新教材數(shù)學(xué)人教A版學(xué)案5-5-1第4課時(shí)二倍角的正弦余弦正切公式

第4課時(shí)二倍角的正弦、余弦、正切公式必備知識(shí)·探新知基礎(chǔ)知識(shí)知識(shí)點(diǎn)1二倍角的正弦、余弦及正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα(S2α)．(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α(C2α)．(3)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)(T2α)．思考1：(1)所謂的“二倍角”公式，就是角α與2α之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，對(duì)嗎？(2)公式中的角α是任意角嗎？提示：(1)不對(duì)．對(duì)于“二倍角”應(yīng)該廣義的理解，如：8α是4α的二倍角，3α是eq\f(3,2)α的二倍角，α是eq\f(α,2)的二倍角，eq\f(α,2)是eq\f(α,4)的二倍角，…這里蘊(yùn)含著換元思想．這就是說“倍”是相對(duì)而言的，是描述兩個(gè)數(shù)量之間關(guān)系的．(2)對(duì)于公式S2α，C2α中的角α是任意角，但是T2α中的角α要保證tanα有意義且分母1－tan2α≠0.知識(shí)點(diǎn)2二倍角公式的轉(zhuǎn)換(1)因式分解變換．cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)．(2)配方變換：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2.(3)升冪縮角變換．1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.(4)降冪擴(kuò)角變換．cos2α＝eq\f(1,2)(1＋cos2α)，sin2α＝eq\f(1,2)(1－cos2α)，sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α.思考2：如何證明“縮角升冪公式”？提示：因?yàn)閟in2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－(1－cos2α)＝2cos2α－1；cos2α＝cos2α－sin2α＝(1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α.基礎(chǔ)自測(cè)1．下列說法正確的個(gè)數(shù)是(＋＋＋＋A－－－－)①對(duì)任意的角總有sin2θ＝2sinθ.②不存在角α，使得cos2θ＝2cosθ.③公式tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)成立的條件是α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.④對(duì)于任意角α，都有sineq\f(α,2)＝2sineq\f(α,4)coseq\f(α,4).A．1 B．2C．3 D．4[解析]①②③錯(cuò)誤，④正確，故選A.2．已知sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，則sin2α等于(＋＋＋＋D－－－－)A．eq\f(7,5) B．eq\f(12,5)C．eq\f(12,25) D．eq\f(24,25)[解析]sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(24,25).3．已知cosα＝eq\f(1,3)，則cos2α等于(＋＋＋＋C－－－－)A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．－eq\f(7,9) D．eq\f(7,9)[解析]cos2α＝2cos2α－1＝eq\f(2,9)－1＝－eq\f(7,9).4．(coseq\f(π,12)－sineq\f(π,12))(coseq\f(π,12)＋sineq\f(π,12))的值為(＋＋＋＋D－－－－)A．－eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(3),2)[解析]原式＝cos2eq\f(π,12)－sin2eq\f(π,12)＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2).5．設(shè)sinα＝2cosα，則tan2α的值為?。。。璭q\f(4,3)###.[解析]tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝2，所以tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(4,3).關(guān)鍵能力·攻重難題型探究題型一利用二倍角公式給角求值問題例1求下列各式的值：(1)sineq\f(π,12)coseq\f(π,12)；(2)1－2sin2750°；(3)eq\f(2tan150°,1－tan2150°)；(4)eq\f(1,sin10°)－eq\f(\r(3),cos10°)；(5)cos20°cos40°cos80°.[分析]eq\x(觀察角的特點(diǎn))→eq\x(尋求角的聯(lián)系)→eq\x(選擇公式)→eq\x(化簡求值)[解析](1)原式＝eq\f(2sin\f(π,12)cos\f(π,12),2)＝eq\f(sin\f(π,6),2)＝eq\f(1,4).(2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos60°＝eq\f(1,2).(3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－eq\r(3).(4)原式＝eq\f(cos10°－\r(3)sin10°,sin10°cos10°)＝eq\f(2\f(1,2)cos10°－\f(\r(3),2)sin10°,sin10°cos10°)＝eq\f(4sin30°cos10°－cos30°sin10°,2sin10°cos10°)＝eq\f(4sin20°,sin20°)＝4.(5)原式＝eq\f(2sin20°·cos20°·cos40°·cos80°,2sin20°)＝eq\f(2sin40°·cos40°·cos80°,4sin20°)＝eq\f(2sin80°·sin80°,8sin20°)＝eq\f(sin160°,8sin20°)＝eq\f(1,8).[歸納提升]對(duì)于給角求值問題，一般有兩類：(1)直接正用、逆用二倍角公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對(duì)已知式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，一般可以化為特殊角．(2)若形式為幾個(gè)非特殊角的三角函數(shù)式相乘，則一般逆用二倍角的正弦公式，在求解過程中，需利用互余關(guān)系配湊出應(yīng)用二倍角公式的條件，使得問題出現(xiàn)可以連用二倍角的正弦公式的形式．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?求下列各三角函數(shù)式的值：(1)cos72°cos36°；(2)eq\f(1,sin50°)＋eq\f(\r(3),cos50°).[解析](1)原式＝cos36°·cos72°＝eq\f(2sin36°·cos36°·cos72°,2sin36°)＝eq\f(\f(1,2)sin144°,2sin36°)＝eq\f(1,4).(2)原式＝eq\f(cos50°＋\r(3)sin50°,sin50°·cos50°)＝eq\f(2sin50°＋30°,\f(1,2)sin100°)＝eq\f(4sin80°,sin100°)＝4.題型二利用二倍角公式給值求值問題例2(1)若cos(eq\f(π,4)－α)＝eq\f(4,5)，則sin2α＝?。?！eq\f(7,25)###.(2)已知α是第二象限角，tan(π＋2α)＝－eq\f(4,3)，則tanα＝！?。。璭q\f(1,2)###.[解析](1)方法一：由cos(eq\f(π,4)－α)＝eq\f(4,5)，得eq\f(\r(2),2)(sinα＋cosα)＝eq\f(4,5).兩邊同時(shí)平方，得eq\f(1,2)(sinα＋cosα)2＝eq\f(16,25).故1＋sin2α＝eq\f(32,25).所以sin2α＝eq\f(7,25).方法二：由二倍角公式，得cos2(eq\f(π,4)－α)＝eq\f(1＋cos\f(π,2)－2α,2)＝eq\f(1＋sin2α,2)＝eq\f(16,25)，所以sin2α＝eq\f(7,25).方法三：因?yàn)閏os(eq\f(π,4)－α)＝eq\f(4,5)，所以sin2α＝cos(eq\f(π,2)－2α)＝cos2(eq\f(π,4)－α)＝2cos2(eq\f(π,4)－α)－1＝2×eq\f(16,25)－1＝eq\f(7,25).(2)由題設(shè)得tan(π＋2α)＝tan2α＝－eq\f(4,3).由二倍角公式，得tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(4,3)，整理得2tan2α－3tanα－2＝0，解得tanα＝2或tanα＝－eq\f(1,2).因?yàn)棣潦堑诙笙薜慕牵詔anα＝－eq\f(1,2).[歸納提升]解決給值求值問題的方法比較多，(1)可以利用倍角公式將二倍角(單角)化為單角(二倍角)，再通過三角基本公式得到所求值；(2)利用倍角公式的推論直接進(jìn)行結(jié)構(gòu)式的聯(lián)系：如cos2α與sin2α及cos2α之間的關(guān)系，cosα±sinα與sin2α的關(guān)系等．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?已知tanα＋eq\f(1,tanα)＝eq\f(5,2)，α∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，求cos2α和sin(2α＋eq\f(π,4))的值．[解析]由tanα＋eq\f(1,tanα)＝eq\f(5,2)，得eq\f(sinα,cosα)＋eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(5,2).則eq\f(2,sin2α)＝eq\f(5,2)，即sin2α＝eq\f(4,5)，因?yàn)棣痢?eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，所以2α∈(eq\f(π,2)，π)，所以cos2α＝－eq\r(1－sin22α)＝－eq\f(3,5)，sin(2α＋eq\f(π,4))＝sin2α·coseq\f(π,4)＋cos2α·sineq\f(π,4)＝eq\f(4,5)×eq\f(\r(2),2)－eq\f(3,5)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),10).題型三利用二倍角公式給值求角例3已知tan(α－β)＝eq\f(1,2)，tanβ＝－eq\f(1,7)，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．[分析]本題根據(jù)tanβ＝－eq\f(1,7)<0且β∈(0，π)，確定eq\f(π,2)<β<π，可求得tanα＝eq\f(1,3)且α∈(0，π)，確定0<α<eq\f(π,4)，這是求角的范圍的關(guān)鍵．[解析]因?yàn)?α－β＝2(α－β)＋β，tan(α－β)＝eq\f(1,2)，而tan2(α－β)＝eq\f(2tanα－β,1－tan2α－β)＝eq\f(4,3).從而tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]＝eq\f(tan2α－β＋tanβ,1－tan2α－β·tanβ)＝eq\f(\f(4,3)－\f(1,7),1＋\f(4,3)×\f(1,7))＝1.又因?yàn)閠anα＝tan[(α－β)＋β]＝eq\f(tanα－β＋tanβ,1－tanα－β·tanβ)＝eq\f(1,3)<1，且α∈(0，π)，所以0<α<eq\f(π,4).所以0<2α<eq\f(π,2).又因?yàn)閠anβ＝－eq\f(1,7)<0，且β∈(0，π)，所以eq\f(π,2)<β<π，－π<－β<－eq\f(π,2)，所以－π<2α－β<0.所以2α－β＝－eq\f(3π,4).[歸納提升]本題通過變形轉(zhuǎn)化為已知三角函數(shù)值求角的問題，關(guān)鍵在于對(duì)角的范圍的討論，注意合理利用不等式的性質(zhì)，必要時(shí)，根據(jù)三角函數(shù)值，縮小角的范圍，從而求出準(zhǔn)確的角．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?已知tanα＝eq\f(1,7)，tanβ＝eq\f(1,3)，并且α，β均為銳角，求α＋2β的值．[解析]因?yàn)閠anβ＝eq\f(1,3)，所以tan2β＝eq\f(2tanβ,1－tan2β)＝eq\f(2×\f(1,3),1－\f(1,3)2)＝eq\f(3,4).所以tan(α＋2β)＝eq\f(tanα＋tan2β,1－tanαtan2β)＝eq\f(\f(1,7)＋\f(3,4),1－\f(1,7)×\f(3,4))＝1.0<tanα＝eq\f(1,7)<1,0<tanβ＝eq\f(1,3)<1，α、β均為銳角，所以0<α<eq\f(π,4)，0<β<eq\f(π,4)，0<2β<eq\f(π,2).所以0<α＋2β<eq\f(3π,4)，又tan(α＋2β)＝1.所以α＋2β＝eq\f(π,4).題型四三角函數(shù)式化簡例4(1)化簡：2eq\r(1＋sin8)＋eq\r(2＋2cos8)；(2)設(shè)α∈(eq\f(3π,2)，2π)，化簡：eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(\f(1,2)＋\f(1,2)cos2α)).[分析](1)1＋sin8＝sin24＋2sin4cos4＋cos24＝(sin4＋cos4)2,2(1＋cos8)＝4cos24.(2)連續(xù)運(yùn)用公式：1＋cos2α＝2cos2α.[解析](1)原式＝2eq\r(1＋2sin4cos4)＋eq\r(4cos24)＝2|sin4＋cos4|＋2|cos4|.因?yàn)?∈(π，eq\f(3π,2))，所以sin4<0，cos4<0.故原式＝－2(sin4＋cos4)－2cos4＝－2sin4－4cos4＝－2(sin4＋2cos4)．(2)因?yàn)棣痢?eq\f(3π,2)，2π)，所以cosα>0，coseq\f(α,2)<0.故原式＝eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(cos2α))＝eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)cosα)＝eq\r(cos2\f(α,2))＝|coseq\f(α,2)|＝－coseq\f(α,2).[歸納提升]化簡三角函數(shù)式的基本思路解決三角函數(shù)的化簡問題就是根據(jù)題目特點(diǎn)，利用相應(yīng)的公式，對(duì)所給三角函數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)變形．可從“冪”的差異、“名”的差異、“角”的差異這三個(gè)方面，結(jié)合所給“形”的特征入手解決．一般采用化弦法、切弦法、異角化同角、異次化同次、異名化同名、通分、使被開方數(shù)化為完全平方式等進(jìn)行變形，同時(shí)注意公式的逆用以及“1”的恒等代換，達(dá)到化簡的目的，在化簡時(shí)，要注意角的取值范圍．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?(1)化簡：eq\r(1－sin40°)＋eq\r(\f(1－cos40°,2)).(2)求證：cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos2Acos2B.[解析](1)原式＝eq\r(sin20°－cos20°2)＋eq\r(\f(1－1－2sin220°,2))＝|sin20°－cos20°|＋eq\r(sin220°)＝cos20°－sin20°＋sin20°＝cos20°.(2)證明：左邊＝eq\f(1＋cos2A＋2B,2)－eq\f(1－cos2A－2B,2)＝eq\f(cos2A＋2B＋cos2A－2B,2)＝eq\f(1,2)·(cos2Acos2B－sin2Asin2B＋cos2Acos2B＋sin2Asin2B)＝cos2Acos2B＝右邊，所以等式成立．誤區(qū)警示利用二倍角公式化簡時(shí)忽略原函數(shù)的定義域例5已知函數(shù)f(x)＝eq\f(sinx＋cos2xsinx,sin2x)，求該函數(shù)的值域．[錯(cuò)解]∵f(x)＝eq\f(sinx＋cos2xsinx,sin2x)＝eq\f(sinx1＋cos2x,sin2x)＝eq\f(sinx2cos2x,2sinxcosx)＝cosx，∴f(x)∈[－1,1]．[錯(cuò)因分析]沒有注意函數(shù)本身的定義域，即分母要求sin2x≠0，∴sinx≠0且cosx≠0，由此可知x≠eq\f(kπ,2)，k∈Z，故函數(shù)的值域出現(xiàn)了錯(cuò)誤．[正解]f(x)＝eq\f(sinx＋cos2xsinx,sin2x)＝eq\f(sinx1＋cos2x,sin2x)＝eq\f(sinx2cos2x,2sinxcosx)＝cosx.∵sin2x≠0，∴sinx≠0且cosx≠0，由此可知x≠eq\f(kπ,2)，k∈Z，∴f(x)∈(－1,1)且f(x)≠0.∴函數(shù)f(x)的值域?yàn)?－1,0)∪(0,1)．[方法點(diǎn)撥]運(yùn)用公式化簡函數(shù)解析式的過程中，忽略定義域是解決與三角函數(shù)有關(guān)問題常見的易錯(cuò)點(diǎn)．要想正確求解，需要掌握倍角、分角的終邊所在象限的確定方法．學(xué)科素養(yǎng)二倍角公式在三角形問題中的應(yīng)用三角形中最多只有一個(gè)鈍角或直角，且其內(nèi)角的正弦值均為正，但余弦值和正切值則不一定為正，解題時(shí)這些都要注意．例6已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角為A，B，C，f(B)＝4cosB·sin2(eq\f(π,4)＋eq\f(B,2))＋eq\r(3)cos2B－2cosB.(1)若f(B)＝2，求B的大??；(2)若f(B)－m>2恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[分析](1)f(B)的式子過于煩瑣，需將其化簡，在求B的大小時(shí)應(yīng)考慮其在三角形中，所以角B的范圍為(0，π)．(2)將化簡得到的f(B)代入不等式中，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解析](1)f(B)＝4cosB·eq\f(1－cos\f(π,2)＋B,2)＋eq\r(3)cos2B－2cosB＝2cosB(1＋sinB)＋eq\r(3)cos2B－2cosB＝2cosBsinB＋eq\r(3)cos2B＝sin2B＋eq\r(3)cos2B＝2sin(2B＋eq\f(π,3))．∵f(B)＝2，∴2sin(2B＋eq\f(π,3))＝2，即sin(2B＋eq\f(π,3))＝1.∴2B＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z.又∵0<B<π，∴B＝eq\f(π,12).(2)f(B)－m>2恒成立，即2sin(2B＋eq\f(π,3))>2＋m恒成立．∵0<B<π，∴eq\f(π,3)<2B＋eq\f(π,3)<eq\f(7π,3)，∴2sin(2B＋eq\f(π,3))∈[－2,2]，∴2＋m<－2，解得m<－4.課堂檢測(cè)·固雙基1．已知α為第三象限角，且cosα＝－eq\f(\r(5),5)，則tan2α的值為(＋＋＋＋A－－－－)A．－eq\f(4,3) B．eq\f(4,3)C．－eq\f(3,4) D．－2[解析]由題意可得tanα＝2，所以tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(4,3).2．下列各式中，值為eq\f(1,2)的是(＋＋＋＋D－－－－)A．sin15°cos15° B．2cos2eq\f(π,12)－1C．eq\r(\f(1＋cos30°,2)) D．eq\f(tan22.5°,1－tan222.5°)[解析]sin15°cos15°＝eq\f(1,2)sin30°＝eq\f(1,4)；2co