高中數(shù)學北師大版選修1-1第一章2.3充要條件作業(yè)1_第1頁
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文檔簡介

[基礎達標]eq\a\vs4\al(1.)設x∈R,則x>e的一個必要不充分條件是()A.x>1 B.x<1C.x>3 D.x<3解析:選A.∵x>1x>e,而x>e?x>1.2.設α,β分別為兩個不同的平面,直線lα,則“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件解析:選A.根據(jù)兩個平面垂直的判定定理知“l(fā)⊥β”是“α⊥β”的充分條件,但由兩個平面垂直的性質知α⊥β時,平面α內只有和它們的交線垂直的直線才能垂直于平面β,故本題中由“α⊥β”不能得到“l(fā)⊥β”,因此選A.eq\a\vs4\al(3.)設a,b都是非零向量,則“a·b=±|a||b|”,是“a,b共線”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析:選C.設〈a,b〉=θ,a·b=|a||b|cosθ,當|a||b|·cosθ=±|a||b|時,cosθ=±1,θ=0或π,則a與b共線,若a、b共線,則〈a,b〉=0或π,則a·b=±|a||b|.eq\a\vs4\al(4.)若a,b∈R,則“a>b”是“a3+b3>a2b+ab2”的()A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充分且必要條件 D.既非充分也非必要條件解析:選D.a3+b3-a2b-ab2=(a+b)(a-b)2,a>ba3+b3>a2b+ab2,故選D.5.設{an}是等比數(shù)列,則“a1<a2<a3”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解析:選C.設公比為q,由a1<a2<a3得a1<a1q<a1q2,∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1>0,q>1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1<0,0<q<1)),∴充分性成立;當{an}遞增時,則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1>0,q>1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1<0,0<q<1)),∴a1<a2<a3,必要性成立.6.在△ABC中,“sinA=sinB”是“a=b”的________條件.解析:在△ABC中,由正弦定理及sinA=sinB可得2RsinA=2RsinB,即a=b;反之也成立.答案:充要7.設A是B的充分不必要條件,C是B的必要不充分條件,D是C的充要條件,則D是A的________條件.解析:由題意知:A?B?C?D,∴A?D.答案:必要不充分8.已知條件p:|x-1|>a和條件q:2x2-3x+1>0,則使p是q的充分不必要條件的最小整數(shù)a=________.解析:由題意知a>0,設A={x||x-1|>a}={x|x<1-a或x>1+a},B={x|2x2-3x+1>0}={x|x<eq\f(1,2)或x>1},由題意,AB,∴由數(shù)軸可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1-a≤\f(1,2),1+a>1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1-a<\f(1,2),1+a≥1)).∴a≥eq\f(1,2),故a的最小整數(shù)為1.答案:19.已知p,q都是r的必要條件,s是r的充分條件,q是s的充分條件,那么:(1)s是q的什么條件?(2)r是q的什么條件?(3)p是q的什么條件?解:如圖所示,可知:(1)因為q?s,s?r?q,所以s是q的充要條件.(2)因為r?q,q?s?r,所以r是q的充要條件.(3)因為q?s?r?p,而pq,所以p是q的必要不充分條件.10.求證:關于x的方程x2+mx+1=0有兩個負實根的充要條件是m≥2.證明:(1)充分性:因為m≥2,所以Δ=m2-4≥0,所以方程x2+mx+1=0有實根,設兩根為x1,x2,由根與系數(shù)的關系知,x1·x2=1>0,所以x1,x2同號.又x1+x2=-m≤-2<0,所以x1,x2同為負數(shù).即x2+mx+1=0有兩個負實根的充分條件是m≥2.(2)必要性:因為x2+mx+1=0有兩個負實根,設其為x1,x2,且x1x2=1,所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ=m2-4≥0,,x1+x2=-m<0,))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥2或m≤-2,,m>0,))所以m≥2,即x2+mx+1=0有兩個負實根的必要條件是m≥2.綜上可知,m≥2是x2+mx+1=0有兩個負實根的充要條件.[能力提升]1.對于數(shù)列{an},“an+1>|an|(n=1,2,…)”是“{an}為遞增數(shù)列”的()A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析:選B.若{an}單調遞增,不一定能夠說明an+1>|an|一定成立,如an:{-n,-(n-1),…,-2,-1}顯然不滿足an+1>|an|一定成立,但是該數(shù)列遞增;如果an+1>|an|>0,那么無論an的值取正還是取負,一定能夠得到{an}單調遞增,所以an+1>|an|是{an}為遞增數(shù)列的充分不必要條件,選B.2.設a1、b1、c1、a2、b2、c2均為非零實數(shù),不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0的解集分別為M和N,那么“eq\f(a1,a2)=eq\f(b1,b2)=eq\f(c1,c2)”是“M=N”的________條件(充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要).解析:如果eq\f(a1,a2)=eq\f(b1,b2)=eq\f(c1,c2)>0,則M=N;如果eq\f(a1,a2)=eq\f(b1,b2)=eq\f(c1,c2)<0,則M≠N,∴eq\f(a1,a2)=eq\f(b1,b2)=eq\f(c1,c2)M=N.反之,若M=N=?,即說明二次不等式的解集為空集、與它們的系數(shù)比無任何關系,只要求判別式小于零.因此,M=Neq\f(a1,a2)=eq\f(b1,b2)=eq\f(c1,c2).答案:既不充分也不必要3.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn=aqn+b(a≠0,q是不等于0和1的常數(shù)),求證數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件是a+b=0.證明:(1)必要性.∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列,∴Sn=eq\f(a1(1-qn),1-q)=eq\f(a1,1-q)-eq\f(a1,1-q)qn.∵Sn=aqn+b,∴a=-eq\f(a1,1-q),b=eq\f(a1,1-q).∴a+b=0.(2)充分性.∵a+b=0,∴Sn=aqn+b=aqn-a.∵an=Sn-Sn-1=(aqn-a)-(aqn-1-a)=a(q-1)qn-1(n>1),∴eq\f(an+1,an)=eq\f(a(q-1)qn,a(q-1)qn-1)=q(n>1).又∵a1=aq-a,a2=aq2-aq,∴eq\f(a2,a1)=eq\f(aq2-aq,aq-a)=q.故數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列.綜上所述,數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件是a+b=0.4.已知命題p:|x-1|<a(a>0),命題q:x2+21>10x,且p是q的既不充分也不必要條件,求a的取值范圍.解:由|x-1|<a(a>0),解得1-a<x<1+a.∴命題p對應的集合為

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