高中數(shù)學(xué)北師大版選修1-1第一章2.3充要條件作業(yè)1

[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]eq\a\vs4\al(1.)設(shè)x∈R，則x＞e的一個(gè)必要不充分條件是()A．x＞1 B．x＜1C．x＞3 D．x＜3解析：選A.∵x＞1x＞e，而x＞e?x＞1.2.設(shè)α，β分別為兩個(gè)不同的平面，直線lα，則“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A.根據(jù)兩個(gè)平面垂直的判定定理知“l(fā)⊥β”是“α⊥β”的充分條件，但由兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)知α⊥β時(shí)，平面α內(nèi)只有和它們的交線垂直的直線才能垂直于平面β，故本題中由“α⊥β”不能得到“l(fā)⊥β”，因此選A.eq\a\vs4\al(3.)設(shè)a，b都是非零向量，則“a·b＝±|a||b|”，是“a，b共線”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選C.設(shè)〈a，b〉＝θ，a·b＝|a||b|cosθ，當(dāng)|a||b|·cosθ＝±|a||b|時(shí)，cosθ＝±1，θ＝0或π，則a與b共線，若a、b共線，則〈a，b〉＝0或π，則a·b＝±|a||b|.eq\a\vs4\al(4.)若a，b∈R，則“a＞b”是“a3＋b3＞a2b＋ab2”的()A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充分且必要條件 D．既非充分也非必要條件解析：選D.a3＋b3－a2b－ab2＝(a＋b)(a－b)2，a＞ba3＋b3＞a2b＋ab2，故選D.5.設(shè){an}是等比數(shù)列，則“a1＜a2＜a3”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析：選C.設(shè)公比為q，由a1＜a2＜a3得a1＜a1q＜a1q2，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＞0,q＞1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＜0,0＜q＜1))，∴充分性成立；當(dāng){an}遞增時(shí)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＞0,q＞1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＜0,0＜q＜1))，∴a1＜a2＜a3，必要性成立．6.在△ABC中，“sinA＝sinB”是“a＝b”的________條件．解析：在△ABC中，由正弦定理及sinA＝sinB可得2RsinA＝2RsinB，即a＝b；反之也成立．答案：充要7.設(shè)A是B的充分不必要條件，C是B的必要不充分條件，D是C的充要條件，則D是A的________條件．解析：由題意知：A?B?C?D，∴A?D.答案：必要不充分8.已知條件p：|x－1|＞a和條件q：2x2－3x＋1＞0，則使p是q的充分不必要條件的最小整數(shù)a＝________．解析：由題意知a＞0，設(shè)A＝{x||x－1|＞a}＝{x|x＜1－a或x＞1＋a}，B＝{x|2x2－3x＋1＞0}＝{x|x＜eq\f(1,2)或x＞1}，由題意，AB，∴由數(shù)軸可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a≤\f(1,2),1＋a＞1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a＜\f(1,2),1＋a≥1)).∴a≥eq\f(1,2)，故a的最小整數(shù)為1.答案：19.已知p，q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，那么：(1)s是q的什么條件？(2)r是q的什么條件？(3)p是q的什么條件？解：如圖所示，可知：(1)因?yàn)閝?s，s?r?q，所以s是q的充要條件．(2)因?yàn)閞?q，q?s?r，所以r是q的充要條件．(3)因?yàn)閝?s?r?p，而pq，所以p是q的必要不充分條件．10.求證：關(guān)于x的方程x2＋mx＋1＝0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是m≥2.證明：(1)充分性：因?yàn)閙≥2，所以Δ＝m2－4≥0，所以方程x2＋mx＋1＝0有實(shí)根，設(shè)兩根為x1，x2，由根與系數(shù)的關(guān)系知，x1·x2＝1＞0，所以x1，x2同號(hào)．又x1＋x2＝－m≤－2＜0，所以x1，x2同為負(fù)數(shù)．即x2＋mx＋1＝0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根的充分條件是m≥2.(2)必要性：因?yàn)閤2＋mx＋1＝0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根，設(shè)其為x1，x2，且x1x2＝1，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝m2－4≥0，,x1＋x2＝－m＜0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥2或m≤－2，,m＞0，))所以m≥2，即x2＋mx＋1＝0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根的必要條件是m≥2.綜上可知，m≥2是x2＋mx＋1＝0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件．[能力提升]1.對(duì)于數(shù)列{an}，“an＋1＞|an|(n＝1，2，…)”是“{an}為遞增數(shù)列”的()A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選B.若{an}單調(diào)遞增，不一定能夠說明an＋1＞|an|一定成立，如an：{－n，－(n－1)，…，－2，－1}顯然不滿足an＋1＞|an|一定成立，但是該數(shù)列遞增；如果an＋1＞|an|＞0，那么無論an的值取正還是取負(fù)，一定能夠得到{an}單調(diào)遞增，所以an＋1＞|an|是{an}為遞增數(shù)列的充分不必要條件，選B.2.設(shè)a1、b1、c1、a2、b2、c2均為非零實(shí)數(shù)，不等式a1x2＋b1x＋c1＞0和a2x2＋b2x＋c2＞0的解集分別為M和N，那么“eq\f(a1,a2)＝eq\f(b1,b2)＝eq\f(c1,c2)”是“M＝N”的________條件(充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：如果eq\f(a1,a2)＝eq\f(b1,b2)＝eq\f(c1,c2)＞0，則M＝N；如果eq\f(a1,a2)＝eq\f(b1,b2)＝eq\f(c1,c2)＜0，則M≠N，∴eq\f(a1,a2)＝eq\f(b1,b2)＝eq\f(c1,c2)M＝N.反之，若M＝N＝?，即說明二次不等式的解集為空集、與它們的系數(shù)比無任何關(guān)系，只要求判別式小于零．因此，M＝Neq\f(a1,a2)＝eq\f(b1,b2)＝eq\f(c1,c2).答案：既不充分也不必要3.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝aqn＋b(a≠0，q是不等于0和1的常數(shù))，求證數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件是a＋b＝0.證明：(1)必要性．∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列，∴Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1,1－q)－eq\f(a1,1－q)qn.∵Sn＝aqn＋b，∴a＝－eq\f(a1,1－q)，b＝eq\f(a1,1－q).∴a＋b＝0.(2)充分性．∵a＋b＝0，∴Sn＝aqn＋b＝aqn－a.∵an＝Sn－Sn－1＝(aqn－a)－(aqn－1－a)＝a(q－1)qn－1(n＞1)，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(a（q－1）qn,a（q－1）qn－1)＝q(n＞1)．又∵a1＝aq－a，a2＝aq2－aq，∴eq\f(a2,a1)＝eq\f(aq2－aq,aq－a)＝q.故數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列．綜上所述，數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件是a＋b＝0.4．已知命題p：|x－1|＜a(a＞0)，命題q：x2＋21＞10x，且p是q的既不充分也不必要條件，求a的取值范圍．解：由|x－1|＜a(a＞0)，解得1－a＜x＜1＋a.∴命題p對(duì)應(yīng)的集合為