新課第04講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示原卷版

新課第04講：平面向量基本定理及坐標(biāo)表示【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：基底的概念和表示 考點(diǎn)二：平面向量基本定理的應(yīng)用考點(diǎn)三：平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示 考點(diǎn)四：平面向量的線性運(yùn)算坐標(biāo)表示考點(diǎn)五：由向量線性運(yùn)算解決最值和范圍問題 考點(diǎn)六：平面向量共線的坐標(biāo)表示考點(diǎn)七;平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示 考點(diǎn)八：利用平行（共線）或垂直求參數(shù)考點(diǎn)九：平面向量坐標(biāo)表示的綜合問題【知識梳理】知識點(diǎn)一：平面向量基本定理1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2.基底：若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.知識點(diǎn)二：平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.知識點(diǎn)三平面向量的坐標(biāo)表示1.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量分別為i，j，取{i，j}作為基底.對于平面內(nèi)的任意一個向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實(shí)數(shù)x，y，使得a＝xi＋yj.平面內(nèi)的任一向量a都可由x，y唯一確定，我們把有序數(shù)對(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a＝(x，y).2.在直角坐標(biāo)平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).知識點(diǎn)四平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，數(shù)學(xué)公式文字語言表述向量加法a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)兩個向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和向量減法a－b＝(x1－x2，y1－y2)兩個向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的差已知點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo).知識點(diǎn)五平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示已知a＝(x，y)，則λa＝(λx，λy)，即：實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).知識點(diǎn)六平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.則a，b共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.如果用坐標(biāo)表示，可寫為(x1，y1)＝λ(x2，y2)，當(dāng)且僅當(dāng)x1y2－x2y1＝0時，向量a，b(b≠0)共線.注意：向量共線的坐標(biāo)形式極易寫錯，如寫成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不對的，因此要理解并熟記這一公式，可簡記為：縱橫交錯積相減.知識點(diǎn)七平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.則a·b＝x1x2＋y1y2.(1)若a＝(x，y)，則|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq\r(x2＋y2).若表示向量a的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.(3)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).【題型歸納】題型一：基底的概念和表示1．（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾中學(xué)?？计谥校┰O(shè)是平面內(nèi)所有向量的一個基底，則下列不能作為基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和2．（2023下·重慶萬州·高一重慶市萬州第二高級中學(xué)?？计谥校┮阎遣还簿€的非零向量，則以下向量不可以作為一組基底的是（

）A． B．C． D．3．（2023下·陜西·高一校聯(lián)考期中）如圖，在中，設(shè)，，，，則（

）A． B．C． D．題型二：平面向量基本定理的應(yīng)用4．（2023下·山東濱州·高一統(tǒng)考期末）如圖，為平行四邊形對角線上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．5．（2023下·廣東東莞·高一東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┰谥校c(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且與交于點(diǎn)，若，則長是（

）A．3.8 B．4 C．4.2 D．4.46．（2023下·福建福州·高一校聯(lián)考期末）在中，點(diǎn)為BC邊上一點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．題型三：平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示7．（2023下·全國·高一期中）已知點(diǎn)，向量，則向量＝（

）A． B． C． D．8．（2020下·廣東揭陽·高一統(tǒng)考期中）已知，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A．(－2，3) B．(2，－3)C．(－2，1) D．(2，－1)9．（2023下·四川南充·高一統(tǒng)考期末）若是邊長為1的等邊三角形，G是邊BC的中點(diǎn)，H是邊AC的中點(diǎn)，M為線段AG上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．題型四：平面向量的線性運(yùn)算坐標(biāo)表示10．（2023上·江西宜春·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知邊長為2的菱形中，，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，滿足，則（

）A． B． C． D．11．（2023下·高一課時練習(xí)）如圖，在直角梯形ABCD中，，，，，動點(diǎn)P在邊BC上，且滿足（m，n均為正數(shù)），則的最小值為（

）A．1 B． C． D．12．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖甲所示，古代中國的太極八卦圖是以同圓內(nèi)的圓心為界，畫出相等的兩個陰陽魚.其平面圖形記為圖乙中的正八邊形，其中，則以下結(jié)論錯誤的是（

）A．B．C．D．在方向上的投影向量為題型五：由向量線性運(yùn)算解決最值和范圍問題13．（2022下·江西景德鎮(zhèn)·高一景德鎮(zhèn)一中?？计谥校┰谥苯翘菪蜛BCD中，，點(diǎn)E為BC邊上一點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．14．（2023下·江蘇南通·高一南通一中?？茧A段練習(xí)）已知直角梯形是邊上的一點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．15．（2021下·江蘇南京·高一南京師大附中?？计谀┰谏刃沃校?，，為弧上的一個動點(diǎn)，且．則的取值范圍為（

）A． B． C． D．題型六：平面向量共線的坐標(biāo)表示16．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知平面向量，，，若，則（

）A． B． C． D．17．（2023下·山東菏澤·高一山東省鄄城縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量不共線，且，若與共線，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1或 B． C． D．或18．（2023下·北京·高一101中學(xué)?？计谀┮阎蛄?若與共線，則（

）A．1 B．3 C． D．題型七;平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示19．（2023下·北京海淀·高一統(tǒng)考期末）已知向量，向量為單位向量，且，則（

）A． B． C．2 D．320．（2023下·福建龍巖·高一校聯(lián)考期中）設(shè)向量與的夾角為，定義與的“向量積”：是一個向量，它的模，若，則（

）A．5 B． C． D．21．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知平面向量，滿足，且，則（

）A．4 B．5 C． D．2題型八：利用平行（共線）或垂直求參數(shù)22．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知向量，，，若，（

）A． B． C． D．23．（2023下·江蘇連云港·高一校考階段練習(xí)）已知向量，，，且，(1)求x的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的值.24．（2023下·河南鄭州·高一校聯(lián)考期中）平面內(nèi)給出三個向量，，，求解下列問題：(1)若向量與向量的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，求實(shí)數(shù)k的值．題型九：平面向量坐標(biāo)表示的綜合問題25．（2023下·新疆伊犁·高一校聯(lián)考期末）設(shè)，向量，，，且∥，．(1)求；(2)求向量與夾角的大小.26．（2023下·貴州遵義·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，其中．(1)若，寫出，，，之間應(yīng)滿足的關(guān)系式(2)求證：；(3)求代數(shù)式的最大值，并求其取得最大值時的值．27．（2023上·遼寧大連·高一期末）在三角形中，，，，為線段上任意一點(diǎn)，交于.(1)若.①用表示.②若，求的值.(2)若，求的最小值.【雙基訓(xùn)練】一、單選題28．（2023上·遼寧葫蘆島·高一?？计谀┰谥?，點(diǎn)在邊上，且，則（

）A． B．C． D．29．（2023下·湖南邵陽·高一統(tǒng)考期末）下列各組向量中，可以作為基底的是（

）A．， B．，C．， D．，30．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列命題不正確的是（

）A．若向量滿足，則為平行向量B．已知平面內(nèi)的一組基底，則向量也能作為一組基底C．模等于個單位長度的向量是單位向量，所有單位向量均相等D．若是等邊三角形，則31．（2023下·湖南長沙·高一雅禮中學(xué)?？计谀┰O(shè)平面向量，，且，則=（

）A．1 B．14 C． D．32．（2023下·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）已知，，點(diǎn)在線段的延長線上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．或33．（2023下·北京豐臺·高一統(tǒng)考期末）已知向量，.若，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．34．（2023下·貴州畢節(jié)·高一統(tǒng)考期末）已知向量，若，則（

）A． B． C． D．35．（2023下·江西新余·高一統(tǒng)考期末）如下圖，在中，，，以BC的中點(diǎn)O為圓心，BC為直徑在三角形的外部作半圓弧BC，點(diǎn)P在半圓上運(yùn)動，設(shè)，，則的最大值為（

）A．5 B．6 C． D．二、多選題36．（2024上·浙江寧波·高一鎮(zhèn)海中學(xué)?？计谀┫铝姓f法正確的是（

）A．已知，為平面內(nèi)兩個不共線的向量，則可作為平面的一組基底B．，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得C．兩個非零向量，，若，則與共線且反向D．中，，，則為等邊三角形37．（2023下·山東青島·高一青島二中校考期末）已知平面向量，則下列說法正確的是（

）A．B．在方向上的投影向量為C．與垂直的單位向量的坐標(biāo)為或D．若向量與非零向量共線，則38．（2023下·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考期末）已知向量，下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則B．與共線的單位向量一定為C．當(dāng)時，在上的投影的數(shù)量為D．當(dāng)時，與的夾角為銳角39．（2023下·江西上饒·高一統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的取值范圍是B．當(dāng)時，在方向上的投影數(shù)量的取值范圍是C．的最大值是D．若，且，則最大值為240．（2023下·云南·高一統(tǒng)考期末）若向量，滿足，，，則（

）A．向量，的夾角為45°B．向量在向量上的投影向量為C．在平行四邊形ABCD中，若=，=，則該平行四邊形的面積是12D．在四邊形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)．若，，且=，則該四邊形是梯形三、填空題41．（2024上·遼寧大連·高一大連二十四中?？计谀┤粝蛄?，，且，則實(shí)數(shù)x的值為．42．（2023下·江蘇蘇州·高一江蘇省昆山中學(xué)?？计谀┫蛄?，且，則．43．（2023下·廣西南寧·高一校聯(lián)考期末）如圖，在中，，過點(diǎn)的直線分別交直線，于不同的兩點(diǎn)，.設(shè)，，則的最小值為.44．（2023下·遼寧鞍山·高一?？计谀┰诰匦沃校?，，在上取一點(diǎn)M，在上取一點(diǎn)P，使得，，過M點(diǎn)作交于N點(diǎn)，若上存在一動點(diǎn)E，上存在一動點(diǎn)F，使得，則的最小值為.四、解答題45．（2024上·遼寧丹東·高一統(tǒng)考期末）己知向量以為基底的分解式為，其中.(1)求m，n的值；(2)若，且，求k的值.46．（2024上·遼寧大連·高一統(tǒng)考期末）已知向量，．(1)求的坐標(biāo)及；(2)若與共線，求實(shí)數(shù)的值．47．（2024上·遼