=mAB+^AC=mAB+∣×3AN=mAB+∣?λ,

因?yàn)辄c(diǎn)2,P,N三點(diǎn)共線，所以加+∣=1,則,〃=備

故答案為：|.

15.(5分)從1,2,3,4,5中任取兩個(gè)不同的數(shù)，其中一個(gè)作為對(duì)數(shù)的底數(shù)α,另一個(gè)作

3

為對(duì)數(shù)的真數(shù)尻則log,近e(0,1)的概率為-.

8

【解答】解：從1,2,3,4,5中任取兩個(gè)不同的數(shù)，其中一個(gè)作為對(duì)數(shù)的底數(shù)”,另一

個(gè)作為對(duì)數(shù)的真數(shù)6,

基本事件(”,?)有：

(2,I),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,

2),

(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共16個(gè)，

其中滿足10&,旄(0,1)的基本事件(4,b)有.：

(3,2),(4,2),(4,3),(5,2),(5,3),(5,4),共6個(gè)，

則logαb∈(0.1)的概率為P=尚=房.

…3

故答案為：~?

AΛF

16.(5分)如圖，四棱臺(tái)ABCD-A↑B↑C↑D↑上下底面都為正方形且側(cè)棱長(zhǎng)都相等，且1=

AB

1

設(shè)石、F、G分別是棱A3、BC、ClZ)I的中點(diǎn)，過￡F、G的平面與AAl交于點(diǎn)H,

AH2

則、值為:；若四棱臺(tái)∣的高體積為則該四棱臺(tái)外接球

--ABCD-A18ClDl2,14,

AA13

385Tr

的表面積為—.

【解答】解：如圖連接FE,并延長(zhǎng)交DA延長(zhǎng)線于M,設(shè)AiDi的中點(diǎn)為P,連接GP,

AC,

則PG〃AiC”而由題意可知AICi〃AC,XEF//AC,故尸G〃EF,

故尸∈平面EFG,而Me平面EFG,故連接PM,交AAl于H,

“點(diǎn)即為過E、F、G的平面與AAl的交點(diǎn)，

設(shè)。為AO中點(diǎn)，連接F。，則FQ〃AB,FQ=AB,因?yàn)镋為AB中點(diǎn)，

故AE=^AB=#Q,故AM=AQ=^AD,

因?yàn)锳lP〃A。，J.A?P∕∕AM,則二一=二一=%——=一，所以一=一；

AHAD-AD2AA3

21

設(shè)四棱臺(tái)上底面棱長(zhǎng)為小則下底面棱長(zhǎng)為2α,

由四棱臺(tái)48Cf>-AIBICIDI的高2,體積為14,可得[（PM/+而F7）X2=14,

解得a=√3,

對(duì)于四棱臺(tái)，AICI=√6,AC=2√6,所以CG=J造2+22=孚，

貝IJACi=J（2√6-?）2+22=等，故得AC∣2+CCI2-AC2=:+學(xué)-24<0,

即NAClC>90°,由棱臺(tái)的性質(zhì)可知外接球球心位于對(duì)角面44CIC所在平面上，

故由此可知外接球球心在棱臺(tái)的外部，即底面ABCO的外部，

設(shè)球心到面ABCC的距離為加，則到面43∣CιD∣的距離為加+2,是外接球半徑為R,

則R2=6+∕Z]2,R2=（爭(zhēng)2+（歷+2）2,解得R2=鬻

故外接球的表面積為4nR2=曙，

Io

一2385π

故答案為：.

316

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過程及演算步

驟.)

17.(IO分)己知向量α=(√5,sin2x),b=(sinxcosx,-1),函數(shù)f(x)=α?b+*.

(1)求/G)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)設(shè)αe(0,1),若靖)=&,求f(α)的值.

【解答】解：(1)由題意可知：a=(遮，sin2x),b={sinxcosx,—1),

故得至!|：f(x)=a?b+^=yf3sinxcosx—sin2x+*=苧sin2x+^cos2x=sin(2x+看).

再令2kτt-2≤2x+d≤2fcTT+(fcEZ).

得至味Tr—^<X≤∕cπ+(fc∈Z),

所以單調(diào)增區(qū)間為["T,∕cπ+∣](∕c∈Z).

(2)由第一問可知：/(x)=sin(2x+∣).

則啰)=sin(a+=

又由于ae(0,強(qiáng))，

4.A.TC∕7Γ7T、

故ra+G∈(^,?).

得到cos(a+5)>0,

得到cos(a+5)=Jl-si∏2(a+3)=

故sin(2a+?)=2sin(a+^)cos(a+.)=簽,cos(2a+今=2cos2(a+^)—1=—,

解得f(α)=sin(2a+看)=sin(2a+?-^)=sin(2a+.)?CoS看一cos(2a+.)?sin^f

由I、“且刈工，、24?∣37124-/3+7

所以得到：/(?)~25X^2^+25X2=-50-'

18.(12分)如圖，在正方體ABCQ-AlBlCIQi中，棱長(zhǎng)為1,E為BiOi的中點(diǎn)，AC∏BD

=O.

(1)求證：ACL平面BIBDD1；

(2)求證：OE〃平面ACBI；

(3)求三棱錐E-ACBl的體積.

【解答】(1)證明：；在正方體ABCz)-AlBIClZ)I中，8功_L平面ABCZ),

XAC?5F≡ABCD,BB∣JLAC,

,JAC-LBD,BDCBBl=B,BD,BBlU平面BIBz)Di，

,AC,平面BlBQ￡>i；

(2)證明：連接081,

。在正方體中,BB↑∕∕DDιKBBι=DDι,

.?.四邊形BBlDID是平行四邊形，

BlDi且BD=BIO1，

,：O,E分別為BZXBiDi中點(diǎn),

：.DO=EB1，

：.四邊形DEBIo是平行四邊形，

J.DE∕∕0B?,

：OEC平面ACBI,OBIU平面ACBi,

,OE〃平面ACB|；

(3)由(2)得OE〃平面ACB1，

.?.E點(diǎn)到平面ACBi的距離即為D點(diǎn)到平面ACBi的距離，

11

=：

??由等體積法可得,VE-ACB1=?O-ΛCB1VBl-ACD?,SAACD-BBl=

19.(12分)為了普及垃圾分類知識(shí)，某校舉行了垃圾分類知識(shí)考試，試卷中只有兩道題目，

已知甲同學(xué)答對(duì)每題的概率都為P，乙同學(xué)答對(duì)每題的概率都為"(p>q),且在考試中

每人各題答題結(jié)果互不影響，已知每題甲、乙兩人同時(shí)答對(duì)的概率為I、恰有一人答對(duì)的

概率為石.

(1)求P和q的值；

(2)求甲、乙兩人共答3對(duì)道題的概率.

【解答】解：(1)設(shè)A="甲同學(xué)答對(duì)第一題"，B="乙同學(xué)答對(duì)第一題"，P(A)=p,

P(B)=q.

設(shè)C=aAQBj,,D=(An豆)U(彳nB).

因?yàn)榧滓覂扇舜痤}互不影響，且每人各題答題結(jié)果互不影響，

所以A與B相互獨(dú)立，An萬(wàn)與萬(wàn)CB互斥，

1__

所以P(C)=P(ACB)=P(Zl)P(B)=pq=芬P(D)=P(AClB)+P(A∩B)=P(4)(l-

P(B))+(1-PQ4))P(B)=p(l-9)+(l-p)q=?,

<1

pq=-<3

2P-

u=4

15

，,<

、+M

.P-q=—2

2pT2q--

<3

(2)設(shè)Ai="甲同學(xué)答對(duì)了i道題"，Bi="乙同學(xué)答對(duì)了i道題"，i=0,1,2.P(A1)=

1331333921124224

-×-+-X-=--X=X+-X-=--X-=-

444484339339

16,

---

43

設(shè)E="甲、乙兩大共答對(duì)3道題"，E=AiB2UAιB↑,3

4945

-+X-=

所以99

P(E)=P(A1B2)+P(A2B1)=?×1612

20.(12分)如圖，為了檢測(cè)某工業(yè)園區(qū)的空氣質(zhì)量，在點(diǎn)A處設(shè)立一個(gè)空氣監(jiān)測(cè)中心(大

小忽略不計(jì)），在點(diǎn)8處安裝一套監(jiān)測(cè)設(shè)備.為了使監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)更加準(zhǔn)確，在點(diǎn)C和點(diǎn)。

處，再分別安裝一套監(jiān)測(cè)設(shè)備，且滿足AB=2b",BC=4km,且aACD為正三角形.

（1）若NBAC=專，求AABO面積；

（2）設(shè)∕ABC=α,試用α表示AABO的面積，并求最大值.

【解答】解：（1）由余弦定理得COSNBAC=世之暮/t?.AC2-2AC-12=0,

ΔAD'AC

解得AC=I+√∏或AC=1-√Π（舍去），

o

因?yàn)檎齛ACD,所以AZ)=I+√∏,.'.SΛABD=∣?AB?AZ)?sinl20=∣×2×(1+√13)X

√3√3+√39

T=-2~；

(2)設(shè)正C。的邊長(zhǎng)為X,NBAC=β,

在aABC中由正弦定理有一上=-?-=—一——,.?.x="等=2：E

sιnasιnβsm[π-(a+/?)]Slnβsm(a+/7)

2sin(a+β)=sinβ,Λ2sinacosβ+2cosasinβ=sinβ,Λ2sinacosβ=sinβ(1-2cosa),

SΛABD=^AB?AD?sin(60o+β)=XSin(60o+β)=?^'sin(60°+β)

√31

(z三CoSB+]SinB)

=2同乎a;osB+2sina=?/?(1-2cosa)+2sina=√3+4sin(a-5),

sιnβ3

Va(O,π),故當(dāng)a=系時(shí)，面積最大，最大面積為S=4+√T

21.(12分)如圖，已知SA垂直于梯形ABCO所在的平面，矩形SAOE的對(duì)角線交于點(diǎn)F,

G為SB的中點(diǎn)，ZABC=ZBAD^∣,SA=AB=BC=^AD=].

(1)求鈍二面角C3￡>-￡的余弦值；

TC

(2)在線段EG上是否存在一點(diǎn)H,使得8"與平面SCZ)所成角的大小為一？若存在，

6

求出G”的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.

【解答】解：（1）因?yàn)镾AL平面ABC。，AB,Λ∕9?5pfflABCD,

所以SA_LA8,SALAD,又/BA。=茨所以AB_LA。，

以｛??,AD,啟｝為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,

則4(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),S(0,0,1),E(0,2,

11

1),G(一，0,_),

22

CD=C-1,0),SC=(1,1,-