6.4.1正余弦定理-高一數(shù)學下學期《一隅三反》（人教A版2019）

6.4.1正余弦定理考法一正余弦定理的選擇【例1】（2023·高一課時練習）已知△中，(1)若a＝3，，，求c；(2)若a＝8，，，求c；(3)若a＝7，，，求c；(4)若a＝14，，，求∠C．（5）若，，，解此三角形.（6）若，，，解此三角形.【答案】(1)；(2)；(3)(4)或.（5）或（6），，【解析】（1）根據(jù)余弦定理：可得，整理得，解得（舍）或.故.（2）根據(jù)余弦定理：可得，整理得，解得（舍）或.故.（3）因為，故可得，由正弦定理可得，解得.（4）由正弦定理可得，解得，故或，當時，；當，.故或.（5）在中，，，，由余弦定理得，可得，所以，解得或.①當時，，所以，；②當時，由余弦定理得，因為，所以，所以.（6）在中，，，，所以由余弦定理得，因為，所以.由余弦定理得，因為所以，所以.【一隅三反】1.（2023·高一課時練習）在△ABC中，，B＝45°，解這個三角形．【答案】【解析】根據(jù)余弦定理得，，.又，.2．（2023湖北）在中，，，，求a，c的值．【答案】a=3，c=3【解析】由余弦定理，得，有，得，由，得，所以，解得，所以，解得.所以.3（2024·上海）在中，已知，，.求、及.【答案】，，或，，【解析】由余弦定理，得，即，所以或.①當時，，所以，從而；②當時，，所以，從而.4．（2024·上海·高一假期作業(yè)）在中，已知，解此三角形.【答案】【解析】因為，所以，由余弦定理可得，因為，所以，從而.5．（2023甘肅）在中，(1)已知，，，求；(2)已知，，，求；(3)已知，，，求；(4)已知，，，求．【答案】(1)(2)或(3)(4)【解析】（1）解：，，，，因為，由正弦定理，可得；（2）解：，，，由余弦定理，可得，可得，解得或；（3）解：，，．由余弦定理，可得；（4）解：，，，，，．考法二正余弦定理的邊角互化【例2】（1）（2023·浙江金華）在中，角所對的邊分別為，若，則角。（2）（2023·遼寧）已知中，角的對邊分別為，，則角．（3）（2024·北京石景山）在中，，則（4）（2024·北京房山）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則.【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】依題意，，即，所以，所以為銳角，所以.（2）因為，則，即，可得，且，所以.故答案為：.（3）依題意，，由正弦定理得，由于，所以，所以，所以是銳角，且.故選：B（4）在中，由及正弦定理，得，則，整理得，而，因此，又，所以.故答案為：【一隅三反】1（2023下·貴州黔西）在中，已知，則角A等于【答案】．60°【解析】因為，整理得，由余弦定理可得，，所以.2．（2024上·廣東汕尾·）在中，角，，所對的邊分別是，，，且.求角【答案】【解析】在中，由正弦定理可得，因為，所以.在中，由余弦定理得.因為，所以.3（2023·福建廈門·）在中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，，則A的值為【答案】【解析】由，則，又，故，且，則.4．（2024·四川攀枝花）的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且，則．【答案】【解析】由，由余弦定理得，由正弦定理得，因為，即，即，因為，則，因為，故.故答案為：考法三三角形的面積公式【例31】（2023·上海）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則的面積為．【答案】【解析】由題意可得的面積為.故答案為：.【例32】（2023·北京東城）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，且，，則；面積為．【答案】/【解析】因為，所以，解得，所以，，又，所以，面積為.故答案為：.【例33】（2023·上海閔行）在中，，，，則邊上的高為．【答案】/【解析】在中，，，，由余弦定理，即，所以，設(shè)邊上的高為，則，即，解得.故答案為：【一隅三反】1．（2023·福建福州）中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，若，，，則的面積為.【答案】/【解析】由余弦定理可得，解得，或（舍）所以面積，故答案為：2（2023上·全國）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，，則△ABC的面積為．【答案】【解析】由及正弦定理，得2c＝3a．又，所以a＝4，c＝6，所以．由余弦定理，得，又，所以，所以．故答案為：3.（2023·四川內(nèi)江）在中，角的對邊分別為，且，的面積為，則的值為.【答案】【解析】由，可得，由正弦定理可得，，而sinB>0，整理得，即，，，所以上式變?yōu)?，又，，因為，所以，解得，又由余弦定理可得，，解得，?故答案為：.考法四判斷三角形的形狀【例41】（2023·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）在中，角的對邊分別為，且，則為（

）A．等腰三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【解析】在中，由余弦定理得，，，因為，所以，即，即，又因為，所以，所以為等腰三角形.故選：A【例42】（2023下·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期末）在中，角所對的邊分別為．若，則為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【解析】由余弦定理可得：，即，整理得：，得或，所以為等腰或直角三角形.故選：D【一隅三反】1．（2023·河北）在中，角對邊為，且，則的形狀為（

）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】因為，所以，即，所以，在中，由余弦定理：，代入得，，即，所以.所以直角三角形.故選：B2．（2023下·山東濱州·高一山東省北鎮(zhèn)中學校聯(lián)考階段練習）已知分別為三個內(nèi)角的對邊，且滿足，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【解析】因為，由正弦定理可得，，因為，所以，則有，即，所以，因為，所以，整理可得，，即，因為，所以或，則或（舍去）.又因為，由正弦定理可得，因為，所以，則，化簡整理可得，，所以，又因為，所以為等邊三角形，故選：C.3（2023下·河南商丘·高一商丘市實驗中學校聯(lián)考階段練習）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則△ABC是（

）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．等邊三角形 D．的三角形【答案】A【解析】因為，所以，所以，再由余弦定理可知，所以，即，所以△ABC是直角三角形.故選：A考法五判斷三角形的個數(shù)【例5】（2023下·高一課時練習）根據(jù)下列條件，判斷有沒有解？若有解，判斷解的個數(shù).(1)，，；(2)，，；(3)，，；(4)，，；(5)，，.【答案】(1)一解(2)一解(3)一解(4)兩解(5)無解【解析】（1）因為，，，則由正弦定理可得，又，則，即B只能是銳角，則只有一解，故有一解；（2）因為，，，則由正弦定理可得，又，則，即B只能是銳角，則只有一解，故有一解；（3）因為，，，則由正弦定理可得，由于，故，故有一解；（4）因為，，，則由正弦定理可得，因為，故，而，則或，故有兩解；（5），，，則由正弦定理可得，故無解.【一隅三反】1．（2023下·高一課時練習）在銳角三角形ABC中，，，則邊的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意，即，則，同理，即，則，又，綜上，，故選：C2．（2022下·福建莆田·高一莆田一中校考期末）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】對于A項，由，，可得，所以三角形只有一解；對于B項，由，，，可得，所以，此時三角形有唯一的解；對于C項，由正弦定理，可得，可得B有兩解，所以三角形有兩解；對于D項，由余弦定理得，可得c有唯一的解，所以三角形只有一解．故選：C．3（2023·全國·高三專題練習）在中，角，，所對的邊分別為，，，，，，則此三角形的解的情況是（

）A．有一解 B．有兩解C．無解 D．有解但解的個數(shù)不確定【答案】A【解析】由，得，又，，故只能為銳角，即，故該三角形只有一解．故選：A.4．（2023上·北京順義）在中，，，，滿足條件的（

）A．有無數(shù)多個 B．有兩個 C．有一個 D．不存在【答案】D【解析】因為，，，由正弦定理，即，所以，又，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得不存在，所以滿足條件的不存在.故選：D考法六正余弦定理在幾何中的運用【例61】（2023·廣東珠海）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)求B；(2)已知，D為邊上的一點，若，，求的長．【答案】(1)．(2)．【解析】（1）∵，根據(jù)正弦定理得，，即，所以，因為，所以，所以，因為，所以．（2）因為，，，根據(jù)余弦定理得，∴．∵，∴．在中，由正弦定理知，，∴，∴，，所以∴，∴．【例62】（2023·河南）如圖，在四邊形中，的面積為．(1)求；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）設(shè)，因為的面積為，所以，解得，所以．在中，由余弦定理得，所以．在中，，所以，所以；（2）由（1）可得，在中，由正弦定理得，所以，且．由（1）可得，又，所以．【一隅三反】1．（2023·安徽六安）在中，角所對的邊分別為，，，且.(1)求;(2)已知，為邊上的一點，若，，求的長.【答案】(1);(2).【解析】（1）因為，所以，所以，，，所以，,因為，所以.（2）因為，，，根據(jù)余弦定理得:，∴.所以，所以，所以，所以，所以.2．（2023·四川綿陽）在平面四邊形中.(1)求；(2)若求.【答案】(1)(2)【解析】（1）在中，解得.因為所以解得.（2）解法一：由（1）可得..在中，解得.解法二：延長交于點，如圖，則為等邊三角形.在中，，解得.3.（2023·江蘇南京）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知3asinC=4ccosA，.(1)求；(2)如圖，點M為邊上一點，，，求的面積．【答案】(1)(2)【解析】（1）由及正弦定理，得，因為，所以，所以，即，所以，因為，所以，所以.（2）設(shè)，易知，則，在中，由余弦定理，得，即，解得(負值已舍去)，所以，在中，，，即，又，則，所以.所以.考法七距離、高度、角度等測量問題【例7】（2023·全國·高一課堂例題）如圖，某漁輪在航行中不幸遇險，發(fā)出呼救信號．我海軍艦艇在A處獲悉后，測出該漁輪在方位角為45°、距離為10nmile的C處，并測得該漁輪正沿方位角為105°的方向，以9nmile/h的速度向小島靠攏．我海軍艦艇立即以21nmile/h的速度前去營救．求艦艇的航向和靠攏漁輪所需的時間（角度精確到0.1°，時間精確到1min）．【答案】艦艇應(yīng)沿著方位角為66.8°的方向航行，經(jīng)過40min就可靠攏漁輪【解析】設(shè)艦艇收到信號后xh在B處靠攏漁輪，則nmile，nmile．又nmile，．由余弦定理，得：，即，化簡，得，解得（負值舍去），．由正弦定理，得：，所以，方位角為．故艦艇應(yīng)沿著方位角為66.8°的方向航行，經(jīng)過40min就可靠攏漁輪．【一隅三反】1．（2023·陜西銅川·高二?？计谀┤鐖D，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于，燈塔A在觀察站C的北偏東的方向，燈塔B在觀察站C的南偏東的方向，則燈塔A與燈塔B間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知,由余弦定理可得，故選：D2．（2023下·山東泰安·高一統(tǒng)考期中）湖南岳陽市岳陽樓與湖北武漢黃鶴樓、江西南昌滕王閣并稱為“江南三大名樓”，是“中國十大歷史文化名樓”之一，世稱“天下第一樓”.因范仲淹作《岳陽樓記》使得岳陽樓著稱于世.如圖，為了測量岳陽樓的高度，選取了與底部水平的直線，測得米，則岳陽樓的高度為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】D【解析】因為，所以又可得米.故選：D.3.．（2023下·福建廈門·高一統(tǒng)考期末）一個人騎自行車由地出發(fā)向正東方向騎行了到達地，然后由地向南偏東方向騎行了到達地，再從地向北偏東方向騎行了到達地，則兩地的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，，延長AB交CD于點E，則，因此是正三角形，，于是，在中，由余弦定理得，所以兩地的距離為.故選：B4．（2023上·山東泰安·高三新泰市第一中學?？茧A段練習）公路北側(cè)有一幢樓，高為60米，公路與樓腳底面在同一水平面上.某人在點處測得樓頂?shù)难鼋菫?，他在公路上自西向東行走，行走60米到點處，測得仰角為，沿該方向再行走60米到點處，測得仰角為.則（

）A． B．3 C． D．【答案】A【解析】如圖所示，由題意有，，則有，故，則，故，則.故選：A.考法八三角函數(shù)性質(zhì)與正余弦定理綜合運用【例8】（2023重慶）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若的外接圓的直徑為，且銳角滿足，求面積的最大值.【答案】（1），；（2）最大值為.【解析】（1）令，解得單調(diào)遞增區(qū)間為，；（2），解得.又令外接圓半徑為，則，所以，又因為，所以(當且僅當)所以，所以面積最大值為.【一隅三反】1（2023·海南）已知向量，，設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的最大值;（2）在銳角中，三個角，，所對的邊分別為，，，若，，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因為，，所以函數(shù)∴當時，（2）∵為銳角三角形，.又即2（2024廣東）在中，角的對邊分別為.已知向量，向量，且.（1）求角的大?。唬?）若，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1），解得：（2）由余弦定理得：由正弦定理得：為銳角單選題1．（2024·北京）在中，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在中，，由余弦定理得,而A為三角形內(nèi)角，故，故選：D2．（2024·四川自貢）在中角所對邊滿足，則（

）A．4 B．5 C．6 D．6或【答案】A【解析】依題意，，由余弦定理得，解得.故選：A3（2023河南）在中，角，，的對邊分別為，，，若的面積等于，則角的大小為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為的面積等于，所以由余弦定理得，所以，又，所以．故選:．4.（2023北京）在中，角，，的對邊分別為，，，若，則是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【解析】因為由正弦定理化邊為角可得：，所以，因為，所以，因為，所以，所以是直角三角形，故選：C.5.（2023寧夏）在△ABC中，若，則B＝（）A． B． C．或 D．或【答案】A【解析】因為，由正弦定理得因為，所以因為，所以，所以，而B為三角形內(nèi)角，故．故選：A．6（2023·浙江·模擬預(yù)測）在中，角所對的邊分別為.若，且該三角形有兩解，則的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由正弦定理得，所以,因為該三角形有兩解，故,故，即，故選：B7．（2023上·福建·高二校聯(lián)考開學考試）分別為內(nèi)角的對邊．已知，則的值不可能為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由余弦定理得．當且僅當時等號成立，所以BCD選項正確，A選項錯誤.8.．（2023·重慶）一艘游輪航行到處時看燈塔在的北偏東，距離為海里，燈塔在的北偏西，距離為海里，該游輪由沿正北方向繼續(xù)航行到處時再看燈塔在其南偏東方向，則此時燈塔位于游輪的（）A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向【答案】C【解析】如圖，在中，，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，因為，所以解得，由正弦定理得，故或，因為，故為銳角，所以，此時燈塔位于游輪的南偏西方向.故選：C多選題9．（2024上·云南曲靖）在中，，這個三角形的周長可能等于（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】由題意，由余弦定理有，即，化簡得，解得或，經(jīng)檢驗或均滿足三角形三邊關(guān)系，所以這個三角形的周長可能為或.故選：AB.10．（2024上·遼寧大連）在中，角的對邊分別是，若，，則（

）A． B．C． D．的面積為【答案】AC【解析】由余弦定理可得，解得，故A正確；由及正弦定理，可得,化簡可得.因為，所以，所以，即.因為，所以，故B錯誤；因為，所以且，代入，可得，解得，.因為，，，所以由正弦定理可得，由，可得，化簡可得，解得或（舍），故C正確；.故選:AC.11．（2023下·河南省直轄縣級單位·高一校考階段練習）在中角，，所對的邊分別為，，，以下敘述或變形中正確的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】A選項，由正弦定理得，A選項正確.B選項，由正弦定理得，而當時，則或，則或，所以B選項錯誤.C選項，由正弦定理得，所以，所以C選項正確.D選項，，由正弦定理得，所以D選項正確.故選：ACD12．（2023·全國·高一專題練習）對于，（角所對的邊分別為中的余弦定理是），則下列說法正確的是（

）A．若，則一定為等腰三角形B．若，則一定為等腰三角形C．若，則D．若，則一定為銳角三角形【答案】BD【解析】對于A，在中，若，因為，則或，所以或，所以為等腰三角形或直角三角形，故A錯誤；對于B，若，由正弦定理得，所以一定為等腰三角形，故B正確；對于C，由余弦定理，得，又，所以，即，即，又，當且僅當，即時，取等號，所以的最小值為，所以，所以，又因，所以，故C錯誤；對于D，，所以，所以，所以三個數(shù)有個或個為負數(shù)，又因為最多一個鈍角，所以，即都是銳角，所以一定為銳角三角形，故D正確.故選：BD填空題13．（2023上·云南昆明）在中，若，，則【答案】【解析】在中，因為，由正弦定理得，所以，由余弦定理可得，故答案為：14．（2022·高一課時練習）在中，角，，的對邊分別為，，，且，則的形狀是.【答案】直角三角形【解析】在中，，，，，，則，所以為直角三角形.故答案為：直角三角形15．（2023下·貴州·高一校聯(lián)考階段練習）在中，的對邊分別為，若，則；的范圍.【答案】【解析】，由余弦定理可知，又，所以，，∵，∴，∴，∴∴.故答案為：；.16．（2024·陜西寶雞）在中，角，，的對邊分別為，，，已知，，且，則.【答案】【解析】，由正弦定理得，即，又，，，，，，又，.又，.