第三章 圓錐曲線的方程 章末測(cè)試（提升）（解析版）

第三章圓錐曲線方程章末測(cè)試（提升）單選題(每題5分，每題只有一個(gè)選項(xiàng)為正確答案，8題共40分)1．（2023春·貴州黔西·高二?？计谥校┤暨^雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂線交軸于點(diǎn)（為雙曲線的半焦距），則此雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】雙曲線的漸近線方程為，記點(diǎn)，由題意可知，點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，易知直線與直線垂直，且，所以，，可得，因此，該雙曲線的離心率為.故選：C.2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若拋物線上兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，且，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)閽佄锞€上兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，故和直線垂直，所以，故，又，所以，故中點(diǎn)坐標(biāo)是，即，代入，解得.故選：D3．（2023·湖北武漢）已知P是橢圓上動(dòng)點(diǎn)，則P點(diǎn)到直線的距離的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】將橢圓化為參數(shù)方程為（為參數(shù)），設(shè)，則P點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)時(shí)，取得最小值，故選：D4．（2023春·福建廈門·高二統(tǒng)考期末）如圖，太陽灶是一種將太陽光反射至一點(diǎn)用來加熱水或食物的設(shè)備，上面裝有拋物面形的反光鏡，鏡的軸截面是拋物線的一部分，已知太陽灶的口徑（直徑）為4m，深度為0.5m，則該拋物線頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為（

）

A．0.25m B．0.5m C．1m D．2m【答案】D【解析】以該拋物線頂點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：

設(shè)此拋物線方程為，依題意點(diǎn)在此拋物線上，所以，解得，則該拋物線頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.故選：D5．（2023春·江蘇南京·高二統(tǒng)考期末）直線過圓的圓心，且與圓相交于，兩點(diǎn)，為雙曲線右支上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】圓，圓心，半徑，因?yàn)橹本€過圓的圓心，且與圓相交于，兩點(diǎn)，所以，又雙曲線，則，，右焦點(diǎn)為，所以，又，即，所以，當(dāng)點(diǎn)在右頂點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，即，所以的最小值為，故選：D.

6．（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）過雙曲線的右焦點(diǎn)作直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若，則這樣的直線有（）A．一條 B．兩條C．三條 D．四條【答案】C【解析】雙曲線的右焦點(diǎn)為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，代入雙曲線可得：，即，滿足條件；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，代入雙曲線可得：，方程的判別式，設(shè)，則：，，所以化簡(jiǎn)可得：，解得：，

所以斜率存在且滿足條件的直線有條，所以共有條，故選：C.方法二：過右焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦長(zhǎng)為，因?yàn)?，所以?dāng)直線l與雙曲線的兩交點(diǎn)都在右支上時(shí)這樣的直線只有一條.又實(shí)軸長(zhǎng)為，，所以當(dāng)直線l與雙曲線的兩交點(diǎn)分別在左、右兩支上時(shí)這樣的直線應(yīng)該有兩條，所以滿足條件的直線共三條.故選：C.7．（2022秋·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）已知P為橢圓上的點(diǎn)，為其兩個(gè)焦點(diǎn)，則使的點(diǎn)P有（

）A．4個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)【答案】D【解析】

由已知可得，，，，所以，.設(shè)點(diǎn)，假設(shè)存在點(diǎn)使得，即，即，即有.聯(lián)立，可得，顯然無解.所以，假設(shè)錯(cuò)誤，即不存在點(diǎn)使得，所以，使的點(diǎn)P有0個(gè).故選：D.8．（2023春·江西宜春·高二校聯(lián)考期末）已知，分別為雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，左右頂點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)為雙曲線C上一點(diǎn)，直線的斜率之和為，的面積為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)殡x心率為，則，則，所以雙曲線方程為，設(shè)，則①，因?yàn)?，所以，所以②，又因?yàn)榈拿娣e為，所以，即，所以③，由②③得④，將④③代入①得，，所以.故選：D.二、多選題（每題至少有兩個(gè)選項(xiàng)為正確答案，少選且正確得2分，每題5分。4題共20分）9．（2022秋·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）若方程所表示的曲線為，則下列命題正確的是（

）A．若曲線為雙曲線，則或B．若曲線為橢圓，則C．曲線可能是圓D．若曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A，方程表示雙曲線，則，解得或，故A正確；對(duì)于B，方程表示橢圓，則，解得且，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，方程表示圓，故C正確；對(duì)于D，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，故D正確；故選：ACD10．（2023春·福建福州·高二?？计谥校┮阎獮閽佄锞€上一動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．準(zhǔn)線為l：B．存在一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線，使得P到定點(diǎn)的距離等于P到定直線的距離C．點(diǎn)P到直線距離的最小值等于D．的最小值為6【答案】BCD【解析】因?yàn)闉閽佄锞€上一動(dòng)點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，由拋物線的定義可知，到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，故A錯(cuò)誤，B正確；點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)時(shí)，，故C正確；設(shè)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，到準(zhǔn)線的距離為，則，故D正確.

故選：BCD.11．（2023秋·廣東深圳·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知橢圓E：的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為P，若過且傾斜角為的直線l交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8，則（

）A．直線的斜率為 B．橢圓E的短軸長(zhǎng)為4C． D．四邊形的面積為【答案】ACD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)橢圓的半焦距為，因?yàn)?，解得，可知，直線的斜率為，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由選項(xiàng)A可知：，且，則為等邊三角形，由題意可知：，即直線l為的角平分線，則點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，所以的周長(zhǎng)為8，則，可得，所以橢圓E的短軸長(zhǎng)為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以，故C正確，對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)橹本€l的方程為，橢圓方程為，設(shè)，聯(lián)立方程，消去x得，則，可得，則，點(diǎn)直線l的距離為，所以四邊形的面積為，故D正確；故選：ACD.

12．（2024秋·貴州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）過拋物線C：的焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線和，設(shè)直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，直線交拋物線C于D，E兩點(diǎn)，則可能的取值為（

）A．18 B．16 C．14 D．12【答案】AB【解析】由題意可知直線，的斜率均存在且均不為0．因?yàn)閽佄锞€C的焦點(diǎn)為，所以不妨設(shè)的斜率為k，則：，：．由消去y得．設(shè)，，則．由拋物線的定義，知．同理可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，故選：AB．

三、填空題(每題5分，4題共20分)13．（2023春·江西吉安·高二校聯(lián)考期末）已知雙曲線?的實(shí)軸端點(diǎn)分別為?，點(diǎn)是雙曲線上異于?另一點(diǎn)，則?與?的斜率之積為【答案】/【解析】設(shè),，，且，，，則，，所以，所以與的斜率之積為，故答案為：．14．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓的焦距不小于短軸長(zhǎng)，則橢圓的離心率的取值范圍為．【答案】【解析】依題意，，即，所以，從而，即，所以，又，所以橢圓離心率的取值范圍是．故答案為：15．（2023·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測(cè)）過拋物線的焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，設(shè)兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，若的面積為6，則.【答案】【解析】不妨設(shè)在上方，如圖所示：

拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，，則則，所以，恒成立，所以①，②由于，則③聯(lián)立①②③可得：，則所以所以或（舍）.故答案為：.16．（2023秋·云南臨滄·高二?？计谀┮阎p曲線的右焦點(diǎn)為，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，與雙曲線的漸近線交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率是．【答案】/【解析】由雙曲線方程可得其漸近線方程為：，直線為雙曲線的通徑，則由得，則，由得，則由得：即所以，所以離心率故答案為：四、解答題（17題10分，其余每題12分，6題共70分）17．（2023·陜西榆林）已知拋物線的焦點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，且橢圓過點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若與直線為坐標(biāo)原點(diǎn))平行的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，求直線的方程．【答案】(1)(2)【解析】（1）∵拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∴橢圓E的右焦點(diǎn)也為，即，由橢圓E過點(diǎn)，得，聯(lián)立，解得故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）直線OP方程為，則直線AB方程為，，．將直線AB的方程代入橢圓E的方程并整理得，由，得，∴，．

由，得，則，解得，故直線AB的方程為．18．（2023春·廣東深圳·高二?？计谥校┮阎裹c(diǎn)在軸上橢圓，長(zhǎng)軸長(zhǎng)，離心率.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知，過原點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【解析】（1）因?yàn)椋?，所以，，，又因?yàn)闄E圓焦點(diǎn)在軸上，所以橢圓方程為.（2）設(shè)，，直線的方程為，將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，得，消去得，所以，，又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，所以的面積，因?yàn)?，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），所以的面積，即面積的最大值為.19．（2023·云南昭通·高二?？计谥校┮阎獧E圓的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過兩點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，證明：直線過定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）依題意，設(shè)橢圓的方程為.∵橢圓過點(diǎn)兩點(diǎn)，解得

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：由題意知直線的方程為，代入，得，設(shè)，則.∵點(diǎn)與關(guān)于軸對(duì)稱，，∴直線的方程為.令，得，∴直線過定點(diǎn).

20．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙市南雅中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且在y軸上截得弦長(zhǎng)為4.(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；(2)過點(diǎn)的直線l與軌跡C交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿足直線PA與直線PB的傾斜角互補(bǔ)，求的值.【答案】(1)；(2)2.【解析】（1）如圖，設(shè)動(dòng)圓圓心，令圓截y軸所得弦為，有，當(dāng)不在軸上時(shí)，過作交于，則是的中點(diǎn)，

于是，化簡(jiǎn)得，當(dāng)在軸上時(shí)，動(dòng)圓過定點(diǎn)，且在軸上截得弦的長(zhǎng)為4，則與原點(diǎn)重合，即點(diǎn)也滿足方程，所以動(dòng)圓圓心的軌跡的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，

由直線與的傾斜角互補(bǔ)，知直線與的斜率存在，并且互為相反數(shù)，則，因此，由消去x并整理得，有，于是，即.所以.21．（2023·陜西西安）已知拋物線C：的焦點(diǎn)F與橢圓的右焦點(diǎn)重合，點(diǎn)M是拋物線C的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，直線MA，MB分別與拋物線C相切于點(diǎn)A，B．

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其準(zhǔn)線方程；(2)設(shè)直線MA，MB的斜率分別為，，證明：為定值．【答案】(1)拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，準(zhǔn)線方程為(2)證明見解析【解析】（1）因?yàn)椋?，所以，可得橢圓的右焦點(diǎn)為，可