2023年廣東省惠州市高考數(shù)學(xué)模擬試卷及答案解析

2023年廣東省惠州市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

本試卷滿分150分。共22道題。考試用時120分鐘。

注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級、姓名、考場號、座位號和考生號填

寫在答題卡上。將條形碼橫貼在每張答題卡右上角“條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應(yīng)題目選項

的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不

能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先畫掉原來的答案，然后再寫上新答案;

不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

符合題目要求的

I.已知集合∕={0,1},8={x∣∕≤4},則∕∩8=（）

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{x∣0≤x<2}D.{x∣0≤x≤2}

2.如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)zι,Z2對應(yīng)的向量分別是θλOB,則復(fù)數(shù)久對應(yīng)的點位于（）

Z2

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.要得到函數(shù)y=sin（Zr+的圖象，只要將函數(shù)y=sin2x的圖象（）

TrTr

A.向左平移二單位B.向右平移;單位

44

Tl∏

C.向右平移二單位D.向左平移力單位

OO

4.屈原是中國歷史上第一位偉大的愛國詩人，中國浪漫主義文學(xué)的奠基人，“楚辭”的創(chuàng)立

者和代表作者，其主要作品有《離騷》《九歌》《九章》《天問》等.某校于2022年6月

第一個周舉辦“國學(xué)經(jīng)典誦讀”活動，計劃周一至周四誦讀屈原的上述四部作品，要求

每天只誦讀一部作品，則周一不讀《天問》，周三不讀《離騷》的概率為（）

A.?B.?C.J—D.?-

24126

第1頁共23頁

22

5.過雙曲線C三-工_=1（。>0,ft>0）的焦點且斜率不為0的直線交C于4B兩點,

2,2

ab

。為中點，若kf?ki=L則C的離心率為（）

κABKOD2

A.√6B.2C.√3D.??θ-

2

6?若2cos2（a?）=l+cos2a，則tan2a的值為（）

A.jβ-B.近C.-√3D.√3

33

7.如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓0,尸為圓。上任一點，若屈=X靛+y正，

則2x+2y的最大值為（）

IInxI>X〉O

8.已知函數(shù)f（χ）=],若方程/（x）=*-1有且僅有三個實數(shù)解，則

x2+2x-l,X40

實數(shù)“的取值范圍為（）

A.O<a<lB.0<a<2C.a>lD.a>2

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得O分.

（多選）9.若某地區(qū)規(guī)定在一段時間內(nèi)沒有發(fā)生大規(guī)模群體病毒感染的標(biāo)準(zhǔn)為“連續(xù)10

天，每天新增疑似病例不超過7人”，根據(jù)該地區(qū)下列過去10天新增疑似病例的相關(guān)數(shù)

據(jù)，可以認(rèn)為該地區(qū)沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的是（）

A.平均數(shù)為2,中位數(shù)為3

B.平均數(shù)為1,方差大于0.5

C.平均數(shù)為2,眾數(shù)為2

D.平均數(shù)為2,方差為3

第2頁共23頁

(多選)10?已知函數(shù)/(x)=4Sin(ωx+φ)(4>0,ω>0,∣φ|的部分圖象如

圖所示，則下列結(jié)論正確的是()

?Γ

兀

A?f(x)=2cos(2x^z-)

B.滿足/(x)>1的X的取值范圍為(%π,?π+A)(Λ∈Z)

C.將函數(shù)/(x)的圖象向右平移三個單位長度，得到圖象的一條對稱軸*W

123

D.函數(shù)/(x)與g(X)=-2cos2x的圖象關(guān)于直線X=B對稱

(多選)11.二進(jìn)制是計算技術(shù)中廣泛采用的一種數(shù)制，由18世紀(jì)德國數(shù)理哲學(xué)大師萊布

尼茲發(fā)現(xiàn)，二進(jìn)制數(shù)據(jù)是用0和1兩個數(shù)碼來表示的數(shù).現(xiàn)采用類似于二進(jìn)制數(shù)的方法

kk10

構(gòu)造數(shù)列：ΣE≡^n=ak.2+ak.1?2^+--+a0?2-其中防蟲。，D冊=0，1，2,…,

k),記氏=αo+m+???+αr-i+以.如3=1X21+lX2°,?3=1+1=2,則下列結(jié)論正確的有

()

A.Z>9=3B.b2n~~bn

C.?2w+3=氏+1D.?8∕r+5=人4〃+3

(多選)12.某公司通過統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)，工人工作效率E與工作年限-0>0),勞累程度7

(0<7,<l),勞動動機(jī)<(1<*<5)相關(guān),并建立了數(shù)學(xué)模型E=IO-IoT?Z√°W.已知

甲、乙為該公司的員工，則下列說法正確的有()

A.甲與乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，勞動動機(jī)低，則甲比乙勞累程度強(qiáng)

B.甲與乙勞動動機(jī)相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，則甲比乙勞累程度弱

C.甲與乙勞累程度相同，且甲比乙工作年限長，勞動動機(jī)高，則甲比乙工作效率高

D.甲與乙勞動動機(jī)相同，且甲比乙工作年限長，勞累程度弱，則甲比乙工作效率高

三、填空題：本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.若/(X)=g(x)?ln(X2-1)為奇函數(shù)，則g(X)的表達(dá)式可以為g(x)=

14.若(1-?)8展開式中第6項的系數(shù)為1792,則實數(shù)。的值為.

第3頁共23頁

15.已知動點尸到點Z(1,0)的距離是到點8(1,3)的距離的2倍，記尸點的軌跡為C,

直線y=fcr+l交C于M,N兩點,0(1,4),若AQMN的面積為2,則實數(shù)4的值為.

16.某學(xué)校開展手工藝品展示活動，小明同學(xué)用塑料制作了如圖所示的手工藝品，其外部為

一個底面邊長為6的正三棱柱，內(nèi)部為一個球，球的表面與三棱柱的各面均相切，則該

17.（10分）在AZBC中，角4,B,C的對邊分別為0,b,c,b=2acosAcosC+2ccos2A.

（1）求角出

（2）若α=4,求c-26的取值范圍.

18.(12分)當(dāng)下，大量的青少年沉迷于各種網(wǎng)絡(luò)游戲，極大地毒害了青少年的身心健康.為

了引導(dǎo)青少年抵制不良游戲，適度參與益腦游戲，某游戲公司開發(fā)了一款益腦游戲，在

內(nèi)測時收集了玩家對每一關(guān)的平均過關(guān)時間，如表：

關(guān)卡X123456

平均過關(guān)時間y(單位：5078124121137352

秒)

66

,

計算得到一些統(tǒng)計量的值為：EUi=28.5)∑xiui=106.05其中，的="處

i=l?i=l11

(1)若用模型y=αefcγ擬合N與X的關(guān)系，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，求出V與X的經(jīng)驗回歸方

程；

(2)制定游戲規(guī)則如下：玩家在每關(guān)的平均過關(guān)時間內(nèi)通過可獲得積分2分并進(jìn)入下一

關(guān)，否則獲得-1分且該輪游戲結(jié)束.甲通過練習(xí)，前3關(guān)都能在平均時間內(nèi)過關(guān)，后面

3關(guān)能在平均時間內(nèi)通過的概率均為芻，若甲玩一輪此款益腦游戲，求“甲獲得的積分X”

5

的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)(*,%)(i=l,2,3,-),其經(jīng)驗回歸直線y=bχ+軟的斜率

第4頁共23頁

n

*∑x1iy14-nxy

=14A

i

和截距的最小二乘估計分別為b=?---------------,a=y-b^?

b2-2

〉,xi-nx

i=l

19.(12分)已知數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S“a???,當(dāng)"22時，S；=anSn-a￡

(1)求S,:

Onrι

(2)設(shè)數(shù)列｛2_｝的前〃項和為G，若λτ4(/+9)?2恒成立，求人的取值范圍.

Snn

20.(12分)如圖，在平面五邊形為88中，△孫。為正三角形，AD/∕BC,ZDAB=90°

且NO=∕8=28C=2.將ARIO沿ZO翻折成如圖所示的四棱錐尸-ZBCr),使得

PC=√7?F,。分別為43,CE的中點.

PE2

22r~

21.(12分)已知橢圓C：=1(a>?>0)的離心率為絲，其左、右焦點分別為,

2,2?2

ab乙

F2,T為橢圓C上任意一點，4TQF2面積的最大值為L

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知/(O,1),過點(0,的直線/與橢圓C交于不同的兩點/，M直線

NN與X軸的交點分別為P,。，證明：以尸。為直徑的圓過定點.

22.(12分)己知函數(shù)/(x)=aeκ-In(x+l)(α∈R).

(1)證明：當(dāng)α>0時，函數(shù)/(x)存在唯一的極值點；

(2)若不等式/(x)NCOS(〃-1)恒成立，求〃的取值范圍.

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2023年廣東省惠州市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

本試卷滿分150分。共22道題?？荚囉脮r120分鐘。

注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級、姓名、考場號、座位號和考生號填

寫在答題卡上。將條形碼橫貼在每張答題卡右上角“條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應(yīng)題目選項

的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不

能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先畫掉原來的答案，然后再寫上新答案;

不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

符合題目要求的

2

1.已知集合4={0,1},B={x?x^4}f則力∩5=()

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{x∣0≤x<2}D.{x∣0≤x≤2}

解：由8中不等式變形得：(x-2)(x+2)WO,

解得：-2WxW2,即8=[-2,2],

?'A={O,1},

.?.∕C8={0,1}.

故選：A.

2如圖’在復(fù)平面內(nèi)‘復(fù)數(shù)Z”Z2對應(yīng)的向量分別是次強(qiáng)則復(fù)咤對應(yīng)的點位于()

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

解：由題意可知Zi=-2-3Z2=i.

.￡1-2T(-2T)i

=-?+2i,

"z2ii?i

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復(fù)數(shù)包對應(yīng)的點位于第二象限.

Z2

故選：B.

3.要得到函數(shù)V=Sin(2x+≡)的圖象，只要將函數(shù)y=sin2x的圖象()

TrTl

A.向左平移;單位B.向右平移;單位

44

C.向右平移3單位D.向左平移g單位

OO

解：由于函數(shù)y=sin⑵+/)=sin2(X+*,

Ttτr

故只要將函數(shù)y=sin2x的圖象相左平移3單位，即可得到函數(shù)y=sin(2x+%的圖象,

故選：D.

4.屈原是中國歷史上第一位偉大的愛國詩人，中國浪漫主義文學(xué)的奠基人，“楚辭”的創(chuàng)立

者和代表作者，其主要作品有《離騷》《九歌》《九章》《天問》等.某校于2022年6月

第一個周舉辦“國學(xué)經(jīng)典誦讀”活動，計劃周一至周四誦讀屈原的上述四部作品，要求

每天只誦讀一部作品，則周一不讀《天問》，周三不讀《離騷》的概率為()

A.?B.3C.?D.?

24126

解：該校周一至周四誦讀屈原的四部作品方法總數(shù)為A：=24,

周一不讀《天問》，周三不讀《離騷》的方法總數(shù)為A：-??-A?Λ2=14,

則周一不讀《天問》，周三不讀《離騷》的概率為工魚=」_.

2412

故選：C.

22

5.過雙曲線C?--^-=1(α>0,b>0)的焦點且斜率不為0的直線交C于48兩點,

2,2

ab

。為/3中點，若kf?ki=L,則C的離心率為()

κABKOD2

A.√6B.2C.√3D.近

2

22

解：雙曲線C：2--2-=1(a>0,b>0),A(x∣,y?),B(X2,")，。為NB中點，

2,2'

ab

是雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩點，點Ta2,")(X2≠±xi)也在雙曲線上,

2212L2L2

ΓI∣X_y_i2bz22?mu2bz22?2b,22\

田-y二導(dǎo)，y=—(x-a)，貝Jyl=—(x1-a)*y2=-(x2-a)，

abaaa

第7頁共23頁

.,,V2^ylV2+yl

--kAβkθD=———-,———-

x2^xlx2+xl

6?若2cos2(α4)=l+cos2α，則tan2a的值為()

□

A.jZΣB.近C.-√3D.√3

33

解：由于Zcos2(α?^-)=l+cos2α，整理得2cos2(αq-)-l=cos2α，

OO

所以COS(2a/：)=CoS2a，

故^-Sin2a=-^^co≡2ɑ-,

整理得tan2Cl=√ξ?

故選：D.

7.如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓0,尸為圓。上任一點，若點=X瓦+y正,

則2x+2y的最大值為（）

A.?B.2C.AD.1

33

解：以0為坐標(biāo)原點，過0平行于的直線為X軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

由已知可得/（-1,-恒），8（1,-恒），C（0,RΣ）,

333

第8頁共23頁

點P在以。為圓心，2近為半徑的圓上,

3

所以可設(shè)P(sinθ),

則屈=(2V‰θ+ι,

osAB=(2,0),AC=(1.√3).

333

由屈屈正，可得邛

=X+y2x+y=￡osO+l,'二,sinθ+2^^,

e33

.，.2x+2y-cosθ+l+-^-sinθ+-?-=.‰in+

3333T)f

.?.當(dāng)e=2L時，2x+2y的最大值為&.

63

故選：A.

8?已知函數(shù){IInXI,X>0

f(x)=kι,MO若方程/(x)="-1有且僅有三個實數(shù)解，則

實數(shù)。的取值范圍為()

A.OVQVlB.0<a<2C.a>lD.a>2

解：作出函數(shù)/G)的圖象如圖:

依題意方程/(x)=αχ-1有且僅有三個實數(shù)解，即y=∕(x)與N="-1有且僅有三個

第9頁共23頁

交點，因為y="x-1必過(0,-1),且/(0)=-1,

若αW0時，方程/(x)="χ-1不可能有三個實數(shù)解，則必有α>0,

當(dāng)直線y=oχ-1與y=/〃x在x>l時相切時，設(shè)切點坐標(biāo)為(X0，?o)(則/(X)=!，

即f'(X∩)?-?--貝!|切線方程為N-B)=-?-(X-X0)，BPy--^-*x+yo-1--^-?x+lnxo

UX。xOxOxO

-1,

；切線方程為y=αχ-1,二α=-L且加XO-I=-1,則xo=l,所以α=l,

xO

即當(dāng)α>0時，y=∕(x)與y=αχ-1在(O,+∞)上有且僅有一個交點，

要使方程/(x)=?x-1有且僅有三個的實數(shù)解，

則當(dāng)XWo時，f(X)-X2+2X-1與y=αx-1有兩個交點，設(shè)直線y=αx-1與/(x)=

/+2χ-l切于點(0,-1),此時，(X)=2x+2,則/(O)=2,即α=2,

所以0<a<2.

故選:B.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得O分.

(多選)9.若某地區(qū)規(guī)定在一段時間內(nèi)沒有發(fā)生大規(guī)模群體病毒感染的標(biāo)準(zhǔn)為“連續(xù)10

天，每天新增疑似病例不超過7人”，根據(jù)該地區(qū)下列過去10天新增疑似病例的相關(guān)數(shù)

據(jù)，可以認(rèn)為該地區(qū)沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的是()

A.平均數(shù)為2,中位數(shù)為3

B.平均數(shù)為1,方差大于0.5

C.平均數(shù)為2,眾數(shù)為2

D.平均數(shù)為2,方差為3

解：對于4因10個數(shù)的平均數(shù)為2,中位數(shù)為3,將10個數(shù)從小到大排列，設(shè)后面4

個數(shù)從小到大依次為“，b,c,d,顯然有而α+6+c+d≤14,則”的最

大值為5,4符合條件；

對于8,平均數(shù)為1,方差大于0.5,可能存在大于7的數(shù)，如連續(xù)10天的數(shù)據(jù)為：0,0,

0,0,0,0,0,0,0,10,其平均數(shù)為1,方差大于0.5,8不符合；

對于C,平均數(shù)為2,眾數(shù)為2,可能存在大于7的數(shù)，如連續(xù)10天的數(shù)據(jù)為：0,0,0,

2,2,2,2,2,2,8,其平均數(shù)為2,眾數(shù)為2,C不符合；

對于。，設(shè)連續(xù)10天的數(shù)據(jù)為獷i∈N*,iW10,因平均數(shù)為2,方差為3,

第IO頁共23頁

1io

則有」_y(X-2)2=3>于是得(Xi-2)2≤30,而Xi∈N,i∈N*,iW10,因此x,W7,

1。金1

氾N*,z≤10,。符合條件.

故選：AD.

(多選)10.已知函數(shù)/(X)=∕sin(ωx+φ)(J>0,ω>0,Iφ∣<i的部分圖象如

圖所示，則下列結(jié)論正確的是()

兀

A?f(x)=2cos(2x一Z-)

o

B.滿足/(x)>1的X的取值范圍為(?π,?π+A)(Λ∈Z)

C.將函數(shù)∕?(x)的圖象向右平移型個單位長度，得到圖象的一條對稱軸X=?

12x3

D.函數(shù)/(x)與g(x)=-2CoS2x的圖象關(guān)于直線(寸稱

解：根據(jù)函數(shù)/(x)=ZSin(ωx+φ)(Z>0,ω>0,∣φ|的部分圖象，可得”

=2,

竺=3+2L,.?.3=2?

ω1212

再結(jié)合五點法作圖，可得2X(-工)+φ=0,.?.φ=2L,

126

故/(x)=2Sin(2x+-L-)=2COS(H-2x)=2COS(2x--?),故/正確.

633

/■(x)>1,即Sin(2X+2L)>A,.?.2lcπ+-<2x+-<2∕m+^L,?∈Z,

62666

求得HC<X<?TΓ+N,?∈Z,可得X的取值范圍為(?π,Kt+2L)(Λ∈Z),故5正確：

33

將函數(shù)/(x)的圖象向右平移.個單位長度，可得函數(shù)y=2sin2x的圖象，

令x=JL,求得了=愿，不是最值，得到圖象的一條對稱軸肯定不是x=2L,故C錯

33

誤；

V/(x)=2sin(2X+-2L.)=2COS(2X-W-),??∕'(2兀--S)=2cos(AΞL-2x--2L.)

63333

=-2cos2x=g(x),

第11頁共23頁

故函數(shù)/(x)與g(x)=-2cos2x的圖象關(guān)于直線χ一^J?稱，故。正確，

故選：ABD.

(多選)IL二進(jìn)制是計算技術(shù)中廣泛采用的一種數(shù)制，由18世紀(jì)德國數(shù)理哲學(xué)大師萊布

尼茲發(fā)現(xiàn)，二進(jìn)制數(shù)據(jù)是用0和1兩個數(shù)碼來表示的數(shù).現(xiàn)采用類似于二進(jìn)制數(shù)的方法

kk10

構(gòu)造數(shù)列：ι≡?^n=ak?2÷ak.1?2^+?-+a0*2^其中冰??)G=0,1，2,…,

k),記加=αo+m+…+這一i+四.如3=1X2∣+lX2°,?3=I+1=2,則下列結(jié)論正確的有

()

A.慶=3B.bin=bn

C.b2n+3=b∏^^?D.bs∏+5=64〃+3

解：對于Z選項：9=1×23+0×22+0×21÷1X2°,故加=1+0+0+1=2,故4選項錯誤；

wkk1

對于B選項：n=alζ2+ak.1?2^+?4?+a∣-∣?20，所以為=或+袱ι+…+的，

貝"2n=a∣ζ-2*1+Η卜］?2卜+…+a。?2"°X2°,所以歷"=""+"h…+”。+°=""，

故B選項正確；

對于C選項：ri=%?2卜+八一1?2^-1+…+a0?2“所以力?=。的四-1+…+。。，

k11k1+12

2n+3=ak-2^+a^1?2+-+(a0+l)?2×°-

所以?2w+3=四+α%-1+…÷6f0÷1+1=bn+2≠bn+1,

故。選項錯誤；

kk10,

對于D選項：n=alζ*2÷ak_1?2-+???+a0*2所以為=四+袱-1+…+的，

fc3k+23+120

8n+5=(ak?2"+a1^1?2+-→a0-2)×2+0×2'+l×2,

故bSn+5—dk+ak-I÷"'+oo+1+0+1—bn+2?

同理b4n+3=ak+ak-1+'"+<70÷l+l+0=?,∣+2,

故∕‰+5=b4"+3,故D選項正確；

故選：BD.

(多選)12.某公司通過統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)，工人工作效率E與工作年限r(nóng)(r>0),勞累程度T

(0<T<l),勞動動機(jī)b(l<b<5)相關(guān)，并建立了數(shù)學(xué)模型E=機(jī)-Ior坨-0」".已知

甲、乙為該公司的員工，則下列說法正確的有()

A.甲與乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，勞動動機(jī)低，則甲比乙勞累程度強(qiáng)

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B.甲與乙勞動動機(jī)相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，則甲比乙勞累程度弱

C.甲與乙勞累程度相同，且甲比乙工作年限長，勞動動機(jī)高，則甲比乙工作效率高

D.甲與乙勞動動機(jī)相同，且甲比乙工作年限長，勞累程度弱，則甲比乙工作效率高

解：設(shè)甲與乙的工人工作效率后，Ei,工作年限門，廢,勞累程度Ti,Ti,勞動動機(jī)加,

bi,

b1

對于A1，ri=。，E1>E2,b1<b2>0<記<1,

ΛE1-￡2=10(T2??2~0.14A*2^T?b?-0.14∏)>0,Tz,bi-0.14r2≥Γι?b?-0.14∏,

T^b10.14r1b?Q.14rx>x

τ

ib2-0.14r2%

所以乃>八，即甲比乙勞累程度弱，故/錯誤；

對于8,b?=bz,E?>Eι,r1<r2,

ΛE1-Eι=?Q(T2,?2-0.14r2~T?b?-0.14r∣)>0,T2bi-QΛ4∏'>T?b?-0.14∏

...”〉互竺！嚴(yán)4出一）〉

Tlb2-0.14r2回J

所以乃>八，即甲比乙勞累程度弱，故8正確.

對于C,TI=T2,r↑>∏,b?>bι,

：.1>b2-0.14>?ι-0.14>0,bi-0.l4r2>?ι-O.I4r2>?ι-0.14∏,

,

貝IJEl-E2=10-IOTTbι-0.14r∣-(IO-IOTVb2-0.14r2)=107∣(?2-0.14r2-b?-

0.14∏)>0,

.?.E↑>E2,即甲比乙工作效率高，故C正確；

對于。，b?=b2,rι>r2,T↑<T2,?<b<5,0<b2-0.14<l,

.*.?2^0.14r2>?l-0.14r∣,72>7"ι>0,

,

則El-E2=10-IOTYb?-0.14∏-(10-10T2??2^0.14r2)=IO(T2?b2-0.14r2-T?

-b?-0.14∏)>0,

.?.Eι>E2,即甲比乙工作效率高，故。正確；

故選：BCD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若f(x)—g(x)'In(x2-1)為奇函數(shù)，則g(x)的表達(dá)式可以為g(X)—x.

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解：因為/(x)—g(x)'In(x2-1)為奇函數(shù)，

所以/(-x)—g(-x)In(x2-1)=-f(x)--g(x),In(X2-1),

所以g(-x)--g(x)，

故g(x)為奇函數(shù)，

故符合題意的g(x)=X(答案不唯一).

故答案為：X(答案不唯一).

14.若(1-ox)8展開式中第6項的系數(shù)為1792,則實數(shù)。的值為-2.

解：由已知可得c；(-a)5=1792,

解得a--2.

故答案為：-2.

15.已知動點P到點/(1,0)的距離是到點8(1,3)的距離的2倍，記P點的軌跡為C,

直線y=fcv+l交C于M,N兩點，。(1,4),若40〃N的面積為2,則實數(shù)Z的值為_

7或1.

解：設(shè)尸(x,y),由知動點尸到點/(1,0)的距離是到點8(1,3)的距離的2倍，

■《(XT)。/=2,化簡整理得(x-1)2+(J?_4)2=4,

V((χ-l)2+(y-3)2

故動點尸的軌跡是以(1,4)為圓心，2為半徑的圓，故。為圓心，

；△QMN的面積為2,；.1?PM??∣P7√∣sinNMPN=2,

所以NMPN=90°,

所以可得點Q到直線y=fcr+l的距離為√5,

.?」號少LL=解得上=-7或左=1.

故答案為：-7或1.

16.某學(xué)校開展手工藝品展示活動，小明同學(xué)用塑料制作了如圖所示的手工藝品，其外部為

一個底面邊長為6的正三棱柱，內(nèi)部為一個球，球的表面與三棱柱的各面均相切，則該

內(nèi)切球的表面積為12π,三棱柱的頂點到球的表面的最短距離為—√元

第14頁共23頁

解：依題意，如圖，過側(cè)棱的中點作正三棱柱的截面,

則球心為AMVG的中心,

因為MN=6,所以AMVG內(nèi)切圓的半徑r=0H=工而'-HM=V3,

33

即內(nèi)切球的半徑區(qū)=a，所以內(nèi)切球的表面積S=4πR2=i2π,

又正三棱柱的高AAI=2R=2Λ∕*

所以ClHw)H=2F，

O

所以AO=√OM2+AM2=√(2√3)2+(√3)2=√15'

所以/到球面上的點的距離最小值為ACI-R=任-√3;

故答案為：12m√I5-√3?

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17.(10分)在445C中，角4,B,C的對邊分別為〃，b,c,b=2acosAcosC+2ccos2√4.

(1)求角4

(2)若α=4,求c-26的取值范圍.

解：(1)有因為b=2acosACOSC+2CCoS24，

由正弦定理=b=C得,

sinAsinBsinC

siaβ=2sinAcosAcosC+2sinCcos2√4=2cosJ(sinJcosC+sinCcosJ)=2cos4sin5,

VJ,B,。為44SC的內(nèi)角，

：.BW(0,π),.?.sin^≠0,

2cosJ=l,?*?cosA=^^^,*?*^∈(0，五)，?*?A=-^-

23

（2）解：由正弦定理得a=8禽,

si∏A3

所以c-2b=9（sinC-2sinB）=0^[sin（兀2sinB]

OeO

=8^3zV33.x∏JT

-—o--CoSB-^sinB）=8（COSBCOS-^--COSBSin

J4乙OO

Jr

所以C-2b=8CoS（B÷■鼠>

因為BC（0,等），所以B弓∈（子，兀），

所以cos（B+；）∈（-l>?）,所以C-2∕）∈（8,4）.

18.（12分）當(dāng)下，大量的青少年沉迷于各種網(wǎng)絡(luò)游戲，極大地毒害了青少年的身心健康.為

了引導(dǎo)青少年抵制不良游戲，適度參與益腦游戲，某游戲公司開發(fā)了一款益腦游戲，在

內(nèi)測時收集了玩家對每一關(guān)的平均過關(guān)時間，如表：

關(guān)卡X123456

平均過關(guān)時間y（單位：5078124121137352

秒）

66

計算得到一些統(tǒng)計量的值為：Xuι=28.5，∑x1u1=106,05＞其中，ui=lnyi.

i=l?i=l??

（1）若用模型y=。*'擬合V與X的關(guān)系，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，求出N與X的經(jīng)驗回歸方

程；

（2）制定游戲規(guī)則如下：玩家在每關(guān)的平均過關(guān)時間內(nèi)通過可獲得積分2分并進(jìn)入下一

關(guān)，否則獲得-1分且該輪游戲結(jié)束.甲通過練習(xí)，前3關(guān)都能在平均時間內(nèi)過關(guān)，后面

第16頁共23頁

3關(guān)能在平均時間內(nèi)通過的概率均為芻，若甲玩一輪此款益腦游戲，求“甲獲得的積分X”

5

的分布列和數(shù)學(xué)期望.

二A4

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)(為，W)(i=l,2,3,???),其經(jīng)驗回歸直線y=bχ+a的斜率

n

-∑1^nxy

_411**

和截距的最小二乘估計分別為b---------------,a=y_b-

b2-2

〉,Xi-nx

i=l

解：(1)對y=α*x兩邊同時取對數(shù)，則例y=?x+歷〃，

—1-I61

XJX(1+2+3+4+5+6)=3.5,u=7~∑Ui=T?X28.5=4.75，

1

60i=ιO

6

∑X?=12+22+32+42+52+62=9V

i=l

6____

Xχiui,^θχu

則;=%-----------=106,05-6X3.5X4.75=0,除

Ex/91-6X3.52

i=l

xu=bT+lna,即4?75=°.36X3.5+加“'

所以歷0=3.49,所以α=e±49.

所以，y關(guān)于X的經(jīng)驗回歸方程為y=e°?36x+3?49.

(2)由題知，甲獲得的積分X的所有可能取值為5,1,9,12,

貝UP(X=5)4,P(X=7)=4×??,P(X=9)=?)2×?-?,

DDOZODD1^0

P(X=12)=(∣)3?

所以X的分布列為:

X57912

P?41664

25^125^125

所以E(X)=5X(+7X4+9X魯+12X品=9?416?

19.(12分)已知數(shù)列｛總的前〃項和為S,,,a??l,當(dāng)心2時，S∩=anSn-an?

（1）求S,;

第17頁共23頁

n∏jl

（2）設(shè)數(shù)列邑｝的前〃項和為Tn,若入T4（/+9）?2恒成立，求人的取值范圍?

Snn

解：（1）當(dāng)“22時,sn=ansn^an,

所以，$2=(s-S)e-(S-S

0n?n-l,dnkdnen-l,

整理得：S∣lStl?-Sn.1^S11,即_=?,

SnSkI

所以數(shù)列｛」_｝是以JO=J^=2為首項，1為公差的等差數(shù)列?

SnSIaI

所以」_=+1，即S^?.

n

Sn%n+l

n

(2)由(1)知，￡=(n+ι).2.

Sn

Λ7;=2×2+3×22+???+(M+1)?2n,①

Λ27?=2×22+3×23-+W?2W+(W÷1)?2Λ+1,②

23rt

①-②得，-%=2X2+(2+2???+2)-(π+l)?2"+I=2+2*-(π+i).

2-1

9w+1.

κ11

，Tn=