考點(diǎn)20二項(xiàng)式定理（原卷版）-2024年新高考藝體生一輪復(fù)習(xí)

考點(diǎn)20二項(xiàng)式定理一．二項(xiàng)式定理（1）二項(xiàng)式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)（2）通項(xiàng)公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1項(xiàng)（3）二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)為Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n)（4）項(xiàng)數(shù)為n＋1，且各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n指定項(xiàng)的系數(shù)或二項(xiàng)式系數(shù)1.解題思路：通項(xiàng)公式2.常見(jiàn)指定項(xiàng)：若二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，則有以下常見(jiàn)結(jié)論：(1)h(r)＝0?Tr＋1是常數(shù)項(xiàng)(2)h(r)是非負(fù)整數(shù)?Tr＋1是整式項(xiàng)(3)h(r)是負(fù)整數(shù)?Tr＋1是分式項(xiàng)(4)h(r)是整數(shù)?Tr＋1是有理項(xiàng)三．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)四．系數(shù)和賦值法1．賦值法的應(yīng)用(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x＝1即可．(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可．2．二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的確定方法(1)如果n是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n,2)＋1項(xiàng)))的二項(xiàng)式系數(shù)最大；(2)如果n是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n＋1,2)項(xiàng)與第\f(n＋1,2)＋1項(xiàng)))的二項(xiàng)式系數(shù)相等并最大．五．常見(jiàn)解題思路1.求形如(a＋b)n(n∈N*)的展開(kāi)式中與特定項(xiàng)相關(guān)的量(常數(shù)項(xiàng)、參數(shù)值、特定項(xiàng)等)的步驟①利用二項(xiàng)式定理寫出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，常把字母和系數(shù)分離(注意符號(hào)不要出錯(cuò))；②根據(jù)題目中的相關(guān)條件(如常數(shù)項(xiàng)要求指數(shù)為零，有理項(xiàng)要求指數(shù)為整數(shù))先列出相應(yīng)方程(組)或不等式(組)，解出r；③把r代入通項(xiàng)公式中，即可求出Tr＋1，有時(shí)還需要先求n，再求r，才能求出Tr＋1或者其他量．2.求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展開(kāi)式中與特定項(xiàng)相關(guān)的量的步驟①根據(jù)二項(xiàng)式定理把(a＋b)m與(c＋d)n分別展開(kāi)，并寫出其通項(xiàng)公式；②根據(jù)特定項(xiàng)的次數(shù)，分析特定項(xiàng)可由(a＋b)m與(c＋d)n的展開(kāi)式中的哪些項(xiàng)相乘得到；③把相乘后的項(xiàng)合并即可得到所求特定項(xiàng)或相關(guān)量．3.求三項(xiàng)展開(kāi)式特定項(xiàng)的方法①通常將三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式積的形式，然后利用多項(xiàng)式積的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題的處理方法求解．②將其中某兩項(xiàng)看成一個(gè)整體，直接利用二項(xiàng)式展開(kāi)，然后再分類考慮特定項(xiàng)產(chǎn)生的所有可能情形．4.二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)最大項(xiàng)的求法如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展開(kāi)式系數(shù)最大的項(xiàng)，一般是采用待定系數(shù)法，設(shè)展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)分別為A1，A2，…，An＋1，且第k項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)用eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ak≥Ak－1，,Ak≥Ak＋1，))從而解出k來(lái)，即得．5.整除問(wèn)題：用二項(xiàng)式定理處理整除問(wèn)題，通常把冪的底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)密切關(guān)聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式，再利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，只考慮后面一、二項(xiàng)(或者是某些項(xiàng))就可以了．6.近似運(yùn)算：利用二項(xiàng)式定理近似運(yùn)算時(shí)，首先將冪的底數(shù)寫成兩項(xiàng)和或差的形式，然后確定展開(kāi)式中的保留項(xiàng)，使其滿足近似計(jì)算的精確度．考點(diǎn)一二項(xiàng)式指定項(xiàng)的系數(shù)【例11】（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）二項(xiàng)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B．60 C．210 D．【例12】（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)為（

）A．8 B．28 C．56 D．70【例13】（2023·山東青島）若的展開(kāi)式中共有個(gè)有理項(xiàng)，則的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式】1．（2024·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考二模）的展開(kāi)式中，x的系數(shù)為（

）A． B． C．5 D．102．（2024·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）展開(kāi)式中的第四項(xiàng)為（

）A． B． C．240 D．3．（2024上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B． C． D．4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）寫出展開(kāi)式中的一個(gè)有理項(xiàng)為.考點(diǎn)二二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的性質(zhì)【例21】（2023遼寧省大連市）的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的是（

）A．第3項(xiàng) B．第4項(xiàng) C．第5項(xiàng) D．第6項(xiàng)【例22】（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）的展開(kāi)式中，系數(shù)最小的項(xiàng)是（

）A．第4項(xiàng) B．第5項(xiàng) C．第6項(xiàng) D．第7項(xiàng)【例23】2．（2023·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）已知的展開(kāi)式中第四項(xiàng)和第八項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開(kāi)式中x的系數(shù)為【變式】1．（2023·甘肅）已知的展開(kāi)式中只有第5項(xiàng)是二項(xiàng)式系數(shù)最大，則該展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2023·上海嘉定·統(tǒng)考一模）已知的二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為．3．（2023上·上?！じ呷虾Ｊ幸舜ㄖ袑W(xué)?？计谥校┒?xiàng)式的展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為．考法三（二項(xiàng)式）系數(shù)和【例31】（2024·重慶·校聯(lián)考一模）（多選）已知，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．【例32】．（2024·黑龍江）（多選）若，其中為實(shí)數(shù)，則（

）A． B．C． D．【變式】1．（2024·河南）（多選）已知，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．2（2023·遼寧）（多選）若，則（

）A． B．C． D．3．（2023·浙江紹興）（多選）設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．4．（2023·山西朔州）（多選）若，，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．B．C．D．考法四兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的系數(shù)【例41】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為．【例42】（2024上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是120，則實(shí)數(shù)．【變式】1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)為．2．（2024·海南海口·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在的展開(kāi)式中的系數(shù)為.3．（2024上·陜西西安·高三長(zhǎng)安一中?？茧A段練習(xí)）的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.考法五三項(xiàng)式系數(shù)【例51】（2023·江西南昌）在的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為（

）A．299 B．300C． D．【例52】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為．【變式】1．（2023上·云南曲靖·高三校考階段練習(xí)）的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A．588 B．589 C．798 D．7992．（2023·四川達(dá)州）的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（

）A．20 B． C． D．153．（2023·黑龍江大興安嶺地）展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為.4．（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）的展開(kāi)式中的系數(shù)為.考法六二項(xiàng)式定理的應(yīng)用【例61】（2023·山東）被8除的余數(shù)為（

）A．1 B．3 C．5 D．7【例62】（2024湖北）的計(jì)算結(jié)果精確到0.001的近似值是（

）A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933【變式】1．（2023·山東菏澤）設(shè)，且，若能被13整除，則等于（

）A．0 B．1 C．11 D．122．（2023·江蘇連云港）如果今天是星期三，經(jīng)過(guò)7天后還是星期三，那么經(jīng)過(guò)天后是（

）A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六3．（2023江蘇）用二項(xiàng)式定理估算.（精確到0.001）4．（2023·課時(shí)練習(xí)）將精確到0.01的近似值是．1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A．672 B． C． D．53762．（2024上·湖南長(zhǎng)沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）二項(xiàng)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B． C． D．3．（2024上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)為（

）A．12 B．－12 C．－2 D．24．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（

）A．721 B．61 C．181 D．595．（2024上·河北保定·高三河北省唐縣第一中學(xué)校考期末）的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1，則該展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)是（

）A． B． C． D．6．（2023·廣東揭陽(yáng)）的展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A．200 B．210 C．220 D．2407．（2024上·河北廊坊）設(shè)，且，若能被7整除，則（

）A．4 B．5 C．6 D．78．（2024·遼寧）（多選）已知的展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為128，則（

）A．B．展開(kāi)式中的系數(shù)為280C．展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為D．展開(kāi)式中的第二項(xiàng)為9．（2023·廣西·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知，則（

）A．展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式的系數(shù)和為 B．展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為第1012項(xiàng)C． D．10．（2023·福建泉州）（多選）已知的二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，下列結(jié)論正確的是（

）A．二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為B．二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為C．二項(xiàng)展開(kāi)式中無(wú)常數(shù)項(xiàng)D．二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為11．（2023·浙江杭州）（多選）在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，下列說(shuō)法正確的是（

）A．常數(shù)項(xiàng)是 B．各項(xiàng)系數(shù)和為C．第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大 D．奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為3212．（2023·上海浦東新）（多選）若，則不正確的是（

）A． B．C． D．13．（2023·福建泉州）（多選）關(guān)于，則（

）A．B．C．D．14．（2023·河北秦皇島）（多選）已知，則（

）A． B．C． D．15．（2023·云南楚雄）（多選）已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．16（2023下·湖北武漢）（多選）已知，則（

）A． B．C． D．17．（2023下·山東青島）（多選）已知，則（

）A． B．C． D．18．（2023·江蘇南通）（多選）已知，則（

）A． B．C． D．19．（2024上·天津和平·高三統(tǒng)考期末）在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，的系數(shù)為．20．（2024上·天津南開(kāi)·高三南開(kāi)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為．（結(jié)果用數(shù)字表示）21．（2024上·天津河北·高三統(tǒng)考期末）已知，若的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為40，則.22．（2024上·廣東揭陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，若常數(shù)項(xiàng)恰是所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和的5倍，則實(shí)數(shù)a的值為．（用數(shù)字作答）23．（2023上·江蘇常州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為．24．（2024·吉林白山·統(tǒng)考一模）已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中第二、三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于45，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為．25．（2024上·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考期末）的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為.26．（2024·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考一模）的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為.27．（2023·甘肅白銀）的展開(kāi)式中有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)為.28．（2023上·山東日照·高三山東省五蓮縣第一中學(xué)?？计谥校┑恼归_(kāi)式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為.29．（2023上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在的展開(kāi)式中的系數(shù)為.30．（2024·湖南株洲·統(tǒng)考一模）在的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）31．（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中學(xué)校考一模）除以的余數(shù)是．32．（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高三雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若的展開(kāi)式中第4項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則除以9的余數(shù)為．33．（2023上·山東·高三山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）二項(xiàng)式展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和被7除所得余數(shù)為．34．（2024·廣東珠海）的近似值（精確到）為．35．（2024·山西朔州）的計(jì)算結(jié)果精確到0.01的近似值是．36．（2023河南）求的二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)37（2023上·云南）求的二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)38．（2023江蘇）求的近似值．(精確到兩位小數(shù))1.（2024廣西）設(shè)為奇數(shù)，那么除以13的余數(shù)是（）A． B．2 C．10 D．112．（2023上·江