第五章 三角函數(shù) 單元綜合測(cè)試卷（解析版）

第五章三角函數(shù)單元綜合測(cè)試卷第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若，則的值為（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所?故選：D2．當(dāng)時(shí)，函數(shù)（）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減B．在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間，上分別單調(diào)遞減C．在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增D．在區(qū)間，上分別單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】B【解析】函數(shù)，，，為減函數(shù)，，為增函數(shù)，，為減函數(shù)，故選：B3．（）A． B． C． D．【答案】A【解析】.故選：A4．已知相互嚙合的兩個(gè)齒輪，大輪50齒，小輪20齒，當(dāng)大輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)小輪轉(zhuǎn)動(dòng)角度是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)橄嗷Ш系膬蓚€(gè)齒輪，大輪50齒，小輪20齒，所以當(dāng)大輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)時(shí)，大輪轉(zhuǎn)動(dòng)了50個(gè)齒，所以小輪此時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)周，即小輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為.故選：D5．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得：.故選：D.6．已知角，滿足，，則（

）A． B．1 C．－3 D．3【答案】C【解析】.故選：C7．已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖象的兩條對(duì)稱軸，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知，最小正周期為，，，，，，，故選：B．8．已知函數(shù)，其中，，且恒成立，若在區(qū)間上恰有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)楹愠闪?，則，所以，，則，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，則，因?yàn)樵趨^(qū)間上恰有個(gè)零點(diǎn)，則，即，，解得，，假設(shè)不存在，則或，解得或，因?yàn)榇嬖冢瑒t，因?yàn)椋瑒t.所以，，可得，故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．下列選項(xiàng)正確的是（

）A．B．C．若一扇形弧長(zhǎng)為2，圓心角為60°，則該扇形的面積為D．若終邊上有一點(diǎn)，則【答案】BC【解析】對(duì)于A，由誘導(dǎo)公式可知，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由弧度值與角度制互化可得，即B正確；對(duì)于C，易知扇形半徑為，所以扇形面積為，即C正確；對(duì)于D，若終邊上有一點(diǎn)，利用三角函數(shù)定義可知，所以D錯(cuò)誤.故選：BC10．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則的取值可以為（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】為偶函數(shù)，因此或．所以，故正確，故選：.11．已知函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸方程為，與其相鄰的一個(gè)對(duì)稱中心為，則（）A．的最小正周期為 B．的最小正周期為C． D．【答案】AC【解析】由題意知，函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸方程為，與其相鄰的一個(gè)對(duì)稱中心為，可得，所以，所以A正確、B錯(cuò)誤；又由，可得，因?yàn)?，即，解得，所以，又因?yàn)?，可得，所以，所以C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC.12．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．函數(shù)最小正周期為 B．C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．方程在區(qū)間內(nèi)有個(gè)根【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由圖象知：的最小正周期，A正確；對(duì)于B，由A知：，，，解得：，又，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由AB可知：，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)或或或，即或或或時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)有個(gè)根，D正確.故選：ACD.第Ⅱ卷三、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。13．已知的終邊上有一點(diǎn)，則的值為.【答案】/【解析】因?yàn)榈慕K邊上有一點(diǎn)，可得則.故答案為：.14．設(shè)為實(shí)數(shù)，滿足，則．【答案】/【解析】依題意，，所以.故答案為：15．海安市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校訓(xùn)鑲嵌在墻壁上，上端距離地面15米，下端距離地面11米，現(xiàn)小明同學(xué)要拍攝校訓(xùn)照片，相機(jī)鏡頭離地面1米，要使得校訓(xùn)的上下端與鏡頭構(gòu)成的視角最大，問(wèn)相機(jī)鏡頭距離墻面應(yīng)米.

【答案】【解析】設(shè)鏡頭距墻面的距離為，則由題意可得，易知，由正切函數(shù)的單調(diào)性可知當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，此時(shí).故答案為：16．函數(shù)滿足，且恒成立，若在區(qū)間上有最小值而無(wú)最大值，則.【答案】/【解析】因?yàn)?，所以為函?shù)的對(duì)稱中心，因?yàn)楹愠闪ⅲ?，所以為函?shù)的對(duì)稱軸，又因?yàn)樵趨^(qū)間上有最小值而無(wú)最大值，所以，解得，所以.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。17．（10分）在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解決該問(wèn)題.已知_______．(1)求的值；(2)當(dāng)為第三象限角時(shí)，求的值．【答案】(1)(2)【解析】（1）若選①，則；若選②，則，即，則；若選③，則，即；因?yàn)?，將代入，原式．?）由（1）得，即，由，則，解得，因?yàn)闉榈谌笙藿?，所以，則，．18．（12分）已知函數(shù).(1)請(qǐng)用五點(diǎn)作圖法畫出函數(shù)在上的圖象；（先列表，后畫圖）(2)設(shè)，當(dāng)時(shí)，試討論函數(shù)零點(diǎn)情況.【解析】（1）列表如下：00020-2（2）令，則，由，則，結(jié)合的圖象研究與公共點(diǎn)個(gè)數(shù).（i），即，有4個(gè)公共點(diǎn)；（ii），即，有5個(gè)公共點(diǎn)；（iii），即，有4個(gè)公共點(diǎn)；（iv），有2個(gè)公共點(diǎn)；（v），無(wú)公共點(diǎn).綜上，①或，有4個(gè)零點(diǎn)；②，有5個(gè)零點(diǎn)；③，有2個(gè)零點(diǎn)；④，無(wú)零點(diǎn).19．（12分）已知函數(shù)（）．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若，，求的值．【解析】（1）由題意，∵，,∴，,∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）.（2）由（1）知，，又∵，∴，∵，則，∴，∴，則.20．（12分）如圖，四邊形ABCD是一塊邊長(zhǎng)為100cm的正方形鐵皮，其中扇形AMPN的半徑為90cm，已經(jīng)被腐蝕不能使用，其余部分完好可利用，P是弧上一點(diǎn)，，工人師傅想在未被腐蝕部分截下一個(gè)邊在BC與CD上的矩形鐵皮，求矩形鐵皮PQCR面積的最大值和這時(shí)的值．

【解析】作垂直于點(diǎn)H，則，所以，所以矩形鐵皮PQCR面積，令，則，因?yàn)?，所以，所以，所以，由二次函?shù)性質(zhì)可知，函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，所以當(dāng)，即時(shí).答：當(dāng)時(shí)，矩形鐵皮面積最大，最大值為21．（12分）已知函數(shù)的最小正周期為，其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.(1)令，判斷函數(shù)的奇偶性；(2)是否存在實(shí)數(shù)滿足對(duì)任意，任意，使成立.若存在，求的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.【解析】（1）的最小正周期為.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，.，，易得定義域?yàn)?，函?shù)為偶函數(shù).（2）由（1）可知，實(shí)數(shù)滿足對(duì)任意，任意，使得成立即成立令，設(shè)，那么，可等價(jià)轉(zhuǎn)化為：在上恒成立.令，其圖象對(duì)稱軸，①當(dāng)時(shí)，即，解得；②當(dāng)，即時(shí)，，解得；③當(dāng)，即時(shí)，，解得；綜上可得，存在，且的取值范圍是.22．（12分）已知函數(shù)的最大值為，與直線的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為.將的圖象先向右平移個(gè)單位，保持縱坐標(biāo)不變，再將每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，得到函數(shù).(1)求的解析式.(2)若，且方程在上有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為，所以，又與直線的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距