數(shù)學(xué)北師大版必修2學(xué)案1-4-1-2空間圖形基本關(guān)系的認(rèn)識(shí)空間圖形的公理

§4空間圖形的基本關(guān)系與公理4．1空間圖形基本關(guān)系的認(rèn)識(shí)4．2空間圖形的公理知識(shí)點(diǎn)一點(diǎn)、直線、平面之間位置關(guān)系的三種語言表示[填一填][答一答]1．點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系為什么可借助于集合的符號(hào)來表示？提示：因?yàn)辄c(diǎn)可看作元素，則直線與平面都可看作是點(diǎn)的集合，所以，點(diǎn)與線、點(diǎn)與面之間的關(guān)系就是元素與集合的關(guān)系，線與面之間的關(guān)系就是集合與集合之間的關(guān)系，所以用集合的符號(hào)表示點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系正好與集合中元素、集合的關(guān)系一致．知識(shí)點(diǎn)二空間圖形的公理[填一填][答一答]2．你對(duì)公理2及課本思考交流中的三個(gè)問題是怎樣理解的？提示：它們都可作為確定平面的依據(jù)，還可作為判定兩個(gè)平面重合的依據(jù)．“確定”和“有且只有一個(gè)”是同義詞．“有”說明存在性，“只有一個(gè)”說明唯一性．?dāng)?shù)學(xué)中的“只有一個(gè)”并不保證符合條件的圖形一定存在，所以不能用“只有一個(gè)”來代替“有且只有一個(gè)”．符合某一條件的圖形既存在，而且只能有一個(gè)，就說明這個(gè)圖形是完全確定的．知識(shí)點(diǎn)三定理[填一填]空間中，如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．這個(gè)定理實(shí)質(zhì)上是由如下兩個(gè)結(jié)論合成的：(1)若一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行且方向相同，那么這兩個(gè)角相等．(2)若一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，有一組對(duì)邊方向相同，另一組對(duì)邊方向相反，那么這兩個(gè)角互補(bǔ)．知識(shí)點(diǎn)四異面直線所成的角[填一填]知識(shí)點(diǎn)五空間四邊形[填一填]四個(gè)頂點(diǎn)不在同一平面內(nèi)的四邊形叫作空間四邊形．[答一答]3．如何理解異面直線？提示：若直線a，b是異面直線，則在空間中找不到一個(gè)平面，使其同時(shí)經(jīng)過a、b兩條直線．例如，如圖所示的長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，棱AB和B1C4．已知兩條直線相交，過其中任意一條直線上的一點(diǎn)作另一條直線的平行線，這些平行線是否都共面？為什么？提示：都共面，如圖所示，a∩b＝A，過b上任意一點(diǎn)B作c∥a，則a、c可確定一個(gè)平面α，因?yàn)锳∈a，所以A∈α.又因?yàn)锽∈c，所以B∈α，所以ABα，即bα.所以a、b、c共面．同理在a上任取一點(diǎn)作b的平行線，都與a、b共面，所以這些平行線都共面．公理1、公理2、公理3的意義和作用1．公理1說明了平面與曲面的本質(zhì)區(qū)別．通過直線的“直”來刻畫平面的“平”，通過直線的“無限延伸”來描述平面的“無限延展性”，它既是判斷直線在平面內(nèi)，又是檢驗(yàn)平面的方法．2．公理2是空間里確定一個(gè)平面位置的方法與途徑，而確定平面是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的重要條件，這個(gè)轉(zhuǎn)化使得立體幾何的問題得以在確定的平面內(nèi)充分使用平面幾何的知識(shí)來解決，是立體幾何中解決相當(dāng)一部分問題的主要的思想方法．3．公理3揭示了兩個(gè)平面相交的主要特征，提供了確定兩個(gè)平面交線的方法.類型一公理、定理的考查【例1】判斷下列命題是否正確：(1)空間兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面；(2)四邊相等的四邊形是菱形；(3)空間任意一點(diǎn)和一條直線確定一個(gè)平面；(4)一組對(duì)邊平行的四邊形一定是平面圖形．【思路探究】考查確定平面的條件．【解】命題(1)是錯(cuò)誤的．如果三線共點(diǎn)，那么此三線可能不共面，仔細(xì)觀察教室的墻角處，這是一個(gè)很好的反例模型；命題(2)是錯(cuò)誤的．四邊相等并不能保證此四邊形是平面圖形，也就不能保證它是菱形；命題(3)是錯(cuò)誤的．若點(diǎn)在直線上，那么經(jīng)過此點(diǎn)和這條直線的平面有無數(shù)多個(gè)；命題(4)是正確的．因?yàn)閷?duì)邊平行，可以確定一個(gè)平面α，又四個(gè)頂點(diǎn)都在平行的對(duì)邊上，故都在平面α內(nèi)，所以另兩條邊也在平面α內(nèi)，故此四邊形是平面圖形．規(guī)律方法應(yīng)準(zhǔn)確掌握確定平面的條件．下列命題中正確的是(D)A．空間三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面B．若兩個(gè)平面α、β有一個(gè)公共點(diǎn)A，則α∩β＝AC．若A、B、C、D四點(diǎn)既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)，則平面α，β重合D．三角形一定是平面圖形解析：A中：若三點(diǎn)在一條直線上，則三點(diǎn)所在的平面不唯一；B中：兩個(gè)平面不可能只有一個(gè)公共點(diǎn)，兩平面若不重合，則要么相交(此時(shí)有一條公共直線)，要么平行；C中：A、B、C、D四點(diǎn)共線時(shí)，平面α、β不一定重合；D中：不共線三點(diǎn)才能構(gòu)成三角形，∴三角形為平面圖形．故選D.類型二多線共面問題【例2】求證：兩兩相交且不共點(diǎn)的四條直線共面．【思路探究】可嘗試先證明其中兩條直線確定一個(gè)平面，然后證明其他直線也在此平面內(nèi)．【證明】①?zèng)]有三線共點(diǎn)情況，如圖(1)所示，設(shè)a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S.∵a∩d＝M，∴a，d可確定一個(gè)平面α.∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α，∴NQα，即bα.同理cα，∴a，b，c，d共面．②有三線共點(diǎn)的情況，如圖(2)所示，設(shè)b，c，d三線相交于點(diǎn)K，與a分別交于N，P，M且K?a，∵K?a，∴K和a確定一個(gè)平面，設(shè)為β.∵N∈a，aβ，∴N∈β.∴NKβ，即bβ.同理cβ，dβ，∴a，b，c，d共面．由①②知，a，b，c，d共面．規(guī)律方法1.證明線共面問題往往先利用條件確定一個(gè)平面．再證明其余線都在此平面內(nèi)，也可以證明兩個(gè)平面重合．2．公理2是確定平面的依據(jù)，公理1是確定線在已確定的面上的依據(jù)．一條直線與三條平行直線都相交．求證：這四條直線共面．已知：如圖所示，a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求證：直線a，b，c，l共面．證明：因?yàn)閍∥b，所以a和b確定一個(gè)平面α.因?yàn)閘∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈α，B∈α.故lα.又a∥c，所以a和c確定一個(gè)平面β.同理lβ.即l和a既在α內(nèi)又在β內(nèi)，且l與a相交，故α，β重合，即直線a，b，c，l共面．類型三線共點(diǎn)和點(diǎn)共線問題【例3】如圖，△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q.求證：P，Q，R三點(diǎn)共線．【思路探究】方法一，證明P，Q，R三點(diǎn)同時(shí)在平面ABC和平面α內(nèi)，利用公理3即可得出結(jié)論．方法二，利用直線AP與AR確定平面APR，由平面APR∩α＝PR，再證明點(diǎn)Q在直線PR上即可．【證明】方法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又∵AB平面ABC，∴P∈平面ABC.由公理3可知點(diǎn)P在平面ABC與平面α的交線上．同理可證，點(diǎn)Q，R也在平面ABC與平面α的交線上．∴P，Q，R三點(diǎn)共線．方法二：∵AP∩AR＝A，∴直線AP與直線AR確定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC平面APR.∵Q∈直線BC，∴Q∈平面APR.又∵Q∈α，∴Q∈直線PR，∴P，Q，R三點(diǎn)共線．規(guī)律方法點(diǎn)共線問題就是證明三個(gè)或三個(gè)以上的點(diǎn)在同一條直線上．常用以下兩種方法：方法一，首先找出兩個(gè)平面，然后證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)公理3知，這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上；方法二，選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其他點(diǎn)也在這條直線上．在三棱錐S－ABC的棱SA，SC，AB，BC上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，若EF∩GH＝P，求證：EF，GH，AC三條直線交于一點(diǎn)．證明：如圖，∵E∈SA，SA平面SAC，F(xiàn)∈SC，SC平面SAC，∴E∈平面SAC，F(xiàn)∈平面SAC.∴EF平面SAC.∵G∈AB，AB平面ABC，H∈BC，BC平面ABC，∴G∈平面ABC，H∈平面ABC，∴GH平面ABC.又∵EF∩GH＝P，∴P∈平面SAC，P∈平面ABC.∵平面SAC∩平面ABC＝AC，∴P∈AC，即直線EF，GH，AC交于一點(diǎn)P.類型四公理4與定理的應(yīng)用【例4】已知四邊形ABCD是空間四邊形，E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是邊CB，CD上的點(diǎn)，且eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3).求證：四邊形EFGH有一組對(duì)邊平行但不相等．【思路探究】由平面幾何知識(shí)得到線線平行，用公理4進(jìn)行轉(zhuǎn)化．【證明】如圖所示．由已知得EH是△ABD的中位線，所以EH∥BD，EH＝eq\f(1,2)BD.在△BCD中，eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3)，所以FG∥BD，F(xiàn)G＝eq\f(2,3)BD.根據(jù)公理4，知EH∥FG，又FG>EH，所以四邊形EFGH有一組對(duì)邊平行但不相等．規(guī)律方法1.證明兩條直線平行的方法(1)公理4：即找到第三條直線，證明這兩條直線都與之平行，這是一種常用方法，要充分用好平面幾何知識(shí)，如有中點(diǎn)時(shí)用好中位線性質(zhì)等；(2)平行直線的定義：證明在同一平面內(nèi)，這兩條直線無公共點(diǎn)．2．運(yùn)用“等角定理”判定兩個(gè)角是相等還是互補(bǔ)的方法(1)判定兩個(gè)角的方向是否相同，若相同則必相等，若相反則必互補(bǔ)；(2)判定這兩個(gè)角是否均為銳角或均為鈍角，若均是則相等，若不均是則互補(bǔ)．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1分別為棱AD，AB，B1C1，C1D1的中點(diǎn)．求證：∠EA1F＝∠E1證明：如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，取A1B1的中點(diǎn)M，連接BM，F(xiàn)1M，則BF＝A又∵BF∥A1M，∴四邊形A1FBM為平行四邊形．∴A1F∥BM.而F1，M分別為C1D1，A1B1的中點(diǎn)，則F1M綊C1而C1B1綊BC，∴F1M綊BC∴四邊形F1MBC為平行四邊形．∴BM∥F1C.又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.同理，取A1D1的中點(diǎn)N，連接DN，E1N，則有A1E∥∴∠EA1F與∠E1CF1的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，且方向都相反，∴∠EA1F＝∠E1CF類型五異面直線所成的角【例5】如右圖所示，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝eq\r(2)，DA⊥AC于點(diǎn)A，DA⊥AB于點(diǎn)A，若DA＝1，且E為DA的中點(diǎn)，求異面直線BE與CD所成角的余弦值．【思路探究】根據(jù)異面直線所成角的定義，可選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，分別引BE與DC的平行線．本題中BE可不動(dòng)，過點(diǎn)E作CD的平行線EF，這樣BE與CD所成的角即為∠BEF與其補(bǔ)角中的銳角，在△EFB中求解．【解】取AC的中點(diǎn)F，連接EF和BF.在△ACD中，E，F(xiàn)分別是AD，AC的中點(diǎn)，∴EF∥CD，∴∠BEF或其補(bǔ)角中的銳角即為異面直線BE和CD所成的角．∵△ABC為等腰直角三角形，且BC＝eq\r(2)，在Rt△ABE中，AB＝1，AE＝eq\f(1,2)，∴BE＝eq\f(\r(5),2).在Rt△AEF中，AF＝eq\f(1,2)，AE＝eq\f(1,2)，∴EF＝eq\f(\r(2),2).在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝eq\f(1,2)，∴BF＝eq\f(\r(5),2).∴△EBF為等腰三角形．在△EBF中，cos∠FEB＝eq\f(\f(1,2)EF,BE)＝eq\f(\f(\r(2),4),\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(10),10).故異面直線BE與CD所成角的余弦值為eq\f(\r(10),10).規(guī)律方法解決異面直線所成角的問題，通常將空間角轉(zhuǎn)化為平面角，在三角形中求解．如圖，已知P為△ABC所在平面外的一點(diǎn)，PC⊥AB，PC＝AB＝2，E、F分別為PA和BC的中點(diǎn)．(1)求證：EF與PC是異面直線；(2)求EF與PC所成的角．解：(1)證明：若EF與PC不是異面直線，則存在平面α使得E，F(xiàn)，P，C∈α，從而直線PE與CF都在平面α內(nèi)，∴A，B∈α，故點(diǎn)A，B，C，P都在α內(nèi)，與P在平面ABC外矛盾，故EF與PC是異面直線．(2)如圖，取AC的中點(diǎn)G，連接EG、FG，則EG∥PC，F(xiàn)G∥AB，由PC⊥AB，得EG⊥FG，且EG＝FG＝1，∴EF與PC所成的角為45°.類型六交線的作法【例6】如圖所示，E、F分別為正方體ABCD－A1B1C1D1的棱CC1和AA1的中點(diǎn)，畫出平面BED1F與平面【解】設(shè)法找出兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，兩公共點(diǎn)的連線就是兩個(gè)平面的交線．如圖所示，在平面AA1D1D內(nèi)，D1F與DA不平行，分別延長(zhǎng)D1F與DA，則D1F與DA必相交，設(shè)交點(diǎn)為M.因?yàn)镸∈FD1，M∈DA，F(xiàn)D1平面BED1F，AD平面ABCD，所以平面BED1F∩平面ABCD＝M，又平面BED1F∩平面ABCD＝B.所以連接MB，則MB＝平面即直線MB為所求兩平面的交線．規(guī)律方法求兩平面的交線的突破口是求兩個(gè)平面的公共點(diǎn)．本題所求兩平面已有一個(gè)公共點(diǎn)B，由于直線D1F與DA如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，F(xiàn)，G分別是CC1、BC兩邊的中點(diǎn)，畫出平面D1FG與平面ABCD解：如圖，連接AD1，AG，BC1，則AG是平面D1FG與平面ABCD的交線．證明如下：∵在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，F(xiàn)，G分別是CC1，BC兩邊的中點(diǎn)，∴FG∥BC1又BC1∥AD1，∴FG∥AD1，∴A，G，F(xiàn)，D1四點(diǎn)共面于平面D1FG，∵AG平面ABCD，∴AG是平面D1FG與平面ABCD的交線．————多維探究系列——三個(gè)平面劃分空間問題討論【例7】三個(gè)兩兩相交的平面可將空間分成幾部分？請(qǐng)畫出它們的直觀圖．【思路分析】設(shè)三個(gè)兩兩相交的平面分別為α，β，γ，由于它們相交的情況不同，可分三種情況討論：(1)平面α，β，γ兩兩相交于同一條直線；(2)平面α，β，γ兩兩相交的三條直線交于一點(diǎn)；(3)平面α，β，γ兩兩相交的三條交線平行．【精解詳析】(1)當(dāng)平面α，平面β，平面γ兩兩相交，且三條交線重合(即α∩β＝l，α∩γ＝l且β∩γ＝l)時(shí)，將空間分成六部分，其圖形如下圖①所示．(2)當(dāng)平面α，平面β，平面γ兩兩相交且三條交線共點(diǎn)，但互不重合時(shí)，將空間分成八部分，其圖形如下圖②所示．(3)當(dāng)平面α，平面β，平面γ兩兩相交且三條交線平行時(shí)，將空間分成七部分，其圖形如下圖③所示．【解后反思】首先確定兩個(gè)平面在空間中的位置關(guān)系，再讓第三個(gè)平面以不同形式介入，以此為分類依據(jù)即可解決問題．長(zhǎng)方體的各個(gè)面延伸后能把空間分成多少部分？解：可想象成分成上、中、下